Cálculo Estocástico - Instituto de Matemática e …dreifus/CEF/CEF.old.pdfProbabilidade, Processo...

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Cálculo Estocástico

H. Dreifus1

1Departamento de Matemática AplicadaUniversidade de São Paulo

Caixa Econômica Federal/2010

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Cálculo Estocástico I

Mikosch T., Elementary Stochastic Calculus With Finance in View

1 Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Cálculo Estocástico II3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade

Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade

Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade

Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa

Variáveis Aleatórias

X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis Aleatórias

Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

σ-álgebra

F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis

A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

σ-álgebra

F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis

A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

σ-álgebra

F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis

A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

σ-álgebra

F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis

A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Propriedades da Medida de Probabilidade

Para eventos A,B ∈ F

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

e, se A e B são disjuntos,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Além disto,

P(Ac) = 1− P(A), P(Ω) = 1 e P(∅) = 0

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Exemplos de Distribuições

Binomial

P(X = k) =

(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.

Normal

fX (x) =1√2πσ

exp−(x − µ)2

2σ2

, x ∈ R

Fx =

∫ x

−∞fX (y)dy

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Exemplos de Distribuições

Binomial

P(X = k) =

(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.

Normal

fX (x) =1√2πσ

exp−(x − µ)2

2σ2

, x ∈ R

Fx =

∫ x

−∞fX (y)dy

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Variância e Momentos

EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Variância e Momentos

EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Variância e Momentos

EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Variância e Momentos

EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Estimativas Úteis

P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)

Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95

onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)

P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Estimativas Úteis

P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)

Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95

onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)

P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Estimativas Úteis

P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)

Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95

onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)

P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Vetores Aleatórios

X = (X1,X2, ...,Xn)

é um vetor aleatório n-dimensional se os seus componentesX1,X − 2, ...,Xn são variáveis aleatórias unidimensionais avalores reais.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Exemplos:

FX1(x1) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

fX (x)dx2dx3

fX (x) =1

(2π)n/2(detΣ)1/2 exp−1

2(x − µ)t Σ−1(x − µ)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Correlação

corr(X1,X2) =cov(X1,X2)

σX1σX2

=E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

σX1σX2

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Independência e dependência

Dois eventos A1 e A2 são independentes se

P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se

P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Independência e dependência

Dois eventos A1 e A2 são independentes se

P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se

P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Independência e dependência

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:

FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:

fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Independência e dependência

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:

FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:

fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Se X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes,

EF (X1)G(X2) = EX1F (X1)EX2G(X2)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.

Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.

Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Processos Estocásticos.

DefiniçãoPasseio Aleatório

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Processos Estocásticos.

DefiniçãoPasseio Aleatório

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Definição

Um processo estocástico X é uma coleção de variáveisaleatórias

Xt , t ∈ T = Xt (ω), t ∈ T , ω ∈ Ω

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,

Xt (ω) : Ω→ R

é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,

Xt (ω) : t ∈ T → R

é uma função do tempo t

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,

Xt (ω) : Ω→ R

é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,

Xt (ω) : t ∈ T → R

é uma função do tempo t

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,

Xt (ω) : Ω→ R

é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,

Xt (ω) : t ∈ T → R

é uma função do tempo t

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Distribuição

As distribuições de dimensão finita (disfi) de um processoestocástico X são as distribuições dos vetores de dimensãofinita.

(Xt1 ...Xtn ), t1...tn2 ∈ T ,

para todas as escolhas possíveis dos instantes t1...tn ∈ T epara todo n ≥ 1.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Exemplo

Processo Gaussiano

P(Xt1 ≤ x1, ...,Xtn ≤ xn) = P(Xt1 ≤ x1)...P(Xtn ≤ xn) =

= Φ(x1)...Φ(xn)

0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ T , (x1...xn) ∈ Rn.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança, Covariância e Variância

A função esperança de X é dada por

µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T

A função de covariância de X e dada por

cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .

A função de variância e dada por

σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Estrutura de Dependência

Processos Estacionários

Um processo estocástico é dito ser estacionário se os difi’s sãoinvariantes por translações em t .

