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Construçoes de Poligonos Geometria
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA ELEMENTOS DE GEOMETRIA 105
05. Determine graficamente a medida aproximada em graus de um arco de 2cm de comprimen-to em uma circunferncia de 2,5cm de raio.
06. Numa circunferncia de raio r qualquer, define-se um radiano (1rad) como sendo o arco cujo comprimento igual ao raio r. Determine graficamente a medida aproximada, em graus, de um arco de 1rad.
Sugesto: use r = 4cm.
4.3. DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM ARCOS IGUAIS: PROCESSOS EXATOS
Dividir a circunferncia em partes iguais o mesmo que construir polgonos regulares. Isso porque os pontos que dividem uma circunferncia num nmero n (n >2) qualquer de partes iguais so sempre vrtices de um polgono regular inscrito na mesma.
Se dividirmos uma circunferncia em n partes iguais, teremos tambm a diviso da mesma em 2n partes, bastando para isso traar bissetrizes.
Estudaremos processo exatos e aproximados para a diviso da circunferncia.
1O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 2, 4, 8, 16, ... ==== 2.2m PARTES; m
Para dividir a circunferncia em duas partes iguais, basta traar um dimetro. Para obter a diviso em 4, 8, 16,..., traamos bissetrizes.
O lado de um polgono regular de n lados denotado por ln.
Medida de l4: considerando o tringulo retngulo issceles de cateto r, temos que a hipotenusa o l4, logo sua medida r 2.
n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 2 180o 2 arcos capazes de 90o 4 90o Quadrado 8 45o Octgono 16 22,5o Hexadecgono 32 11,25o Triacontadgono
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Dividindo a circunferncia em n partes iguais, estamos dividindo o ngulo central de 360o em n partes tambm iguais. Logo, o ngulo cntrico (vrtice no centro e lados passando por vrtices consecutivos do polgono) correspondente diviso da circunferncia em n partes iguais
medir o360
n.
2O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 3, 6, 12, ... ==== 3.2m PARTES; m
Medida de l6: considere AB um arco que seja a sexta parte da circunferncia, logo este medir 60o. Assim, deduzimos que o tringulo OAB equiltero, isto , o comprimento da corda AB igual ao raio da circunferncia. Portanto l6 = r.
Logo, com raio r igual ao da circunferncia, descrevemos sucessivamente os arcos: centro em um ponto A qualquer da circunferncia obtendo B; centro em B obtendo C e assim por diante.
Unindo os pontos A, C e E teremos um tringulo equiltero inscrito na circunferncia. Basta notar que o ngulo central correspondente a corda AC vale 120o = 360o/3.
Medida de l3: Os pontos A, O e D esto alinhados, pois AD = 180o. Logo, o ponto C pertence ao arco capaz de 90o de AD . Portanto, o tringulo ACD retngulo em C, sendo AC = l3, CD = l6 = r e AD = 2r. Aplicando o teorema de Pitgoras vem que:
2 2 2AD AC CD= +
2 2 2AC AD CD= l32 = (2r)2
r2 l32 = 4r2 r2 l32 = 3r2 l3 = r 3.
n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 3 120o Tringulo equiltero 6 60o Hexgono 12 30o Dodecgono 24 15o Icositetrgono 48 7,5o Tetracontoctgono
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3O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 5, 10, 20, ... ==== 5.2m PARTES; m
TEOREMA: O lado do decgono regular inscrito em uma circunferncia o segmento ureo do raio.
O ngulo central correspondente de um
decgono regular 36o = o360
10.
Considere um arco AB, cujo ngulo central seja de 36o. Logo, a corda AB tem a medida l10. Devemos mostrar que l102 = r (r l10).
O tringulo AOB issceles (seus lados so raios da circunferncia), logo os ngulos da base so iguais A B= , e como = 36o, ento + B + =
180o ou = o o180 - 362
. Portanto, = 72o.
Traar a bissetriz de B obtendo P sobre OA . Como PBA = 36o e PB = 72o, ento BPA = 72o. Logo, o tringulo PBA issceles de base PA , e com isto BP BA= = l10.
