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Equilíbrio Espacial de Mercados
www.deps.ufsc.br/~mayerle/equilibrio.rar
2
Cada indivíduo procura apenas seu próprio ganho. Porém, é como se fosse levado por uma mão invisível para produzir um resultado que não fazia parte de sua intenção... Adam Smith (1723-1790) A Riqueza das Nações
3
Sumário I. VIP - Problema de inequações variacionais
• Definição e Interpretação Geométrica • Proposições • Algoritmo de solução do VIP
II. Natureza da demanda III. Natureza da oferta IV. Equilíbrio de mercado V. Concorrência perfeita
• Conceitos • Formulação do modelo de otimização • Concorrência perfeita é VIP
VI. Monopólio • Conceitos • Formulação do modelo de otimização • Monopólio é VIP
VII. Oligopólio • Formulação VIP para o Equilíbrio de Nash • Equilíbrio de Cournot-Nash
VIII. Análise dos resultados IX. Bibliografia
4
Parte I
Problema de Inequações Variacionais (VIP)
5
ConjuntoViável
K
*)(xF
*)(xF−x *xx −*x
ConeNormal
VIP - Problema de Inequações Variacionais Definição e Interpretação Geométrica Definição 1 (Problema de Inequações Variacionais) O problema de inequações variacionais de dimensão finita, ),( KFVI ,
consiste em determinar um vetor nRKx ⊂∈* , tal que:
KxxxxF ∈∀≥− ,0**),(
onde F é uma função vetorial
dada, contínua de K em nR , e K
é um conjunto fechado e convexo.
6
VIP - Problema de Inequações Variacionais Sistema de Equações Proposição 1 (Sistema de Equações é VIP) Seja nRK = e seja nn RRF a: uma dada função vetorial. Um vetor
nRx ∈* resolve ),( nRFVI se e somente se 0*)( =xF . Em outras palavras, uma solução nRx ∈* para o sistema de equações
0)( =xF pode ser obtida resolvendo o problema ),( nRFVI , isto é,
encontrando um nRx ∈* que satisfaça a seguinte condição:
nRxxxxF ∈∀≥− ,0**),(
7
VIP - Problema de Inequações Variacionais Problema de Otimização Proposição 2 (Problema de Otimização é VIP) Seja *x a solução do seguinte problema de otimização: Minimize )(xf Sujeito a: Kx∈ onde )(xf é continuamente diferenciável e K é fechado e convexo. Então *x é a solução do problema de inequação variacional:
Kxxxxf ∈∀≥−∇ ,0**),(
Pela proposição acima, problemas de otimização irrestritos e restritos podem ser formulados e resolvidos como um problema de inequação variacional. O caso particular de problemas irrestritos corresponde a situação em que nRK = .
8
VIP - Problema de Inequações Variacionais Problema de Complementaridade Proposição 3 (Problema de Complementaridade é VIP) Seja nR+ o ortante não negativo de nR , e seja nn RRF a: . O
problema de complementaridade sobre nR+ é um sistema de equações e inequações no qual deseja-se encontrar 0*≥x tal que:
0*)( ≥xF e 0**),( =xxF
Então *x é solução de ),( nRFVI + . Quando o mapeamento F é afim, isto é, quando bxMxF +⋅=)( , onde M é uma matriz nn× , e b um vetor 1×n , o problema acima é denominado de problema de complementaridade linear.
9
VIP - Problema de Inequações Variacionais Problema de Ponto Fixo Definição (Projeção Ortogonal) Seja K um conjunto fechado e convexo em nR . Então, para cada
nRx∈ existe um único ponto Ky∈ , tal que:
Kzzxyx ∈∀−≤− ,
onde y é conhecido como sendo a projeção ortogonal Euclidiana de x sobre o conjunto K , isto é:
zxxPyKzK −==
∈minarg
10
VIP - Problema de Inequações Variacionais Problema de Ponto Fixo Proposição 4 (Problema de Projeção Ortogonal é VIP) Seja K um conjunto convexo. Então xPy K= se e somente se:
Kzyzxyzy TT ∈∀−≥− ,,,
Ou
Kzyzxy T ∈∀≥−− ,0,)(
11
VIP - Problema de Inequações Variacionais Algoritmo de Projeção
Seja o VIP KxxxxF ∈∀≥− 0),( ** , então os seguinte passos
algorítmicos poderão ser utilizados para obtenção de *x : P1. Obtenha 0x . Faça 0←k P2. Calcule ))((1 k
kk
Kk xFxPx α−←+
P3. Se ε>−+ kk xx 1 , faça 1+← kk e volte ao passo P2
P4. Apresente 1+kx No algoritmo acima, )(xPK é a projeção do vetor x sobre o conjunto viável K .
12
K
x
*x
VIP - Problema de Inequações Variacionais Algoritmo de Projeção � Obtenção de )(* xPx K←
Seja um conjunto convexo K sobre o qual se quer projetar x. Então,
)(* xPx K← pode ser obtido através de:
Kxas
xxMin
∈
−*
*
:.
ou
( )
Kxxxxas
xxMin
nj
n
jjj
∈
−∑=
),...,,...,,(:. ***2
*1
1
2*
O problema acima é um problema de programação quadrática.
13
VIP - Problema de Inequações Variacionais Algoritmo de Projeção � Esquema Gráfico
0x
))(( 00
01 xFxPx K α+≡
))(( 11
12 xFxPx K α+≡
)( 11
1 xFx α+
)( 1xF
)( 0xF
14
Parte II
Natureza da Demanda
15
Natureza da Demanda Origem Indivíduos consomem para satisfazer
• Necessidades • Desejos • Impulsos • Status • ...
Necessidades, desejos, impulsos... individuais são variáveis aleatórias
• apresentam tendência (média) • apresentam dispersão (variância)
A demanda dos mercados é resultado da agregação dos desejos, das necessidades, dos impulsos... de indivíduos que formam uma dada população
16
Natureza da Demanda Tendência ao Determinismo Teorema do Limite Central A soma de N variáveis aleatórias independentes tende para uma variável aleatória normal, com média é igual a soma das médias de cada variável aleatória e variância é igual a soma das variâncias de cada variável aleatória
Demanda Individual Demanda População
Tamanho 1 N
Média µ µµµµµµ NP =++++= ...
Variância 2σ 22222 ... σσσσσ NP =+++=
Resumindo, tem-se: µµ NP = e σσ NP =
17
Natureza da Demanda Tendência ao Determinismo Evolução da Demanda com o Tamanho da População
População Média Desvio Padrão
Variação Percentual
1 1 0,10 10,00 %
10 10 0,31 3,16 %
100 100 1,00 1,00 %
1.000 1.000 3,16 0,32 %
10.000 10.000 10,00 0,10 %
100.000 100.000 31,62 0,03 %
Quanto maior a população menor é a variação percentual em torno da média, isto é, mais estável é a demanda, com tendências para o determinismo.
18
Natureza da Demanda Demanda e Valor Cada consumidor requer uma certa quantidade de produto, associando a esta quantidade um valor que dispõe para gastar, que depende:
• da importância do produto para a �sobrevivência� do indivíduo • da urgência que necessita o produto • da renda disponível
Consumidor Quant. (unid)
Valor Total (R$)
Valor Unitário (R$/unid)
1 4 4,00 1,00 2 7 5,60 0,80
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ i 1 1,40 1,40
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ N 2 2,40 1,20
19
Natureza da Demanda Demanda e Valor Ordenando as demandas individuais dos consumidores do maior para o menor valor unitário... e construindo o gráfico...
