Elementos de análise numérica

Elementos de Análise numérica

Solução de problemas em engenharia

• Sem computador • Com computador

Formulação

Solução

Interpretação

Formulação

Solução

Interpretação

Tópicos

• Interpolação• Ajuste de equações• Derivadas numéricas• Integração numérica• Raízes de equações• Sistemas de equações lineares• Sistemas de equações não lineares• Equações diferenciais

• Raizes da equaçao de manning• Canal prismático• Canal com seção dada em tabela

• Equação de remanso• Solução da equação para encontrar dx ideal para

muskingun cunge• Solução da propagação de reservatório usando

Newton• Erros simples (método de Euler)

Interpolação numérica

• Em várias aplicações de recursos hídricos existem relações entre variáveis que não podem ser expressas por funções analíticas simples.

• Curva cota-volume de um reservatório.• Relação cota-área molhada ou cota – raio hidráulico

de uma seção transversal

• Nestes casos é importante a interpolação para aproximar uma função aos dados.

Interpolação numérica

Cota Volume

100 400

102 1000

104 2000

109 4500

Qual é o volume para a cota 106?

cota

volu

me

Interpolação linear

• A forma mais simples de interpolação é a interpolação linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta

Interpolação numérica

cota

volu

me

)()()(

)()(1 001

010 xx

xx

xfxfxfxf

x

Interpolação quadrática

• Encontra uma parábola que aproxima 3 dados consecutivos

Interpolação numérica

cota

volu

me )()(2 102010 xxxxbxxbbxf

x

Splines

• Splines interpolam os dados e garantem a continuidade da função e da derivada de ordem m. Para assegurar isto, a interpolação deve ser feita utilizando polinômios de grau m+1.

• Para garantir a continuidade da função, basta utilizar retas (polinômios de primeiro grau)

• Para garantir a continuidade da função e da sua primeira derivada, é necessário utilizar parábolas.

• Para garantir a continuidade da função, e das duas primeiras derivadas, é necessário usar splines cúbicos.

Interpolação numérica

Splines

• Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos para suavizar linhas de gráficos.

Interpolação numérica

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

Splines

• Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.

Interpolação numérica

35

37

39

41

43

45

47

0 5 10 15 20 25

Splines

• Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.

Interpolação numérica

35

37

39

41

43

45

47

0 5 10 15 20 25

Rotinas para interpolação

• Existem rotinas prontas em praticamente qualquer linguagem para interpolação com polinômios e splines.

• Calculadora, Matlab, Excel, etc…• Rotina FINT usa interpolação linear

Interpolação numérica

Ajuste de equações

• Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam razoavelmente um conjunto de dados.

• Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário respeitar todos os pontos.

• A idéia é minimizar os erros com uma função simples.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25

Ajuste – exemplo em simulação

• Relação entre largura de um rio e área de drenagem obtida a partir de seções transversais em locais de postos fluviométricos da ANA na bacia do rio Taquari-Antas

• Utilizada para calcular os parâmetros do modelo Muskingum Cunge em locais sem dados.

Ajuste de equações

0.4106baciario A3.2466 B

0

50

100

150

200

250

300

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

Área da bacia (km2)

Larg

ura

do r

io (

m)

Ajuste – exemplo em simulação

• Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma equação pré-determinada aos dados de medição de vazão.

Ajuste de equações

Derivadas numéricas

• Considerando que a definição de derivada é:

• quando dt vai a zero.• Então é intuitivo

considerar uma aproximação para a derivada utilizando um dt pequeno.

t

v

dt

dv

lim

Derivadas numéricas

dt

dv

t

v

t

v

Erros de truncamento

• As derivadas numéricas são apenas uma aproximação razoável das derivadas analíticas.

Derivadas numéricas

t

f

dt

df

• É possível avaliar o erro cometido nesta aproximação utilizando as séries de Taylor

Séries de Taylor

• A série de Taylor permite estimar o valor de uma função num ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo.

Derivadas numéricas

Rnhxf

hxf

hxfxfxf iiiii

...

!3

)(

!2

)()()()( 32

1

• Onde h é a diferença entre xi+1 e xi.

• A série de Taylor é infinita.• A aproximação da derivada numérica é finita

Séries de Taylor

• O resto

Rnhxf

hxf

hxfxfxf iiiii

...

!3

)(

!2

)()()()( 32

1

Derivadas numéricas

11

)!1(

)(

nn

hn

fRn

O resto é dado por

Onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 eé um valor entre xi+1 e xi

Séries de Taylor

Derivadas numéricas

11

)!1(

)(

nn

hn

fRn

A magnitude do valor do resto é da ordem de hn+1

Séries de Taylor e derivadas

Rnhxf

hxf

hxfxfxf iiiii

...

!3

)(

!2

)()()()( 32

1

Rnhxfxfxf iii ...)()()( 1

Derivadas numéricas

h

Rn

h

xfxfxf iii

)()(

)( 1

Por isso a derivada numérica é apenas uma aproximação, com erroDe truncamente dado por Rn/h

Séries de Taylor e derivadas

h

Rn

h

xfxfxf iii

)()(

)( 1

Derivadas numéricas

O valor do erro Rn/h é da ordem de h, por isso pode-se expressar

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf iii

Onde O(h) é um erro da ordem de h. Isto significa que quanto menoro passo (incremento), menor o erro da aproximação.

Erros de arredondamento

Derivadas numéricas

Erros de arredondamento ocorrem porque o computador utiliza uma representação binária com um número finito de bytes pararepresentar os números reais.

Erros – compromisso entre truncamento e arredondamento

Derivadas numéricas

arredondamento

truncamento

totalerro

Incremento

Tipos de derivadas numéricas

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf iii

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf iii

Derivadas numéricas

)(2

)()()( 211 hO

h

xfxfxf iii

Progressivaforward

Regressivabackward

CentradaCentered

Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da derivada numérica centrada é menor do que os outros.

Derivadas numéricas

t

vregressiva

analítica

progressiva

Derivadas numéricas

t

vregressiva

analítica

progressiva

centrada

Derivadas numéricas

Exemplo derivada numérica

• A celeridade cinemática de propagação de perturbações no escoamento é calculada por:

• onde c é a celeridade, Q é a vazão e A é a área da seção transversal

dA

dQc

Derivadas numéricas

Exemplo derivada numérica

• Considerando uma seção prismática regular: dA

dQc

n

SRAQ

21

32

hdh

dAdh

dQc

Derivadas numéricas

Exemplo derivada numérica

• Considerando uma seção prismática regular: dA

dQc

n

SRAQ

21

32

hdh

dAdh

dQc

h

AAh

QQ

chhh

hhh

Derivadas numéricas

Exemplo derivada numérica• Considerando uma seção qualquer

dA

dQc

n

SRAQ

21

32

dhdA

dhdQ

c

h

AAh

QQ

chhh

hhh

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

h

Tabelas deA; R e Q em função de h

interpolação

Integração numérica

• Os problemas de integração numérica surgem, por exemplo, quando é necessário obter informações de área molhada e raio hidráulico de uma seção transversal de um rio, definida por pares de pontos x e y.

• Também surgem quando é necessário discretizar uma função analítica contínua, de forma que sua área seja mantida.

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

Integração numérica

Integração numérica

Itegração numérica

• Aproximar pontos sucessivos por polinômio simples e integrar polinômio.

• Caso mais simples: polinômio de grau 1 = reta = integração por trapézios

Integração numérica

Regra trapezoidal

x

f(x)

a b

f(b)

f(a)

2ba ff

abI

Aproxima área sob a curva pela área do trapézio

Integração numérica

Regra trapezoidal

x

f(x)

a b

f(b)

f(a)

2ba ff

abI

Aproxima área sob a curva pela área do trapézio

ERRO!

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

Integração numérica

• Exemplo hidrograma unitário derivado do reservatório linear simples.

• Gráfico corresponde a• K=5 dias

• Dt =1 dia

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20 25 30 35

Integração numérica

k

t

ek

t

1

)(

• Exemplo hidrograma unitário derivado do reservatório linear simples.

• Aproximação discreta de função contínua, mantendo a mesma área.

• Representação discreta mais apropriada para programar modelos matemáticos em computadores

Integração numérica

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20 25 30 35

Raízes de equações

• Em recursos hídricos surgem muitas equações de difícil solução analítica, com termos implícitos e não lineares.

• Métodos numéricos são úteis para este tipo de problema.

Métodos numéricos para encontrar raízes de equações

• Bissecção

• Falsa posição

• Newton-Raphson

• Secantes

Raízes de equações

f(x)

x

raiz

Método de bissecção

• No método de bissecção é necessário fornecer duas estimativas iniciais de valor de x que “cercam” a raiz.