No tringulo OPB, os ngulos da base so iguais. Logo, ele issceles de base OB e seus lados so congruentes, ou seja, OP BP= = l10 e, portanto, PA = r l10. Como OBA ~ BPA (pois tem dois ngulos congruentes), ento os seus lados correspondentes so proporcionais, ou
seja, 1010 10
lrl r l
=
ou l102 = r.(r l10) ou seja, l10 ureo de r.
EXERCCIO: Esta proporo pode ser obtida tambm pelo teorema das bissetrizes.
Medida de l10: Como l10 o segmento
ureo do raio, ento l10 5 1
r .2
=
Assim, para dividir uma circunferncia em 10 partes iguais, a construo seguinte se justifica.
Procedimento e Justificativa:
- traar dois dimetros perpendiculares entre si, AB e CD ;
- obter o ponto M mdio de OA ;
- unindo C e M temos que r 5
CM2
= , pois CM
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hipotenusa de um tringulo retngulo de catetos r e r2;
- como l10 = r 5 r
2
, ento devemos descrever um arco de centro M e raio MC , obtendo um
ponto E sobre a reta AO;
- logo, EO = l10 ureo de r, pois EO = EM OM = r 5 r
.2 2
Observao: Para dividir uma circunferncia em 5 partes iguais, basta divid-la em 10 partes iguais e unir os vrtices de 2 em 2. Porm, convm estudarmos uma propriedade que relaciona l5, l6 e l10, permitindo dividir diretamente em 5 partes, sem ter que dividir em 10 partes primeiro.
TEOREMA: Para uma mesma circunferncia, o l5 hipotenusa de um tringulo retngulo cujos catetos so o l6 e o l10.
Observao: Por esta propriedade, a construo anterior nos fornece o l5, basta notar que o tringulo retngulo EOC tem os catetos medindo l6 = r e l10.
Prova:
Considere uma circunferncia de centro O e raio r, com a corda AB = l10. Logo AB = 36o, e como o tringulo AOB issceles de base AB , ento OB = OBA = 72o. Seja C um ponto da semi-reta AB
tal que AC = r. Logo
CB = r l10 (1).
Considerando a circunferncia de centro A e raio r, como o ngulo central OC tem medida igual a 72o, ento OC = l5 (basta
notar que 72o = o360
5 e que o raio desta ltima
circunferncia r).
Conduzindo por C, a tangente CD circunferncia de centro O e raio r, temos um tringulo ODC, retngulo em D, onde o cateto OD = l6 = r e a hipotenusa OC = l5, assim, devemos mostrar que o cateto DC o l10, ou seja, que DC ureo de l6 = r.
De acordo com a potncia do ponto C em relao circunferncia de centro O e raio r,
temos 2
CD CB.CA= . Por (1) temos: 2
CD = (r l10).r. Logo, pelo teorema anterior, temos que CD = l10.
Medida de l5: Como l52 = l102 + l62
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l52 = 2
r 5 r2 2
+ r2
l52 = 2 2 25r 2r 5 r
4 4 4 + + r2
l52 = 2 210r 2r 5
4
l52 = ( )2r 5 52
l5 = 5 5
r2
.
n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 5 72o Pentgono 10 36o Decgono 20 18o Icosgono 40 9o Tetracontgono
4O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 15, 30, ... ==== 15.2m PARTES; m
Considere uma circunferncia de centro O e raio r. Obtenha as cordas AB = r (lado do hexgono regular inscrito) e AC = l10 (lado do decgono regular inscrito). Temos ento AB = 60o e AC = 36o, logo BC = 60o 36o = 24o que o ngulo cntrico de um polgono regular de 15 lados inscrito na circunferncia. Logo BC = l15.
