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Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 5

11 de janeiro de 2014

Aula 5 Fundamentos de Matemática 1

Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é um corpo

Aula 5 Fundamentos de Matemática 2

Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 3

Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 4

Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 5

Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 6

Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.

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Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

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R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 30

R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 31

Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 32

Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.

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Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.

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Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.

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Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.

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Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.

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Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.

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Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.

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Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

a =

[1 11 0

], b =

[1 10 1

], a · b 6= b · a.

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 41

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 57

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 58

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 59

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 60

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 61

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 62

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 63

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 64

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 65

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

1a/b

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]

a/bc/d

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 66

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

1a/b

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]

a/bc/d

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 67

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

1a/b

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]

a/bc/d

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 68

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 69

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 70

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 71

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 72

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 73

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 74

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 75

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 76

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 77

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 78

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 79

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 80

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 81

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 82

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 83

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 84

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 85

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 86

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 87

[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 88

[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 89

[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 90

[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 91

[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 92

[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 93

[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 94

[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 95

[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 96

[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 97

[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 98

[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 99

[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 100

[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 101

[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 102

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 103

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 104

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 105

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 106

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 107

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 108

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 109

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 110

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 111

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 112

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 113

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 114

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 115

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 116

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 117

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 118

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 119

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 120

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 121

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 122

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 123

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 124

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 125

[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 126

[PA07]

−a + a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 127

[PA07]

−a + a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 128

[PA07]

−a + a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 129

[PA08]

(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 130

[PA08]

(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 131

[PA08]

(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 132

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 133

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 134

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 135

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 136

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 137

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 138

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 139

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 140

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 141

[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 142

[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 143

[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 144

[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 145

[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 146

[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 147

[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 148

[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 149

[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 150

[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 151

[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 152

[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 153

[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 154

[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 155

[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 156

[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 157

[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 158

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 159

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 160

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 161

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 162

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 163

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 164

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 165

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 166

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 167

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 168

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 169

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 170

[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que

0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 171

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 172

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 173

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 174

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 175

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 176

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 177

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 178

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 179

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 180

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 181

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 182

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 183

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 184

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 185

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 186

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 187

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 188

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 189

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 190

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 191

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 192

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 193

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 194

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 195

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 196

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 197

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 198

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 199

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 200

[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 201

[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Temos que:

(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 202

[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Temos que:

(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 203

[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Temos que:

(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 204

[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Temos que:

(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 205

[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Temos que:

(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 206

[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Temos que:

(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 207

[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Temos que:

(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 208

[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Temos que:

(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 209

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 210

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 211

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 212

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 213

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 214

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 215

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 216

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 217

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 218

[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 219

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 220

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 221

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 222

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 223

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 224

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 225

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 226

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 227

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 228

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 229

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 230

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 231

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 232

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 233

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 234

[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 235

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 236

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 237

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 238

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 239

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 240

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 241

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 242

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 243

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 244

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 245

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 246

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 247

[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 248

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 249

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 250

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 251

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 252

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 253

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 254

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 255

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 256

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 257

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 258

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 259

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 260

[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Temos que:

a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 261

[PA20]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 262

[PA20]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 263

[PA21]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b,∈ R.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 264

[PA21]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b,∈ R.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 265

[PA22]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b,∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 266

[PA22]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b,∈ R, ∀c ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 267

[PA23]

1ab

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 268

[PA23]

1ab

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 269

[PA24]

abcd

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 270

[PA24]

abcd

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 271

[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 272

[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 273

[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 274

[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 275

[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 276

[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 277

[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 278

[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 279

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 280

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 281

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 282

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 283

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 284

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 285

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 286

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 287

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 288

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 289

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 290

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 291

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 292

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 293

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 294

[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 295

Observação

Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever

a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,

no lugar de simplesmente

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.

Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!

Aula 5 Fundamentos de Matemática 296

Observação

Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever

a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,

no lugar de simplesmente

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.

Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!

Aula 5 Fundamentos de Matemática 297

Observação

Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever

a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,

no lugar de simplesmente

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.

Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!

Aula 5 Fundamentos de Matemática 298

Observação

Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever

a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,

no lugar de simplesmente

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.

Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!

Aula 5 Fundamentos de Matemática 299

Observação

Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever

a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,

no lugar de simplesmente

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.

Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!