(Xt1 ...Xtn )d= (Xt1+δ...Xtn+δ)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Estrutura de Dependência

Processos com Incrementos EstacionáriosSeja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estocástico e T ⊂ R umintervalo. Dizemos que X possui incrementos estacionários se

Xt − Xsd= Xt+δ − Xs+δ

para todo t , s ∈ T e δ, com t + δ, s + δ ∈ T X é dito possuirincrementos independentes se para cada escolha de ti ∈ Tcom t1 < ... < tn e n ≥ 1,

Xt2 − Xt1 ...Xtn − Xtn−1

são variáveis aleatórias independentes.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ

Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ

Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ

Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ

Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de Transição

Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de Transição

Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de Transição

Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de Transição

Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de Transição

Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de Transição

Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos

pj(t + δ) =∑k∈Z

Kjkpk (t)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Dinâmica do Passeio Aleatório

Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos

pj(t + δ) =∑k∈Z

Kjkpk (t)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2K =

..

.0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

..

.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

pj(t + δ) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)

pj(t + δ)− pj(t) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)− pj(t)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

pj(t + δ) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)

pj(t + δ)− pj(t) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)− pj(t)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆

px (t + δ)− px (t) =12

px+∆(t) +12

px−∆(t)− px (t)

px (t + δ)− px (t) =12

[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆

px (t + δ)− px (t) =12

px+∆(t) +12

px−∆(t)− px (t)

px (t + δ)− px (t) =12

[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆

px (t + δ)− px (t) =12

px+∆(t) +12

px−∆(t)− px (t)

px (t + δ)− px (t) =12

[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando σ2δ = ∆2

px (t + δ)− px (t)δ

= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

2∆2

de forma que no limite δ → 0

∂p∂t

(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando σ2δ = ∆2

px (t + δ)− px (t)δ

= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

2∆2

de forma que no limite δ → 0

∂p∂t

(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Considerando σ2δ = ∆2

px (t + δ)− px (t)δ

= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

2∆2

de forma que no limite δ → 0

∂p∂t

(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

p(t , x) =1

σ√

4πt

∫ ∞−∞

e−(x−y)2

4tσ2 p(0, y)dy

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano.

Propriedades da definição

Processos derivados do movimento browniano

Simulações de caminhos amostrais brownianos

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano.

Propriedades da definição

Processos derivados do movimento browniano

Simulações de caminhos amostrais brownianos

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano.

Propriedades da definição

Processos derivados do movimento browniano

Simulações de caminhos amostrais brownianos

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano

Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:

ele começa no zero: B0 = 0;

possui incrementos independentes e estacionários;

para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);

possui caminhos amostrais contínuos.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano

Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:

ele começa no zero: B0 = 0;

possui incrementos independentes e estacionários;

para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);

possui caminhos amostrais contínuos.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano

Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:

ele começa no zero: B0 = 0;

possui incrementos independentes e estacionários;

para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);

possui caminhos amostrais contínuos.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano

Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:

ele começa no zero: B0 = 0;

possui incrementos independentes e estacionários;

para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);

possui caminhos amostrais contínuos.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano

As variáveis aleatórias Bt − Bs e Bt−s possuem umadistrobuição N(0, t − s) para s < t .

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

O movimento Browniano é um processo estocástico gaussianocaracterizado por:

µB(t) = 0

cB(s, t) = min(s, t)

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Auto-similaridade

Um processo estocástico (Xt , t ∈ [0,1)) é dito H-auto similarpara um dado H > 0 se os seus disfi’s satisfizerem à condiçãodada por

(T HBt1 ...THBtn )

d= (BTt1 ...BTtn )

para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Não diferenciabilidade

O movimento browniano é 0.5-auto-similar, i.e.,

(T 1/2Bt1 ...T1/2Btn )

d= (BTt1 ...BTtn )

para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1. Portanto, os caminhos amostrais não são diferenciáveisem parte alguma.

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Variação ilimitada

Os caminhos amostrais brownianos não possuem variaçãolimitada em nenhum intervalo finito [0,T ]. Isto significa que

supτ

n∑1

|Bti (ω)− Bti−1(ω)| =∞

onde o supremo é tomado sobre todas as partições possíveisτ : 0 = t0 < ... < tn = T do intervalo [0,T ].

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Processos Derivados do movimento Browniano

Movimento Browniano com drift

Xt = µt + σBt

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Movimento Browniano Geométrico

Xt = eµt+σBt

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discreta

Sobre σ-álgebras

A esperança condicional geral

Regras para o cálculo da esperança condicional

A propriedade da projeção de esperanças condicionais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discreta

Sobre σ-álgebras

A esperança condicional geral

Regras para o cálculo da esperança condicional

A propriedade da projeção de esperanças condicionais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discreta

Sobre σ-álgebras

A esperança condicional geral

Regras para o cálculo da esperança condicional

A propriedade da projeção de esperanças condicionais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discreta

Sobre σ-álgebras

A esperança condicional geral

Regras para o cálculo da esperança condicional

A propriedade da projeção de esperanças condicionais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discreta

Sobre σ-álgebras

A esperança condicional geral

Regras para o cálculo da esperança condicional

A propriedade da projeção de esperanças condicionais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Martingais.

