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Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário
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Sistemas de Ordem Superior
• Vamos considerar um sistema em sua forma geral:
• Função de transferência de malha fechada:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
2
Sistemas de Ordem Superior
• Em geral, G(s) e H(s) são dadas como relações de polinômios em s:
𝐺 𝑠 = 𝑝(𝑠)
𝑞(𝑠) 𝑒 𝐻 𝑠 =
𝑛(𝑠)
𝑑(𝑠)
• A função de transferência pode ser reescrita como:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝑝 𝑠 𝑑(𝑠)
𝑞 𝑠 𝑑(𝑠)+𝑝 𝑠 𝑛(𝑠)=𝑏0𝑠𝑚+𝑏1𝑠
𝑚−1+⋯𝑏𝑚−1𝑠+𝑏𝑚
𝑎0𝑠𝑛+𝑎1𝑠
𝑛−1+⋯𝑎𝑛−1𝑠+𝑎𝑛,
onde 𝑛 ≥ 𝑚. 3
Sistemas de Ordem Superior
• Para encontrar a solução analítica é necessário encontrar os pólos e zeros da função, reescrevendo-a em função destes como:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=𝐾 𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 …(𝑠 + 𝑧𝑚)
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 …(𝑠 + 𝑝𝑛)
• A influência dos pólos e zeros irão determinar o comportamento do sistema.
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Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano esquerdo do plano s: • Exemplo:
𝐺 𝑠 =1
𝑠3 + 6𝑠2 + 13𝑠 + 10=
1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 2 − 𝑗)(𝑠 + 2 + 𝑗)
• Pólos: 𝑝1 = −2 + 𝑗, 𝑝2 = −2 − 𝑗 , 𝑝3 = −2
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Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano esquerdo do plano s:
• Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1
𝑠
• O sistema converge.
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Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano direito do plano s: • Exemplo:
𝐺 𝑠 =1
𝑠3 − 6𝑠2 + 13𝑠 − 10=
1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 2 + 𝑗)(𝑠 − 2 − 𝑗)
• Pólos: 𝑝1 = 2 + 𝑗, 𝑝2 = 2 − 𝑗 , 𝑝3 = 2
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Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano direito do plano s:
• Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1
𝑠
• O sistema diverge.
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Sistemas de Ordem Superior
• Considerando que os pólos são todos reais e distintos, analisando para a entrada degrau
unitário 𝑅 𝑠 = 1
𝑠, temos:
𝐶 𝑠 =𝑎
𝑠+
𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
Sendo que 𝑎𝑖 é o resíduo do pólo em 𝑠 = 𝑝𝑖 .
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Sistemas de Ordem Superior
• Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então os valores dos resíduos determinaram a importância relativa dos componentes. • Exemplo:
𝐶 𝑠 =1
𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250×1
𝑠=
1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25)×1
𝑠
• Resíduos:
𝐶 𝑠 =−0,0072
(𝑠 + 2)+0,0033
(𝑠 + 5)−0,0000087
(𝑠 + 25)+0,004
𝑠
• Resposta:
𝑐 𝑡 = −0,0072𝑒−2𝑡 + 0,0033𝑒−5𝑡 − 0,0000087𝑒−25𝑡 + 0,004
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Sistema de Ordem Superior
• Contribuição de cada termo e resposta:
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Sistema de Ordem Superior
• Se existir um zero de malha fechada próximo a um pólo, então o resíduo desse pólo será pequeno.
• Um par de pólos e zeros próximos se cancelam mutuamente. • Exemplo: Acrescentando um zero em -1,9.
𝐶 𝑠 =(𝑠 + 1,9)
𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250×1
𝑠
=(𝑠 + 1,9)
(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25)×1
𝑠
• Resíduos:
𝐶 𝑠 =0,0007
(𝑠 + 2)−0,0103
(𝑠 + 5)+0,002
(𝑠 + 25)+0,0076
𝑠
• Resposta:
𝑐 𝑡 = −0,0007𝑒−2𝑡 + 0,0103𝑒−5𝑡 + 0,002𝑒−25𝑡 + 0,0076
12
Sistema de Ordem Superior
• Contribuição de cada termo e resposta:
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Sistema de Ordem Superior
• Se o pólo estiver localizado muito longe da origem, o resíduo desse pólo poderá ser pequeno. Os transitórios correspondentes a pólos remotos são pequenos e de curta duração.
• Exemplo: observar a contribuição do pólo -25.
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Sistema de Ordem Superior
• Portanto, os termos que possuem resíduos muito pequenos contribuem pouco para a resposta transitória e podem ser descartados.
• Essa aproximação possibilita avaliar as características da resposta de um sistema de ordem superior a partir de um sistema mais simplificado.
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Sistema de Ordem Superior
• Considerando de uma forma mais geral a existência de pólos reais e complexos conjugados, distintos, podemos escrever a resposta para uma entrada degrau unitário como:
𝐶 𝑠 =𝑎
𝑠+
𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑖
𝑞
𝑖=1
+ 𝑏𝑘 𝑠 + ζ𝑘𝑤𝑘 + 𝑐𝑘𝑤𝑘 1 − ζ𝑘
2
𝑠2 + 2ζ𝑘𝑤𝑘𝑠 + 𝑤𝑘2
𝑟
𝑖=1
• Portanto, a resposta de um sistema de ordem superior é
composta por termos que envolvem funções simples dos sistemas de primeira ordem e segunda ordem.