• Dadas as duas estimativas iniciais xu e xl, uma primeira estimativa para a raiz é dada por:

Raízes de equações

2lu

r

xxx

Método de bissecção

Raízes de equações

F(x)

x

Método de bissecção

Raízes de equações

2lu

r

xxx

F(x)

x

Supõe-se que a raiz esteja exatamenteentre xu e xl

Método de bissecção

Raízes de equações

2lu

r

xxx

F(x)

x

Se f(xr).f(xl) negativo, entãoBusca entre xr e xl

Se não, busca entre xr e xu

Método de bissecção

Raízes de equações

2lu

r

xxx

F(x)

x

Busca entre xr e xu

Busca termina de acordoCom critério de parada

Método de bissecção

• Critérios de parada– Incremento de x menor que limite dado– Diferença entre f(x) no ponto testado e zero é

menor que limite dado

Raízes de equações

Método de falsa posição

Raízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos

Método de falsa posição

Raízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos

Método de falsa posição

Raízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos

Método de falsa posição

Raízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos

• Bissecção e falsa posição sempre encontram a raiz, mas podem ser demorados

• Além disso, exigem que sejam dadas duas tentativas iniciais com sinais contrários da função

Raízes de equações

Método de Newton-Raphson

Raízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicial

Método de Newton-Raphson

Raízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicialderivada

Método de Newton-Raphson

Raízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicialderivada

Método de Newton-Raphson

Raízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

derivada

Método de Newton-Raphson

Raízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Método de Newton-Raphson

• Novamente a série de Taylor

Rnhxf

hxf

hxfxfxf iiiii

...

!3

)(

!2

)()()()( 32

1

Raízes de equações

iiiii xxxfxfxf 11 )()()(

ii xxh 1se então

Método de Newton-Raphson

• Novamente a série de Taylor

iiiii xxxfxfxf 11 )()()(

Raízes de equações

0)( 1 ixfSupondo que (xi+1 é a raiz)

)(

)(1

i

iii xf

xfxx

Problemas do método de Newton-Raphson

• É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz

Raízes de equações

x

Problemas do método de Newton-Raphson

• É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz

Raízes de equações

x

Método das Secantes

• Um possível problema do método de Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.

• Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.

Raízes de equações

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(

Método das Secantes• Um possível problema do método de Newton-

Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.

• Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(

Raízes de equações

f(x)

xTentativa inicial

secante

)()(

)(

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Método das Secantes

Raízes de equações

f(x)

xTentativa inicial

secante

)()(

)(

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Comparação de métodos

• Newton-Raphson é mais rápido, seguido do método das secantes, da falsa posição e finalmente bissecção.

• Newton-Raphson e Secantes podem divergir.

• Secantes pode ser aplicado para funções em que é difícil obter derivadas (comuns em simulação hidrológica).

Raízes de equações

Exemplo

• Calcule o nível da água h se:

n

SRAQ

21

32

Raízes de equações

h

Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 m

B

0)(2

13

2

n

SRAQhG

Exemplo

• Calcule o nível da água h se:

n

SRAQ

21

32

Raízes de equações

h

B

Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 mm=1,5

m

1

0)(2

13

2

n

SRAQhG

Exemplo

• Calcule a vazão de um vertedor

Raízes de equações

2

3

22

2

2

gLh

QhLCQ

h g=9,81 m/s2

H=20 cmL=10 mC=2

Exemplo

• Calcule o nível h para uma dada vazão Q

Raízes de equações

n

SRAQ

21

32

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

h

Tabelas deA; R e Q em função de h

Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02

0)(2

13

2

n

SRAQhG

Simples busca e interpolação da tabela

Exemplo

• O balanço hídrico de um reservatório é descrito pela equação da continuidade

• onde S é o volume armazenado; I a vazão de entrada e Q a vazão de saída

QIdt

dS

Raízes de equações

02)(

)(

)(22

111

111

tttttt hhhhhh

tttttt

IIQQtSShG

hfQ

hfS

QQII

t

SS

Deve ser resolvida a cada intervalo de tempo!

Exemplo• O balanço hídrico de um reservatório é

descrito pela equação da continuidade• onde S é o volume armazenado; I a vazão de

entrada e Q a vazão de saída

QIdt

dS

Raízes de equações

02)(

)(

)(22

111

111

tttttt hhhhhh

tttttt

IIQQtSShG

hfQ

hfS

QQII

t

SS

Deve ser resolvida a cada intervalo de tempo!

