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Deformações de Quádricas por Transformações Lineares
Adilson da Silva Nunes Universidade Federal de Rio Grande-FURG
Instituto de Matemática, Estatística e Física
E-mail: adilsonnunesd12@gmail.com
Elaine Corrêa Pereira
Universidade Federal de Rio Grande-FURG –
Instituto de Matemática, Estatística e Física
E-mail: ecpmdt@terra.com.br
RESUMO
O presente trabalho tem como objetivo deformar quádricas, no intuito de
descobrir o comportamento de sua imagem após aplicarmos uma transformação linear e
ir mais longe, chegar a uma generalização para essas deformações, ou seja, prever o
comportamento da imagem de uma transformação linear aplicada a uma quádrica
definida no Rn.
Estudando as aplicações das quádricas, assunto que desperta interesse desde
épocas remotas, observamos nas mais variadas áreas, dentre as quais destacam-se: a
arquitetura e engenharia. Essas áreas beneficiam-se muito das propriedades que as
superfícies possuem, pois as mesmas representam muitas vezes economia e até mesmo
segurança para as construções. Também estão presentes na síntese de imagens de um
computador, síntese essa que consiste em converter cenas tridimensionais em
bidimensionais, tais cenas são descritas por objetos tridimensionais que são em geral
representados por quádricas.
Para a análise dessas deformações dividimos estas transformações em quatro
casos, onde cada um deles está associado ao posto da matriz da transformação linear.
Dentre os casos que serão citados, temos o de Posto 0, onde a quádrica se deforma em
um ponto, o que é um resultado trivial, e portanto, não vamos nos deter a ele.
No caso do posto 3, de acordo com [1] , temos o seguinte resultado para a esfera:
“Dado TM : R3 → R
3 um operador linear invertível associado á matriz M na base
canônica e S(0,r) a esfera de equação x² + y² + z² = r². Então a imagem de S(0,r)
segundo TM é o elipsóide TM(S(0, r)) de equação λ1(u)² +λ2(v)² +λ3( w)² = r² onde λ1,λ2
e λ3 são os autovalores de (M)tM
−1 e uvw é o referencial gerado pelos respectivos
autovetores ortonormais de (M-1
)t (M
-1).”
Estudando os casos de posto 1e 2 para a esfera e os casos de posto 1, 2 e 3 para o
elipsóide, observa-se que a análise destas deformações no elipsóide pode ser feita
através de uma redução ao caso da esfera, usando uma transformação linear adequada.
Estamos interessados em analisar o que acontecerá em outros casos como, por
exemplo, o hiperbolóide, ou seja, o que ocorre com a sua imagem após aplicarmos uma
transformação linear qualquer. Palavras-chave: Autovalores, Quádricas, Transformação Linear. Referências
[1] TAVARES, F., Deformação de Cônicas e Quádricas por Transformações Lineares, Unicamp, Campinas, Brasil, 2008.
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