Consumidor Quant (unid)
Valor Unitário (R$/unid)
i 1 1,40
N 2 1,20 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 4 1,00
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 7 0,80
21
Ni
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
0 2 4 6 8 10 12 14 16Quantidade
Val
or
20
Natureza da Demanda Curva da Demanda Em economia a curva de demanda mostra a relação entre o preço de uma certa mercadoria e a quantidade que consumidores desejam e são capazes de comprar, a um dado preço.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
0 2 4 6 8 10 12 14 16
D1
D2
Quantidade
Pre
ço
Aumento da demanda
21
Natureza da Demanda Elasticidade da Demanda A elasticidade da demanda em relação ao preço é uma medida da variação percentual da demanda que corresponde a variação de 1% no preço. Dado a curva de demanda )(qD e um ponto ),( PQ sobre a curva, calcula-se a elasticidade η pela seguinte expressão:
)(qdDdq
QP=η onde:
→>→<
elástica demandainelástica demanda
1||1||
ηη
A elasticidade da demanda para a gasolina é -0,381, o que significa dizer que aumentando em 1% o preço deste produto, diminui em 0,381% o volume demandado. Em outras palavras, a gasolina é um produto com demanda inelástica.
22
Natureza da Demanda Elasticidade e a Curva da Demanda O preço da gasolina em Florianópolis é R$ 2,60. O consumo diário de gasolina na região de Florianópolis é estimado em 350 m3. A elasticidade da demanda para a gasolina é -0,381, o que significa dizer que aumentando em 1% o preço deste produto, diminui em 0,381% o volume demandado.
0195,0350381,0
60,2)(
)()(
−=⋅−
=
=∴=
dqqDd
QP
dqqdD
qdDdq
QP
ηη
23
Parte III
Natureza da Oferta
24
Natureza da Oferta Custo Marginal de Produção Em economia e finanças, custo marginal é a mudança no custo total de produção quando a quantidade produzida muda em uma unidade. Matematicamente, a função de custo marginal (CM ) é expressa como a derivada da função de custo total (CT ) com relação a quantidade produzida (Q).
dQCTdCM =
CM é não decrescente em relação a Q, pois, na produção, primeiramente são consumidos os recursos de custo mais baixo, para em seguida, na medida em que a produção aumenta, serem consumidos os recursos de custo mais elevado.
25
Natureza da Oferta Custo Marginal de Produção � Construção da Curva
Produtor Capac. (unid)
Custo Marginal (R$/unid)
A.1 7,0 0,60 B.1 3,0 0,65 A.2 4,0 0,70 ... ... ... i 1,5 0,85
... ... ...
N 0,5 1,10
A.1 B.1 A.2
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
0 2 4 6 8 10 12 14 16Quantidade
Cus
to M
argi
nal
26
Natureza da Oferta Curva da Oferta Em economia, a curva de oferta mostra a relação entre o preço de uma certa mercadoria e a quantidade produzida.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
0 2 4 6 8 10 12 14 16Quantidade
Cus
to M
argi
nal
S1
S2
Aumento de Oferta
27
Parte IV
Equilíbrio de Mercado
28
Equilíbrio de Mercado Conceitos Fundamentais Mercado: é o cenário onde ocorrem disputas por recursos escassos.
• disputas
consumidor x consumidorconsumidor x produtorprodutor x produtor
Nesta disputa cada competidor maximiza seu próprio interesse. Equilíbrio: um sistema está em equilíbrio quando as variáveis de estado que o descrevem não se modificam ao longo do tempo. Um sistema permanece em equilíbrio quando não existem �forças atuantes� que modificam as variáveis de estado deste sistema. As variáveis de estado que caracterizam o mercado são:
•
consumidas squantidadedastransporta squantidade
produzidas squantidadepreços
29
Parte V
Concorrência Perfeita
30
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
0 2 4 6 8 10 12 14 16Quantidade
Preç
o
Curva de Oferta
Curva de Demanda
Excedente do Consumidor
Excedente do Produtor
eQ
eP
)(qS
)(qD
∫∫ −=ee QQ
dqqSdqqDzMax00
)()(
Concorrência Perfeita Conceitos Básicos O equilíbrio é obtido maximizando o excedente da sociedade Se ePP > , haverá no mercado mais
oferta que demanda, empurrando os preços para baixo. Se ePP < , haverá no mercado
menos oferta que demanda, empurrando os preços para cima. No equilíbrio, se algum produtor tentar aumentar o �próprio� preço, será substituído por outro produtor, que venderá por um custo marginal ligeiramente superior.
