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Equações Diferenciais
RessonânciaTiago Pereira
tiago@icmc.usp.br
ICMC
EDO’s com forçamento
Considere a EDO
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Ressonancia
Tiago Pereira
March 18, 2020
O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
2) + i!�
A melhor estrategia escrever B na forma polar
B = re
i✓
E relembrar que
r
2 = BB̄ & ✓ = tan�1 ImB
ReB
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EDO’s com forçamento
Considere a EDO
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Tiago Pereira
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O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
2) + i!�
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B = re
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Forçamento periódico
EDO’s com forçamento
Considere a EDO
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O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
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Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
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2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
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R L C
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O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
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B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
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Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
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Considere a EDO
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O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
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Qual é a amplitude de oscilação da resposta?
Truque: Utilizar a forma complexa
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March 18, 2020
O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
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Pela formula de Euler
Forma complexa
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O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
2) + i!�
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B = re
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E relembrar que
r
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Determinando a particular
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O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
2) + i!�
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Chutando
Determinando a particular
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O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
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B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
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Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
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B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
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r
2 = BB̄ & ✓ = tan�1 ImB
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Ressonancia
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O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
2) + i!�
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Obtemos
Voltando para a EDO
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Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
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e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
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Ressonancia
Tiago Pereira
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O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
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Originalmente
Substituindo xp
Resolvendo
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Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
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B = re
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Passando para polares
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Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
2) + i!�
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B = re
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r
2 = BB̄ & ✓ = tan�1 ImB
ReB
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Ressonancia
Tiago Pereira
March 18, 2020
O fenonemo de resonancia ocorre quando um sistema que exibe oscilacoes amortecidasforcado periodicamente. A resposta do sistema pelo forcamente depende a frequencia doforcamente. Aqui temos duas possibilidades interessantes. O sistema ”ignora” o forcamentose desenvolve oscilacoes com amplitudes desprezivel. Ou absorve a energia do forcamentode maneira otima. Neste caso dizemos que o sistema esta em ressonancia.
Considere a EDO
x
00 + �x
0 + !
20x = A0 sin!t
Relembre que a equacao caracteristicaO truque utilizar a formula da Euler
e
i!t = cos!t+ i sin!t
e resolver a EDO na forma complexa
x
00 + �x
0 + !
20x = A0e
i!t
Chutamos que a solucao da particular
xp(t) = Be
i!t ) x
0p(t) = i!Be
i!t ) x
00p(t) = �!
2Be
i!t
Substitutindo e ansatz na EDO obtemos
B(�!
2 + i!� + !
20) = A0 ) B =
A0
(!20 � !
2) + i!�
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B = re
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r
2 = BB̄ & ✓ = tan�1 ImB
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Caso não homogêneo
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Determinando o r
r
2 =A0
(!20 � !
2) + i!�
A0
(!20 � !
2)� i!�
(1)
=A
20
(!20 � !
2)2 + �
2!
2(2)
Portanto
r =A0p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Donde temos
xp(t) = re
i(!t+✓)
Como a solucao da EDO a parte imaginaria temos
xp(t) = r sin(!t+ ✓)
O ganho em amplitude
g =r
A0
Nos diz quanta energia o sistema consegue obter do foramentoInspecionando obtemos
g(!) =1p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Vamos analisar o maximo valor de g em funcao de !. Para isso analisamos
dg
d!
=1
2
�4!(!20 � !
2) + 2!�2
[(!20 � !
2)2 + �
2!
2]3/2
Portanto o maximo atingido em
�4!(!20 � !
2) + 2!�2 = 0
Logo
! =
p!
20 + �
2
2
2
Finalmente
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Determinando o r
r
2 =A0
(!20 � !
2) + i!�
A0
(!20 � !
2)� i!�
(1)
=A
20
(!20 � !
2)2 + �
2!
