Figuras geométricas planas e espaciais - Campus Sertão · Retas paralelas cortadas por uma reta...

Figuras geométricas planas

e espaciais

Joyce Danielle

Joyce Danielle

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Figuras geométricas planas

Apresentação

Na geometria plana vamos então nos atentarao método de cálculo da área das figurasgeométricas planas. Sendo elas os polígonos,ou seja, figura com muitos ângulos.

A área é a denominação dada à medida deuma superfície, medida através de duasdimensões.

O polígono possui lados, vértices, diagonais,ângulos internos e ângulos externos.

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Observe o desenho abaixo, de dois ângulosopostos pelo vértice (opv):

Vamos comprovar se são ângulos opv.

Ângulos opostos pelo vértice

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𝒂 e 𝒃 são ângulos opv (opostos pelo vértice).

𝒂 𝒃

Ângulos opostos pelo vértice

Demonstração:Queremos demonstrar que a = b, em que 𝒂 é a medida de a e 𝒃 éa medida de b.

Vemos que a + x = 180° e b + x = 180°.

Assim:

a + x = b + x a + x – x = b + x – x a = b

Sendo assim dois ângulos opostos pelo vértice são semprecongruentes.

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𝒂 𝒃

𝒙

As retas r e s são paralelas: estão no mesmo planoe não têm ponto comum (r // s).

A reta transversal t forma 4 ângulos com r e 4ângulos com s.

Retas paralelas cortadas por uma

reta transversal.

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r

s

t

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝒆 𝒇

𝒈 𝒉

Retas paralelas cortadas por uma

reta transversal.

Analisando a imagem abaixo, vemos que:

o 𝒂 e 𝒆

𝒃 e 𝒇

𝒄 e 𝒈

𝒅 e 𝒉

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Ângulos correspondentesa = e; b = f; c = g; d = h

r

s

t

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝒆 𝒇

𝒈 𝒉

Retas paralelas cortadas por

uma reta transversal.

Analisando a imagem, vemos que:o 𝒄 e 𝒆

𝒅 e 𝒇

o 𝒂 e 𝒈 𝒃 e 𝒉

o 𝒂 e 𝒉 𝒃 e 𝒈

o 𝒄 e 𝒇 𝒅 e 𝒆

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Ângulos alternos internosc = e; d = f

Ângulos alternos externosa = g; b = h

Ângulos colaterais externosa + h = 180°; b + g = 180°

Ângulos colaterais internosc + f = 180°; d + e = 180°

Vamos praticar...

Considere m e n retas paralelas (m // n),

calcule o valor de x e a medida de cada

ângulo assinalado.

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2x + 10°

x + 30°

m n

Vamos praticar...

Analisaremos assim:

Como x + 30° é o ângulo opv de 𝑦, então 𝑦 = x + 30° e oângulo correspondente de 𝑦 é 2x + 10°, assim x + 30° = 2x+ 10°

x + 30° = 2x + 10°

x – 2x = 10° - 30°

-x = -20°

x = 20

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2x + 10°

x + 30°

𝑦

50°

50°

m n

m n

Vamos praticar...

Na figura a seguir, a e b são retas paralelas

cortadas pela transversal r. Calcule as

medidas de x e y sabendo que a diferença

entre elas é 64°.

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yx

a b

r

Vamos praticar...

Como x e y são ângulos colaterais externos, ou seja, x + y = 180º, e pelo enunciado x – y = 64º, teremos um sistema:

x – y = 64º x = 64° + y

x + y = 180º

x + y = 180°64° + y + y = 180°2y = 180° - 64º 2y = 116°y = 58°

Agora é só utilizar o valor de y em algumas das equações, paraobter x.

x + 58° = 180º x = 180° - 58° x = 122°

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Paralelogramo

Em todo paralelogramo temos dois ângulos

opostos que são congruentes (medidas

iguais) e dois ângulos não opostos que são

suplementares (soma das medidas: 180°).

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A B

CD

Vamos praticar...

Calcule as medidas dos quatro ângulos

internos dos paralelogramos a seguir:

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3x + 22°

5x

Vamos praticar...

Como 5x e 3x + 22° são ângulos opostos, logo:

5x = 3x + 22°

5x – 3x = 22°

2x = 22°

x = 11°

5x = 5.11°

55°

Logo, 55° + y = 180°

y = 180° - 55°

y = 125°

A medida dos quatro ângulos internos são 55°, 55°, 125°e 125°.

