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1. GRANDEZAS FÍSICAS
1.1. Grandezas Escalares
São totalmente definidas somente por um valor numérico
associado a uma unidade de medida.
Exemplos: Tempo, massa, comprimento, temperatura,
energia, carga elétrica, potencial elétrico, corrente
elétrica, resistência elétrica, potência, calor específico,
coeficiente de dilatação térmica.
1.2. Grandezas Vetoriais
São totalmente definidas por um valor numérico
acompanhado de uma unidade de medida, direção e
sentidos.
Exemplos: Deslocamento, força, torque, aceleração,
quantidade de movimento, impulso, campo elétrico,
campo magnético.
Atenção!
Não confunda direção com sentido. Uma reta define uma
direção e a essa direção podemos associar dois sentidos.
2. VETORES
Um vetor é representado por um segmento de reta orientado,
onde possui: uma origem ( A ) e extremidade ( B ).
Figura 1
A figura 1 ilustra o vetor AB que tem direção horizontal, sentido da esquerda para a direita e módulo dado pelo
comprimento AB . O vetor AB também pode ser designado
por uma única letra minúscula d .
Observações:
Dois vetores a e b são iguais se, e somente se,
apresentarem o mesmo módulo, a mesma direção e o
mesmo sentido: a b .
Se dois vetores a e b , possuem o mesmo módulo, a mesma
direção, mas sentidos contrários, eles representam
vetores opostos: a b .
3. SOMA DE VETORES
A soma de vetores pode ser feita através de três métodos: a
regra do polígono, a do paralelogramo e a dos componentes
vetoriais.
3.1. Regra do Polígono
A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer
número de vetores, para a sua aplicação, devemos colocar
os vetores de modo que:
A origem do segundo vetor coincida com a extremidade do
primeiro;
A origem do terceiro vetor coincida com a extremidade do
segundo e, assim, sucessivamente.
O vetor soma é determinado ligando-se a origem do primeiro
à extremidade do último vetor traçado.
Observe a figura:
Figura 2
s a b c d e
Observações:
Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores
parcelas não altera a soma.
a b c d e a c d e b
Se o polígono formado pelos vetores for fechado, ou seja, a
extremidade do último coincidir com a origem do
primeiro, então o vetor soma é nulo.
Figura 3
s a b c 0
A regra de polígono também pode ser usada no caso de
adição e subtração simultâneas de vetores.
2
s a b c ou s a b c
Figura 4
3.2. Regra do Paralelogramo
A regra do paralelogramo é aplicada somente à adição de
dois vetores. Essa regra permite determinar o módulo do
vetor soma para qualquer que seja o ângulo entre os vetores
somados.
Dados dois vetores, a e b , o vetor s (soma) é obtido do
seguinte modo:
Sem alterar o módulo, a direção e o sentido de cada vetor,
desenhamos os dois vetores com suas origens
coincidentes a partir da extremidade do vetor a ,
traçamos um segmento de reta paralelo ao vetor b . Em
seguida, a partir da extremidade do vetor b , traçamos
um outro, paralelo ao vetor a .
Figura 5
O vetor soma ( s ) é obtido ligando-se o ponto origem comum
dos vetores ao ponto de cruzamento dos segmentos de
reta traçados:
Figura 6
Sendo o ângulo entre os vetores a e b , o módulo do vetor
soma é dado por:
s a b a b2 2 2 2 cos
Mas 180 então cos cos , portanto,
s a b a b2 2 2 2 cos
Observação:
O ângulo entre dois vetores é definido como o “menor
ângulo” determinado por eles quando dispostos “origem
com origem”, portanto o ângulo entre a e b é e não
.
Casos Particulares:
Quando o ângulo entre dois vetores for 0°, 90° ou 180°
existem expressões simplificadas para a determinação do vetor soma.
Adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido (
0 ):
Figura 7
s a b
Adição de dois vetores de mesma direção e sentidos
contrários ( 180 ):
Figura 8
s a b
Adição de dois vetores perpendiculares entre si ( 90 ):
Figura 9
s a b2 2 2
Observações:
O valor máximo para o módulo do vetor soma se obtém para
a soma de dois vetores de mesma direção e mesmo
sentido:
s a b
O valor mínimo para o módulo do vetor soma se obtém para
a soma de dois vetores de mesma direção e sentidos
contrários:
s a b
O módulo do vetor soma pode assumir todos os valores
compreendidos entre o valor máximo e o valor mínimo.
3
Figura 10
a b s a b
Exercício Resolvido:
Se um avião que se desloca de oeste para leste com
velocidade 1v 800km/h for atingido por um vento de
velocidade 2v 70km/h , a velocidade resultante v do avião
será obtida efetuando-se a adição dos vetores 1v e
2v ,
conforme o sentido do vento.
a) Se o vento sopra de oeste para leste:
1 2
800 70
870 km / h
v v v
v
v
b) Se o vento sopra de leste para oeste:
1 2
800 70
730 km / h
v v v
v
v
c) Se o vento sopra de norte para sul:
2 2 2
1 2
2 2 2800 70
640.000 4.900
803 km / h
v v v
v
v
v
3.3. Regra dos Componentes Vetoriais
Todo vetor pode ser representado por dois outros vetores,
perpendiculares entre si. A estes vetores denominamos
componentes ortogonais do vetor dado.
Figura 11
A lei dos senos, pode ser muito útil no estudo dos vetores.
Figura 12
A lei dos senos estabelece que:
a b c
se n se n se n
Observação:
180 se n se n
4
4. SUBTRAÇÃO DE VETORES
O vetor diferença entre a e b ( d a b ) pode ser obtido
pela soma do vetor a com o oposto de b :
d a b d a b .
O oposto do vetor b , ou seja, o vetor b , tem o mesmo
módulo e mesma direção de b , porém sentido contrário.
Figura 13
O módulo de d também fica determinado pela lei dos cossenos.
d a b a b2 2 2 2 cos
5. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM
VETOR
O produto de um número real n , não nulo, por um vetor A
é um vetor B tal que:
Módulo: B n A
Direção: A mesma de A
Sentido: O mesmo de A se n for positivo e oposto ao de A
se n for negativo.
Observações:
Observe que F m a , assim podemos observar que como a
massa m de um corpo é sempre positiva concluímos
que a força e a aceleração estarão sempre na mesma
direção e sentidos.
Observe que EF q E , assim podemos observar que se
q 0 , EF e E terão a mesma direção e sentidos, mas
se q 0 , EF e E terão a mesma direção e sentidos
opostos.
Tópico Avançado
7. VERSORES
Os vetores de bases, chamados de versores, são unitários.
Usaremos o versor i para a direção horizontal e o versor j
para a direção vertical, sendo i j 1 .
Figura 14
a i j
b i j
c i j
d i j
1 7
4 0
0 3
2 0
S i j3 4
Anotações...
5
EXERCÍCIOS DE CLASSE
01. (UEPG – PR) Quando dizemos que a velocidade de uma
bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos
definindo a velocidade como uma grandeza:
a) Escalar b) Algébrica
c) Linear d) vetorial
e) n.d.a.
02. Suponha dois vetores de mesmo módulo v . A respeito
da soma desses vetores, podemos afirmar que:
a) pode ter módulo v 10
b) pode ter módulo v
c) tem módulo v2
d) é nula
e) tem módulo v 2
03. (UFC-2006) Analisando a disposição dos vetores B A
, E A , CB , CD e DE , conforme figura a seguir,
assinale a alternativa que contém a relação vetorial
correta.
a) CB + CD + DE = B A + E A
b) B A + E A + CB = DE + CD
c) E A – DE + CB = B A + CD
d) E A – CB + DE = B A – CD
e) B A – DE – CB = E A + CD
04. (Mackenzie-SP) O vetor resultante da soma de AB , B E
e CA é:
a) AE b) AD
c) CD d) CE
e) B C
05. (Unifor/1998.1) As forças F1 , F2 e F3 , cujas
intensidades são, respectivamente, 2,0 N, 6,0 N e 3,0
N, têm direções coincidentes com as arestas de um
bloco retangular, conforme esquema abaixo.