2(2)
Portanto
r =A0p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Donde temos
xp(t) = re
i(!t+✓)
Como a solucao da EDO a parte imaginaria temos
xp(t) = r sin(!t+ ✓)
O ganho em amplitude
g =r
A0
Nos diz quanta energia o sistema consegue obter do foramentoInspecionando obtemos
g(!) =1p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Vamos analisar o maximo valor de g em funcao de !. Para isso analisamos
dg
d!
=1
2
�4!(!20 � !
2) + 2!�2
[(!20 � !
2)2 + �
2!
2]3/2
Portanto o maximo atingido em
�4!(!20 � !
2) + 2!�2 = 0
Logo
! =
p!
20 + �
2
2
2
Tomando apenas a parte Im
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Determinando o r
r
2 =A0
(!20 � !
2) + i!�
A0
(!20 � !
2)� i!�
(1)
=A
20
(!20 � !
2)2 + �
2!
2(2)
Portanto
r =A0p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Donde temos
xp(t) = re
i(!t+✓)
Como a solucao da EDO a parte imaginaria temos
xp(t) = r sin(!t+ ✓)
O ganho em amplitude
g =r
A0
Nos diz quanta energia o sistema consegue obter do foramentoInspecionando obtemos
g(!) =1p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Vamos analisar o maximo valor de g em funcao de !. Para isso analisamos
dg
d!
=1
2
�4!(!20 � !
2) + 2!�2
[(!20 � !
2)2 + �
2!
2]3/2
Portanto o maximo atingido em
�4!(!20 � !
2) + 2!�2 = 0
Logo
! =
p!
20 + �
2
2
2
Comparando forçamento e Solução
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Comparando forçamento e Solução
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
defasagem
Comparando forçamento e Solução
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Nova Amplitude
Ganho em amplitude
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
g(!) =r(!)
A0
<latexit sha1_base64="TjO77YGD0fbLVuqHrOwzmyY7JYg=">AAACCnicbVDLSsNAFJ3UV62vqEs3o0Wom5JIQTdC1Y3LCvYBTQiT6SQdOpOEmYlQQtZu/BU3LhRx6xe482+cthG09cCFwzn3cu89fsKoVJb1ZZSWlldW18rrlY3Nre0dc3evI+NUYNLGMYtFz0eSMBqRtqKKkV4iCOI+I11/dD3xu/dESBpHd2qcEJejMKIBxUhpyTMPw5oTcxKiE3gBnUAgnIkfJc8uPSv3zKpVt6aAi8QuSBUUaHnmpzOIccpJpDBDUvZtK1FuhoSimJG84qSSJAiPUEj6mkaIE+lm01dyeKyVAQxioStScKr+nsgQl3LMfd3JkRrKeW8i/uf1UxWcuxmNklSRCM8WBSmDKoaTXOCACoIVG2uCsKD6VoiHSOehdHoVHYI9//Ii6ZzW7Ua9cduoNq+KOMrgAByBGrDBGWiCG9ACbYDBA3gCL+DVeDSejTfjfdZaMoqZffAHxsc3ZfWZdg==</latexit>