)()(

)(

1

11

ii

iiiii hGhG

hhhGhh

Usando secantes:

Para quando G é suficientemente próxima de zero, ou quando hi+1-hi for menor que valor arbitrado

Outro exemplo: balanço hídrico de reservatório com vertedor

)(

)(

)(

hgV

hfO

tfI

OIdt

dV

Raízes de equações

Equação de vertedor

)(

)(

)(

hgV

hfO

tfI

OIdt

dV

2/3shhLCQ

Raízes de equações

Supondo um reservatório

2

3020030200

3020030200

30200

2/32/313856,03856,011

3856,03856,011

3856,0

st

sttttt

tttt

hhLChhLCI

t

hhhh

t

hhhh

dt

dV

hhV

Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito?

Raízes de equações

Como encontrar raízes de equações implícitas

2

30200302002/32/313856,03856,011

st

sttttt hhLChhLC

It

hhhh

Método de bissecçãoMétodo de Newton-RaphsonMétodo das secantes

E se houver operação de comportas durante uma cheia?

Raízes de equações

Exemplo

• Na aplicação do método de Msukingum-Cunge para a simulação da propagação de vazão em rios, utiliza-se sub-trechos cujo comprimento ideal pode ser encontrado resolvendo a equação abaixo:

2,08,00

00

0 8,0 xtccSB

Qx

Raízes de equações

• Aplique considerando:• Q0=100 m3/s• c0=1,0 m/s• B = 30 m• S0=0,001 m/m t = 1 hora (3600 s)

00

05,2

cSB

Qx

Use a equação abaixo paraa estimativa inicial

Exemplo

• O escoamento em regime permanente em um rio pode ser descrito pela equação de remanso, aplicada trecho a trecho.

• Normalmente se conhece a condição de Q a montante e h a jusante (Q1 e hn).

• A equação pode ser resolvida para hn-1 usando um método como Newton-Raphson, ou das secantes, usando como tentativa inicial hn-1=hn+S.dx

Raízes de equações

Solver do Excel

• O solver pode ser utilizado para encontrar raízes de equações.

• Não está claro que método que Solver utiliza.• Chute inicial deve estar relativamente próximo da

raiz.

Raízes de equações

Sistemas de equações lineares

• Método de Gauss

• Método de Gauss Seidel

Eliminação de Gauss

Gauss-Seidel

• Método iterativo

iteraçãonovax

tentativax

cxBx

bxA

k

k

kk

_1

1

Gauss-Seidel

• Método iterativo

14103

125203

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

explicitar x1 na equação 1; x2 na equação 2 …

Sistemas de equações não-lineares

• Método de Newton– Equivalente ao método de Newton-Raphson

para raizes de equações

Relembrando o método de Newton-Raphson

F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicialderivada

Método de Newton para sistemas

• Novamente a série de Taylor

iiiii xxxfxfxf 11 )()()(

0)( 1 ixfSupondo que (xi+1 é o vetor solução)

Neste casoxi é um vetore f’ é a matriz Jacobiana

)()( ii xfxxf

ii xxx 1

onde

Estimativa inicial gera resto 1

11

111 , rBhQB jj

11

21

11

21

11 ,,, rChhQQC jjjj

11

21

11

21

11 ,,, rMhhQQM jjjj

21

31

21

31

22 ,,, rChhQQC jjjj

21

31

21

31

22 ,,, rMhhQQM jjjj

111

111

11 ,,,

NjN

jN

jN

jNN rChhQQC

111

111

11 ,,,

NjN

jN

jN

jNN rMhhQQM

NjN

jNN rBhQB 11,

Cada equação terá restoprovavelmente diferentede zero.

A matriz Jacobiana

• A Matriz Jacobiana é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de um conjunto de equações.

