Função seno

Seja x um número real e P sua imagem na circunferência trigonométrica.

Denominamos de função seno a função f: ℝ → ℝ que associa a cada número real x o número real OP1= sen x, isto é, f(x) = sen x.

Observe que f associa a cada número real x a ordenada do ponto correspondente a sua imagem no ciclo.

sen x

x 3

2

2 2

Então:

0

sen x

x 3

2

2 2

Então:

sen x

x 3

2

2 2

Então:

sen x

x 3

2

2 2

Então:

sen x

x 3

2

2 2

Então:

sen x

x 3

2

2 2

Então:

sen x

x 3

2

2 2

Então:

sen x

x 3

2

2 2

Então:

2

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

Então:

32

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

Então:

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

2

Então:

2

sen x

x 3

2

2 2

1

-1

Então:

Assim, podemos identificar algumas propriedades da função seno:

O sinal da função f(x) = sen

x é positivo quando x

pertence ao 1° e 2° quadrantes; e

é negativo quando x

pertence ao 3° e 4° quadrantes.

x

sen x

32

2

2

1

-1

IQ IIQ IIIQ IVQ

+ +

- -

0 x

sen x

32

2

2

1

-1

IQ IIQ IIIQ IVQ

No 1° quadrante, a função f é crescente, pois, a medida que x aumenta, os valores de sen x aumentam de 0 até 1.

x

sen x

32

2

2

1

-1

IQ IIQ IIIQ IVQ

No 2° e 3° quadrantes, f é decrescente: a medida que x aumenta, os valores de y = sen x diminuem de 1 (valor máximo) até –1 (valor mínimo).

x

sen x

32

2

2

1

-1

IQ IIQ IIIQ IVQ

No 4° quadrante, a função retoma o crescimento e seus valores aumentam de –1 a 0.

Os números reais x e x + k ∙ 2, para k ℤ, tem a mesma imagem no ciclo e, portanto, sen x = sen (x + k ∙ 2). Assim, f é periódica e seu período p corresponde ao menor valor positivo de k ∙ 2, que é 2.

O domínio e o contradomínio de f são iguais a ℝ. No entanto, o conjunto imagem da função seno é o intervalo real [–1, 1], assim: −1 sen x 1.

Note que a senóide continua para a esquerda de 0 e para a direita de 2, pois o domínio de f é ℝ.

Para construir os gráficos de um período das funções f: ℝ → ℝ dada por f(x) = sen x + 1 e f(x) = sen x - 1 , podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para x.

Em seguida, associamos a x os valores correspondentes de sen x.

E, somamos e subtraímos 1 do sen x:

Resumindo:Somando uma unidade a sen x, o gráfico é “deslocado” uma unidade para cima.Im=[0;2]p=2

Resumindo:Subtraindo uma unidade de sen x, o gráfico é “deslocado” uma unidade para baixo.Im=[-2;0]p=2

Para construir os gráficos de um período das funções f: ℝ → ℝ dada por f(x) = 2sen x e , podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para x.

2senx)x(f

Em seguida, associamos a x os valores correspondentes de sen x.

E, multiplicando e dividindo sen x por dois:

Resumindo:Multiplicando sen x por 2, o gráfico é “esticado” verticalmente de modo que seu conjunto imagem é Im=[-2;-2]p=2

Resumindo:Dividindo sen x por 2, o gráfico é “comprimido” verticalmente de modo que seu conjunto imagem é p=2

]21;

21[Im

Para construir o gráfico de um período da função f: ℝ → ℝ dada por f(x) = sen 2x, podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para a. a

x2

aa

Em seguida, associamos o valor correspondente a sen a.

ax

2

ax

2 aa

E, calculamos os valores de x:

ax

2 aa

Assim, verifica-se que o gráfico é “comprimido” horizontalmente de modo que: Im=[-1;1]p=

Para construir o gráfico de um período da função f: ℝ → ℝ dada por , podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para a .

2xsen)x(f

x 2a a a

Em seguida, associamos o valor correspondente a sen a .

x 2a a a

E, calculamos os valores de x:

x 2a a a

Assim, verifica-se que o gráfico é “deslocado” horizontalmente de modo que:

Im=[-1;1]p=4

Comparando as funções, temos:

Para construir o gráfico de um período da função f: ℝ → ℝ dada por f(x)=sen(x+), podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para a. x=a-π a a

Em seguida, associamos o valor correspondente a sen a.

x=a-π a a

E, calculamos os valores de x:

x=a-π a a

Assim, verifica-se que o gráfico é “deslocado” para a esquerda de modo que:

Im=[-1;1]p=2

Para construir o gráfico de um período da função f: ℝ → ℝ dada por f(x)=sen(x-), podemos fazer uma tabela atribuindo valores convenientes para a. x=a+π a a

Em seguida, associamos o valor correspondente a sen a.

x=a+π a a

E, calculamos os valores de x:

x=a+π a a

Assim, verifica-se que o gráfico é “deslocado” para a direita de modo que:

Im=[-1;1]p=2

Comparando as funções, temos: