Equação Dos 3M

VIGAS CONTÍNUAS

�EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANI SMO

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

�EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS

Para EI constante por trechos

Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira

2015

Equação dos três momentos

Conceitos preliminares

1) Deslocamento ampliado (não tem significado físico)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Adota-se para o problema uma constante arbitrária EcIc

Equação dos três momentos

δ = EC·IC· δ�

Deslocamento DeslocamentoAmpliado Verdadeiro

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Obs → Só para ficar mais cômodo as contas....

Equação dos três momentos

2) Vão reduzido, ou comprimento fictício ou

índice de flexibilidade ( Lk´ )(não tem significado físico – puramente

matemático)matemático)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Lk´=

Ec·IcEIK

·Lk

Equação dos três momentos

Onde:Lk → Comprimento verdadeiro de uma barra qualquer k

EIk → Produto de rigidez de uma qualquer k

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

EIk → Produto de rigidez de uma qualquer k

EcIc → Produto de rigidez arbitrário adotado

Equação dos três momentos

3) Fatores de carga

É uma entidade puramente matemática (uma relação entre os fatores de forma)

Relacionada com o carregamento sobre a barra.

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Equação dos três momentosEquação dos três momentos

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Equação dos três momentos

A equação dos três momentos é uma especialização da aplicação do processo dos

esforços em vigas contínuas, adotando-se como esforços em vigas contínuas, adotando-se como incógnitas os momentos sobre os apoios

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Equação dos três momentos

Equação dos três momentos

Para EI constante por trechos

Roteiro de cálculo

a) Determine o Grau de hiperestaticidade da viga → GH

b) Numeração das barras e nós

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Equação dos três momentos

• O nó começa a numerar à partir do zero

• A barra começa a numerar à partir do um

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Equação dos três momentos

c) Equação dos 3M para EI constante por trechos (aplicar n vezes, onde n=GH)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

Equação dos três momentos

Para um estrutura GH=1

L’ M + 2(L’ +L’ )M + L’ M = - (DL’ + E L’ )

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’1M 1-1+2(L’

1+L’1+1)M 1+L’

1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L

’1+1)

Aplica-se a equação 3M uma vez → i = 1

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2)

Equação dos três momentos

Para um estrutura GH=2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L i M i-1 + 2(L i+L i+1)M i + L i+1M i+1 = - (DiL i + Ei+1L i+1)

L’1M 1-1+2(L’

1+L’1+1)M 1+L’

1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L

’1+1)

Aplica-se a equação 3M DUAS vezes → i = 1

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2)

Equação dos três momentos

→ i = 2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’2M 2-1+2(L’

2+L’2+1)M 2+L’

2+1M 2+1= - (D2L’2+E2+1L

’2+1)

L’2M 1+2(L’

2+L’3)M 2+L’

3M 3= - (D2L’2+E3L

’3)

Equação dos três momentos

Para um estrutura GH=3

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L i M i-1 + 2(L i+L i+1)M i + L i+1M i+1 = - (DiL i + Ei+1L i+1)

L’1M 1-1+2(L’

1+L’1+1)M 1+L’

1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L

’1+1)

Aplica-se a equação 3M TRÊS vezes → i = 1

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2)

Equação dos três momentos

→ i = 2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’2M 2-1+2(L’

2+L’2+1)M 2+L’

2+1M 2+1= - (D2L’2+E2+1L

’2+1)

L’2M 1+2(L’

2+L’3)M 2+L’

3M 3= - (D2L’2+E3L

’3)

Equação dos três momentos

→ i = 3

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’3M 3-1+2(L’

3+L’3+1)M 3+L’

3+1M 3+1= - (D3L’3+E3+1L

’3+1)

L’3M 2+2(L’

3+L’4)M 3+L’

4M 4= - (D3L’3+E4L

’4)

Equação dos três momentosGeneralizando:

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2) → i = 1

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ ) → i = 2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’2M 1+2(L’

2+L’3)M 2+L’

3M 3= - (D2L’2+E3L

’3) → i = 2

L’3M 2+2(L’

3+L’4)M 3+L’

4M 4= - (D3L’3+E4L

’4) → i = 3

L’4M 3+2(L’

4+L’5)M 4+L’

5M 5= - (D4L’4+E5L

’5) → i = 4

Equação dos três momentos

d) Defina os momentos fletores

•Mo → Momento no nó zero;

•M1 → Momento no nó um;

•M2 → Momento no nó dois;•M2 → Momento no nó dois;

•M3 → Momento no nó três;

•M4 → Momento no nó quatro;

Assim por diante...

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Equação dos três momentos

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Equação dos três momentos

e) Vão Reduzido => Adotar E cIc

Lk´=

Ec·Ic·Lk

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Lk´= c c

EIK·Lk

Equação dos três momentos

f) Fatores de carga → Tabelado

g) Solução da equação dos 3M

h) Traçado dos diagramas M, V e Nh) Traçado dos diagramas M, V e N

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Equação dos três momentos

Casos especiais1) BalançoO momento no balanço é conhecido, pois

ele é isostático.

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ele é isostático.

Portanto, tira-se o balanço e coloca-se suas reações no nó a que ele pertence.

Equação dos três momentos

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Equação dos três momentos

Convenção usual de sinais para momento fletor:

�Quando a tração for nas fibras de baixo o �Quando a tração for nas fibras de baixo o momento é positivo

�Quando a tração for nas fibras de cima o momento é negativo

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Equação dos três momentos

2) Apoio de extremidade engastadoPara efeito de cálculo o engastamento deve

ser substituído por um tramo adicional bi-apoiado.

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bi-apoiado.No equacionamento o comprimento desse

tramo fictício deve tender a zero.Desse modo, a viga real e a viga de cálculo

terão a mesma elástica e, portanto, os mesmos esforços.

Equação dos três momentos

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Equação dos três momentos

Mesma elástica

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Equação dos três momentos

3) Momento concentrado aplicado sobre um apoio intermediário

Para efeito de cálculo, deve-se escorregar

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Para efeito de cálculo, deve-se escorregar M* para o tramo da direita ou para o tramo da esquerda.

Equação dos três momentos

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Equação dos três momentosEquação dos três momentos

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