Centro Brasileiro de Pesquisas F ísicas (CBPF) · 2010. 4. 9. · Amplificadores Operacionais Circuitos básicos envolvendo amplificadores operacionais Realimentação Osciladores

1

Centro Brasileiro de Pesquisas FCentro Brasileiro de Pesquisas Fíísicas (CBPF)sicas (CBPF)

Curso de Eletrônica AnalCurso de Eletrônica Analóógica gica –– VII Escola do CBPFVII Escola do CBPF

Prof. Prof. AdemarlaudoAdemarlaudo F. BarbosaF. Barbosa

Circuitos elementares (divisor de tensão, integrador, diferenciador) Notação complexa para grandezas elétricas

Uso de equações diferenciais em circuitos eletrônicos Função de Transferência

Série de Fourier Integral de Fourier

Transformadas de Fourier e LaplaceTeorema da Convolução

Teoremas de Thevenin e NortonRegras de Kirchoff

Circuitos simples com diodos Transistores (Bipolares e FET’s)

Modelo de Ebers-MollPolarização de Transistores

Circuitos básicos com transistores (emissor comum, base comum, coletor comum) Associações de transistores

Transistores em regime dinâmico Amplificador Diferencial

Amplificadores Operacionais Circuitos básicos envolvendo amplificadores operacionais

Realimentação Osciladores (LC, Harley, Ponte de Wien, Relaxação, Kolpitz)

Influência de capacitâncias sobre amplificadores e transistores

Componentes passivos Componentes ativos

2

Os componentes bOs componentes báásicos e sua sicos e sua ““ffíísicasica””

V R I V C I I L V

Circuitos simples nos quais se verificam relações lineares entre grandezas elétricas

RIV = IdtdV

C1= dt

dILV =

RESISTOR - Os materiais apresentam resistência à passagem de corrente elétrica (I); a corrente tende a circular quando se aplica um campo elétrico, materializado por uma diferença de potencial (V);

A relação entre V e I é linear (para alguma “faixa”); R é a constante de proporcionalidade

CAPACITOR – Dados dois (ou mais) condutores, injetar carga elétrica Q em um deles implica o estabelecimento de uma diferença de potencial V. A relação entre Q e V é linear (para alguma “faixa”).

Variações de Q ou de V são transmitidas entre os eletrodos, gerando passagem de corrente I.

INDUTOR – Passagem de corrente por um condutor gera campo magnético. Variações da corrente alteram o campo e vice-versa. Variações de corrente implicam diferença de potencial. Há uma relação

de proporcionalidade linear entre os dois, dada por L.

3

I VZ

π+ωω=ωω−=

π−ωω

=ωω

=

ω=

⇒ω=

2

cos )(sen)(

2

cos )(sen)(

)cos()(

)cos()(

to

ILto

ILtV

tCo

It

Co

ItV

to

RItV

toItI

[para R]

[para C]

[para L]

( )[ ]ωϕ

ωϕ

≡∆=−⇒

ω≡+ω=ϕ+ω

ttt

ttt

'

')cos(cos)cos(

A menos de uma diferença de tempo (π/2ω), podemos dizer que V=ZI, com:

ω=ω

=

=

1

LZC

Z

RZ [para R][para C][para L]

4

ω=ω

=

=

⇒ω=

)()(

)(1)(

)()(

)(

tLIitV

tICi

tV

tRItV

tieoItI

[para R]

[para C]

[para L]

O mesmo argumento vale para V(t)=Voeiωt, e encontramos V=ZI , com:

=

=

=

1

LiZCi

Z

RZ

ωω

[para R][para C][para L]

Qualquer sinal elétrico pode ser expresso como sobreposição de harmônicos(a demonstração virá nas próximas aulas)

tik

k

k

tik

k

k eVtVeItIωω ∑∑ == )( )(

Concluímos que os componentes R, L e C representam “impedâncias” que dependem da freqüência do sinal que veiculam.

Para cada freqüência temos relação linear entre V e I

5

Circuitos elementares envolvendo Circuitos elementares envolvendo R, L e CR, L e C

Z2

Z1

VsVe

Circuito genérico

esVV ZZ

Z

21

2+=

I

A mesma corrente passa por Z1 e Z2 :

eZZ

Z

sZ

V

Z

VVVVsse

21

2

21 +− =⇒=

A soma das quedas de tensão no circuito fechado é nula:

eZZ

Z

sZ

V

e VVIIZIZVs

21

2

2 ;021 +=⇒==−−

Ve I VsZ2

Z1

6


R2

R1

VsVe

Circuito divisor de tensão / atenuador

I

Vs=0→ para R2=0 ou para R1=∞

eRR

R

s VV 212

+=

Caso mais simples:

Vs=Ve → para R1=0 ou para R2=∞

Vs é uma fração de Ve → para valores intermediários de R1 e R2

Para transmitir Ve sem atenuação devemos ter R1=0 ou R2=∞

7


eRCieRsVVV

Ci

Ci

ωω

ω

++==

11

1

1

( )

+==

+=+=⇒

≡+

− )(1

22

ibaArgtg

ibabaA

Aeiba

ab

i

ϕ

ϕ

( )RCoo

eVsV

tg

1

1

21

1

; =ω=υ

υ−=ϕ

=

ωω

−

υ+

filtro passa baixa

CI

R

VsVe

8

filtro passa baixa

CI

R

VsVe

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

0,0

Filtro passa-baixa

ϕ

υ

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

| Vs / Ve |

9


filtro passa alta

R

C

VsVe

I

eRCiRCi

eR

Rs VVV

Ciω

ω

ω++

==11

( )RCoo

eVsV

tg

1

11

21

; =ω=υ

=ϕ

=

ωω

υ−

υ+

υ

10

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

Filtro passa-alta

ϕ

υ

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

| Vs / V

e |

filtro passa alta

R

C

VsVe

I

11

eLCeLisVVV

Ci

Ci

21

1

1

1

ωω ω

ω

−+==

LCo

V

V

o

e

s

1

1

1

1

1

;

0

1)(

1)(

2

2

==

=

>

<=

−

−

ωυ

ϕ

υυ

ωω

υ

υ


Filtro ressonante

C

L

VsVe

I

12

Filtro ressonante

C

L

VsVe

I

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

0,0

0,5

1,0

1,5

Filtro passa baixa ressonante

| Vs / Ve |

υ

13

eLC

LCeLi

Lis VVV

Ci2

2

1 1 ωω

ωω

ω −−

+==

LCo

V

V

o

e

s

1

1

1

;

0

1)(

1)(

2

2

2

2

==

=

<

>=

−

−−

ωυ

ϕ

υ

υ

ωω

υυυυ


Filtro ressonante

L

C

VsVe

I

14

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

0,0

0,5

1,0

1,5

Filtro passa alta ressonante

| Vs / Ve |

υ

Filtro ressonante

L

C

VsVe

I

15

Filtros Filtros RCRC no domno domíínio do temponio do tempo

( ) ( ) ( )( )

∫≈=

>>

+=⇒

+=+=+=⇒

=−−=−−

tVtVV

tRC

VtV

RRIV

RIVRIV

eeRCs

tseRC

tt

RCVtt

CVte

Ct

eC

Q

e

ss

dδδδ

:δ para

1δδ

1δ

0δδ

1

RCδ1

RCδ

δCδ

δCδ

Iδδ

filtro passa baixa

CI

R

VsδVe

( )( ) ( )

( )

∫≈=

>>

+=⇒

+=+=⇒

+=+=⇒

==−

tVtVV

tRC

VtV

RCVtRCVtV

VVVV

eeRCs

RCt

seRC

RCt

sse

tRC

ssstRC

e

t

V

t

Q

R

VV se

dδδδ

:δ para

1δδ

1δδδ

1δ

1

δ1

δ

δδ

δ

C

δ

δδ sMétodo das quedas de tensão

Método das correntes

Para RC >> δt ⇒ circuito integrador

16

Filtros Filtros RCRC no domno domíínio do temponio do tempo

( ) ( ) ( )( )

( )

dt

dV

t

V

s

tRC

st

V

tRC

se

tRCst

R

Vte

Ct

eC

Q

e

ee

e

s

RCRCV

tRC

VRC

tVVRC

tVRRIV

RIVRIV

≈=

17

2a. aula

18

EquaEquaçções diferenciais para os circuitos elementaresões diferenciais para os circuitos elementares

dt

tdI

Cdt

dV

C

Q

e

RtI

tRIV

e )(1 )(

)(

+=⇒

+=

filtro passa baixa

CI

R

VsVe

Método das quedas de tensão

Ve(t)

Vo

t

Solução conhecida para o caso da função degrau:

RCt

eItI

dt

dt

RtI

RCdt

tdI

RCdt

tdI

dt

tdI

C

−=⇒

−=⇒

−=⇒

−=

≥

∫∫)0()(

)(

0 t

1)(

1)(

)(1

para

Condição de contorno: em t=0 → Q=0:

( )

( )