A intensidade da resultante dessas três forças vale, em
newtons,
a) 3,7 b) 5,5
c) 7,0 d) 9,3
e) 11
06. Determine o vetor resultante nos casos abaixo. Todas
as figuras são polígonos regulares de lado v .
6
07. Duas forças cujos módulos valem 1F e 2F , estão
aplicadas sobre uma partícula de modo que a força
resultante é perpendicular a 1F . Se 2F tem o dobro do
módulo de 1F , então o ângulo entre elas vale:
a) 30° b) 60°
c) 90° d) 120°
e) 150°
08. Dois vetores perpendiculares a e b são tais que:
a b 17 e 13a b .
Determine os módulos de a e b sabendo que a b .
a) 12a ; 5b b) 5a ; 12b
c) 3a ; 10b d) 10a ; 3b
e) n.r.a.
09. (UnB-DF) Considere um relógio com mostrador
circular de 10 cm de raio e cujo ponteiro dos minutos
tem comprimento igual ao raio do mostrador.
Considere esse ponteiro como um vetor de origem no
centro do relógio e direção variável. O módulo da soma
dos três vetores determinados pela posição desse
ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas,
12 h e 20 minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos é,
em cm, igual a:
a) 30 b) 10 1 3
c) 20 d) zero
10. (UnB-DF) Ao se determinar a resultante de seis vetores
de mesmo módulo k , pelo método do polígono, foi
obtido um hexágono regular dando resultante nula. Se
trocarmos o sentido de três deles, alternadamente, a
resultante terá módulo igual a:
a) 2 k b) 2 3 k
c) 3
2k d) zero
e) 6 k
11. (Fatec-SP) No gráfico anexo estão representados três
vetores a , b e c . Os vetores i e j são unitários.
Analise as expressões:
(I) 2 3a i j
(II) 2b j
(III) 1b c i
Podemos afirmar que:
a) são corretas apenas a (I) e a (II).
b) são corretas apenas a (II) e a (III).
c) são corretas apenas a (I) e a (III).
d) são todas corretas.
e) há apenas uma correta.
12. (UFTMA) figura apresenta uma “árvore vetorial” cuja
resultante da soma de todos os vetores representados
tem módulo, em cm, igual a:
a) 8.
b) 26
c) 34.
d) 40.
e) 52.
13. Na figura abaixo estão representados os vetores a e ,b
com 5a e 8b .
7
a) Determine o módulo do vetor s tal que s a b .
b) Determine o ângulo entre os vetores a e s .
14. (FACS- BA) Considerando o conjunto de vetores
representado abaixo, dê o valor verdadeiro (V) ou falso
(F) para as sentenças a seguir:
a) y z s
b) x w y z
c) y w z x
d) s x u v
e) 0u v s x
f) 0u x y z v
15. A figura ilustra 3 vetores apoiados num cubo de aresta
3a . A resultante desses três vetores tem módulo:
a) 6
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
EXERCÍCIOS DE CASA
01. Em cada caso a seguir, determine o módulo da
resultante dos vetores dados:
a) 13
7
a
b
b) 15
7
a
b
c) 5
12
x
y
d) 4
6
a
b
e) 7 3
6 9
a c
b d
f) 10x y
g) 5a b c
02. Na figura abaixo estão representados os vetores a e x ,
com 10x e 6a . Determine o vetor w tal que
x a w .
