View
150
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Integração Numérica
Integral O conceito de integral esta ligado ao problema de
determinar a área de uma figura plana qualquer. Integral de uma função f(x) no intervalo [a,b]
A integral da função f(x) é representada por F(x)
Em determinados casos, F(x) não pode ser calculada
Obter F(x) não é trivial. Nem sempre se tem a forma analítica da função
a ser integrada, f(x), mas uma tabela de pontos que descreve o comportamento da função
Nestes casos, utilizamos a integração numérica
dxxfxF )()(
Integração Numérica
A solução numérica de uma integral é chamada de quadratura. Há dois métodos bastante empregados para calcular a quadratura de uma função que são chamadas regras de Newton-Cotes:
– Regra dos trapézios– Regra de Simpson
Regra dos trapézios
substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime no intervalo [a, b] em pontos igualmente espaçados
O problema fica resolvido pela integração de um polinômio
Na regra dos trapézios, utiliza-se um polinômio interpolador de Lagrange do primeiro grau
onde
Integrando no intervalo [a,b] teremos
O que é a formula da área do trapézio, como mostrado na figura
onde 01 xxh
Quanto for maior o intervalo, maior será o erro do método. Dessa forma, um melhoramento no método consiste em dividir o intervalo em vários pedaços, calcular a área de cada um deles e em seguida somar todos
)()(2...)(2)(2)(2
))()((2
...))()((2
))()((2
)()(2
1210
12110
1
01
nn
nn
n
iii
xfxfxfxfxfh
I
xfxfh
xfxfh
xfxfh
I
xfxfh
I
Ex:Calcule a integral de no intervalo [0,1] com 10 subintervalos
xexf )(
72,1
)2...2(2
))1()9,0(2...)1,0(2)0((2
1,010
19,01,00
I
eeeeh
I
ffffh
I
abh
Regra 1/3 de Simpson
podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de grau 2
Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos:x0 = ax1 = x0 + hx2 = x0 + 2h = b
Regra 1/3 de Simpson
)()()()( 2
1202
101
2101
200
2010
212 xf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxp
)(2
)()(2
)( 210
120
021
2 xfhh
xxxxxf
hh
xxxxxf
hh
xxxxxp
Resolvendo L0
2
0
2
0
))((2
1
)2)((
))((
))((
))((212
21
2010
21x
x
x
x
xXxXhhh
xXxX
xxxx
xXxX
Substituindo (x-x0)/h=y temos que dx = hdy. Daí, temos:
X-x1 =x0+yh-(x0+h)=(y-1)h
X-x2= x0+yh-(x0+2h)=(y-2)h
X=x0->y=0 e X=x2->y=2
2
02
)2()1(2
1hhdyyhy
h
2
0
2 232
dyyyh
33
2
2
hh
30h
w 3
41
hw
32h
w
)]()(4)([3
)( 210
2
0
xfxfxfh
dxxfx
x
Exemplo
Estimar o valor da integral de ex no intervalo [0,1] através da regra 1/3 de Simpson
Regra 1/3 de Simpson Repetida
2
1
2
220
)()()(m
k
x
x
x
x
b
a
k
k
m
dxxfdxxfdxxf
)()(4)(
)()(4)()()(4)(3
12
432210
mmm xfxfxf
xfxfxfxfxfxfh
Exercício
Estimar a integral de e^x no intervalo de zero a um usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes
Recommended