R

V

C

Q

se

s

Cs

ss

o

RCt

RCt

I

RIVVVt

eRItV

IKQ

KeIRdttItV

VtCVtQ

t

=⇒

==−=−=

−=∴

=⇒=

+−==

=⇒==

=

−

−

∫

)0(

)0(0)0()0(:0 em

1)0()(

)0(0)0(

)0()()(

0)0()(0)(

:0 em

)0(

0

1

19

( )RCteVtV os −−= 1)(

0 2 4 6 8 10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Integrador

RC=0.1

RC=1

RC=10

Vo

Vs(t)

t

20


dt

tdI

Cdt

dV

C

Q

e

RtI

tRIV

e )(1 )(

)(

+=⇒

+=


Ve(t)

Vo

t

Solução conhecida para o caso da função degrau:

RCt

eItI

dt

dt

RtI

RCdt

tdI

RCdt

tdI

dt

tdI

C

−=⇒

−=⇒

−=⇒

−=

≥

∫∫)0()(

)(

0 t

1)(

1)(

)(1

para

Condição de contorno: em t=0 → Q=0:R

V

s

s

os

so

C

tQ

se

o

RCt

IRIV

eRItRItV

VV

VVt

tVtV

=⇒=⇒

==

=⇒

=−⇒=

=−

−

)0()0()0(

)0()()(

)0(

0)0(0 em

)()()(

filtro passa alta

R

C

VsVe

I

21

RCt

eVtV os−=)(

0 2 4 6 8 10

DiferenciadorVo

RC=0.1

RC=1

RC=10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0Vs(t)

t

22


Circuito R-L-C

C

L

VoR


eC

Q

dtdI VRIL =++

0122

=++ IRLCdt

dI

dt

Id

Ve(t)

Vo

t

atetI =)(

012 =++LCL

R aa

( )

−±−=

LCLR

LRa 4

2

21

2,1

Técnica de solução

⇓⇓⇓⇓

⇓⇓⇓⇓

tataeCeCtI 21 21)( +=

tt ooeCeCtI

−−−

−+−

+=2222

21)(ωγγωγγ

LCo

LR

1

2

=

=

ω

γ

Solução geral

23


Casos particulares

ωo > γ

[ ] [ ]{ }

*

21

2

1

21

-db

ca real )(

sen)(cos)(sen)(cos)()(

)()()(

)(2222

CC

tI

cadbibdcaAtI

AeidcAeibatIidcC

ibaC

eCeCtI

ii

titi oo

=∴

=

=⇒

−+++−++=∴

+++=⇒

+≡

+≡

+=

−

−−−

−+−

ψψψψ

ψψ

γωγγωγ

ϕ

ϕ

i

i

AeC

AeC

−=

=

21

2

21

1αcos2)( KtI = ( ) ϕγωα

γ

+−=

= −

t

AeK

o

t

22

21

⇒

A e ϕ são determinados pelas condições de contorno

24


Condições de contorno [em t=0: Q(t)=I(t)=0 ]

[ ] [ ] otdtdItCQdtdI VLRIL ==++ == 00[ ] ( )[ ] ( )ϕγωϕγαγωαγ sencossencos2 22

0

22

0−−=−−=

== ototdtdI AK

20cos20)0( πϕϕ ±=⇒=⇒= KI

ϕ = π/2 ⇒ ( )[ ] ( )[ ]tetetI otL

V

o

t

L

V

o

o

o

o 22

2

22 sencos)(2222

γωγω γγω

πγ

γω−−=+−−= −

−

−

−

L

V

o

oA22 γω −

=⇒ ∓⇒

25

0 1 2 3 4

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

γ=2ωο=20

I(t)

t

26


ωo < γ

reais e real )(

)(

21

21

2222

CCtI

eCeCtItt oo

⇒

+=

−−−

−+− ωγγωγγ

[ ] [ ] otdtdItCQdtdI VLRIL ==++ == 00[ ] ( ) ( )

−

=

−+−

=

=⇒

−=

−=

22

22

2

22

0

22

022

o

o

o

L

V

o

t

t

otdtdI

K

KeK

ωγ

ωγγωγωγ

KCCI ≡−=⇒= 210)0(

⇓

Condições de contorno [em t=0: Q(t)=I(t)=0 ]

+=

−−−

−+−

−

tt

L

V oo

o

o eetI2222

222)(

ωγγωγγ

ωγ

27

0 2 4 6 8 10

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

I(t)

t

( ) ( )tt eetI 5.015.01)( −−+− −=

28

ωo = γ

( )real real )(

)( 21

KtI

KeeCCtI tt

⇒

=+= −− γγ

[ ] [ ] ottdtdItCQdtdI VRKeLRIL =+=++ =−= 00 γ

[ ] [ ]LR

V

t

t

t

t

dtdI

oK

RLKRLKeRKeL

γ

γγ γγ

−

=−

=−

=⇒

+−=+−=+ )(( 00

⇓

Condições de contorno [em t=0: Q(t)=0 ]

t

LR

VetI o λγ

−−=)(


29

0 2 4 6 8 10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

I(t)

t

tetI −=)(

30

Uma linha de transmissão de sinais tem propriedades eletrônicas:

Transmissão de sinaisTransmissão de sinais

Circuito equivalente a uma linha de transmissão de sinais

C/2

L

VsVe

C/2

L = auto-indutância por unidade de comprimentoC = capacitância por unidade de comprimento

(*) resistividade desprezada

Vs

C/2

L

Ve

C/2

Ve

Zeq

( )LC

LCCieq

Z 22

4

22

ωω

ω −−=

2

2

2

2

2

1

2

1

1o

1

1

1

1

Co

CCi

Ci

L

eeLeLisVVVV

=≡

===−−+

ωυ ωω

υωωω

ω

CL

oCCoCL

CoLoL

C

224222212

2

ωωωω =⇒=⇒=⇒= ( ) ( )CL

o

iZ

i

Z

eq ZZoo 2

2

1

2

1 ; 22

2

2

===−

−−−

υυ

υυυ

υ⇒

31

0,01 0,1 1 100,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

| Zeq / Z

o |

ν

[ ]222 11 ννν −−=oeqZZ

32

A linha de transmissão pode ser terminada por um componente de impedância Z

Transmissão de sinaisTransmissão de sinais

⇒

Circuito equivalente a uma linha de transmissão de sinais terminada

Ve

Zeq

C/2

LVin Vout

ZoC/2

C/2

L

Vin

Z

C/2

12

2

4

23

2

2

++−−

++−=ZCiLZLi

ZLiRL

eq CC

C

Zωωω

ωω

Suponhamos Z=Zeq (linha perfeitamente terminada)

( )

) (Z (...)

1

para

211

2

2

2

2

4

3

2

4

2

2

oo

LCo

CL

o

Z

CCCeq

ωZ

Z

Z

ZLiZLZCiLZLiZZZ

o

o

LC

CL

ωω

υ

ωωωωω

ωω

υω

33

0,001 0,01 0,1 10,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

Sem terminação

Terminação R = Zo

| Zeq / Z

o |

υ

21

1

υ−=

o

eq

Z

Z

34

Definimos Função de Transferência como a função T, tal que:

FunFunçção de Transferência & Diagrama de Bodeão de Transferência & Diagrama de Bode

Ventrada Vsaída

circuito

Representação genérica de um circuito

V TVsaida entrada=

T é necessariamente uma função de ω:

)(

)()( ω

ωωentrada

saída

V

VT =

(*) Não é simples definir T(t) , pois Vsaída(t) ≈ Ventrada(t’) , t’

35


)()( ωϕϕ ω iiV

VeAAeT

entrada

saida ===

Devido às diferenças de fase introduzidas pelos componentes, T é em geral uma função complexa

T A ganho

Arg T fase

= =

= =

( )

( ) ( )

ω

ϕ ω⇒

T T T Tn= 1 2 ...

A Função de Transferência para um circuito composto por n sub-circuitos conectados em série é:

(demonstração muito simples)

Diagrama de BODE é a representação da Função de Transferência através de dois gráficos:

Um para o ganho, outro para a fase - em função da freqüência

36


Exemplo: caso do circuito equivalente para linha de transmissão de sinais

221

1CL

oZLi

Tω−ω+

=

222 1221

1

1 νννυ −+−−==⇒=

iideal

ZTTZ o

νν irealoTTZZ

221

12 +−

==⇒=

)1 (para 1 ≤= νidealT 1) (para 12211

22>=

−−−ν

νννidealT

441

1

ν+=realT

Terminação “perfeita”

Terminação “possível”

C/2

LVin Vout

ZC/2

37

10-2 10-1 100 101 10210-3

10-2

10-1

100

101

υ

| T |

caso "ideal"

0,01 0,1 1 10 100

10-3

10-2

10-1

100

101

υ

| T |

caso "real"

38


[ ] ( ) 1)ν (para ArcTgTArg idealideal == 0ϕ

[ ] ( )221

2

ννϕ

−== ArcTgTArg realreal

Fases:

ωωϕτ ][TArg==

...42][3

3

++== ννϕ TArg

LCoo

===≅ ωωωω

ωντ 222

Retardo:

Para ω

39


Linhas de transmissão: discreta e distribuída:

Um cabo é um tipo de linha de transmissão cujos parâmetros eletrônicos estão distribuídos continuamente ao longo do comprimento (parâmetros: resistividade,

capacitância, auto-indutância por unidade de comprimento)

Nem sempre é possível obter uma linha de transmissão com os parâmetros desejados (retardo, banda passante) em uma configuração do tipo “contínuo”. Nestes casos, e em muitas outras aplicações, usam-se linhas de transmissão

construídas com células discretas.

Exemplo

Substituindo Zo pela célula completa, obtém-se um circuito adaptado em impedância. Cada célula adionada acrescenta retardo à transmissão de sinais.

VsVe

C/2 C C C C C/2

L L L L L

RC/2

LVin Vout

ZoC/2 →

40

3a. aula

41

RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais

Qualquer função matemática de comportamento periódico (⇒período T, freqüência ωo) pode ser representada por uma série de senos e cossenos.

[ ]∑∞

=

++=1

2)(sen)cos()(

n

onon

atnbtnatf o ωω

To

T

oTn

T

oTn

T

To

dttnsentfb

dttntfa

dttfa

πω

ω

ω

2

0

2

0

2

0

2

)()(

)cos()(

)(

=

=

=

=

∫

∫

∫

42

Verificação:[ ]

o

oa

T

T

n

onT

T

n

onT

T

oa

T

T

n

ononoa

To

a

T

dttnbdttnadt

dttnbtnaa

=

++=

ω+

ω+=

ω+ω+=

∫ ∑∫ ∑∫

∫ ∑∞

=

∞

=

∞

=

00

)(sen)cos(

)(sen)cos(

22

0

0 1

2

0

0 1

2

0

22

0 1

22

��

[ ]

n

TnT

T

m

oomT

m

mnT

ma

T

m

oomTo

T

oa

T

T

o

m

omomoa

Tn

a

a

dttntmbdttntmadttn

dttntmbtmaa

=

++=

ωω+

ωω+ω=

ω

ω+ω+=

∫ ∑∫ ∑∫

∫ ∑∞

=

∞

=

δ

∞

=

∞

=

∑00

)cos()(sen)cos()cos()cos(

)cos()(sen)cos(

22

0

0 1

2

12

0 1

2

0

0

22

0 1

22

��

[ ]

n

TnT

m

mnT

mb

T

m

oomT

T

m

oomTo

T

oa

T

T

o

m

omomoa

Tn

b

b

dttntmbdttntmadttn

dttntmbtmab

=

++=

ωω+

ωω+ω=

ω

ω+ω+=

∑∞

=

δ

∞

=

∞

=

∞

=

∫ ∑∫ ∑∫

∫ ∑

22

12

0 1

2

0

0 1

2

0

0

22

0 1

22

00

)(sen)(sen)(sen)cos()(sen

)(sen)(sen)cos(

��

43

[ ]

[ ] [ ]

≠

==ω−+ω+=ωω⇒

−++=⇒

+=−

−=+

∫ ∫∫ ) (para 0) (para

)(cos)(cos)cos()cos(

)cos()cos(coscos

sensencoscos)cos(

sensencoscos)cos(

2

0 0

21

21

0

21

nm

nmTT T

oo

T

oo dttnmdttnmtntm

bababa

bababa

bababa

[ ]

[ ] [ ] )( 0)(sen)(sen)(c)(sen

)(sen)(sencsen

csencossen)(sen

csencossen)(sen

0 0

21

21

0

21

nm,dttnmdttnmtnostm

babaosba

osabbaba

osabbaba

T T

oo

T

oo ∀=ω−+ω+=ωω⇒

−++=⇒

−=−

+=+

∫ ∫∫

[ ]

[ ] [ ]

≠

==ω+−ω−=ωω⇒

+−−=⇒

+=−

−=+

∫ ∫∫ ) (para 0) (para

)(cos)(cos)(sen)(sen

)cos()cos(sensen

sensencoscos)cos(

sensencoscos)cos(

2

0 0

21

21

0

21

nm

nmTT T

oo

T

oo dttnmdttnmtntm

bababa

bababa

bababa

44


Exemplo: caso da função “dente de serra”

f(t) = t, para 0

45


Primeira simplificação: série de cossenos (ou série de senos)

)cos()(sen)cos( nononon tntnbtna ϕ−ωρ≡ω+ω ( )nanb

n

nn

tg

ba

1

22

−=ϕ

+=ρn

)(sen)(sen)cos( nononon tntnbtna ϕ−ωρ≡ω+ω( )

nbna

n

nn

tg

ba

1

22

−−=ϕ

+=ρn

ou

série de cossenos

∑∞

=

ϕ−ωρ+=1

2)cos()(

n

nonoa tntf[ ]∑

∞

=

++=1

2)(sen)cos()(

n

onon

atnbtnatf o ωω ⇒

46


Segunda simplificação: série de exponenciais complexas

( )( )

−=ϕ

+=ϕ⇒

ϕ−ϕ=

ϕ+ϕ=

ϕ−ϕ

ϕ−ϕ

ϕ−

ϕ

ii

i

ii

i

i

ee

ee

ie

ie

21

21

sen

cos

sencos

sencos

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2

2

22

22)(sen)cos(

nibna

n

nibna

n

toin

n

toin

n

toinnibnatoinnibna

i

toinetoine

n

toinetoine

nonon

c

c

ececee

batnbtna

+−

−

ω−−

ωω−+ω−

ω−−ωω−+ω

=

=

+≡+=

+≡ω+ω∴

∑∑∞

=

ω−−

∞

=

ω ++=11

2)(

n

toin

n

n

toin

noa ecectf[ ]∑

∞

=

++=1

2)(sen)cos()(

n

onon

atnbtnatf o ωω ⇒

47


Para n

48


Válido para funções periódicos (período T, freqüência ωo=2π /T )∑∞

−∞=

ω=n

toin

nectf )(

[ ] dtetfdttnitntfibacT

toni

T

T

ooTnnn ∫∫ ω−=ω−ω=−=0

)(1

0

121 )()(sen)cos()()(

δωω=ω=ω≡

ω→ω

δω→ω

ππω

)()()(21

21 FFFc

n

oTn

o

o

Para representar uma função f(t) genérica, não periódica, fazemos T→∞

T→∞ ⇒

∫∫∞

∞−

ω−

−

ω− ===ω dtetfdtetfTcF ti

T

T

toin

n )()()(

2

2

∫∑∑∞

∞−

ωπ

∞

−∞=

ωπ

∞

−∞=

ω ωω≅δωω≅= deFeFectf ti

n

toin

n

toin

n )()()( 21

21

49


Resumo

[para representação de uma função f(t) qualquer]

∫

∫∞

∞−

ω−

∞

∞−

ωπ

=ω

ωω=

dtetfF

deFtf

ti

ti

)()(

)()(21

Domínio do tempo Domínio da freqüência

f1

f2

f3

f4

F1

F2

F3

F4F=TF(f)

f=TF-1(F)

50


( )( )

)()(

)()(

)(

)(

2

2

1

1

o

toi

oti

o

at

a

aa

Fetf

eFttf

aFf

Fatf

ω−ω⇔

ω⇔−

ω⇔

⇔

ωπ−

ωπ

ω

Propriedades da Transformada de Fourier

f t e t( ) = −2

F e( )ω πω

= −2

4

4

2)(22

24

22)(

4

222

2

1

24

2

22

otoit

otiott

aa

t

a

a

a

ta

eee

eee

ee

ee

ω−ω−ωπ−−

ωπω−−−

ω−−

ω−π−

π⇔

π⇔

π⇔

⇔

⇔⇔⇔⇔

51


Transformada de Laplace

(*) A Transformada de Fourier nem sempre é calculável analticamente; para estender sua aplicabilidade, fazemos algumas simplificações:

-Tratamos apenas funções definidas a partir de t=0;- Introduzimos um fator multiplicativo ( e-rt ), de modo que f(t)e-rt se reduza a zero em t=∞

[ ] )()()( )()(00

)(

0

pFdttfedttfedtetfeF pttirtirt ≡===ω⇒ ∫∫∫∞

−

∞

ω+−ω−

∞

−

dpepFdepFdeepFtf

tdepFtfe

pt

i

tirtirt

tirt

∫∫∫

∫∞+

∞−

π

∞+

∞−

ω+π

∞+

∞−

ωπ

+∞

∞−

ωπ

−

=ω=ω=⇒

>ω=

)()()()(

)0( )()(

21)(

21

21

21

52


Conclusão

[para r=0 ⇒ p=iω ⇒ recuperamos a Transformada de Fourier]

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

π

=

=

dtetfpF

dpepFtf

pt

i

i

pt

i

)()(

)()(21

Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace é mais tratável analiticamente do que a Transformada de Fourier

54

RelaRelaçções entre domões entre domíínio do tempo & domnio do tempo & domíínio da freqnio da freqüüênciaência

No domínio da freqüência, as relações entre os sinais de

entrada e de saída para um circuito envolvem funções:

[ ]

dtd

RC

saídadtd

entrada

saídadt

d

entrada

saídadt

dQ

entrada

saídaentrada

p

RC

RC

R

RI

dtd

entrada

saída

saída

↔∴

=

+=

+=

+=

+=

+

v1v

vv

vv

vv

1

1v

v

v

Exemplo:

RCpV

V

entrada

saída

+= 11

)(

)(

ωω

C

R

VsVe

No domínio do tempo, as relações entre os sinais de entrada

e de saída são descritas por equações diferenciais:

dtd

entrada

saída

RCt

t

+=

1

1)(v

)(vC

R

VsVe

RCpV

V

entrada

saída

+= 11

)(

)(

ωω

55

[ ] [ ]ubbbyaaaubbbyaaa

om

m

mm

m

mon

n

nn

n

n

om

m

nm

m

mon

n

n

n

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

ud

dt

ud

dt

yd

ndt

yd

n

... ...