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3x + 22°

5xy

y

Ângulos internos de um triângulo

A soma das medidas dos ângulos internos

de um triângulo qualquer é 180°.

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A

C

B

𝑩 𝑪

𝑨

Vamos praticar...

Uma corda foi esticada no topo desse prédio até o

chão. O ângulo determinado no chão pode ser

medido: 62°. Qual a medida do ângulo no topo

desse prédio?

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62°

x

Vamos praticar...

Pela figura anterior, temos os ângulos 62°, 90°e x, onde formam um triângulo e a soma dosângulos de um triângulo é 180°.

62° + 90° + x = 180°

152° + x = 180°

x = 180° - 152°

x = 28°

Assim, a medida do ângulo do topo do prédio é28°.

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Nomenclatura do polígonos

Polígono é uma figura fechada formada por

segmentos de retas, que constituem os

lados da figura. O encontro dos segmentos

formam os vértices, os ângulos internos e

os ângulos externos.

A nomenclatura de um polígono depende do

número de lados da figura.

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Nomenclatura do polígonos

A tabela abaixo contém a nomenclatura de

alguns polígonos.

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Lados Nome Lados Nome Lados Nome

1 11 undecágono... ...

2 12 dodecágono

3 triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono

4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono

5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono

6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono

7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono

8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono

9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono

10 decágono 20 icoságono 100 hectágono

Polígono Convexo

Um polígono é convexo se os ângulos do polígono foremmenores que 180º, assim ele será convexo.

Caso tenha um ângulo com medida maior que 180º eleserá classificado como não convexo ou côncavo.

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Ângulos menores que 180°

Ângulo maior que 180°

Ângulos internos de um quadrilátero

Em todo quadrilátero convexo, a soma das

medidas dos ângulos internos é 360°.

Podemos observar traçando-se uma diagonal,

transformando-o em dois triângulos.

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Vamos praticar...

Determine a medida do ângulo x do

quadrilátero abaixo:

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3x

x

2x – 30°

Vamos praticar...

Pela figura anterior, temos os ângulos 2x – 30°,3x, 90° e x, onde formam um triângulo e asoma dos ângulos de um quadrilátero é 360°.

2x – 30° + 3x + 90° + x = 360°

2x + 3x + x = 360° + 30° - 90°

6x = 300°

x = 50°

Como o ângulo x é o ângulo menor, então oângulo menor mede 50°.

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Ângulos internos de um polígono

Em um polígono convexo de n lados, a

soma das medidas dos ângulos internos(Si)

é igual a (n - 2) . 180°. Assim, teremos a

fórmula:

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Si = (n - 2) . 180°

Vamos praticar...

Qual o valor de x nesta figura?

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160°

95°

x

Vamos praticar...

Pela imagem, vemos que o polígono tem 5 lados,utilizaremos desse valor na fórmula para obter a somados ângulos internos desse polígono.

Si = (5 - 2) . 180°

Si = 3 . 180°

Si = 540°

Agora, vamos nomear o ângulo interno próximo de x dey.

90° + 90° + 160° + 95° + y = 540°

435° + y = 540°

y = 540° - 435°

y = 105°

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160°95°

xy

Vamos praticar...

Como y + x = 180°, temos:

125° + x = 180°

x = 180° - 105°

x = 75°

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105° x

Polígonos regulares

Todo polígono regular possui os lados e os

ângulos com medidas iguais. Alguns

exemplos de polígonos regulares.

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60° 60°

60°

90°

90°

90°

90°

108°

108° 108°

108°

108°

120° 120°

120°120°

120° 120°

Ângulos internos de polígonos regulares

Assim para sabermos qual a medida dos

ângulos internos de um polígono regular

basta saber a soma dos ângulos internos

(Si) e o número de lados (n). A partir disso,

fazer o quociente entre eles.

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Si𝒏

Ângulos externos de um polígono convexo

Um ângulo externo de um polígono convexo é formadopelo prolongamento de um dos lados do polígono.

O ângulo indicado pela sua medida d é um ânguloexterno do triângulo ABC.

A soma das medidas dos ângulos externos de qualquerpolígono convexo(Se) é igual a 360°.