Exemplo: sejam as funções

A matriz Jacobiana é

1111

111

1

1 rBhh

BQ

Q

Bjj

0,,, 12

11

12

111 jjjj hhQQC

0,,, 12

11

12

111 jjjj hhQQM

0,,, 13

12

13

122 jjjj hhQQC

0,,, 13

12

13

122 jjjj hhQQM

0,,, 111

1111

jN

jN

jN

jNN hhQQC

0,,, 111

1111

jN

jN

jN

jNN hhQQM

0, 11 jN

jNN hQB

0, 11

111 jj hQB

1212

121

2

111

1

111

1

1 rChh

CQ

Q

Ch

h

CQ

Q

Cjjjj

e assim por diantepara as outras equações

resto

Expansão em série de Taylor

Novo sistema de equações

Novo sistema de equações

Novo sistema de equações

Novo sistema de equações

Novo sistema de equações

Nova tentativa

• Resolvendo o sistema para os Q e h, as novas tentativas são:

ik

jik

ji

ikjik

ji

hhh

QQQ

11

1

11

1

Nova tentativa - cuidadosa

• Resolvendo o sistema para os Q e h, as novas tentativas são:

ik

jik

ji

ikjik

ji

hhh

QQQ

1

11

11

1

usando menor do que 1 (como 0,4 por exemplo)encontra solução mais lentamente mas o método dificilmente diverge

Jacobiano• Os elementos da matriz Jacobiana podem

ser calculados a partir de derivadas parciais analíticas ou numéricas.

Solução de equações diferenciais

• Problemas em engenharia, especialmente os variáveis no tempo, são descritos por equações diferenciais.

Modelo matemático

• Modelo = Representar a realidade de maneira simplificada.

• Modelo matemático = representar a realidade de maneira simplificada por equações.

• F = k . x (força de uma mola)

Modelos hidrodinâmicos

0qt

A

x

Q

0Sx

hAg

A

Q

xt

Qf

2

Modelo unidimensional

Modelos hidrodinâmicos

2

2

2

2

hcx y

u

x

uAvu

x

zg

y

uv

x

uu

t

u

2

2

2

2

hcy y

v

x

vAuv

y

zg

y

vv

x

vu

t

v

0

y

vzh

x

uzh

t

z

Modelo bidimensional

Modelo simples

• Balanço hídrico num reservatório

OIdt

dV

Modelo simples

• Concentração num tanque fechado

ktecc

kcdt

dc

0

Métodos numéricos

• Modelos matemáticos mais complicados são analisados utilizando métodos numéricos.

• As equações de escoamento, por exemplo, não tem solução analítica.

Diferenças finitas

• Segue o princípio das derivadas numéricas.

• Derivadas são substituídas por diferenças.

• Equações diferenciais são substituídas por equações algébricas

Equações diferenciais

Diferenças finitas

• Esquemas numéricos– Derivadas numéricas podem ser progressivas,

regressivas, centradas.– Derivadas podem ter mais termos da série de

Taylor

Equações diferenciais

Problema

• Lago completamente misturado

• Volume = 1 milhão de m3

• Vazão de entrada e de saída = 1 m3/s

• C entrada = zero

• C inicial no lago = 10 mg/l

• Decaimento k = 0,1 1/dia

Equações diferenciais

Solução analítica

kV

Q

ecc t

0

Equações diferenciais

Solução numérica – método de Euler

cVkcQdt

dcV

t

cc

tt

cc

t

c

dt

dc tt

tt

tt

1

1

1

Equações diferenciais

Vazão de entrada de 1 m3/s

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25 30 35

Tempo (dias)

Con

cent

raçã

o no

lago

(m

g/l)

.

c analiticac euler

Equações diferenciais

Vazão de entrada = 5 m3/s

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25 30 35

Tempo (dias)

Con

cent

raçã

o no

lago

(m

g/l)

.

c analiticac euler

Equações diferenciais

Mais volume e menor k

0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80 100

Tempo (dias)

Con

cent

raçã

o (m

g/l)

. c analiticac euler

Soluções muito semelhantes

Equações diferenciais

Considerações

• A solução numérica apresenta erros em relação à solução analítica.

• Estes erros dependem das características do problema.

• No exemplo do lago misturado, quando a taxa de variação da concentração é muito grande, os erros aumentam.

Equações diferenciais

Problema do paraquedista

F = m.g

F = c.v

Equações diferenciais

Problema do paraquedista

F = m.g-c.v

Equações diferenciais

Problema do paraquedista

F = m.g-c.v

vcgmdt

dvdt

dva

amF

..

.