Observao: Teoricamente o problema muito simples, mas graficamente, devido ao grande nmero de operaes que ele exige, costuma-se obter resultados ruins. Por esta razo, estudaremos mais adiante um processo aproximado para l15 que fornece resultados grficos melhores.
n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 15 24o Pentadecgono 30 12o Triacontgono 60 6o Hexacontgono
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5O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 17, 34, ... ==== 17.2m PARTES; m
Gauss (1796) demonstrou que possvel encontrar o ngulo 17pi
:
( )1sen 34 2 17 2 2 17 17 2 68 12 17 2 2 17 1 17 17 16 2 17 1717 8pi
= + + +
A construo para encontrar o lado do heptadecgono devida a Johannes Erchinger:
- Trace o dimetro AB e o raio OC AB ;
- Determine em OC o ponto D tal que r
OD4
= ;
- Encontre o ponto F em AB tal que ADOEDF4
= = ;
- Encontre o ponto G em AB tal que o
o180FDG 454
= = ;
- Determine o ponto H mdio de AG ; - O ponto I a interseo de OC com a circunferncia de centro em H e raio HG ; - O ponto J a interseo de AB com a circunferncia de centro em E e raio EI ; - Trace as perpendiculares a AB que passam por H e J; - HL e KJ determinam na circunferncia um arco com o dobro do tamanho correspondente da corda de l17; - Fazendo a mediatriz de KL obtemos M na circunferncia, tal que LM KM= = l17.
n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 17 21,18o Heptadecgono 34 10,59o Triacontatetrgono 68 5,29o Hexacontoctgono
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4.4. DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM ARCOS IGUAIS: PROCESSOS APROXIMADOS
Foram vistos processos para a diviso da circunferncia em n partes iguais, por exemplo, para n igual a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15,... possvel dividir uma circunferncia em 7, 9, 11, 13,... partes iguais, completando a primeira sequncia, porm estas divises so aproximadas.
Para determinar o erro terico que se comete nas construes das cordas l7, l9, l11, l13 e l15, vamos inicialmente determinar o lado de um polgono regular de n lados em funo do ngulo central correspondente.
Consideremos uma circunferncia dividida em n partes iguais, e a corda AB = ln um dos lados do polgono regular inscrito na circunferncia.
Seja 2 o ngulo central correspon- dente ao lado ln = AB . Para cada ln, temos um ngulo central corresponden-
te a o360
n.
Construindo a bissetriz do ngulo central AB = 2, obtemos o ponto M mdio de AB (pois o tringulo AOB issceles de base AB e a bissetriz relativa a base tambm mediatriz),
logo AM = nl2.
Como a mediatriz perpendicular ao lado do tringulo, ento AB OM , ou seja, o
tringulo AOM retngulo em M. Alm disso, AB = o360
n ser divido em AM =
o180n
. No
tringulo retngulo AOM temos que:
no
l180 2senn r
=
ou
o
n
180l 2r.sen
n
=
1O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 7, 14, ... ==== 7.2m PARTES; m
Procedimento:
- Marcar sobre a circunferncia um ponto D. Cen-tro em D marcar MA = MB = r, sendo que A e B pertencem circunferncia;
- unir A e B, temos ento que AB = l3 = r 3 ;
- unir O e D, determinando o ponto C sobre AB . Este ponto divide AB ao meio, pois pertence mediatriz deste segmento, logo OC tambm bissetriz e altura do tringulo AOB, issceles de
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base AB ;
- l7 = AC = 3l2.
Medida de l7 e l7:
Da frmula geral temos: l7 = 2r.o180
sen7
0,86776r e como l7 = l3/2 = r 32
0,86602r. Desta forma, o erro terico dado por
Et = l7 l7 = 0,00174r
Ou seja, o erro por falta e da ordem de dois milsimos, pois 0,0017 0,002.
n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 7 51,4o Heptgono 14 25,7o Tetradecgono 28 12,9o Icosioctgono
2O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 9, 18, ... ==== 9.2m PARTES; m
Procedimento:
- Traar dois dimetros AB e CD perpen-diculares entre si. Prolongar AB ;
- Traar a circunferncia com centro em C e raio CO = r, obtendo o ponto E na circun-ferncia de centro O;
- Traar a circunferncia de centro em D e raio DE , determinando na semi-reta BA
o ponto F;
- Traar a circunferncia de centro em F e raio FD DE= , obtendo sobre a semi-reta BA
o ponto G;
- l9 = BG .
Medida de l9 e l9:
O tringulo CED retngulo em E (pois este est no arco capaz de 90o de CD ), ento pelo teorema de Pitgoras temos que
2 2 2CD CE DE= + ou
2 2 2DE CD CE= , onde CD 2r= e
CE r= , logo DE = r 3.
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Como DE DF FG= = , ento DF FG= = r 3.
