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Modelação, Identificação e Controlo Digital 5-Controlo com técnicas polinomiais
J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo
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Equações Diofantinas
Considere-se a equação
�� �� �+ =
� � �� � polinómios conhecidos � �� polinómios desconhecidos
• Há soluções?
• Quantas soluções há para uma dada equação?
Em geral, a equação pode ser definida num anel (exs. anel dos inteiros, anel
dos polinómios)
Vamos começar com um exemplo no anel dos inteiros.
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Uma equação diofantina no anel dos inteiros
Quais são os valores de x e y (inteiros) que satisfazem:
� � �� �+ =
� �= =� � é uma solução.
Além disso, se � �� �� é uma solução, é possível gerar outras soluções por
� � � � � �= + = −� �� �
com � um inteiro arbitrário
De facto, todas as soluções são geradas deste modo.
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Exemplo: Uma equação diofantina sem soluções
� � �� �+ =
A não existência de soluções é devida ao facto de o máximo divisor comum
de 4 e 6 (que é 2) não dividir o segundo membro.
Este facto é geral.
Sempre par Número ímpar
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Divisão de Polinómios
Diz-se que o polinómio A divide o polinómio B, se existir um polinómio Q,
denominado "quociente" tal que:
� �=
Nem sempre é possível encontrar um Q que verifique isto, sendo em geral
� � = +
em que o polinómio R (denominado resto) verifica
∂ ∂ �<
e o símbolo ∂ representa o grau do polinómio.
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Divisão de polinómios: Exemplos
�������� � ++=++= ������ � � �� � = + �� += ���
O polinómio � é divisível por �� dado que para
�= +� �
tem-se
� � = �
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����� � ++ �� �+�
���� ��� � −−
��
O polinómio � não é divisível por �� . Para este, tem-se:
Portanto: �� � =
�� =�
e o polinómio A pode ser descrito como:
� � �= × +� � ��
� �
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Operadores ‘div’ e ‘mod’
Em polinómios, os operadores ‘div’ e ‘mod’ têm o seguinte significado:
A div B = quociente da divisão polinomial
A mod B = resto da divisão polinomial
No exemplo anterior temos: A div B1 = 5z+2; A div B2 = 5z
A mod B1 = 0; A mod B2 = 10
No caso geral, as seguintes igualdades são verdadeiras:
A = (A div B) B + A mod B
A/B = A div B + (A mod B)/B
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Máximo divisor comum
O máximo divisor comum dos polinómios � e � é um polinómio que divide
simultaneamente � e � e cujo grau é máximo.
Representa-se por � � � .
Por exemplo, dados os polinómios
� � � � � = + + +� � � � e � � � � � = + + −� � �
o máximo divisor comum é:
( )� � � �� = + +� �
O polinómio �+� também divide � e � mas o seu grau é inferior.
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Algoritmo de Euclides
Cálculo do máximo divisor comum entre polinómios.
Inicialização:
A0 = A
B0 = B
Iterar:
An+1 = Bn
Bn+1 = An mod Bn
Parar quando:
Bn+1 = 0
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Equações diofantinas com polinómios
A solução da equação em que A, B, C, X, Y são polinómios
�� �� �+ =
tem solução sse o máximo divisor comum de A e B dividir C.
Se A e B são coprimos (i. e. se não tiverem raízes comuns), então tem
solução (e.g. 1 divide C).
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Todas as soluções podem ser expressas por
� �� � � � � �= + = −
em que � � e �� verificam a equação (são denominadas uma solução
particular) e é um polinómio arbitrário.
Assim, há infinitas soluções para a equação diofantina AX+BY=C se A e B
não têm factores comuns. A solução será única se fôr imposta uma condição
no grau adequada.
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Soluções de ordem mínima (S.O.M)
A S.O.M para X obtém-se com: Q = -X0 div B
Assim, temos: X = X0 – (X0 div B) B = X0 mod B
E o ordem de X é: deg X = deg (X0 mod B) < deg B
(A S.O.M para Y obtém-se de forma análoga)
Assim considera-se a equação em que A e B não têm factores comuns:
�� �� �+ =
Há uma solução única que verifica a condição ∂ ∂� �<
ou, alternativamente ∂ ∂� �<
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Algoritmo de Euclides Extendido
����� =+ ��
Seja G o m.d.c entre A e B.
