Humberto José Bortolossi - professores.uff.br · Regras básicas de derivação com a regra da...

Cálculo I

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 12

16 de outubro de 2007

Aula 12 Cálculo I 1

A regra da cadeia

Aula 12 Cálculo I 2

A regra da cadeia

Sejam y = f (u) e u = g(x)

duas funções diferenciáveis.Então:

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).

Aula 12 Cálculo I 3

A regra da cadeia

Sejam y = f (u) e u = g(x)

duas funções diferenciáveis.Então:

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).

Aula 12 Cálculo I 4

A regra da cadeia

Sejam y = f (u) e u = g(x)

duas funções diferenciáveis.Então:

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).

Aula 12 Cálculo I 5

A regra da cadeia

Sejam y = f (u) e u = g(x)

duas funções diferenciáveis.Então:

d(f ◦ g)

dx(x) =

dfdu

(g(x)) · dgdx

(x).

Aula 12 Cálculo I 6

A regra da cadeia

Sejam y = f (u) e u = g(x)

duas funções diferenciáveis.Então:

ddx

�f| {z }

função de fora

(g(x))| {z }calculada na

função de dentro

�= f ′| {z }

derivada da funçãode fora

(g(x))| {z }calculada na

função de dentro

· g′(x)| {z }derivada da função

de dentro

.

Aula 12 Cálculo I 7

A regra da cadeia

Sejam y = f (u) e u = g(x)

duas funções diferenciáveis.Então:

ddx

[f (u)] =dfdu

(u) · dudx

(x).

Aula 12 Cálculo I 8

Regras básicas de derivação

y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x

Aula 12 Cálculo I 9

Regras básicas de derivação

y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x

Aula 12 Cálculo I 10

Regras básicas de derivação

y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x

Aula 12 Cálculo I 11

Regras básicas de derivação

y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x

Aula 12 Cálculo I 12

Regras básicas de derivação

y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x

Aula 12 Cálculo I 13

Regras básicas de derivação

y = xc ⇒ dydx

= c · xc−1

y = sen(x) ⇒ dydx

= + cos(x)

y = cos(x) ⇒ dydx

= − sen(x)

y = ex ⇒ dydx

= ex

y = ln(x) ⇒ dydx

=1x

Aula 12 Cálculo I 14

Regras básicas de derivação com a regra da cadeia

y = uc ⇒ dydx

= c · uc−1 · dudx

y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx

= − sen(u) · dudx

y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx

Aula 12 Cálculo I 15

Regras básicas de derivação com a regra da cadeia

y = uc ⇒ dydx

= c · uc−1 · dudx

y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx

= − sen(u) · dudx

y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx

Aula 12 Cálculo I 16

Regras básicas de derivação com a regra da cadeia

y = uc ⇒ dydx

= c · uc−1 · dudx

y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx

= − sen(u) · dudx

y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx

Aula 12 Cálculo I 17

Regras básicas de derivação com a regra da cadeia

y = uc ⇒ dydx

= c · uc−1 · dudx

y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx

= − sen(u) · dudx

y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx

Aula 12 Cálculo I 18

Regras básicas de derivação com a regra da cadeia

y = uc ⇒ dydx

= c · uc−1 · dudx

y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx

= − sen(u) · dudx

y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx

Aula 12 Cálculo I 19

Regras básicas de derivação com a regra da cadeia

y = uc ⇒ dydx

= c · uc−1 · dudx

y = sen(u) ⇒ dydx

= + cos(u) · dudx

y = cos(u) ⇒ dydx

= − sen(u) · dudx

y = eu ⇒ dydx

= eu · dudx

y = ln(u) ⇒ dydx

=1u· du

dx

Aula 12 Cálculo I 20

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).

Solução. Temos que

y = eu, onde u = sen(x).

Assim:dydx

= eu · dudx

= esen(x) · cos(x).

Aula 12 Cálculo I 21

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).

Solução. Temos que

y = eu, onde u = sen(x).

Assim:dydx

= eu · dudx

= esen(x) · cos(x).

Aula 12 Cálculo I 22

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).

Solução. Temos que

y = eu, onde u = sen(x).

Assim:dydx

= eu · dudx

= esen(x) · cos(x).

Aula 12 Cálculo I 23

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).

Solução. Temos que

y = eu, onde u = sen(x).

Assim:dydx

= eu · dudx

= esen(x) · cos(x).

Aula 12 Cálculo I 24

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).

Solução. Temos que

y = eu, onde u = sen(x).

Assim:dydx

= eu · dudx

= esen(x) · cos(x).

Aula 12 Cálculo I 25

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).

Solução. Temos que

y = eu, onde u = sen(x).

Assim:dydx

= eu · dudx

= esen(x) · cos(x).

Aula 12 Cálculo I 26

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) =

�x − 2

2 x + 1

�9.

Solução. Temos que

y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .

Aula 12 Cálculo I 27

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) =

�x − 2

2 x + 1

�9.

Solução. Temos que

y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .

Aula 12 Cálculo I 28

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) =

�x − 2

2 x + 1

�9.

Solução. Temos que

y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .

Aula 12 Cálculo I 29

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) =

�x − 2

2 x + 1

�9.

Solução. Temos que

y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .

Aula 12 Cálculo I 30

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) =

�x − 2

2 x + 1

�9.

Solução. Temos que

y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .

Aula 12 Cálculo I 31

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) =

�x − 2

2 x + 1

�9.

Solução. Temos que

y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .

Aula 12 Cálculo I 32

Exemplo

Calcule a derivada da função y = f (x) =

�x − 2

2 x + 1

�9.