O tringulo ODF retngulo em O, ento aplicando o teorema de Pitgoras vem que 2 2 2
DF DO OF= + 2 2 2
OF DF DO= ( )22 2OF r 3 r= 2OF = 3r2 r2 OF = r 2. Como GF GO OF= + ou GO GF OF= , ento GO = r 3 r 2.
Assim, l9 = BG = r GO = r ( )r 3 r 2 0,68216r Da frmula geral temos: l9 = 2r.
o180sen
9
0,68404r. Desta forma, o erro terico dado
por:
Et = l9 l9 = 0,00188r.
Como 0,0018 0,002, podemos concluir que o erro por falta e da ordem de dois milsimos.
n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR 9 40o Enegono 18 20o Octadecgono 36 10o Triacontahexgono
3O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 11, 22, ... ==== 11.2m PARTES; m
Procedimento:
- Traar dois dimetros AB e CD perpendiculares entre si;
- Obter o ponto M mdio de um dos raios, por
exemplo OA . Logo, r
OM2
= ;
- Unir M com C. Obter o ponto N mdio de MC ;
- l11 = CN NM= .
Medida de l11= e l11:
Clculo do valor de l11: O tringulo OMC retngulo em O. Logo, temos
2 2 2CM CO OM= +
ou r 5
CM2
= . Ento l11 = CN = CM2
= r 54
0,55901r.
Da frmula geral temos: l11 = 2r. o180
sen11
0,56346r. Temos ento que o erro terico
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dado por
Et = l11 l11 = 0,00445r
Ou seja, o erro por falta e da ordem de quatro milsimos.
n NGULO POLGONO REGULAR 11 32,7o Undecgono 22 16,3o Icosidgono 44 8,2o Tetracontatetrgono
4O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 13, 26, ... ==== 13.2m PARTES; m
Procedimento:
- Traar dois dimetros AB e CD perpendicula-res entre si;
- Dividir um raio, por exemplo OA , em quatro
partes iguais, obtendo um segmento r
OE4
= ;
- unir E e C, obtendo um ponto F sobre a circunfe-rncia;
- l13 = DF .
Medida de l13 e l13:
Considere os tringulos retngulos DFC (pois F est no arco capaz de 90o de DC ) e EOC. Como o ngulo C comum e DFC = EC = 90o, ento DFC ~ EOC pelo critrio AAA. Desta semelhana temos que:
DF CDOE EC
= ou 13l 2rr EC4
=
mas 2
2 2rAE r4
= +
, ou seja, r 17
AE4
= . Substituindo na expresso acima temos que:
13l 2rr r 174 4
= ou 132r 17
l17
= = 0,48507r
Da frmula geral temos: l13 = 2r.o180
sen13
0,47863r. Assim, o erro terico dado por
Et = l13 l13 = 0,00644r
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Isto , o erro por excesso e da ordem de seis milsimos.
n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR
13 27,69o Tridecgono 26 13,84o Icosihexgono 52 6,92o Pentacontadgono
5O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 15, 30, ... ==== 15.2m PARTES; m
Quando foi apresentada a construo do pentadecgono regular por um processo exato, foi feita uma observao de que o processo implica em muitos erros grficos, e que existe uma construo aproximada deste polgono que nos d resultados melhores, que ser apresentada a seguir.
Procedimento:
- Traar dois dimetros AB e CD perpendiculares entre si;
- Com centro em C e raio CA , obter um ponto E sobre CD ;
- l15 = OE .
Medida de l15 e l15:
Como AC = r 2 , ento l15 = CE CO = CA CO = r 2 r 0,41421r.
Da frmula geral temos: l15 = 2r.o180
sen15
0,41582r. Assim, o erro terico dado por
Et = l15 l15 = 0,00161r
Isto , o erro por falta e da ordem de aproximadamente dois milsimos.
Observao: Podemos dividir a circunferncia em n partes iguais retificando-a, obtendo o seu permetro e dividindo-o e n partes iguais (aplicando o teorema de Tales), e depois desretificando uma das n partes sobre a circunferncia. Note que este processo aproximado.