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
0
5
10
1 2 3
!0 = 1
<latexit sha1_base64="uiuAaPKSssA5W5o+ltdm94LmqSQ=">AAAB83icbVDLSgNBEJz1GeMr6tHLYBA8hV0J6EUIevEYwTwgu4TZSW8yZB7LzKwQlvyGFw+KePVnvPk3TpI9aGJBQ1HVTXdXnHJmrO9/e2vrG5tb26Wd8u7e/sFh5ei4bVSmKbSo4kp3Y2KAMwktyyyHbqqBiJhDJx7fzfzOE2jDlHy0kxQiQYaSJYwS66QwVAKGpO/jGxz0K1W/5s+BV0lQkCoq0OxXvsKBopkAaSknxvQCP7VRTrRllMO0HGYGUkLHZAg9RyURYKJ8fvMUnztlgBOlXUmL5+rviZwIYyYidp2C2JFZ9mbif14vs8l1lDOZZhYkXSxKMo6twrMA8IBpoJZPHCFUM3crpiOiCbUuprILIVh+eZW0L2tBvVZ/qFcbt0UcJXSKztAFCtAVaqB71EQtRFGKntErevMy78V79z4WrWteMXOC/sD7/AFivZCb</latexit>
� = 0.1
<latexit sha1_base64="sfvrpSL44xZvJ5S1SWazk9HLhkE=">AAAB83icbVBNS8NAEJ34WetX1aOXxSJ4KokU9CIUvXisYD+gCWWy3bRLd5OwuxFK6N/w4kERr/4Zb/4bt20O2vpg4PHeDDPzwlRwbVz321lb39jc2i7tlHf39g8OK0fHbZ1kirIWTUSiuiFqJnjMWoYbwbqpYihDwTrh+G7md56Y0jyJH80kZYHEYcwjTtFYyfeHKCWSG+LWvH6l6tbcOcgq8QpShQLNfuXLHyQ0kyw2VKDWPc9NTZCjMpwKNi37mWYp0jEOWc/SGCXTQT6/eUrOrTIgUaJsxYbM1d8TOUqtJzK0nRLNSC97M/E/r5eZ6DrIeZxmhsV0sSjKBDEJmQVABlwxasTEEqSK21sJHaFCamxMZRuCt/zyKmlf1rx6rf5QrzZuizhKcApncAEeXEED7qEJLaCQwjO8wpuTOS/Ou/OxaF1zipkT+APn8wcN/JBk</latexit>
Ganho em amplitude
g
<latexit sha1_base64="SE/C+UXb2dfRF1y6jJlR+hjF/H0=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0mkoMeiF48t2A9oQ9lsJ+3azSbsboQS+gu8eFDEqz/Jm//GbZuDtj4YeLw3w8y8IBFcG9f9dgobm1vbO8Xd0t7+weFR+fikreNUMWyxWMSqG1CNgktsGW4EdhOFNAoEdoLJ3dzvPKHSPJYPZpqgH9GR5CFn1FipORqUK27VXYCsEy8nFcjRGJS/+sOYpRFKwwTVuue5ifEzqgxnAmelfqoxoWxCR9izVNIItZ8tDp2RC6sMSRgrW9KQhfp7IqOR1tMosJ0RNWO96s3F/7xeasIbP+MySQ1KtlwUpoKYmMy/JkOukBkxtYQyxe2thI2poszYbEo2BG/15XXSvqp6tWqtWavUb/M4inAG53AJHlxDHe6hAS1ggPAMr/DmPDovzrvzsWwtOPnMKfyB8/kDzruM8g==</latexit>
!