Equações diferenciais

Problema do paraquedista

F = m.g-c.v tvcgmvv

t

vv

dt

dv

vcgmdt

dv

tt

tt

1

1

Equações diferenciais

Problema do paraquedista

tvcgmvv

t

vv

dt

dv

vcgmdt

dv

ttt

tt

1

1

tm

ce

c

mgtv 1)(

Solução analítica

Equações diferenciais

Colocando números

• Massa do paraquedista m = 68,1 kg• Coeficiente de arrasto c = 12,5 kg/s• Aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2

Solução analítica = tetv 18355,0139,53)(

Velocidade terminal = 53,39 m/s ou pouco mais de 192 km/h

Equações diferenciais

Problema da paraquedista em VBA Excel

Equações diferenciais

Problema da paraquedista em VBA Excel

Equações diferenciais

Solução analítica x solução numérica

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

Passo de tempo = 1 s tvcgmvv ttt 1

Equações diferenciais

Solução analítica x solução numérica

Passo de tempo = 2 s

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

tvcgmvv ttt 1

Equações diferenciais

Solução analítica x solução numérica

Passo de tempo = 4 s

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

velo

cidad

e (k

m/h

)

.

tvcgmvv ttt 1

Equações diferenciais

Solução analítica x solução numérica

Passo de tempo = 6 s

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

tvcgmvv ttt 1

Equações diferenciais

Solução analítica x solução numérica

Passo de tempo = 8 s

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

tvcgmvv ttt 1

Equações diferenciais

Solução analítica x solução numérica

tvcgmvv ttt 1

Passo de tempo = 10.9 s

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

Equações diferenciais

Problemas com métodos numéricos

• A estabilidade da solução depende dos incrementos de cálculo (discretização temporal e espacial)

• Os erros da solução dependem da discretização.

• No exemplo analisado, quanto menor o Dt, menor o erro.

Equações diferenciais

Solução implícita

2

)(

1

1

11

1

21

21

ttt

ttt

ttt

ttt

vvv

tvcgmvv

tvcgmvv

tvcgmvv

Equações diferenciais

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

tvv

cgmvv

tvcgmvv

tvcgmvv

tttt

ttt

ttt

2

)( 11

11

1

Passo de tempo de 4 s

Equações diferenciais

tvv

cgmvv

tvcgmvv

tttt

ttt

2

)( 11

1

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

Passo de tempo de 6 s

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(k

m/h

)

.

Equações diferenciais

Considerações

• Os erros dependem do esquema numérico que está sendo utilizado.

• Alguns esquemas numéricos reduzem os problemas de instabilidade.

Equações diferenciais

Solução implícita

21

2

221

22

2

)(

2

)(

1

1

11

11

11

tc

tv

ctgmvv

tv

ctgmvtc

v

tv

ctgmvtv

cv

tgmvtvv

cv

tvv

cgmvv

tt

t

ttt

tt

tt

ttt

t

tttt

Equações diferenciais

O que fazer quando não é possível a manipulação algébrica para explicitar o termo buscado?

tvv

cgmvvtt

tt

2/111

2

)(

2/1vcgmdt

dv

Exemplo: arrasto modificado

Equações diferenciais

O que fazer quando não é possível a manipulação algébrica para explicitar o termo buscado?

tvv

cgmvvtt

tt

2/111

2

)(

2/1vcgmdt

dv

Exemplo: arrasto modificado

Equações diferenciais

02

)( 1

2/111

t

tttt vt

vvcgmvvF

Solução: a cada passo de tempo encontrar raiz da equação usandométodo numérico (por exemplo Newton-Raphson)

Exemplo

• Um balde com um furo na sua parte inferior escoa uma vazão que pode ser estimada como:

• O balde tem um formato de tronco de cone com diâmetro de 25 cm na base e 35 cm no topo, e uma altura total de 40 cm.

• Considerando que o nível da água inicial é de 38 cm, simule o esvaziamento do balde até atingir o nível 5 cm.

22

3

1rrRRhVolume

r

Rhg2ACQ

Solução de equações diferenciais parciais

Diferenças finitas

• Considere a equação diferencial:

• Utilizando um esquema com derivada numérica centrada no espaço e explícito:

0

x

UV

t

U

02

111

x

UUV

t

UU ti

tit

i

ti

ti

Equações diferenciais parciais

Esquemas numéricos

Equações diferenciais parciais

x

t

t

t+1

t-1

i-1 i+1i

Informação conhecida

Informação desconhecida

Esquemas numéricos

Equações diferenciais parciais

x

t

t

t+1

t-1

i-1 i+1i

Informação conhecida

Informação desconhecida

x

UU

x

U ti

ti

1

Esquemas numéricos

Equações diferenciais parciais

x

t

t

t+1

t-1

i-1 i+1i

Informação conhecida

Informação desconhecida

x

UU

x

U ti

ti

211

Esquemas numéricos

Equações diferenciais parciais

x

t

t

t+1

t-1

i-1 i+1i

Informação conhecida

Informação desconhecida

x

UU

x

U ti

ti

1

Esquemas numéricos

Equações diferenciais parciais

x

t

t

t+1

t-1

i-1 i+1i

Informação conhecida

Informação desconhecida

011

x

UUV

t

UU ti

tit

i

ti

ti

Esquemas numéricos

Equações diferenciais parciais

x

t

t

t+1

t-1

i-1 i+1i

Informação conhecida

Informação desconhecida

0!

111

x

UUV

t

UU ti

tit

i

ti

ti

Esquemas numéricos

Equações diferenciais parciais

x

t

t

t+1

t-1

i-1 i+1i

Informação conhecida

Informação desconhecida

01 111

11

x

UU

x

UUV

t

UU ti

ti

ti

tit

i

ti

ti

Equação de transporte simplificada

)k(Sx

)CuA(

t

)CA(

1t1i

ti

ti

t1i

t1i

1ti

1ti

1t1i

1t1i

t1i

t1i

1t1i

1t1i Sk

x

CQCQ1

x

CQCQ

t

CACA

Equações diferenciais parciais

Modelo hidrodinâmico de rios0q

t

A

x

Q

0Sx

hAg

A

Q

xt

Qf

2

34

RA

QQnS

2

2

f

t2

ZZZZ

t

Zj

1iji

1j1i

1ji

i

ji

j1i

i

1ji

1j1i

x

ZZ1

x

ZZ

x

Z

2

ZZ1

2

ZZZ

ji

j1i

1ji

1j1i

x

t

i i+1

t+1

t

Equações diferenciais parciais

Modelo hidrodinâmico de rios

0

2

qq

t2

AAAA

x

QQ1

x

QQ ji

1ji

j1i

ji

1j1i

1ji

i

ji

j1i

i

1ji

1j1i

0SxhhAgA

Q

A

Q1

SxhhAgA

Q

A

Q

t2

QQQQx

jfi

ji

j1i

jj

i

2j

1i

2

1jfi

1ji

1j1i

1j1j

i

21j

1i

2

j1i

ji

1j1i

1ji

i

1ii AA5.0A 1ii RR5.0R 3

4RA

QQnS

2

2

f

Equações diferenciais parciais

Equações de degrau

0QQQ tom1j1i

1ji

0A

Q

A

Q

2

1K

Q

QAhhAg

A

Q

A

Q2

i

1j1i

2

1i

1j1i

E1j1i

1j1i1j

i1j1i

i

21j1i

1i

21j1i

Equações diferenciais parciais

Equações de comporta

0QQQ tom1j1i

1ji

0211

hgACQ ji

Equações diferenciais parciais

Reservatório

0hht

AQQQ1QQ j

1i1j1i

srtom

j1i

ji

1j1i

1ji

0hh j1i

1j1i

Equações diferenciais parciais

Estações de bombeamento

0QQ 1j1i

1ji

0Hn,...,2H,1H,tQQ 1ji

Equações diferenciais parciais

Equação de transporte utilizada pelo QUAL2E

CK

xA

CuA

xAxC

EA

t

C

zCgCfCe

xV

CCEA

xV

CCEA

xA

xC

EA

xA

CQCQ

xA

CQ

xA

CuA

t

CC

t

C

1n1i

1ni

1n1i

i

1ni

1n1i

i

1ni

1n1i

1ni

1ni

1n1i

1n1i

ni

1ni

i-1 i i+1

Equações diferenciais parciais

Equação de transporte utilizada pelo QUAL2E

zCgCfCe 1n1i

1ni

1n1i

i-1 i i+1

Aplicação em todos os subtrechos resulta num sistema deequações tridiagonal

Equações diferenciais parciais

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1010

999

888

777

666

555

444

333

222

11

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

fe

gfe

gfe

gfe

gfe

gfe

gfe

gfe

gfe

gf

Coeficientes que multiplicam valores de C no tempo n+1Valores que dependem de C no tempo n

Equações diferenciais parciais

Leituras adicionais

• Capítulo livro Modelos Hidrológicos

• Livro Alejandro Métodos Numéricos

• Numerical Recipes in FORTRAN

• Numerical Methods for Engineers (Chapra)