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6O DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM n ==== 19, 38, ... ==== 19.2m PARTES; m
Procedimento:
- Traar dois dimetros AB e CD perpendicula-res entre si;
- Dividir um raio, por exemplo OA , em quatro
partes iguais, obtendo um segmento r
OE4
= ;
- Construir a mediatriz do raio OC , e obter o ponto G, que a interseo da paralela a CD, que passa pelo ponto E, com esta mediatriz;
- unir D e G, obtendo um ponto H sobre a circun-ferncia;
- l19 = CH .
Medida de l19 e l19:
Considere os tringulos retngulos DHC (pois H est no arco capaz de 90o de DC ) e DFG. Como o ngulo D comum e DFG = DHC = 90o, ento DHC ~ DFG pelo critrio AAA. Desta semelhana temos que:
HC DCFG DG
= ou 19l 2rr DG4
=
mas 2 2
2 3 rDG r
2 4
= +
, ou seja, r 37
DG4
= . Substituindo na expresso acima temos que:
19l 2rr r 374 4
= ou 192r 37
l37
= = 0,328798r
Da frmula geral temos: l19 = 2r.o180
sen19
0,32919r. Assim, o erro terico dado por
Et = l19 l19 = 0,000392r
Isto , o erro por falta e da ordem de 4 milsimos.
n NGULO CNTRICO POLGONO REGULAR
19 18,94o Eneadecgono 38 9,47o Triacontaoctgono 76 4,74o Heptacontahexgono
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4.5. POLGONOS ESTRELADOS
DEFINIO: Um polgono estrelado quando possui ngulos alternadamente salientes e reen-trantes, e os lados pertencem a uma linha poligonal fechada que percorrida sempre no mesmo sentido.
TEOREMA: Pode-se obter tantos polgonos estrelados de n vrtices quantos nmeros p h, exceto a unidade, menores que a metade de n e primos com n.
De fato, basta considerar os nmeros
p menores que n2, porque unir os pontos de p
em p equivale a uni-los de (n p) em (n p); devemos excluir a unidade, porque unindo os pontos consecutivos, obtm-se o polgono convexo; sendo p e n primos entre si, so necessrios n lados para voltar ao ponto de partida, e assim devem ser encontrados cada ponto de diviso.
DEFINIO: Polgono regular estrelado aquele que se forma de cordas iguais e onde os lados so iguais e os ngulos tambm so iguais.
Logo, o polgono estrelado regular formado por uma linha poligonal contnua e se obtm quando, partindo de um ponto de diviso qualquer da circunferncia, volta-se ao mesmo ponto de partida aps as unies p a p, isto , pulando p divises.
Processo Geral de Construo: Para obter um polgono regular estrelado de n vrtices, devemos dividir a circunferncia em n partes iguais, e unir os pontos de diviso de p em p, sendo que: p < n2, p 1 e p e n primos entre si.
Exemplos:
a) Para n = 7: 3, 2 e 1 so menores do que 72 = 3,5 p = 3 ou p = 2.
b) Para n = 8: 3, 2 e 1 so menores do que 82 = 4 p = 3.
c) Para n = 15: 7, 6, 5, 4, 3, 2 e 1 so menores do que 152
= 7,5 p = 7 ou p = 4 ou p = 2.
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EXERCCIOS
01. Dada uma circunferncia de centro O e raio r = 5cm, construir os seguintes polgonos regulares estrelados:
a) Pentgono (n = 5, p = 2);
b) Octgono (n = 8, p = 3);
c) Decgono (n = 10, p = 3).
d) Enegono (n = 9, p = 2).
e) Enegono (n = 9, p = 4).
02. Construir um heptgono regular estrelado inscrito num circunferncia de centro O e raio r = 6cm.
03. Quantos polgonos regulares estrelados distintos podem ser traados quando uma circunfe-rncia est dividida em 20, 24, 30 e 36 partes iguais?
04. Dado um segmento AB , lado de um decgono regular, construir o decgono regular estre-lado.
05. Considere o pentgono regular ABCDE. Prove que o lado AB paralelo diagonal EC .
06. Prove que as diagonais de um pentgono regular so congruentes.
07. Prove que o lado de um pentgono regular o segmento ureo da diagonal do pentgono.
08. Construir um pentgono regular dado o lado l5 = 4cm.
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