8
03. (Fund. Carlos Chagas-SP) A figura mostra três vetores,
A , B e C . De acordo com a figura podemos afirmar
que:
a) 0A B C
b) A B C
c) B A C
d) A B C
e) A B C
04. (Fund. Carlos Chagas-SP) Qual é a relação entre os
vetores M , N , P e R representados na figura?
a) 0M N P R
b) P M R N
c) P R M N
d) P R M N
e) P R N M
05. Com seis vetores de módulos iguais a 8 u , construiu-se
o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor
resultante desses 6 vetores é:
a) 40 u
b) 32 u
c) 24 u
d) 16 u
e) zero
06. (UFC – 1999) Na figura abaixo, onde o reticulado forma
quadrados de lados 0,5 cm , estão desenhados 10
vetores contidos no plano xy . O módulo da soma de
todos esses vetores é, em centímetros:
a) 0, 0
b) 0, 5
c) 1, 0
d) 1, 5
e) 2, 0
07. (UECE – 2005.2/2) Considere as 10 forças
representadas pelos vetores na figura.
Marque a opção que melhor representa a resultante
dessas dez forças.
08. Dois vetores de módulos iguais são tais que o módulo
da soma deles vale (x) e, o módulo da diferença vale (y).
Pode-se afirmar que cada um deles vale:
a)
2
x y b)
2 2
2
x y
c) 2 2
2
x y d)
2 2
2
x y
09. (Cesgranrio-RJ) Na figura abaixo estão representados
os vetores a , b e c e os versores i e j . Assinale a
sentença errada:
d) c)
b) a)
9
a) 2b j
b) 3a i
c) 2c i j
d) c a b
e) 2 2c
10. No esquema, estão representados os vetores 1
v , 2
v ,
3v e
4v . A relação vetorial correta entre esses valores
é:
a) 1 4 2 3
.v v v v
b) 1 2 3 4
0.v v v v
c) 1 3 4 2
.v v v v
d) 1 4 2
.v v v
e) 1 3 4
.v v v
11. Seis vetores fecham um hexágono regular, dando
resultante nula. Se trocarmos o sentido de três deles,
alternadamente, a resultante terá módulo:
a) igual ao de um vetor componente;
b) 2 vezes o módulo de um vetor componente;
c) 2 3 vezes o módulo de um vetor componente;
d) 3 2 vezes o módulo de um vetor componente;
e) nulo.
12. Na figura, estão representados quatro forças, 1
F , 2
F ,
3F e
4F , de intensidades iguais a 2 N , superpostas
às diagonais dos quadrados em que estão inseridos.
A intensidade da resultante dessas quatro forças é
igual a:
a) 0.
b) 1 N.
c) 2 N.
d) 4 N.
e) 8 N.
13. Dados os vetores a e b representados na figura,
determine o módulo de:
a) ;s a b
b) .d a b
14. Determine em cada caso a expressão vetorial que
relaciona os vetores a , b e c .
15. (Unifor) A figura mostra 3 forças 1
F , 2
F e 3
F de
intensidades iguais a 6 N, 3 N e 2 N. A resultante
dessas forças tem intensidade:
a) 3 N b) 4 N
c) 5 N d) 7 N
e) 11 N
10
1 2 3 4 5
d b d d c
6 7 8 9 10
* b a d d
11 12 13 14 15
d c ** *** a
GABARITOS - EXERCÍCIOS DE SALA
* )2 3; )2 2; )6 ; )2a v b v c v d v
** ) 41; ) 90a b
*** ) ; ) ) ) ) )a F b Vc Vd Fe Ff V
1 2 3 4 5
* ** e b b
6 7 8 9 10
e b c d a
11 12 13 14 15
e d *** **** d
GABARITOS - EXERCÍCIOS DE CASA
* )20; )8; )13; ) 3,7; )5; )10; )a b c d e f g zero
** 8
*** )10 ; )6a u b u
**** ) ; ) 0; )a a b c b a b c c a c b
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