Humberto José Bortolossi

Cálculo I

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 17

13 de novembro de 2007

Aula 17 Cálculo I 1

Ainda sobre derivadas de funçõestrigonométricas

Aula 17 Cálculo I 2

A função seno

Se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).

Aula 17 Cálculo I 3

A função cosseno

Se y = f (x) = cos(x), então f ′(x) = − sen(x).

Aula 17 Cálculo I 4

A função tangente

Se y = f (x) = tg(x) =sen(x)

cos(x), então f ′(x) = sec2(x).

Aula 17 Cálculo I 5

A função secante

Se y = f (x) = sec(x) =1

cos(x), então f ′(x) = sec(x) · tg(x).

Aula 17 Cálculo I 6

A função cossecante

Se y = f (x) = cossec(x) =1

sen(x), então f ′(x) = − cossec(x) · cotg(x).

Aula 17 Cálculo I 7

A função cotangente

Se y = f (x) = cotg(x) =cos(x)

sen(x), então f ′(x) = − cossec2(x).

Aula 17 Cálculo I 8

Identidades trigonométricas

cos2(x) + sen2(x) = 1, 1 + tg2(x) = sec2(x) e

1 + cotg2(x) = cossec2(x).

Aula 17 Cálculo I 9

A função arco seno

Se y = f (x) = arcsen(x), então f ′(x) =1√

1− x2.

Aula 17 Cálculo I 10

A função arco cosseno

Se y = f (x) = arccos(x), então f ′(x) = − 1√1− x2

.

Aula 17 Cálculo I 11

A função arco tangente

Se y = f (x) = arctg(x), então f ′(x) =1

1 + x2 .

Aula 17 Cálculo I 12

Qual é o formato de um cabo suspenso?

Aula 17 Cálculo I 13

As funções hiperbólicas

Aula 17 Cálculo I 14

A função cosseno hiperbólico

Se y = f (x) = cosh(x) =ex + e−x

2, então f ′(x) = senh(x) =

ex − e−x

2.

Aula 17 Cálculo I 15

A catenária

Aula 17 Cálculo I 16

A catenária

Aula 17 Cálculo I 17

A catenária

Aula 17 Cálculo I 18

A função seno hiperbólico

Se y = f (x) = senh(x) =ex − e−x

2, então f ′(x) = cosh(x) =

ex + e−x

2.

Aula 17 Cálculo I 19

A função tangente hiperbólica

Se y = f (x) = tgh(x) =senh(x)

cosh(x), então f ′(x) = sech2(x) =

1cosh2(x)

.

Aula 17 Cálculo I 20

A função secante hiperbólica

Se y = f (x) = sech(x), então f ′(x) = − sech(x) tgh(x).

Aula 17 Cálculo I 21

Identidades

cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).

Aula 17 Cálculo I 22

Sistemas de computação simbólica

Aula 17 Cálculo I 23

Maple

Aula 17 Cálculo I 24

Maxima

Aula 17 Cálculo I 25

Polinômios de Taylor

Aula 17 Cálculo I 26

Polinômios de Taylor de ordem 1

Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?

É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!

Usaremos os critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).

Aula 17 Cálculo I 27

Polinômios de Taylor de ordem 1

Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?

É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!

Usaremos os critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).

Aula 17 Cálculo I 28

Polinômios de Taylor de ordem 1

Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?

É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!

Usaremos os critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).

Aula 17 Cálculo I 29

Polinômios de Taylor de ordem 1

Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?

É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!

Usaremos os critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).

Aula 17 Cálculo I 30

Polinômios de Taylor de ordem 1

Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?

É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!

Usaremos os critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).

Aula 17 Cálculo I 31

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 32

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 33

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 34

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 35

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 36

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 37

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 38

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 39

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 40

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 41

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 42

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 43

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 44

Polinômios de Taylor de ordem 1

Critérios:

(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),

onde y = l(x) = a x + b.

De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).

Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.

Logo:

y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)

é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!

Aula 17 Cálculo I 45

Polinômios de Taylor de ordem 2

Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?

Critérios:

(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).

Contas mostram que:

y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)

2(x − p)2.

Aula 17 Cálculo I 46

Polinômios de Taylor de ordem 2

Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?

Critérios:

(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).

Contas mostram que:

y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)

2(x − p)2.