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Ângulos externos de um polígono regular

Para sabermos a medida do ângulo externo

de um polígono regular basta fazer o

quociente entre a soma dos ângulos

externos (Se) e o número de lados (n).

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S𝒆𝒏

Diagonais

Denominamos por diagonal o segmento de

reta que une um vértice ao outro. O número

de diagonais de um polígono é proporcional

ao número de lados. Para cálculos

envolvendo o número de diagonais,

utilizamos a seguinte fórmula:

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d =𝒏 . (𝒏 − 𝟑)

𝟐

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Figuras geométricas espaciais

Apresentação

Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço,em que estudamos as figuras que possuem mais deduas dimensões. Sendo elas os poliedros, ou seja,figura com várias faces e a superfície é formada apenaspor polígonos.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então ageometria espacial é responsável pelo cálculo do volumedessas figuras e o estudo das estruturas das figurasespaciais.

Os seus elementos mais importantes são as faces, asarestas e os vértices.

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Ponto e Reta

Relação entre um ponto e uma reta

oO ponto A pertence à reta r (A r);

oO ponto B não pertence à reta r (B r).

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A

B

r

Ponto e Reta

Relação entre pontos

o Os pontos A, B e C são colineares (existe umareta que passa pelos três).

o Os pontos D, E e F não são colineares.

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A

B

s

C

D

E

F

Ponto e Reta

Relação entre duas retas de um plano

o As retas c e m são distintas e paralelas;

o As retas b e f são concorrentes e oblíquas.

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c

m

f b

Ponto e Reta

Relação entre duas retas de um plano

o As retas a e t são coincidentes (paralelasiguais);

o As retas p e n são concorrentes eperpendiculares.

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p

nt

a

Ponto e Plano

Relação entre ponto e plano

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H

J

F

GI

M

Ponto e Plano

o O ponto F pertence a (F );

o O ponto F não pertence a (F );

o O ponto H não pertence a (H );

o O ponto H não pertence a (F );

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Ponto e Plano

Dados dois pontos ou mais no espaço:

o Eles são ou não pontos coplanares

P, Q e R são três X, Y, Z e W são quatro

pontos coplanares. pontos não-coplanares.

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P

Q

R X

Y

Z

W

Ponto e Plano

1. Dois pontos distintos são sempre colineares

e sobre eles passa uma única reta. Dizemos

então que dois pontos distintos A e B

determinam uma reta (AB).

2. Três pontos não-colineares são sempre

coplanares e sobre eles passa um único

plano. Dizemos então que três pontos não-

colineares A, B e C determinam um plano

p(A, B, C).

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Poliedros

O poliedro é formado pela reunião de um

número finito de polígonos, onde cada

polígono representa uma face.

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vértice

aresta

face

Nesse poliedro temos:

Vértices: 6

Arestas: 12

Faces: 8

Poliedros

As figuras espaciais abaixo são exemplos

de poliedros.

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Nomenclatura de Poliedros

A nomenclatura dos poliedros é

estabelecida em função do número de

faces. O menor número de faces de um

poliedro é 4. A tabela abaixo mostra alguns

exemplos da nomenclatura usada para os

poliedros convexos.

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Número de faces Nome do poliedro

4 tetraedro

5 pentaedro

6 hexaedro

8 octaedro

12 dodecaedro

20 icosaedro

Relação de Euler

É uma relação entre o número de vértices

(V), o número de arestas (A) e o número de

faces (F) de um poliedro convexo.

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Vértices: 8Arestas: 12Faces: 6

Cubo Pirâmide Prisma

Vértices: 5Arestas: 8Faces: 5

Vértices: 10Arestas: 15Faces: 7

Relação de Euler

Observamos assim que, para cada um dos

poliedros, o número de arestas é

exatamente 2 unidades menos do que a

soma do número de faces com o número de

vértices. Essa relação pode ser escrita

assim:

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V – A + F = 2

Poliedros Regulares

Um poliedro convexo é regular quando

todas as faces são regiões poligonais

regulares e congruentes e em todos os

vértices concorre o mesmo número de

arestas.

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Ângulos das faces de poliedros

A soma dos ângulos de todas as faces de

um poliedro convexo (Sf) que possui V

número de vértices é:

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Sf = (V – 2) . 360°