Propriedades definidoras

Exemplos

A interpretação de um martingal como um jogo não viciado

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Martingais.

Propriedades definidoras

Exemplos

A interpretação de um martingal como um jogo não viciado

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Martingais.

Propriedades definidoras

Exemplos

A interpretação de um martingal como um jogo não viciado

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.

A integral de Riemann ordinária

A integral de Riemann-Stieltjes

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.

A integral de Riemann ordinária

A integral de Riemann-Stieltjes

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

A integral de Ito.

Um exemplo motivador

A integral estocástica de Ito para processos simples

A integral estocástica geral de Ito

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

A integral de Ito.

Um exemplo motivador

A integral estocástica de Ito para processos simples

A integral estocástica geral de Ito

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

A integral de Ito.

Um exemplo motivador

A integral estocástica de Ito para processos simples

A integral estocástica geral de Ito

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

O lema de Ito.

A regra da cadeia clássica para a diferenciação

Uma versão simples do lema de Ito

Versões estendidas do lema de Ito

A integral de Stratonovich e outras integrais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

O lema de Ito.

A regra da cadeia clássica para a diferenciação

Uma versão simples do lema de Ito

Versões estendidas do lema de Ito

A integral de Stratonovich e outras integrais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

O lema de Ito.

A regra da cadeia clássica para a diferenciação

Uma versão simples do lema de Ito

Versões estendidas do lema de Ito

A integral de Stratonovich e outras integrais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

O lema de Ito.

A regra da cadeia clássica para a diferenciação

Uma versão simples do lema de Ito

Versões estendidas do lema de Ito

A integral de Stratonovich e outras integrais

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

As equações diferenciais estocásticas de Ito.

O que é uma equação diferencial estocástica?

Resolvendo EDEs usando o lema de Ito

Resolvendo equações diferenciais estocásticas de Ito atravésdo cálculo de Stratonovich

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

As equações diferenciais estocásticas de Ito.

O que é uma equação diferencial estocástica?

Resolvendo EDEs usando o lema de Ito

Resolvendo equações diferenciais estocásticas de Ito atravésdo cálculo de Stratonovich

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

As equações diferenciais estocásticas de Ito.

O que é uma equação diferencial estocástica?

Resolvendo EDEs usando o lema de Ito

Resolvendo equações diferenciais estocásticas de Ito atravésdo cálculo de Stratonovich

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

A equação diferencial linear geral.

Equações lineares com ruído aditivo

Equações homogêneas com ruído multiplicativo

O caso geral

As funções de esperança e variância da solução

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

A equação diferencial linear geral.

Equações lineares com ruído aditivo

Equações homogêneas com ruído multiplicativo

O caso geral

As funções de esperança e variância da solução

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

A equação diferencial linear geral.

Equações lineares com ruído aditivo

Equações homogêneas com ruído multiplicativo

O caso geral

As funções de esperança e variância da solução

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

A equação diferencial linear geral.

Equações lineares com ruído aditivo

Equações homogêneas com ruído multiplicativo

O caso geral

As funções de esperança e variância da solução

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

A aproximação de Euler

A aproximação de Milstein

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

A aproximação de Euler

A aproximação de Milstein

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.

Uma breve excursão através das finanças

O que é uma opção?

Uma formulação matemática do problema de apreçamento deopções

A fórmula de Black e Scholes

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.

Uma breve excursão através das finanças

O que é uma opção?

Uma formulação matemática do problema de apreçamento deopções

A fórmula de Black e Scholes

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.

Uma breve excursão através das finanças

O que é uma opção?

Uma formulação matemática do problema de apreçamento deopções

A fórmula de Black e Scholes

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.

Uma breve excursão através das finanças

O que é uma opção?

Uma formulação matemática do problema de apreçamento deopções

A fórmula de Black e Scholes

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale

ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito

3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

Uma técnica útil: a mudança de medida.

O que é a mudança da medida subjacente

Uma interpretação da fórmula de Black-Scholes pela mudançade medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

Uma técnica útil: a mudança de medida.

O que é a mudança da medida subjacente

Uma interpretação da fórmula de Black-Scholes pela mudançade medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida

H. Dreifus Cálculo Estocástico