Aula 17 Cálculo I 47

Polinômios de Taylor de ordem 2

Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?

Critérios:

(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).

Contas mostram que:

y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)

2(x − p)2.

Aula 17 Cálculo I 48

Polinômios de Taylor de ordem 2

Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?

Critérios:

(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).

Contas mostram que:

y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)

2(x − p)2.

Aula 17 Cálculo I 49

Polinômios de Taylor de ordem 2

Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?

Critérios:

(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).

Contas mostram que:

y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)

2(x − p)2.

Aula 17 Cálculo I 50

Polinômios de Taylor de ordem 2

Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?

Critérios:

(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).

Contas mostram que:

y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)

2(x − p)2.

Aula 17 Cálculo I 51

Polinômios de Taylor de ordem 2

Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?

Critérios:

(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).

Contas mostram que:

y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)

2(x − p)2.

Aula 17 Cálculo I 52

Polinômios de Taylor de ordem 2

Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?

Critérios:

(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).

Contas mostram que:

y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)

2(x − p)2.

Aula 17 Cálculo I 53

Polinômios de Taylor de ordem n

Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é

y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)

2(x−p)2+

f ′′′(p)

3!(x−p)3+

f (4)(p)

4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)

n!(x−p)n.

Usando a notação de somatórios:

y =nX

i=0

f (i)(p)

i!(x − p)i .

Aula 17 Cálculo I 54

Polinômios de Taylor de ordem n

Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é

y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)

2(x−p)2+

f ′′′(p)

3!(x−p)3+

f (4)(p)

4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)

n!(x−p)n.

Usando a notação de somatórios:

y =nX

i=0

f (i)(p)

i!(x − p)i .

Aula 17 Cálculo I 55

Polinômios de Taylor de ordem n

Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é

y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)

2(x−p)2+

f ′′′(p)

3!(x−p)3+

f (4)(p)

4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)

n!(x−p)n.

Usando a notação de somatórios:

y =nX

i=0

f (i)(p)

i!(x − p)i .

Aula 17 Cálculo I 56

Polinômios de Taylor de ordem n

Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é

y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)

2(x−p)2+

f ′′′(p)

3!(x−p)3+

f (4)(p)

4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)

n!(x−p)n.

Usando a notação de somatórios:

y =nX

i=0

f (i)(p)

i!(x − p)i .

Aula 17 Cálculo I 57

Polinômios de Taylor de ordem n

Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é

y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)

2(x−p)2+

f ′′′(p)

3!(x−p)3+

f (4)(p)

4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)

n!(x−p)n.

Usando a notação de somatórios:

y =nX

i=0

f (i)(p)

i!(x − p)i .

Aula 17 Cálculo I 58

Polinômios de Taylor de ordem n

Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é

y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)

2(x−p)2+

f ′′′(p)

3!(x−p)3+

f (4)(p)

4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)

n!(x−p)n.

Usando a notação de somatórios:

y =nX

i=0

f (i)(p)

i!(x − p)i .

Aula 17 Cálculo I 59

Polinômios de Taylor de ordem n

Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é

y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)

2(x−p)2+

f ′′′(p)

3!(x−p)3+

f (4)(p)

4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)

n!(x−p)n.

Usando a notação de somatórios:

y =nX

i=0

f (i)(p)

i!(x − p)i .

Aula 17 Cálculo I 60

Polinômios de Taylor de ordem n

Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é

y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)

2(x−p)2+

f ′′′(p)

3!(x−p)3+

f (4)(p)

4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)

n!(x−p)n.

Usando a notação de somatórios:

y =nX

i=0

f (i)(p)

i!(x − p)i .

Aula 17 Cálculo I 61

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 62

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 63

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 64

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 65

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 66

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 67

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 68

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 69

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 70

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 71

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 72

Exemplo

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação

de f (0.01) = e0.01.

Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é

y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)

2(x − 0)2 +

f ′′′(0)

3!(x − 0)3

= 1 + x +12

x2 +16

x4.

Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..

Aula 17 Cálculo I 73

Exemplo

Aula 17 Cálculo I 74

Exemplo: y = f (x) = cos(x)

Aula 17 Cálculo I 75

Exemplo: y = f (x) = tg(x)

Aula 17 Cálculo I 76

Exemplo: y = f (x) =√

1 + x

Aula 17 Cálculo I 77