<latexit sha1_base64="d7KZX8l+HUff4JrmKwFLMt5hKnk=">AAAB7XicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV0J6DHoxWME84BkCbOTTjJmdmaZmRXCkn/w4kERr/6PN//GSbIHTSxoKKq66e6KEsGN9f1vb219Y3Nru7BT3N3bPzgsHR03jUo1wwZTQul2RA0KLrFhuRXYTjTSOBLYisa3M7/1hNpwJR/sJMEwpkPJB5xR66RmV8U4pL1S2a/4c5BVEuSkDDnqvdJXt69YGqO0TFBjOoGf2DCj2nImcFrspgYTysZ0iB1HJY3RhNn82ik5d0qfDJR2JS2Zq78nMhobM4kj1xlTOzLL3kz8z+ukdnAdZlwmqUXJFosGqSBWkdnrpM81MismjlCmubuVsBHVlFkXUNGFECy/vEqal5WgWqneV8u1mzyOApzCGVxAAFdQgzuoQwMYPMIzvMKbp7wX7937WLSuefnMCfyB9/kDknePIg==</latexit>
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
0
5
10
1 2 3
!0 = 1
<latexit sha1_base64="uiuAaPKSssA5W5o+ltdm94LmqSQ=">AAAB83icbVDLSgNBEJz1GeMr6tHLYBA8hV0J6EUIevEYwTwgu4TZSW8yZB7LzKwQlvyGFw+KePVnvPk3TpI9aGJBQ1HVTXdXnHJmrO9/e2vrG5tb26Wd8u7e/sFh5ei4bVSmKbSo4kp3Y2KAMwktyyyHbqqBiJhDJx7fzfzOE2jDlHy0kxQiQYaSJYwS66QwVAKGpO/jGxz0K1W/5s+BV0lQkCoq0OxXvsKBopkAaSknxvQCP7VRTrRllMO0HGYGUkLHZAg9RyURYKJ8fvMUnztlgBOlXUmL5+rviZwIYyYidp2C2JFZ9mbif14vs8l1lDOZZhYkXSxKMo6twrMA8IBpoJZPHCFUM3crpiOiCbUuprILIVh+eZW0L2tBvVZ/qFcbt0UcJXSKztAFCtAVaqB71EQtRFGKntErevMy78V79z4WrWteMXOC/sD7/AFivZCb</latexit>
� = 0.1
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Ganho em amplitude
!res
<latexit sha1_base64="dLKQYDWAG3zqVf65jB1EtCJFuSM=">AAAB+XicbVBNS8NAEN34WetX1KOXxSJ4KokU9Fj04rGC/YAmhM120i7dzYbdTaGE/hMvHhTx6j/x5r9x2+agrQ8GHu/NMDMvzjjTxvO+nY3Nre2d3cpedf/g8OjYPTntaJkrCm0quVS9mGjgLIW2YYZDL1NARMyhG4/v5353AkozmT6ZaQahIMOUJYwSY6XIdQMpYEiiIlACK9CzyK15dW8BvE78ktRQiVbkfgUDSXMBqaGcaN33vcyEBVGGUQ6zapBryAgdkyH0LU2JAB0Wi8tn+NIqA5xIZSs1eKH+niiI0HoqYtspiBnpVW8u/uf1c5PchgVLs9xASpeLkpxjI/E8BjxgCqjhU0sIVczeiumIKEKNDatqQ/BXX14nneu636g3Hhu15l0ZRwWdowt0hXx0g5roAbVQG1E0Qc/oFb05hfPivDsfy9YNp5w5Q3/gfP4Ar96Tsw==</latexit>
g(!res)
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g
<latexit sha1_base64="SE/C+UXb2dfRF1y6jJlR+hjF/H0=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0mkoMeiF48t2A9oQ9lsJ+3azSbsboQS+gu8eFDEqz/Jm//GbZuDtj4YeLw3w8y8IBFcG9f9dgobm1vbO8Xd0t7+weFR+fikreNUMWyxWMSqG1CNgktsGW4EdhOFNAoEdoLJ3dzvPKHSPJYPZpqgH9GR5CFn1FipORqUK27VXYCsEy8nFcjRGJS/+sOYpRFKwwTVuue5ifEzqgxnAmelfqoxoWxCR9izVNIItZ8tDp2RC6sMSRgrW9KQhfp7IqOR1tMosJ0RNWO96s3F/7xeasIbP+MySQ1KtlwUpoKYmMy/JkOukBkxtYQyxe2thI2poszYbEo2BG/15XXSvqp6tWqtWavUb/M4inAG53AJHlxDHe6hAS1ggPAMr/DmPDovzrvzsWwtOPnMKfyB8/kDzruM8g==</latexit>
!