Solução. Temos que

y = u9, onde u =x − 2

2 x + 1.

Assim:

dydx

= 9 u8 · dudx

= 9�

x − 22 x + 1

�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)

(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8

(2 x + 1)10 .

Aula 12 Cálculo I 33

A regra da cadeia para uma composição de 3 funções

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · (g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · g′(h(x)) · h′(x)

ou, usando a notação de Leibniz,

d(f ◦ g ◦ h)

dx(x) =

dfdx

((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)

dx(x)

=dfdx

((g ◦ h)(x)) · dgdx

(h(x)) · dhdx

(x).

Aula 12 Cálculo I 34

A regra da cadeia para uma composição de 3 funções

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · (g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · g′(h(x)) · h′(x)

ou, usando a notação de Leibniz,

d(f ◦ g ◦ h)

dx(x) =

dfdx

((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)

dx(x)

=dfdx

((g ◦ h)(x)) · dgdx

(h(x)) · dhdx

(x).

Aula 12 Cálculo I 35

A regra da cadeia para uma composição de 3 funções

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · (g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · g′(h(x)) · h′(x)

ou, usando a notação de Leibniz,

d(f ◦ g ◦ h)

dx(x) =

dfdx

((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)

dx(x)

=dfdx

((g ◦ h)(x)) · dgdx

(h(x)) · dhdx

(x).

Aula 12 Cálculo I 36

A regra da cadeia para uma composição de 3 funções

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · (g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · g′(h(x)) · h′(x)

ou, usando a notação de Leibniz,

d(f ◦ g ◦ h)

dx(x) =

dfdx

((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)

dx(x)

=dfdx

((g ◦ h)(x)) · dgdx

(h(x)) · dhdx

(x).

Aula 12 Cálculo I 37

Exemplo

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.

Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).

Solução. Temos que

y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx

[cos(tg(x))]

= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx

[tg(x)]

= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).

Aula 12 Cálculo I 38

Exemplo

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.

Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).

Solução. Temos que

y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx

[cos(tg(x))]

= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx

[tg(x)]

= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).

Aula 12 Cálculo I 39

Exemplo

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.

Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).

Solução. Temos que

y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx

[cos(tg(x))]

= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx

[tg(x)]

= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).

Aula 12 Cálculo I 40

Exemplo

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.

Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).

Solução. Temos que

y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx

[cos(tg(x))]

= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx

[tg(x)]

= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).

Aula 12 Cálculo I 41

Exemplo

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.

Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).

Solução. Temos que

y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx

[cos(tg(x))]

= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx

[tg(x)]

= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).

Aula 12 Cálculo I 42

Exemplo

Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então

dydx

=dydu

· dudx

=dydu

· dudv

· dvdx

.

Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).

Solução. Temos que

y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx

[cos(tg(x))]

= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx

[tg(x)]

= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).

Aula 12 Cálculo I 43

Exemplo

Calcule a derivada da função y = ln

Êx − 1x + 1

.

Solução. Temos que

y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.

Aula 12 Cálculo I 44

Exemplo

Calcule a derivada da função y = ln

Êx − 1x + 1

.

Solução. Temos que

y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.

Aula 12 Cálculo I 45

Exemplo

Calcule a derivada da função y = ln

Êx − 1x + 1

.

Solução. Temos que

y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.

Aula 12 Cálculo I 46

Exemplo

Calcule a derivada da função y = ln

Êx − 1x + 1

.

Solução. Temos que

y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.

Aula 12 Cálculo I 47

Exemplo

Calcule a derivada da função y = ln

Êx − 1x + 1

.

Solução. Temos que

y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.

Aula 12 Cálculo I 48

Exemplo

Calcule a derivada da função y = ln

Êx − 1x + 1

.

Solução. Temos que

y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.

Aula 12 Cálculo I 49

Exemplo

Calcule a derivada da função y = ln

Êx − 1x + 1

.

Solução. Temos que

y ′ =1Ê

x − 1x + 1

· 1

2

Êx − 1x + 1

· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)

(x + 1)2

=1

2x − 1x + 1

· 2(x + 1)2 =

1x2 − 1

.

Aula 12 Cálculo I 50

Aproximações lineares (afins)

Aula 12 Cálculo I 51

Aproximações lineares (afins)

y = l(x) = f (p) + f ′(p) · (x − p) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f (p)).

y = l(x) é uma função afim que aproxima y = f (x) perto do ponto p.

Aula 12 Cálculo I 52

Aproximações lineares (afins)

y = l(x) = f (p) + f ′(p) · (x − p) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f (p)).

y = l(x) é uma função afim que aproxima y = f (x) perto do ponto p.

Aula 12 Cálculo I 53

Aproximações lineares (afins)

y = l(x) = f (p) + f ′(p) · (x − p) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f (p)).

y = l(x) é uma função afim que aproxima y = f (x) perto do ponto p.

Aula 12 Cálculo I 54

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 55

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 56

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 57

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 58

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 59

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 60

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 61

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 62

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 63

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 64

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.

Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√

xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é

y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1

2√

4· (x − 4) = 2 +

14· (x − 4).

Desta maneira,

√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +

14· (4.05− 4) = 2.0125.

Oráculo:√

4.05 = 2.01246117 . . ..

Aula 12 Cálculo I 65

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 66

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 67

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 68

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 69

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 70

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 71

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 72

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 73

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 74

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 75

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 76

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 77

Exemplo

Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.

Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex

no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é

y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .

Desta maneira,

e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.

Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.

Aula 12 Cálculo I 78