Fundamentos de Matemática

Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 6

18 de janeiro de 2012

Aula 5 Fundamentos de Matemática 1

Números

Aula 5 Fundamentos de Matemática 2

O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 3

O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 4

O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 5

O que é um número?

Wikipédia:

Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).

Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).

Número é um composto da unidade (Euclides).

Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).

Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).

Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).

Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).

Número é uma coleção de unidades (Condorcet).

Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).

Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 6

O que é um número?

Wikipédia:

Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).

Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).

Número é um composto da unidade (Euclides).

Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).

Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).

Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).

Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).

Número é uma coleção de unidades (Condorcet).

Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).

Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).

Aula 5 Fundamentos de Matemática 7

O que é um número?

Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:

Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 8

O que é um número?

Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:

Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 9

Números naturais

Aula 5 Fundamentos de Matemática 10

Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

Aula 5 Fundamentos de Matemática 11

Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

Aula 5 Fundamentos de Matemática 12

Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

Aula 5 Fundamentos de Matemática 13

Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

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Números naturais como números ordinais

N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:

(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado

pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais.

Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de Xainda pertence a X , então X = N.

Axiomas de Peano

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Números naturais como números ordinais

N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:

(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado

pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais.

Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de Xainda pertence a X , então X = N.

Axiomas de Peano

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Números naturais como números ordinais

N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...

......

Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]

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Números naturais como números ordinais

N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...

......

Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]

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Números naturais como números ordinais

N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...

......

Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

Aula 5 Fundamentos de Matemática 20

Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Aula 5 Fundamentos de Matemática 32

Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Aula 5 Fundamentos de Matemática 33

Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Aula 5 Fundamentos de Matemática 34

Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Cuneiforme Babilônica

Aula 5 Fundamentos de Matemática 36

Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Maia

Aula 5 Fundamentos de Matemática 37

Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Chinesa

Aula 5 Fundamentos de Matemática 38

Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Romana

1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M

Aula 5 Fundamentos de Matemática 39

Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Egípcia

Aula 5 Fundamentos de Matemática 40

Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Egípcia

Aula 5 Fundamentos de Matemática 41

Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Braille

Aula 5 Fundamentos de Matemática 42

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 50

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 52

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

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Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 57

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 58

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 59

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 60

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 61

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 62

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 63

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 64

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 65

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 66

Números naturais como números ordinais: operações

n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 67

Números naturais como números ordinais: ordem

Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.

Ordem

(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.

Propriedades

(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 68

Números naturais como números ordinais: ordem

Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.

Ordem

(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.

Propriedades

(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 69

Números naturais como números ordinais: ordem

Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.

Ordem

(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.

Propriedades

(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 70

Números naturais como números ordinais: ordem

Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.

Ordem

(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.

Propriedades

(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 71

Números naturais como números ordinais: ordem

Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.

Ordem

(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.

Propriedades

(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 72

Números naturais como números ordinais: ordem

Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.

Ordem

(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.

Propriedades

(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 73

Números naturais como números ordinais: ordem

Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.

Ordem

(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.

Propriedades

(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 74

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 5 Fundamentos de Matemática 75

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 5 Fundamentos de Matemática 76

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 5 Fundamentos de Matemática 77

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 5 Fundamentos de Matemática 78

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 5 Fundamentos de Matemática 79

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 5 Fundamentos de Matemática 80

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 5 Fundamentos de Matemática 81

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 5 Fundamentos de Matemática 82

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 5 Fundamentos de Matemática 83

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 5 Fundamentos de Matemática 84

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 5 Fundamentos de Matemática 85

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 5 Fundamentos de Matemática 86

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 5 Fundamentos de Matemática 87

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 5 Fundamentos de Matemática 88

Números naturais como números cardinais

Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 89

Números naturais como números cardinais

Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 90

Números naturais como números cardinais

O Hotel Infinito de Hilbert

Aula 5 Fundamentos de Matemática 91

Um pequeno comentário gramatical

Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, aspalavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, doismeses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” nãosão substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numerale que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar adiferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, eo seu emprego como números cardinais.

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]

Aula 5 Fundamentos de Matemática 92

Semelhança dos nomes dos números

SânscritoGrego

AntigoLatim Alemão Inglês Francês Russo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

100

1000

eka

dva

tri

catur

panca

sas

sapta

asta

nava

daca

cata

sehastre

en

duo

tri

tetra

pente

hex

hepta

octo

ennea

deca

ecaton

xilia

unus

duo

tres

quatuor

quinque

sex

septem

octo

novem

decem

centum

mille

eins

zwei

drei

vier

fünf

sechs

sieben

acht

neun

zehn

hundert

tausend

one

two

three

four

�ve

six

seven

eight

nine

ten

hundred

thousand

un

deux

trois

quatre

cinq

six

sept

huit

neuf

dix

cent

mille

odyn

dva

tri

chetyre

piat

shest

sem

vosem

deviat

desiat

sto

tysiaca

Aula 5 Fundamentos de Matemática 93

Giuseppe Peano

Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 94

David Hilbert

Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)

Aula 5 Fundamentos de Matemática 95

Leitura extraclasse

Aula 5 Fundamentos de Matemática 96

Leitura extraclasse

Capítulos 1, 2 e 3.

Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado.A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.

Aula 5 Fundamentos de Matemática 97

Vídeos das aulas do curso do IMPA no YouTube

http://www.youtube.com/watch?v=DbsF7YIb6cw http://www.youtube.com/watch?v=GB4AnKspnSY http://www.youtube.com/watch?v=WzQSGpJwtbI

Aula 5 Fundamentos de Matemática 98