31
Concorrência Perfeita Exemplo � Mercado local - Formulação
8,01001,010
05,021,0
)04,040,0()06,040,1(
)()(
04,040,0)(06,040,1)(
2
0
2
00
00
=∴=∴=−∴=
−=
−=
+−−=
−=
+=−=
∫∫
∫∫
eeee
ee
Q
PQQdQdz
QQqqzMax
dqqdqqzMax
dqqSdqqDzMax
qqSqqD
e
ee
ee
)produtores todos de oferta de (curva
32
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
0 2 4 6 8 10 12 14 16Quantidade
Pre
ço
Curva de Oferta
Curva de Demanda
Excedente do Consumidor
Excedente do Produtor
eQ
eP
Concorrência Perfeita Exemplo � Mercado Local - Resultados
00,500,300,2
00,32
)8,04,1(10
00,22
)4,08,0(10
80,010
=+=
=−=
=−=
==
•
•
•
sociedadeda
esconsumidordos
produtoresdos
Excedente
e
e
PQ
A soma dos excedentes do produtor e do consumidor é vista, por alguns economistas como sendo uma medida do bem-estar da sociedade.
33
Concorrência Perfeita Generalização do Modelo � Mercado Distribuído Considere múltiplos mercados produtores ),...,1( Mi = e consumidores
),...,1( Nj = , assim caracterizados:
jdDiqS
jixCjix
jdiq
jj
ii
ijij
ij
j
i
consumidor mercado do demanda de curva
produtor mercado do oferta de curva
consumidor o eprodutor o entre transporte de unitário custo
consumidor o para produtor do datransporta quantidade
consumidor pelo consumida quantidade
produtor pelo produzida quantidade
)()()(
Cada mercado produtor é formado por muitos produtores individuais, cada qual com uma pequena capacidade de produção, decidindo de modo independente uns dos outros.
34
1
2
M
1
2
N
ijC)( jj dD)( ii qS
ijx
Ver o modelo na planilha Excel
Concorrência Perfeita Generalização do Modelo � Mercado Distribuído Para mercados espacialmente distribuídos, o problema de concorrência perfeita resolvido através do seguinte modelo:
jix
Miqx
Njdxas
dwwCdwwSdwwDzMax
ij
N
jiij
M
ijij
M
i
N
j
x
ij
M
i
q
i
N
j
d
j
ijij
,0
,...,1
,...,1:.
)()()(
1
1
1 1 01 01 0
∀≥
=∀=
=∀=
−−=
∑
∑
∑∑∫∑∫∑ ∫
=
=
= ===
35
Concorrência Perfeita Condições de Otimalidade Na solução ótima do modelo de concorrência perfeita tem-se as seguintes condições atendidas para cada par produtor ),...,1( Mi = consumidor ),...,1( Nj = : Se )()( jjijii dDCqS =+ , então 0≥ijx
Se )()( jjijii dDCqS >+ , então 0=ijx
RESUMO:
• Somente há fluxo entre produtor e consumidor se o custo marginal de produção na origem, acrescido do custo de transporte, for igual ao preço no mercado consumidor;
• Se o custo marginal de produção acrescido do custo de transporte
for maior que o preço no mercado consumidor, então não haverá transporte entre estes mercados.
36
Ver o modelo na planilha Excel
Concorrência Perfeita Formulação do VIP Teorema: O vetor ),...,,...,( ***
11*
mnij xxxx = é uma solução para o
problema de equilíbrio em mercados perfeitamente concorrenciais se satisfaz o seguinte problema de inequações variacionais:
00,
)()(
)()(
)()(
*
*
*1111111111
≥≥
−
++−
++−
++−
ij
mn
ij
mn
ij
mnmmnn
ijiijj x
x
x
x
x
x
x
CqSdD
CqSdD
CqSdD
quetal
M
M
M
M
M
M
37
Parte VI
Monopólio
38
eq
)(qD
)(qS
Excedente do
Consumidor
Excedente do Produtor
eP
Monopólio Conceitos Básicos Considere um monopólio no qual um decisor determina a quantidade a ser alocada no mercado, conforme a figura. O objetivo do decisor é a maximização do excedente do produtor, que pode ser obtido resolvendo o seguinte problema:
∫−=eq
ee dwwSqDqzMax0
)()(
39
Ver o modelo na planilha Excel
Monopólio Generalização do Modelo � Mercados Distribuídos Considerando que os custos de transporte serão pagos pelo produtor, disponibilizando o produto no destino (CIF), tem-se:
jix
Njdx
Miqxas
xCdwwSdDdzMax
ij
M
ijij
N
jiij
M
i
M
i
N
jijij
q
i
N
jjjj
i
,0
,...,1
,...,1:.
)()(
1
1
1 1 101
∀≥
=∀=
=∀=
−−=
∑
∑
∑ ∑∑∫∑
=
=
= = ==
40
Monopólio Formulação do VIP Teorema: O vetor ),...,,...,( ***
11*
mnij xxxx = é uma solução para o
problema de equilíbrio monopólista se satisfaz o seguinte problema de inequações variacionais:
0,0**),( ≥∀≥−∇− ijxxxxz
onde:
∂∂
∂∂
∂∂=∇
mnij
T
xxz
xxz
xxzxz *)(,...,*)(,...,*)(*)(11
41
Monopólio Formulação do VIP Considerando que a função objetivo do monopólio é
∑ ∑∑∫∑= = ==
−−=M
i
M
i
N
jijij
q
i
N
jjjj xCdwwSdDdxz
i
1 1 101
)()()(
e derivando esta expressão em relação às variáveis de fluxo, tem-se:
ijiij
jjjjj
ij
CqSddddD
ddDxxz −−+=
∂∂ )(
)()(*)(
42
Ver o modelo na planilha Excel
Monopólio Formulação do VIP Finalmente, montando o VIP, tem-se:
0
0,
)()()(
)()(
)(
)()()(
*
*
*1111
11111
11111
≥
≥
−
++−−
++−−
++−−
ij
mn
ij
mn
ij
mnmmn
nnnnn
ijiij
jjjjj
x
x
x
x
x
x
x
CqSddddDddD
CqSddddD
ddD
CqSddddDddD
com
M
M
M
M
M
M
43
Parte VII
Oligopólio
44
Oligopólio Conceito e Histórico Cournot (1838): investigou originalmente a competição entre dois produtores. Esta estrutura de mercado recebeu o nome de duopólio, e acredita-se ser este o primeiro estudo do comportamento não cooperativo. Em seu estudo, as decisões tomadas pelos produtores são ditas estar em equilíbrio, se nenhum dos dois pode melhorar seu ganho através de uma ação unilateral, dado que o outro não altera sua decisão. Nash (1950, 1951): generalizou o conceito de Cournot para o caso de n agentes ou jogadores, cada um agindo em favor de seu próprio interesse, o que chamou de jogo não cooperativo.