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Sistema de Ordem Superior
• A inversa de Laplace para a equação anterior pode ser escrita como:
𝑐 𝑡 = 𝑎 + 𝑎𝑖𝑒−𝑝𝑖𝑡
𝑞
𝑖=1
+ 𝑏𝑖𝑒−ζ𝑘𝑤𝑘𝑡
𝑟
𝑖=1
cos𝑤𝑘 1 − ζ𝑘2𝑡
+ 𝑏𝑖𝑒−ζ𝑘𝑤𝑘𝑡
𝑟
𝑖=1
sin𝑤𝑘 1 − ζ𝑘2𝑡
• Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então os termos exponenciais e amortecidos exponencialmente irão tender a 0.
• A resposta em regime estacionário então é 𝑐 ∞ = 𝑎. 17
Sistema de Ordem Superior
• Os pólos de 𝐺(𝑠) determinam o tipo de resposta transitória, enquanto que a forma é principalmente determinada pelos zeros.
• Os pólos da entrada 𝑅(𝑠) fornecem os termos da resposta estacionária, enquanto que os pólos de 𝐺(𝑠) fornecem os termos de resposta transitória exponenciais.
• Os zeros de 𝐺(𝑠) não afetam os expoentes dos termos exponenciais, mas sim as magnitudes e sinais dos resíduos. 18
Pólos dominantes
• São aqueles que possuem um efeito dominante sobre o comportamento de resposta transitória.
• A dominância é determinada: • Pela relação das partes reais dos pólos. • Pela relação dos resíduos calculados nos pólos.
• Se a relação das partes reais excede cinco, e não há zeros na vizinhança, os pólos mais perto do eixo imaginário serão os dominantes. Eles correspondem aos termos que caem mais lentamente.
• Geralmente, os pólos dominantes são complexos conjugados.
• Ajustam-se os ganhos do sistema até que exista um par de complexos conjugados. • Reduz efeitos de não-linearidade.
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Comportamento oscilatório
• Se o sistema de malha fechada não tem pólos conjugados complexos, então a resposta transitória é não-oscilatória.
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Análise da estabilidade
• Se algum pólo do sistema de malha fechada estiver no semiplano direito do plano s, então eles serão dominantes e o sistema irá produzir respostas crescentes. O sistema é instável.
• Se todos os pólos estão no semiplano esquerdo, então o sistema irá entrar em equilíbrio. O sistema é estável.
• O fato do sistema ser estável ou instável não depende da entrada. É uma característica do sistema. 21
Análise de estabilidade
• Se os pólos estiverem no eixo imaginário, então o sistema irá apresentar oscilações cuja amplitude não se altera. Porém, no caso de ruídos, essas amplitudes podem mudar e isso não é desejável.
• Para garantir uma resposta rápida e ainda amortecida, é interessante que os pólos estejam em regiões particulares do plano s, por exemplo:
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MATLAB
• Algumas funções são interessantes para se analisar o comportamento de zeros e pólos: • roots(pol): usado para encontrar as raízes de uma
função polinomial.
• residue(b,a) ou residue(r,p,k): usado para encontrar os pólos e resíduos dos pólos de uma função de transferência.
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pol = [1 -6 -72 -27] r = roots(pol)
b = [ 5 3 -2 7] a = [-4 0 8 3] [r,p,k] = residue(b,a)
r = [-1.4167 -0.6653 1.3320] p = [1.5737 -1.1644 -0.4093] k = -1.2500 [b,a] = residue(r,p,k)
MATLAB
• zplane(z,p): usado para plotar o plano complexo s com os pólos e zeros.
• zpk(z,p,k): usado para definir a função de transferência de acordo
com os zeros, pólos e ganhos.
• zpkdata(g): usado para encontrar os zeros, pólos e ganho de uma
função de transferência.
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z = [] p = [-2; -5; -25] zplane(z,p)
z = [] p = [-2; -5; -25] k = 1 zpk(z,p,k)
num = [1 2] den = [1 4 6] g = tf(num, den) [z, p, k] = zpkdata(g)
Exercício
• Considerando os seguintes sistemas:
• 𝐺 𝑠 =1
𝑠3−6𝑠2+13𝑠−10
• 𝐺 𝑠 =1
𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10
• 𝐺 𝑠 =(𝑠−2)
𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10
• 𝐺 𝑠 =1
𝑠4+36𝑠3+193𝑠2+400𝑠+300
• Faça:
• Encontre os zeros, pólos e o ganho. Plote o plano s complexo com zeros e pólos.
• Plote a resposta ao degrau unitário. • Encontre os pólos e os resíduos da resposta ao degrau unitário. • Plote a contribuição de cada pólo para a resposta ao degrau unitário. • Encontre as especificações da resposta transitória. 25
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