Aula 5 Fundamentos de Matemática 300

Observação

Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever

a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,

no lugar de simplesmente

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.

Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!

Aula 5 Fundamentos de Matemática 301

[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 302

[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 303

[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 304

[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 305

[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 306

[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 307

[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 308

[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 309

[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 310

[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].

Aula 5 Fundamentos de Matemática 311

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 312

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 313

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 314

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 315

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 316

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 317

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 318

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 319

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 320

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 321

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 322

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 323

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 324

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 325

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 326

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 327

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 328

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 329

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 330

[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 331

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 332

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 333

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 334

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 335

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 336

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 337

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 338

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 339

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 340

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 341

[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 342

[PA31]

ab=

cd⇔ a · d = b · c, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 343

[PA31]

ab=

cd⇔ a · d = b · c, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 344

[PA32]

ab+

cd

=a · db · d

+b · cb · d

=a · d + b · c

b · d, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 345

[PA32]

ab+

cd

=a · db · d

+b · cb · d

=a · d + b · c

b · d, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 346

Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é ordenado

Aula 5 Fundamentos de Matemática 347

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 348

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 349

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 350

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 351

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 352

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 353

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 354

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 355

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 356

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 357

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 358

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 359

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 360

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 361

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 362

Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos

Aula 5 Fundamentos de Matemática 363

Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivos

números reais negativos

Aula 5 Fundamentos de Matemática 364

Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos

Aula 5 Fundamentos de Matemática 365

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 366

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 367

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 368

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 369

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 370

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 371

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 372

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 373

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 374

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 375

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 376

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 377

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 378

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 379

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 380

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 381

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 382

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 383

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 384

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 385

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 386

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 387

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 388

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 389

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 390

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 391

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 392

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 393

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 394

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 395

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 396

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 397

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 398

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 399

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 400

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 401

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 402

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 403

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 404

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 405

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 406

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 407

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 408

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 409

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 410

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 411

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 412

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 413

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 414

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 415

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 416

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 417

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 418

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 419

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 420

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 421

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 422

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 423

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 424

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 425

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 426

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 427

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 428

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 429

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 430

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 431

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 432

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 433

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 434

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 435

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 436

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 437

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 438

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 439

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 440

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 441

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 442

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 443

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 444

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 445

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 446

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 447

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 448

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 449

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 450

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 451

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 452

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 453

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 454

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 455

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 456

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 457

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 458

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 459

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 460

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 461

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 462

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 463

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 464

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 465

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 466

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 467

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 468

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 469

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 470

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 471

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 472

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 473

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 474

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 475

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 476

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 477

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 478

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 479

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 480

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 481

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 482

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 483

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 484

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 485

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 486

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 487

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 488

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 489

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 490

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 491

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 492

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 493

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 494

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 495

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 496

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 497

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 498

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 499

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 500

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 501

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 502

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 503

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 504

[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 505

[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 506

[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 507

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 508

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 509

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 510

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 511

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 512

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 513

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 514

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 515

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 516

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 517

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 518

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 519

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 520

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 521

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 522

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 523

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 524

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 525

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 526

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 527

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 528

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 529

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 530

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 531

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 532

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 533

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 534

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 535

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 536

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 537

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 538

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 539

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 540

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 541

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 542

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 543

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 544

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 545

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 546

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 547

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 548

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 549

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 550

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 551

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 552

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 553

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 554

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 555

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 556

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 557

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 558

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 559

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 560

[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 561

[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 562

[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).

Demonstração. Exercício.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 563

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 564

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 565

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 566

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 567

[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 568

[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 569

[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 570

[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 571

[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 572

[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 573

[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 574

[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 575

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 576

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 577

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 578

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 579

[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 580

[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 581

[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 582

[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 583

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 584

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 585

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 586

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 587

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 588

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 589

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 590

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 591

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 592

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 593

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 594

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 595

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 596

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 597

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 598

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 599

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 600

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 601

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 602

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 603

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 604

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 605

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 606

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 607

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 608

Módulo (ou valor absoluto) de umnúmero real

Aula 5 Fundamentos de Matemática 609

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 610

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 611

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 612

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 613

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 614

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 615

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 616

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 617

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 618

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,

− (x2 − 1), se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 619

Módulo (ou valor absoluto) de um número real

Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,