45
Oligopólio Equilíbrio de Nash Considere m jogadores, com cada jogador i dispondo de um vetor de estratégias },...,,{ 21 iniii xxxx = , selecionado de um conjunto convexo
fechado (compacto) ni RK ⊂ , com uma função utilidade 1: RKui a ,
onde mnm RKKKK ⊂×××= ...21 . O postulado da racionalidade
pressupõe que cada jogador i seleciona um vetor de estratégia
ii Kx ∈ que maximiza a utilidade ),...,,,...,( 111 miiii xxxxxu +− , dado as
decisões ijjx ≠)( dos outros jogadores. Neste contexto tem-se: Definição (Equilíbrio de Nash) Um equilíbrio de Nash é um vetor de estratégias
Kxxxx m ∈= },...,,{ **2
*1
* , tal que iKxxxuxxu iiiiiiii ∀∈∀≥ ,),�,()�,( ***
onde ),...,,,...,(� **1
*1
*1
*miii xxxxx +−= .
46
Oligopólio Equilíbrio de Nash Teorema 3.1 (Equilíbrio de Nash é VIP) *x é um equilíbrio de Nash se e somente se Kx ∈* é uma solução do
problema de inequações variacionais
KxxxxF ∈∀≥− ,0),( **
onde ≡)(xF ( )(),...,(11
xuxu mxx m−∇∇− ) é um vetor linha, e onde
∂∂
∂∂=∇
in
i
i
iix x
xuxxuxu
i
)(,...,)()(1
47
Oligopólio Equilíbrio de Cournot-Nash Cada produtor que participa do oligopólio possui um objetivo de maximização do lucro próprio, dado pela seguinte expressão:
∑∫∑==
−−=N
jijij
q
i
N
jjjiji xCdwwSdDxxz
i
101
)()()(
Derivando esta expressão em relação às variáveis de fluxo da estratégia do i-ésimo jogador, tem-se
ijiij
jjijjj
ij
i CqSddddD
xdDxxz −−+=
∂∂ )(
)()()(
48
Oligopólio Equilíbrio de Cournot-Nash Usando este resultado monta-se o VIP como segue:
0
0,
)()()(
)()(
)(
)()()(
*
*
*1111
11111
11111
≥
≥
−
++−−
++−−
++−−
ij
mn
ij
mn
ij
mnmmn
nninnn
ijiij
jjijjj
i
x
x
x
x
x
x
x
CqSddddDxdD
CqSddddD
xdD
CqSddddDxdD
com
M
M
M
M
M
M
Ver o modelo na planilha Excel
49
Parte VIII
Análise dos Resultados
50
Análise dos Resultados CONSUMIDORES
Concorrência Perfeita Monopólio Oligopólio de Cournot
Local Preço Fluxo Exced Preço Fluxo Exced Preço Fluxo Exced
M1 8,13 23,45 107,0 11,51 14,76 42,4 9,62 19,61 74,9
M2 7,93 11,86 63,9 12,14 7,22 23,7 9,87 9,73 43,0
M3 8,20 30,27 108,8 10,62 20,08 47,9 9,23 25,93 79,9
M4 7,77 21,11 118,6 12,22 12,76 43,3 9,97 16,99 76,8
Total 86,69 398,3 54,82 157,2 72,26 274,4
51
Parte IX
Bibliografia
52
Bibliografia NAGURNEY, Anna (1999); Network Economics � A Variational
Inequality Approach; 2nd Edition; Advances in Computational Economics; Kluwer Academic Press; Boston.
COURNOT, A. A.; Researches into the Mathematical Principles of the
Theory of Wealth (1838); MacMillan, London. SAMUELSON, P. A.; �Spatial Price Equilibrium and Linear
Programming�; American Economic Review 42 (1952) 283-303. HARKER, P. T.; �Alternative Models of Spatial Competition�;
Operations Research 34 (1986) 410-425. NASH, John F., Equilibrium points in n-person games; Proceedings of
the National Academy of Science, USA 36 (1950) 48-49. NASH, John F, Noncooperative games; Annals of Mathematics 54
(1951) 286-298.
53
F I M
Recommended