......

1

1

11

1

1

1

1

11

1

1

+++=+++⇒

+++=+++

−

−

−−

−

−

−

−

−−

−

−


Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.)

Caso Geral

{ } { }

[ ] [ ]{ }

[ ] [ ]

on

nn

n

om

mm

m

m

m

n

n

apapa

bpbpb

pU

pY

o

m

m

m

mo

n

n

n

n

pt

o

m

m

m

oo

n

n

n

ni

pt

o

m

m

m

mi

pto

o

n

n

n

ni

ptm

idt

d

ptn

idt

d

pt

i

pt

i

pUbpbpbpYapapa

dpepUbpbpbpYapapa

dpepUpbpbpbdpepYpapapa

dpepUptu

dpepYpty

dpepUtu

dpepYty

+++

+++

−−

−−

∞−

−−

−

∞−

−

∞−

−

∞

∞

∞

∞

−−

−−=∴

=+++−+++⇒

=+++−+++⇒

+++=+++∴

=⇒

=⇒

=

=

∫

∫∫

∫

∫

∫

∫

...

...

)(

)(

1

1

1

1

0

1

1

1

121

0

1

121

0

1

121

0

21

0

21

0

21

0

21

11

11

0)(...)(...

0)(...)(...

)(...)(...

)()(

)()(

)()(

)()(

π

ππ

π

π

π

π

56

))...()((

))...()((

))...()((

))...()((

...

...

)(

)(

01

''1

'

01

''1

'

11

11

pppppp

pppppp

a

b

ppppppa

ppppppb

apapa

bpbpb

pU

pY

nn

omm

n

m

nnn

ommm

on

nn

n

om

mm

m

−−−−−−

−−−

−−−

+++

+++

−

−

−

−

−−

−− ===

))...()((

))...()((

21

21)(n

m

n

m

pppppp

zpzpzp

a

b

pT −−−−−−=


Equação Diferencial ↔ Equação polinomial

Para Y(p) ≡ Vsaída(p) e U(p) = Ventrada(p)

⇒ A função de transferência, genericamente, tem m zeros e n polos

tpn

i

i

no

n

m

n

nnt

dt

yd

dt

yd

i

nn

onn

on

n

nn

n

n

eCty

pppaaaa

aaaey

yaaa

∑=

−−

−

=∴

=−−−=+++⇒

=+++⇒=

=+++

−

−

−

−

1

21

'1'

1

1

)(

0))...()(()...(

0...

0...

1

1

1

1

λλλλλλ

λλλλ

Solução para a equação homogênea

57

4a. aula

58


Exemplo 1

)(v )(v)(v

)(1

1

ttRCt

T

saídasaídadtd

entrada

RCp

+=∴

=ω +

C

R

VsVe

Para ventrada(t)=Vo t≥0

)1((...))(v

00)1(

(...)

0)(v )(v

)(v )(v

21

1

2

2

2

RCt

oRC

t

saída

RC

saídadtd

saídadt

d

saídasaídadtd

o

eVeKKt

p

pRCpppRCp

ttRC

ttRCV

−−

−

−==+=⇒

=

=⇒=+=+⇒

=+⇒

+=

59


Exemplo 2

)(v)(v)(v

)(1

tRCttRC

T

saídadtd

saídaentradadtd

RCp

RCp

+=∴

=ω +


[ ]

RCt

oRC

t

saída

RC

entradadtd

saídasaídadtd

saídasaídadtd

entradadtd

R

tsaídasaídaentradadt

d

eVeKt

pRCp

tRCttRC

ttRCtRC

ttC

−−

−

===⇒

=⇒=+⇒

==+⇒

=−⇒

=−

(...))(v

01

0 )(v)(v)(v

)(v)(v )(v

)(v)(v

1

1

)(v

R

C

VsVe

60


Exemplo 3

)(v)(v)(v)(v)(v

)(

2

2

21

1

tLCtRCttRCt

T

saídadt

dsaídadt

dsaídaentradadt

dentrada

LCpRCp

RCp

++=+∴

=ω++

+


( )

( ) ( )

( )

entradaentradadtd

saídasaídadtd

saídadt

d

entradaLCentradadtd

LR

saídaLCsaídadtd

LR

saídadt

d

Lsaídaentrada

Centradadtd

LR

dtd

Centradadtd

LR

saídadtd

LR

saídadt

d

CI

entradaLR

saídaLR

saídadtd

CI

saídaentradaLR

saídaentradadtd

entradadtd

Lsaídaentrada

dtd

dt

Idsaídaentradadt

d

dtdI

saídaentrada

CI

dtd

dt

Identradadt

d

C

Q

dtdI

entrada

RCRCLC

I

I

LL

IRL

RIL

vvvvv

vvvvv

vvvv

vvv

vvvvv

vvvv

v

v

2

2

112

2

vv112

2

vv

2

2

2

2

+=++⇒

+=++⇒

+=+=+⇒

+=+⇒

+−+−=∴

=

=−⇒=−

++=

++=

−

−

C

L

VoR

Vsaída

61

tptp

saída

LC

LCRCRC

LC

LCRCRC

saídadtd

saídadt

dsaída

dt

d

ooodtd

saídasaídadtd

saídadt

d

eKeKKt

p

pp

RCpLCpppRCpLCp

RCLC

VVVRCRCLC

23

121

22

42)(

12

42)(

223

2

2

3

3

2

2

)(v

)(

)(

0

0)1(

(...)

0vvv

vvv

++=⇒

≡

≡=⇒

=++=++

=++⇒

=+=++

−−−

−+−


62


Condições de estabilidade para um circuito [a partir dos polos da função de transferência]

))...()((

))...()((

...

...

21

21

11

11)(

n

m

n

m

on

nn

n

om

mm

m

pppppp

zpzpzp

a

b

apapa

bpbpbpT −−−

−−−

+++

+++ ≡= −−

−−

0...11 =+++−

− on

n

n

n apapa

[ ] 0v...111 =+++ −−− saídaodtdndtdn aaa nn

n

n

A função de transferência assume valores singulares quando:

A esta condição corresponde a equação diferencial homogênea:

Esta equação corresponde ao circuito sem sinal de entrada, e a

solução é:

tpn

i

isaídaieCt ∑

=

=1

)(v

63


Princípio de superposição aplicado a equações diferenciais ordinárias:

(t)S(t)Stwtuyaaa

(t)Stwyaaa

(t)Stuyaaa

on

n

n

n

on

n

n

n

on

n

n

n

dt

yd

ndt

yd

n

dt

yd

ndt

yd

n

dt

yd

ndt

yd

n

211

21

11

solução tem)()(...

solução tem)(... e

solução tem)(... Se

1

1

1

1

1

1

βα ++=+++⇒

=+++

=+++

−

−

−

−

−

−

−

−

−

Supondo u(t)=0 ⇒ S1(t) é a solução para a equação homogênea

∴A solução para a equação homogênea faz parte da solução geral

Mesmo que não conheçamos a solução para a resposta do circuito a um sinal qualquer, podemos ter informações sobre seu desempenho a partir dos polos da

função de transferência:

Conclusão

tpn

i

isaídaieCt ∑

=

=1

)(v

-Polo real > 0 ⇒ circuito instável, saturação;- Polo real < 0 ⇒ estável;

- Polo imaginário puro ⇒ oscilação.