Se G divide C então podemos resolver o problema mais simples:
AX+BY = G , AU+BV = 0
Encontrando as soluções X, Y, U e V para este problema, as soluções do
problema completo podem ser calculadas através de (mostre!):
Solução Particular: X0 = XC div G, Y0 = YC div G
Solução Geral: X’ = X0 + QU, Y’ = Y0 + QV
Solução Mínima: Q= -X0 div U ou Q= -Y0 div V
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Para resolver o problema:
AX+BY = G (G escalar)
AU+BV = 0
Escrita Matricial:
� �
� � � �
� � � � � � � � � �
� � � � �
� �� � � � � �� � � �= � =� �� � � � � �� � � �
� �� � � � � �� � � �
A partir da matriz � �
� �
�
�
� �� �� �
utilizar operações elementares nas linhas
para chegar à matriz �
� � �
�
� �� �� �
, usando algoritmo de Euclides.
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De volta ao problema de colocação de pólos
Considere-se a equação diofantina que surge no posicionamento de pólos,
com possível cancelamento de zeros e termos adicionais em R e S:
� � � �� � � � � �−+ =
Tem solução se �� e �� �− não têm raízes comuns. Com efeito, neste caso
o seu máximo divisor comum é 1, que divide � �� � .
Para além disso, há uma solução única tal que
�� �∂ ∂< ∂ +
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No caso mais geral temos:
��� �∂ ∂= ∂ + − (1)
Neste caso, pode ainda mostrar-se que
� � � � � � ∂ ∂ ∂ ∂= + − − ∂ (2)
As factorizações de R e S conduzem a:
� �+∂ = ∂ + ∂ + ∂ (3)
�� � �∂ = ∂ + ∂ (4)
Considera-se o caso:
� � ∂ ∂= = ∂ (5)
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De (3) e (4), vem:
� � � � �+∂ + ∂ + ∂ = ∂ + ∂
Introduzindo (1) e (2), temos:
�� � � �� � � � � �∂ ∂ ∂ ∂++ − + ∂ = ∂ + − + ∂
Logo, conclui-se:
� �� � � �� � � � �∂ += ∂ − ∂ + ∂ + ∂ − − ∂
Esta equação dá-nos o grau mínimo de Ao para cumprir as restrições de
ordem tomadas.
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Algoritmo de projecto de colocação de pólos
Dados - Modelo do processo:
� �
� �
Especificações:
Modelo desejado para a cadeia fechada (modelo de referência):
� �
� �
�
�
(deve satisfazer ∂ ∂ ∂ ∂� � � �� �− ≥ − )
Componente desejada para o polinómio R: � �
Componente desejada para o polinómio S: �� �
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Pole Placement Design Algorithm (cont.)
1) Factorizar
� � �= + −
em que todos os zeros a cancelar, dados pelas raízes de �+ , devem estar
dentro do círculo unitário.
2) Calcular �� que satisfaz
� �� � �−=
3) Escolher �� que satisfaz a condição de causalidade
� �� � � �� � � � � ∂ ∂ ∂ ∂ +≥ − − + ∂ + ∂ −
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4) Calcular � �� � �=
5) Resolver a equação diofantina para obter os polinómios e � :
� � � �� � � � � �−+ =
em que
6) Calcular
�
� � �
� �
� � �
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
< + ∂= + − − ∂
�
�
�
� � �
+=
=
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Exercício
Calcular os polinómios R,S,T de um controlador discreto com acção integral
para um sistema do tipo integrador duplo. Faça o período de amostragem
igual a 0.5 s. Coloque os polos desejados para o sistema em malha fechada
nas localizações z = 0.5+0.5j e z = 0.5-0.5j. Coloque todos os polos de um
eventual observador em z = 0.
Utilize o algoritmo de Euclides estendido para resolver a equação diofantina!
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Solução Incremental da Equação Diofantina
Dada uma solução para a equação diofantina (R0, S0), pretende-se obter de forma
incremental (sem ter que resolver de raiz outra equação diofantina) outras soluções em
que se incluem termos adicionais em R e S.
Seja:
������ � ������ ������� ==+
e U, V, soluções da eq. homogénea:
�=+ ���
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�
�
�
�
=+
=+
����
����
��������
� �����
Defina-se um polinómio mónico estável X e considere-se R e S da forma:
�����
� �
+=
+=�
�
Teremos então (mostre): �
������� =+
Iremos então calcular Y para que R=R0Rd e S = S0Sd
zi – pólos de Rd
zj – pólos de Sd
com
�� −∂=∂∂+∂=∂ ���� ��
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