<latexit sha1_base64="d7KZX8l+HUff4JrmKwFLMt5hKnk=">AAAB7XicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV0J6DHoxWME84BkCbOTTjJmdmaZmRXCkn/w4kERr/6PN//GSbIHTSxoKKq66e6KEsGN9f1vb219Y3Nru7BT3N3bPzgsHR03jUo1wwZTQul2RA0KLrFhuRXYTjTSOBLYisa3M7/1hNpwJR/sJMEwpkPJB5xR66RmV8U4pL1S2a/4c5BVEuSkDDnqvdJXt69YGqO0TFBjOoGf2DCj2nImcFrspgYTysZ0iB1HJY3RhNn82ik5d0qfDJR2JS2Zq78nMhobM4kj1xlTOzLL3kz8z+ukdnAdZlwmqUXJFosGqSBWkdnrpM81MismjlCmubuVsBHVlFkXUNGFECy/vEqal5WgWqneV8u1mzyOApzCGVxAAFdQgzuoQwMYPMIzvMKbp7wX7937WLSuefnMCfyB9/kDknePIg==</latexit>
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
0
5
10
1 2 3
Ganho em amplitude
Determinando o r
r
2 =A0
(!20 � !
2) + i!�
A0
(!20 � !
2)� i!�
(1)
=A
20
(!20 � !
2)2 + �
2!
2(2)
Portanto
r =A0p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Donde temos
xp(t) = re
i(!t+✓)
Como a solucao da EDO a parte imaginaria temos
xp(t) = r sin(!t+ ✓)
O ganho em amplitude
g =r
A0
Nos diz quanta energia o sistema consegue obter do foramentoInspecionando obtemos
g(!) =1p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Vamos analisar o maximo valor de g em funcao de !. Para isso analisamos
dg
d!
=1
2
�4!(!20 � !
2) + 2!�2
[(!20 � !
2)2 + �
2!
2]3/2
Portanto o maximo atingido em
�4!(!20 � !
2) + 2!�2 = 0
Logo
! =
p!
20 + �
2
2
2
Determinando o r
r
2 =A0
(!20 � !
2) + i!�
A0
(!20 � !
2)� i!�
(1)
=A
20
(!20 � !
2)2 + �
2!
2(2)
Portanto
r =A0p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Donde temos
xp(t) = re
i(!t+✓)
Como a solucao da EDO a parte imaginaria temos
xp(t) = r sin(!t+ ✓)
O ganho em amplitude
g =r
A0
Nos diz quanta energia o sistema consegue obter do foramentoInspecionando obtemos
g(!) =1p
(!20 � !
2)2 + �
2!
2
Vamos analisar o maximo valor de g em funcao de !. Para isso analisamos
dg
d!
=1
2
�4!(!20 � !
2) + 2!�2
[(!20 � !
2)2 + �
2!
2]3/2
Portanto o maximo atingido em
�4!(!20 � !
2) + 2!�2 = 0
Logo
! =
p!
20 + �
2
2
2
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
0
5
10
1 2 3
Ganho em amplitude
!res =
r!20 +
�2
2
<latexit sha1_base64="Qqxp4N9s8LjSr0+pMq9drn361Bc=">AAACInicbVBNS8NAEN34WetX1aOXxSIIQklKQT0IRS8eFawWmlom20ld3E3i7kYoIb/Fi3/FiwdFPQn+GLc1B7U+GHi8N8PMvCARXBvX/XCmpmdm5+ZLC+XFpeWV1cra+oWOU8WwxWIRq3YAGgWPsGW4EdhOFIIMBF4GN8cj//IOleZxdG6GCXYlDCIecgbGSr3KgR9LHEAv85WkCnVOD6mvb5XJCsO9qtNd6ocKWOYPQEq4qudZPc97lapbc8egk8QrSJUUOO1V3vx+zFKJkWECtO54bmK6GSjDmcC87KcaE2A3MMCOpRFI1N1s/GJOt63Sp2GsbEWGjtWfExlIrYcysJ0SzLX+643E/7xOasL9bsajJDUYse9FYSqoiekoL9rnCpkRQ0uAKW5vpewabBrGplq2IXh/X54kF/Wa16g1zhrV5lERR4lski2yQzyyR5rkhJySFmHknjySZ/LiPDhPzqvz/t065RQzG+QXnM8v3syj4A==</latexit>
-
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
0
5
10
1 2 3
Ganho em amplitudeg(!res) =
1q�
2!