Exemplos

64

O Teorema da O Teorema da ConvoluConvoluççãoão

A convolução entre duas funçoes g(t) e h(t) é uma função f(t) definida como:

∫∞

∞−

−=≡ τττ dthghgtf )()(*)(

Por outro lado, sabemos que:

[ ]

[ ]

[ ]ωτω

ωτ

ω

ω

ωτπ

τωπ

ωωπ

ωτω

ωωτ

ωωωωτ

ωωω

ω

iti

i

ti

H

iti

titi

eHdtethH

eHHthTF

deeHdeHth

dtethHdeHth

HthTF

−∞

∞−

−

−

∞

∞−

−∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

=−=⇒

==−∴

==−⇒

==⇒

=

∫

∫∫

∫∫

)()()('

)()(')(

)()()(

)()( ; )()(

)()(

)('

21)(

21

21

��

65

)()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)(

ωωω

ωωττω

τωττττ

ττττττ

τττω

ωτ

ω

ω

ω

ωω

ωω

ωτ

GHF

GHdegH

deHgddtethg

ddtethgdtdethg

dtedthgdtetfF

i

ti

eH

ti

titi

titi

i

=∴

==

=

−=

−=

−=

−==

−∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

−

∫

∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫

−

��

Dados vin(t) e a função de transferência T(ω) para um circuito, podemos obter vout(t) pelo seguinte processo:→T(t)=TF-1[T(ω)]→Vin(ω)=TF[vin(t)]

→Vout(ω)=T(ω)vin(ω)→vout(t)=T(t)*vin(t) ou TF

-1[Vout(ω)]

(*) Esta é uma alternativa à solução da equação diferencial

66

Teoremas de Teoremas de TheveninThevenin e de e de NortonNorton

Rcarga

Qualquer circuito

contendo fontes e

resistores Rcarga

ReqVs

Veq

Representação do Teorema de Thevenin

• Quando suprimimos a resistência de carga, não há passagem de corrente. Nesse caso, a diferença de potencial entre os terminais de saída do circuito é Veq. Ou seja, Veq é a

voltagem em regime de ‘circuito aberto’.

• Quando a resistência de carga é nula há passagem de corrente, I. Req é dado por Veq / I

• Na ausência de resistência de carga, Req é a resistência observada quando as fontes são reduzidas a curto-circuitos.

qualquer circuito contendo fontes de tensão e resistores pode ser reduzido a um circuito equivalente contendo apenas uma fonte de

tensão (Veq) e um resistor (Req) em série.

Teorema de Thevenin

67


Aplicação: Ponte de Wheatstone VR1 R2

R3 R4

Rcarga

Para encontrar Veq e Req :1) supomos que V é substituído por um curto-circuito e que a resistência de carga é suprimida

R1 R2

R3 R4

V

VA VB

R1 R2R3 R442

42

31

31

RR

RR

RR

RR

eqR ++ +=⇒⇒⇒⇒

2) Veq é a diferença de potencial entre os terminais de saída quando não há carga

( )42

4

31

3

RR

R

RR

R

BAeq VVVV ++ −=−=⇒⇒⇒⇒

68


• Os dois teoremas devem ser equivalentes

• Quando cirto-circuitamos todas as fontes ⇒ Veq = 0, Ieq = 0 e encontramos a equivalência ⇒ Req(Thevenin) = Req(Norton)

• Ieq é a corrente que circula por Req quando a resistência de carga é nula (curto circuito).

⇒ Ieq = Veq / Req

qualquer circuito envolvendo fontes de tensão e resistores pode ser reduzido um circuito equivalente contendo apenas uma fonte de

corrente (Ieq,) e um resistor (Req ) em paralelo.

Teorema de Norton

Qualquer circuito

contendo fontes

e resistores

Req

Veq ReqIeq

69


Exemplo

• Um detector de partículas (a gás ou semicondutor) é equivalente a uma capacitor – impedância C=Zeq;

• A detecção de uma partícula pode ser interpretada como uma fonte de corrente (equivalente Norton) ou uma fonte de tensão (equivalente Thevenin);

) constantes e ( 1ln)( oeqtt tK(t) VKtVo

=−=

Num detector a gás monofilar, a queda de tensão devida à absorção de uma partícula pode ser calculada:

No modelo Thevenin, a fonte de tensão (partícula detectada) está em série com a capacitância que representa a resistência de saída do detector (C=Zeq). A resistência de carga neste caso define um circuito

diferenciador (filtro passa-alta)

No modelo Norton, a partícula detectada equivale a uma fonte de corrente em paralelo com o capacitância do detector. Esta corrente está relacionada com a diferença de tensão entre os terminais do capacitor

RCt

etVtVsaída−

≈⇒ )()(

( ) - 1ln)( 12

KCtIoo tt

CKtt

dtd

eq −=−=

70

5a. aula

71

0=∑nós

iI

Regras de Regras de KirchoffKirchoff

• Qualquer circuito apresenta nós e malhas, pelas malhas circulam correntes, nos nós se estabelecem potenciais elétricos;

• Suponhamos que haja n correntes incógnitas num circuito que contém m nós. A soma das correntes que convergem a cada nó se anula. Portanto:

• Esta condição pode gerar m-1 equações;

• No total, como há n correntes incógnitas, pode haver no máximo n equações;

• A soma das quedas de tensão nas malhas também deve se anular:

0=∑malhas

iV

• Desta última só podem surgir n-(m-1) equações independentes;

As regras de Kirchoff permitem estabelecer o sistema de equações lineares independentes e encontrar sua solução ⇒ identificar todas as tensões e todas as correntes envolvidas no circuito;

Queremos determinar as correntes (em todos os componentes) e as tensões (em todos os pontos) de um circuito

72

I1=∆V1/R1I2=∆V2/R2

.

.

.

In=∆Vn/Rn

0=∑malhas

iV

0=∑nós

iI

n equações para as n correntes

Em cada nó: ⇒

(I1+I2+...)nó 1 = 0

(I1+I2+...)nó 2 = 0

.

.

.

(I1+I2+...)nó m = 0

01

=∑=

m

i

iI⇒ ⇒

m-1 equações independentes:

Cada uma delas é um vínculo a ser considerado nas n equações

para as correntes

⇒ No total: n-(m-1)equações independentes

Considerando as quedas de tensão nas malhas

⇒Supondo que estas relações geram equações independentes

⇒ o circuito deve ter n-(m-1) malhas e n-(m-1) correntes independentes


73ca

bc

c

b

ba

a

III

III

II

II

III

II

−=

−=

=

=

−=

=

6

5

4

3

2

1

=

+−−−

−+−−

−−+

0

0

)(

54353

55211

3131 V

I

I

I

RRRRR

RRRRR

RRRR

c

b

a

=−−+−

=−−−−

=−+−

0)()(

0)()(

)()(

435

251

31

ccabc

bbcba

caba

IRIIRIIR

IRIIRIIR

VIIRIIR


V

R1 R2

R3 R4

Rcarga

I1

I2 I3

I4

I5

I6

I1

Ia

V

Ib

Ic

6 correntes, 4 nós ⇒ 6-(4-1) = 3 equações independentes ⇒ 3 malhas

0=∑malhas

iV ⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒

74

[ ][ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]ViRDetVRDet

I

RDet∆

VIR

i

VRDet

ii

por asubstituíd coluna com onde

são soluções As

Seja

=→

=

=

=

∆→

[ ] [ ]{ }

[ ] [ ]{ }

{ }41325

53514131533231515

5354315213515

5433

51

331

53

5211

131

15

)()(

0

0

)(

0

0

)(

RRRRI

RRRRRRRRRRRRRRRRI

RRRRRRRRRRRRI

RRRR

RR

RVRR

Det

RR

RRRR

VRRR

DetIII

V

V

V

bc

−=

++−−+−++−=

−+−−−−+−−−−=

+−−

−

−+

−

−

+−−

−+

=−=

∆

∆

∆

∆


3

41

25 0 RRR

RI =⇒=

75

Materiais SemicondutoresMateriais Semicondutores

Os átomos de um material semicondutor são dispostos em uma rede cristalina. Enquanto em um átomo isolado os níveis de energia acessíveis a um elétron são discretos, quando ordenados na

rede os níveis se subdividem (degeneração) a tal ponto que para o cristal podemos identificar bandas de energia. A chamada banda de valência é ocupada por elétrons ligados aos átomos e a banda de condução contém os elétrons livres para circular pela rede cristalina. Entre as bandasde condução e valência existe a banda ‘proibida’, no sentido de que não há probabilidade para

que um elétron do cristal tenha energia com valor dentro desta banda.

Valência Condução Proibida Intersecção

ISOLANTE SEMICONDUTOR CONDUTOR

∼ 6 eV ∼ 1 eV

Classificação de materiais em termos da estrutura de bandas de energia acessíveis aos elétrons

76


Na rede cristalina de um semicondutor puro (também denominado intrínseco) a temperatura ambiente, existe uma probabilidade não nula para que elétrons passem para a banda de

condução, de modo que pares elétron-buraco são constantemente gerados. Em condições de equilíbrio elétrico e térmico a concentração ni de elétrons ou buracos pode ser expressa por:

Semicondutor intrínseco

n T ei

E

kT

g

≈−

3 2 2/

a 300 K, ni ≈ 2.5 x 1013 /cm3 ( para silício) e 1.5 x 1010 /cm3 (para germânio).

Densidade do próprio semicondutor ≈ 1022 átomos/cm3.

T é a temperatura em K, Eg é a diferença de energia entre bandas a 0o K, k é a constante de Boltzmann

Exemplo:

77


• Tanto silício quanto germânio são átomos tetravalentes;

• A substituição de um dos átomos da rede por um átomo pentavalente equivale a acrescentar um elétron à rede, enquanto que a substituição por um átomo trivalente equivale a acrescentar um buraco;

• Os semicondutores dopados são referidos como ‘tipo-n’ e tipo ‘tipo-p’. Nos semicondutores tipo-n a corrente elétrica é principalmente determinada pelo movimento de elétrons, e nos tipo-p pelo movimento de buracos;

• Impurezas tipicamente usadas: fósforo, arsênio, antimônio, gálio, índio e boro;

• No semicondutor dopado o equilíbrio elétrico é mantido, já que o átomo acrescentado também é eletricamente neutro.

Semicondutor dopado

Elétron em excesso Buraco em excesso

78


• Uma junção p-n é obtida quando se fabrica um semicondutor tipo-p justaposto a um tipo-n;

• Na região de interface entre os dois, haverá tendência dos elétrons a migrar para a região tipo-p, e dos buracos a migrar para a região tipo-n;

• A região tipo-n torna-se carregada positivamente por haver capturado buracos, e a região tipo-p torna-se carregada negativamente por haver capturado elétrons;

• Um campo elétrico se estabelece, com uma diferença de potencial tipicamente da ordem de 1V.

Junção de semicondutores

np

Diodo = dispositivo semicondutor formado pela junção de dois semicondutores dopados com polaridades opostas

79

DiodosDiodos

• O diodo pode ser polarizado de modo a favorecer ou a bloquear a passagem de corrente;

• Se aplicamos uma diferença de potencial entre os terminais p e n, de modo que do lado n o potencial seja inferior ao do lado p, favorecemos a migração de portadores de carga através da junção. Haverá

portanto passagem de corrente pelo diodo.

• O movimento de elétrons é oposto ao que convencionalmente adotamos para simbolizar a direção da corrente elétrica (do potencial positivo para o negativo).

• Invertendo a diferença de potencial, ou seja, aplicando ao lado n um potencial superior ao do lado p, estaremos confinando ainda mais os elétrons à região p e os buracos à região n. Neste caso somente

uma pequena corrente residual passa pela junção, em direção oposta à anterior.

• A magnitude desta corrente residual depende da temperatura, da concentração de impurezas p e n, e está também relacionada com as características do material semicondutor.

• Sob polarização reversa, a região de interface da junção p-n fica desprovida de portadores de carga.

• Quanto maior a diferença de potencial reversa, maior a região desprovida de portadores de carga, chamada de ‘região de depleção’.

80

Polarização do diodo:À esquerda: polarização favorável ⇒ passagem de corrente;

À direita: polarização reversa ⇒ aumento da região de depleção.

np n p

DiodosDiodos

kTeV

kTeV

o

o

o

KeI

eII

−

=

−= 1

V

I

≈ 0,6 Volts

No diodo, a relação matemática entre V e I é não-linear

V≠ ZI

81

DiodosDiodos

Aplicação básica: retificador de forma de onda (meia onda)

Função do resistor R: limitar a corrente que passa pelo diodo

Ve R

Vs

Ve

t

Vs

t

82

DiodosDiodos

Aplicação: retificador de forma de onda (onda completa)

Ve

R

Vs

D1

D3 D4

D2

Ve

t

Vs

t

83

DiodosDiodos

Aplicação: fonte de tensão

Ve

R

Vs

D1

D3 D4

D2L

C C

Fonte de alimentação DC, com retificação completa e filtragem LC

Ve

R

VsD1

D3 D4

D2L

C C

Vs

t

84

DiodosDiodos

• Em um diodo polarizado na direção oposta à condução de corrente, a diferença de potencial tende a aumentar a região de depleção, confinando elétrons e buracos em lados opostos da junção;

• Aumentando esta diferença de potencial chega-se a um limite de ruptura, Vz, a partir do qual elétrons são desprendidos de suas posições na rede cristalina, e acelerados em direção ao eletrodo correspondente;

• Um elétron nestas condições colide com outros elétrons, que por sua vez colidem com outros e contribuem em uma avalanche de carga elétrica;

• Resulta que uma corrente importante passa pelo diodo, e esta corrente não é necessariamente destrutiva. Fabricam-se diodos que podem suportar correntes reversas de até alguns amperes.

Diodo Zener

V

I

Vz

85

DiodosDiodos

Aplicação do Diodo Zener: regulagem de tensão

Ve

R

Vs

D1

D3 D4

D2L

C C

Fonte de alimentação DC, com retificação completa e filtragem LC

Ve

R

VsD1

D3 D4

D2L

C C

86

6a. aula

87

DiodosDiodos

Diodo Zener: condições para regulagem

VI

VIRV

fRfR

fV

ff

1

0

−=⇒

=−−

Rc

Rf

Vf

V

Fonte não regulada

I

Fonte com regulador Zener

Rc

Rf

Vf

V=Vz

I

Diodo operante ⇒ Iz >0

III

III

cz

cz

+=

0

Corrente na carga

cRV

cI =

88

f

f

R

V

fI =

V

I

Vz Vf

IfIz

Regulagem

cRV

cI =

DiodosDiodos

Diodo Zener: condições para regulagem

89

DiodosDiodos

Modulação e demodulação de freqüência

)1()( −= xeKxf ...)( 362

2+++= xxKxxf KK⇒⇒⇒⇒

( )1)( −= kTeVeIVI o ⇒⇒⇒⇒ 221 VaVaI += 1 para

90

DiodosDiodos

Circuito de modulação

ω1>>ω2

ω1L1 C1 L1 C1

ω2

ω1

0 20 40 60 80 100

-3

-2

-1

0

1

2

3

V(t)=[2+senω2t]senω1t

ω1=10ω2

V(t)

t

91

DiodosDiodos

L1 C1ω1

RC

92

Transistores bipolaresTransistores bipolares

b

e

c

b

e

c

b

e

c

b

e

c

npn pnp

Junções

Símbolo

Circuito

• Componentes obtidos por uma dupla junção (npn ou pnp);

• A dupla junção determina 3 terminais: base, emissor, coletor;

• Da base para o emissor há um diodo, que é polarizado para conduzir corrente;

• Da base para o coletor há um diodo polarizado reversamente, funcionando como “reservatório” de portadores de carga ⇒ a corrente de saída provém desta junção

93


Fornecer corrente de saída Ie (no emissor) às custas do coletor. Este último obtém corrente de uma fonte de alimentação externa.

“MISSÃO” do Transistor:

A corrente total disponbilizada no emissor é dada por: Ie=Ic+Ib onde Ib é a corrente na entrada (base).

A eficiência de um transistor é medida por:

e

c

I

I=α

( ) ( )

bbc

bcc

b

I

bec

III

III

IIII c

βαα

αα

α

α

≡=∴

==−⇒

−=−=

−

−

1

11 1

94


ambiente a 26 com , 1 TmVe

kTT

TVBEV

SC VeII ≈=

−=

A corrente no coletor é dada por (modelo de Ebers-Moll):

VBE = diferença de potencial entre base e emissor

Para que o transistor funcione deve haver uma polarização mínima entre coletor e emissor:

IC

VCE

(VBE)3

(VBE)2

(VBE)1

Região de Operação

95


),( CEBECC VVII =

CEV

I

BEV

I

c dVdVdICE

C

BE

C

∂∂

∂∂ +=

Parâmetros intrínsecos para o transistor em regime dinâmico

CEV

I

BEV

I

cCE

C

BE

Ci vv∂

∂

∂

∂+=

CEV

I

BEV

I

c CE

C

BE

Bi vv ∂∂

∂∂ += β

C

CE

B

BE

I

V

I

Vr ∂

∂∂

∂ == ρ e , Definimos:

sintrínseco parâmetros 1 =

→+=

ρβρ

β

r

i CEBErc vv⇒⇒⇒⇒

96


B

BE

C iBEir

vv =≈ β

BErci vβ≈

Como ρ ≈ ∞

⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒ ( r = resistência de entrada do transistor )

T

C

T

SC

T

TVBEV

STVBEV

BEBE

C

V

I

V

II

V

eI

s

IeI ≈==

−= +∂

∂∂∂

1vv

(mA)

26

bImV

bITV

cITV

cIBEV

bIBEV

r

r

≈⇒

=β=β== ∂∂

∂∂

97


Circuitos Básicos

Base

Coletor

Emissor Base

Emissor

Coletor Emissor

Base

Coletor

Coletor comum Emissor comum Base comum

• ganho em tensão (Av)

• ganho em corrente (Ai)

• impedância de entrada (Ze)

• impedância de saída (Zs)

• ganho em potência (Ap = AvAi)

98

7a. aula

99


Coletor comum

VCC

ve

vs

RE

Mais precisamente:

constante 6,0 ≈≈− EB VV se vv ≈⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒ 1A ≈v

EEB iRri +=ev ( )[ ] BE iRr 1+β+=ev ( ) BEEE iRiR 1+== βsv

( )( ) E

E

Rr

R

1

1

+++== β

β

e

s

v

v

vA⇒⇒⇒⇒

Ganho em tensão:

100


Coletor comum

( ) ( ) eBEs iiii 1 1 +β=+β==Ganho em corrente:

ββ ≈+== 1e

s

i

i

iA

Impedância de entrada: ( )[ ] ( ) EEBiBiERr

BieieRRrZ β≈+β+==== +β+ 1 1bvev

ve (=vB) vs (=vE)r

RE

iB

iE

ve (=vB) vs (=vE)r/(β+1)

RE

iE

iE

Impedância de saída:

( )( ) 11

1

1+β+β+

+β

++β

=⇒== rsERrER

ERr

ER Zees vvv

101


Emissor comum

VCC

ve

vs

RE

RC

VCC

ve

vs

RE

RC

C

VCC

ve

vs

RC

CCCCC IRVV −= CCiR−== cs vv

CEEE iRiR ≈=≈= EBe vvvE

C

CE

CC

R

R

iR

iR −=≈ −vA

Ganho em tensão:

⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒

Fazer RE=0 ⇒ máximo ganho em tensão

102


Mais precisamente:

( )[ ] BEEEB iRriRri 1++=+= βev

( )[ ] BEEEB iRriRri 1++=+= βev ( )[ ]( )

( )[ ] ( ) EC

BE

BC

BE

CC

Rr

R

iRr

iR

iRr

iR

1 1 1 ++++++

− −=−==∴ ββ

ββ

βvA⇒⇒⇒⇒

eBCs iiii ββ ===

eBCs iiii ββ ===

⇒⇒⇒⇒

Ganho em corrente:

β=iA

( )[ ] ( ) EiiRr

ieRrZ

B

BE

B1

1 ++=== ++ ββBv

Impedância de entrada:

Impedância de saída:

Se RC é a carga ⇒ corrente vem da junção base-colegor⇒ρ é a impedância de saída

Se a carga é externa ⇒ a corrente vem de ρ || RC ⇒ ρ || RC é a impedância de saída

ve vs (=vC)ρ

RC

iC

iC

ve vs (=vC)ρ ||RC

RcargaiC

iC

103


Base comum

Ganho em tensão

VCC

ve

vs

RE

RC

VBB

r

R

ri

iR

ri

iR C

B

BC

B

CCAββ === −

−v

Ganho em corrente

( ) 1 1 −≈−== +

−

B

B

E

C

i

i

i

i

iA ββ

Impedância de entrada

11

1

1|| +β+

+β

+β+β ≈==

r

ERr

ERr

Er

in RZ

ve

REie r/(β+1)

O sinal de entrada continua sendo uma variação de tensão entre base e emissor

B

EB

ri

VrI

−=⇒

=−

e

BB

v

V

104


Mais precisamente:

−==

=−≈−====∴

−=⇒−=⇒=−−

+−=⇒+=

++++−−+−

+++−−+−

++externa) (carga

) (carga 1

0

)1(

carga

cargacarga

)1()1(

)1(

)1()1(

)1(

RR

R

ii

i

ii

i

Cii

i

ii

i

i

BRr

RREBREBBB

BReeER

C

C

ERr

BBERr

RCRCR

B

BER

RCRCR

C

ERr

BBERr

B

BER

C

EEEE

EE

R

A

iiiRriIRrIV

iiiiii

ββ

β

β

β

ββ

ββ

β

β

e

s

i

i

VCC

iE

vs

RE

RC

VBB

(0.6V) iRE

ieve

Rcarga

isiC

iRC

CRR

R

R

CRR

R

s

RsC

ii

ii

iii

CC

C

C

C

carga

carga

carga

+

+

=

=

+=

Impedância de saída: idêntico ao caso emissor comum

105


Resumo

106

Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))

(*) FET = Field Effect Transistor

• Dois terminais condutores são previstos nas extremidades opostas de uma região dopada com excesso de portadores tipo n.

• Entre estes terminais implanta-se uma região com excesso de portadores tipo p. Os terminais condutores são denominados ‘fonte’ (referido como S, de source) e ‘dreno’ (referido como D, de drain).

• O terceiro terminal é implementado na região p, e é denominado ‘porta’ (referido como G, de gate).

•Estabelecendo-se uma diferença de potencial entre D e S (VDS) favorece-se a passagem de corrente de S a D (canal S-D).

• O valor desta corrente não varia linearmente com VDS. Supondo que porta e fonte estejam ao mesmo potencial (VGS=0) ⇒ à medida em que se aumenta VDS, forma-se uma região de depleção cada vez maior entre G e D.

J-FET, canal n

n

p p

S

D

VGS=0

n

p p

S

D

G

D

S

VGS

107

• Para valores de VDS muito pequenos o volume da região de depleção é desprezível, e a corrente nesse caso varia linearmente com VDS.

• Se aumentamos o valor de VDS, aumentamos o volume da região de depleção ⇒ a resistividade do canal S-D também aumenta, de modo que relação de linearidade entre corrente e VDS égradualmente perdida.

• Continuando a aumentar VDS , chega-se a uma situação limite em que as duas regiões de depleção praticamente se encontram através do canal.

• A partir deste limite, incrementos de VDS são contra-balanceados pelo incremento da resistividade do canal, de tal forma que a corrente permanece aproximadamente constante para uma ampla faixa de valores de VDS.

• O valor de VDS para o qual a situação limite é atingida é conhecido como tensão de ruptura (pinchoff)do canal.

• Esta tensão marca o início da região de operação do dispositivo como um transistor. Além da região de operação, ou seja, para valores de VDS muito elevados, ocorre ruptura da própria junção pn.

• Caso a tensão VGS seja menor que zero a mesma análise é válida, mas observamos que a corrente obtida na região de operação é menor do que a verificada quando VGS=0. Isto se deve essencialmente ao fato de que VGS

108

Curvas características ID x VDS para transistores a efeito de campo com canal n.

ID

VDS

(VGS)1

(VGS)2

(VGS)3

Região de Operação

Ruptura (pinchoff)


( )21T

GS

V

V

DSSD II +=

Modelo matemático para ID x VGS para transistores a efeito de campo com canal n.

IDSS = Corrente “Drain to Source with gate Shorted”

109


),( DSGSDD VVII =

DSV

I

GSV

I

D dVdVdI DSD

GS

D

∂∂

∂∂ +=⇒

DSGS vv ρ1+= siD

D

DS

GS

D

I

V

V

Is ∂

∂∂∂ == ρ ,

DisGSv≈1ρ ≈∞ ⇒

s = transcondutância do FET

Parâmetros intrínsecos para o FET

110


Outros tipos de FETs

Caso substituamos o semicondutor presente no canal por outro dopado com impurezas do tipo p e o gate por um do tipo n, chegamos a um dispositivo que também opera

como transistor. A diferença é que no FET com canal p a polarização VGS tem que ser invertida relativamente ao n-FET. A equação para ID em função de VGS muda para:

J-FET canal p

( )21T

GS

V

V

DSSD II −=

ID

VGS

IDSS

VT

n-FET

ID

VGS

IDSS

VT

p-FET

111


G

S

D

Substrato

Canal

Esboço genérico da implementação de um FET

n

GS D

SiO2

Substratop

MOS-FET

GS D

SiO2

Substratop

enhanced MOS-FET

MOS-FET, Insulated Gate FET, Enhancement FET

112

VGS

ID

IDSS

VT

Depletion n-

FET

ID

VGSVT

Enhancement

n-MOSFET

VT

ID

VGS

Enhancement &

depletion n-MOSFET


Dependência ID x VGS

Pelo controle da geometria, composição e polarização (inclusive do substrato) podem-se obter diferentes características de operação para os FETs

113

8a. aula

114


• A principal característica dos transistores a efeito de campo é a alta impedância de entrada.

• No caso dos MOSFETs, como o terminal de entrada está fisicamente isolado dos outros terminais, a resistência de entrada atinge valores altíssimos, tipicamente da ordem de 1014 Ω. Sinais elétricos são transmitidos devido essencialmente a variações de campo elétrico através do material isolante presente entre o eletrodo de entrada e o semicondutor. Por isto: “transistores a efeito de campo”.

• No caso dos FETs de junção, ou J-FETS, a impedância de entrada também é alta porque a junção semicondutora gate-source é polarizada reversamente.

Configurações básicas de circuitos com FETs

VDD

ve

vs

RS

RD

C

RG

FET em modo source-comum.

D

sR

v

DD

DDsDDDDD

sRA

sRssi

iRVVIRV

D −===⇒

−=⇒==

−=⇒==−

−

e

e

e

S

v

v

v

v

eseGS

s

vvvv

v

( )0

1

max

2

=⇒

+== ∂∂

GS

TVGSV

TVDSSI

GSVDI

Vs

s

Ganho em tensão é máximo quando VGS=0

115


• A impedância de entrada é praticamente infinita;

• Justamente por isto, é importante a presença do resistor RG, para fixar o ponto de polarização do gate.

• A impedância de saída é obtida pelo mesmo raciocínio usado para a configuração emissor-comum ou base-comum de transistores bipolares: RD || ρ (carga externa) ou ρ (se RD é a própria carga).

• Não faz muito sentido computar o ganho em corrente para um FET, pois não há corrente de entrada.

Outra possível montagem com FET

FET em modo dreno comum

VDD

ve

Vs

RS

RG

s1

)1(

saída de impedância

: tensãodeDivisor

)1(

)(

1 =⇒=

==∴

=+⇒=

−====

+

+

es

v

v

eseG

SGGSs

vv

vvvv

vvvv

e

s

ss

s

s

s

R

R

sR

sR

v

ss

sSDSSS

A

sRsR

sRsRiRiR

A mesma corrente passa por source e dreno:

116

AssociaAssociaçções de Transistoresões de Transistores

Montagem Darlington

iC

T1

T2

iC1

iC2iB1

iB2

iE1

iE2

Montagem a Transistor Complementar

T1

T2iC1

iC2

iB1

iB2

iE1iE2

Montagem Cascode

Exemplos de associações

r1

β1β

2 /(β

2+1)Cascode

r1

β1β

2+(β

1+1)Complementar

r1+r

2(β

1+1)β

1+β

2(β

1+1)Darlington

reqββββeq

117

Transistores: variedade de aplicações praticamente inesgotável

• Amplificadores (de carga, de tensão, de corrente, de potência)

• Filtros ativos (em combinação com resistores, capacitores e indutores)

• Adaptadores de impedância

• Fontes (de corrrente, de tensão)

• Sensores (de temperatura, de luz)

• Chaveadores a alta frequência

• Portas lógicas

(...)


118


Amplificador diferencialv+

AD vs=AD(v+-v-)

v-

[ ]

[ ]

−=

+=

∴

=−

=+⇒

−=−

++++=+⇒

+++=+=

+++=+=

−+−+

−+−+

−+

−+

−++

+

−++

+

−

+++

−+

−+

−

+

rRrB

rRrB

rBB

RrBB

BBinin

BBBBinin

BBBBin

BBBBin

inininin

inininin

inin

inin

i

i

ii

ii

iir

iiiir

iiriRiri

iiriRiri

vvvv

vvvv

vv

vv

vv

vv

v

v

)1(221

2

)1(221

1

21

)1(221

21

2121

2122

2111

)(

))(1(2)(

))(1(

))(1(

β

β

β

β

β

β

}

))(1(

)1()1(

21

2121

22

BB

BBEE

BCCCout

iii

iiiii

iRiR

++β=∴

+β++β=+=

β−=−=v

RC

Vin+

VCC

R

RC

Vin-

V’out Vout

T1 T2

i

119


( ) ( )[ ]( ) ( )

[ ])1(22

2

)1(22

22

++

−+−+

+++−

=

=

++−=

−=

−=−=−+−+

ββ

β

ββ

β

Rr

R

C

r

R

D

ininCininDout

Rrr

R

out

BCCCout

C

C

ininininC

A

A

AA

iRiR

vvvvv

v

v

vvvv

( ) ( )[ ]( ) ( )−+−+

+++−

++−−=

+−=

−=−=−+−+

ininCininD

Rrr

R

BCCC

AA

iRiR

out

ininininC

out

out

vvvvv

v

v

'

vvvv'

'

)1(22

11

ββ

β

⇒ Chegamos ao amplificador diferencial, desde que tenhamos AC=0

( )−+ −=⇒ ininDout Aout vvv-v ' 2 ⇒ Poderíamos tomar o sinal de saída entre vout e v’out , mas desta maneira nenhum dos dois poderia ser conectado ao terra

120


⇒ A melhor maneira de se obter o amplificador diferencial é fazer AC=0

[ ]

∞=⇒=

= ++RA

A

C

Rr

R

CC

0

)1(22 ββ

Com isto obtemos um dispositivo do tipo

+

-

Vin+

Vin-

Vout

121


Para fazer R=∞

R2

VCC

R4

R1

T3 T4

I3 I4

R3

31

3

3

33

3

31

RR

VV

BECC

EC

BECCI

IRVIRV

II

+−=

++=

≈

334

44

4

33

3

4

3

4

3

4

43

III

IRVIRV

R

R

R

R

R

VV

BEBE

BEBE ≈+=

+=+−

• I3 e I4 não dependem de R2 ;

• Para R3=R4 ⇒ I3=I4 ;

• Variações de tensão sobre R2 vêm impedância infinita ( ρ );

∴ Este circuito pode ser usado como um componente de resistência infinita pelo qual passa corrente i

122

R1

T4

R4

T3

R3

RC

Vin+

VCC

RC

Vin-

V’out Vout

T1 T2

Amplificador OperacionalAmplificador Operacional

Ponto de partida: amplificador diferencial

Adicionam-se: estágio de ganho + estágio de driver

• Ganho elevado (da ordem de 106)• Impedância de entrada alta• Impedância de saída baixa

123


vout

vd

+VSAT

-VSAT

≈ µV

• vd ≈ 0⇒ terra virtual

• O amplificador operacional geralmente trabalha com realimentação negativa (para sair da saturação)

124


Aplicações “clássicas” dos amplificadores operacionais

“Buffer”

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

Amplificador inversorAmplificador não-inversor Somador

Subtrator DiferenciadorIntegrador

125

Banda passante: influência de capacitânciasBanda passante: influência de capacitâncias

Influências externas

Capacitores são introduzidos para realizar acoplamento AC, desacoplamento DC, e também como componentes “parasitas” somados ao circuito de carga

A

γ

C

Circuito equivalente

out

outTv

v'

v'

v=vinAvvin γ

C

v’

voutRout R

126


RCiR

outRZi

AZ ZT ω+++ωγ

==11

;

γ e ω são tipicamente diferentes em magnitude:

γ → grande (acoplamento, desacoplamento)

C → pequena (parasita, residual)

)(1

"1

'1

"

'

outRR

CoutRRoutRR

outRRAR

o

i

oT

i

oT

TT

T

T

+γ

+

+

ωω−

ωω+

=ω

=ω

=≈

≈

≈ → Freqüências altas (passa-baixa)

→ Freqüências baixas (passa-alta)

→ Freqüências intermediárias

127


Influências internas

As influências internas são devidas à capacitância das próprias junções de semi-condutores;

A mais importante é a capacitância de base para coletor, pois implica realimentação de sinal.

O efeito final se traduz sobre uma variação do parâmetro β com a freqüência:

BCBE

rC

i

o

CCC | |

1

1

=

=ω

=β

β

βωω+

β

BCBE

fTf

f

of

if

of

CCC

ff

f

| |

21

=

≡≈β⇒≈β⇒>>

=

βββββ

βπωβ

fT é fornecido pelo fabricante.

fT é a frequência para a qual β se reduz a 1.vin CCE voutr C

ρ | | Rcarga

128


rCio

rCisr

BiCi

rCir

Bi

Ci

inZBiC

i

BE

Ci

rCir

in

inZBE

B

BiCi

s

CrZ

i

ω+β

ω+

ω+

ω+

==β=⇒

==≡

==

=

=β

11

1

1| |

v

v

129

EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas

Como detectar partículas ?

Radiação

Interação

Detecção

• Radiação transporta energia, como se fosse composta por partículas objetivamente

identificáveis, cada uma veiculando uma contribuição quantitativa (quanta)

• A detecção de partículas implica conversão da energia em algum tipo de sinal mensurável

(Exemplos: sinais elétricos e luminosos)

130


Abordagem básica

RRadiação

incidente

Circuito elétrico equivalente

Thevenin

R

C

Vs

V(t) RC

Vs

I(t)

Norton

C = capacitância do detector

R = impedância do amplificador

131


Montagem prática – detector a gás

• Partícula ioniza moléculas do gás

• Elétrons e íons migram em direção aos eletrodos

• O movimento de cargas gera um sinal elétrico u(t)

( )

+−=

++ t

rp

CVqtu

2

00

0

0

1ln2 πεε

µπεε

A ação de R e C sobre o sinal se reduz a:

( ) ( )

−≅ +RC

ttutu exp

132

Registro de posição da partícula detectada

Posição ≈≈≈≈ tempo de propagação dos sinais através da linha de retardo

CorpoJanela

Anodo

Catodo


133

Estrutura para detecção bidimensional

2,54mm

0,3mm

1,50mm

-15-10

-50

510

15

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

-15

-10

-50

51015

(a)n = -3 a 3

b = 3mm

FWHM = 4,68mm

σ(x,y)*10-15

y(mm)

x(mm)


134

Montagem Mecânica


135

Módulos de Eletrônica


136

Parte Analógica: pré-amplificadores

Composição espectral dos sinais gerados no detector


137


Circuito de pré-amplificação: baixo ruído, banda passante adaptada à composição espectral do sinal


138


Banda passante simulada Banda passante medida


Documents

Centro Brasileiro de Pesquisas F ísicas (CBPF) · 2010. 4. 9. · Amplificadores Operacionais Circuitos básicos envolvendo amplificadores operacionais Realimentação Osciladores