20 +
�4
2
g(!res) =1
�!0
1q1 + �2
2!0
3
!0 = 1
<latexit sha1_base64="uiuAaPKSssA5W5o+ltdm94LmqSQ=">AAAB83icbVDLSgNBEJz1GeMr6tHLYBA8hV0J6EUIevEYwTwgu4TZSW8yZB7LzKwQlvyGFw+KePVnvPk3TpI9aGJBQ1HVTXdXnHJmrO9/e2vrG5tb26Wd8u7e/sFh5ei4bVSmKbSo4kp3Y2KAMwktyyyHbqqBiJhDJx7fzfzOE2jDlHy0kxQiQYaSJYwS66QwVAKGpO/jGxz0K1W/5s+BV0lQkCoq0OxXvsKBopkAaSknxvQCP7VRTrRllMO0HGYGUkLHZAg9RyURYKJ8fvMUnztlgBOlXUmL5+rviZwIYyYidp2C2JFZ9mbif14vs8l1lDOZZhYkXSxKMo6twrMA8IBpoJZPHCFUM3crpiOiCbUuprILIVh+eZW0L2tBvVZ/qFcbt0UcJXSKztAFCtAVaqB71EQtRFGKntErevMy78V79z4WrWteMXOC/sD7/AFivZCb</latexit>
� = 0.1
<latexit sha1_base64="sfvrpSL44xZvJ5S1SWazk9HLhkE=">AAAB83icbVBNS8NAEJ34WetX1aOXxSJ4KokU9CIUvXisYD+gCWWy3bRLd5OwuxFK6N/w4kERr/4Zb/4bt20O2vpg4PHeDDPzwlRwbVz321lb39jc2i7tlHf39g8OK0fHbZ1kirIWTUSiuiFqJnjMWoYbwbqpYihDwTrh+G7md56Y0jyJH80kZYHEYcwjTtFYyfeHKCWSG+LWvH6l6tbcOcgq8QpShQLNfuXLHyQ0kyw2VKDWPc9NTZCjMpwKNi37mWYp0jEOWc/SGCXTQT6/eUrOrTIgUaJsxYbM1d8TOUqtJzK0nRLNSC97M/E/r5eZ6DrIeZxmhsV0sSjKBDEJmQVABlwxasTEEqSK21sJHaFCamxMZRuCt/zyKmlf1rx6rf5QrzZuizhKcApncAEeXEED7qEJLaCQwjO8wpuTOS/Ou/OxaF1zipkT+APn8wcN/JBk</latexit>
No nosso caso
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
T
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Forçamento na ressonância
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Pequenas amplitudesgasto de energia
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
! ⇡ !0
<latexit sha1_base64="RevTbaQEQ+hO6eTuI1SiRwBmmmw=">AAACAHicbVC7SgNBFJ31GeNr1cLCZjAIVmFXAloGbSwjmAdkl2V2MpsMmRczs2IIafwVGwtFbP0MO//GSbKFJh64cOace5l7T6oYNTYIvr2V1bX1jc3SVnl7Z3dv3z84bBmZa0yaWDKpOykyhFFBmpZaRjpKE8RTRtrp8Gbqtx+INlSKeztSJOaoL2hGMbJOSvzjSHLSRzBCSmn5COfPJEj8SlANZoDLJCxIBRRoJP5X1JM450RYzJAx3TBQNh4jbSlmZFKOckMUwkPUJ11HBeLExOPZARN45pQezKR2JSycqb8nxogbM+Kp6+TIDsyiNxX/87q5za7iMRUqt0Tg+UdZzqCVcJoG7FFNsGUjRxDW1O0K8QBphK3LrOxCCBdPXiati2pYq9buapX6dRFHCZyAU3AOQnAJ6uAWNEATYDABz+AVvHlP3ov37n3MW1e8YuYI/IH3+QMyYZYn</latexit>
Aplicações da Ressonância
https://sites.icmc.usp.br/tiago/index.html/edo.html
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