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LIMITE DE UMA FUNÇÃO II. Nice Maria Americano Costa Pinto. LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA. Se a função f(x) tende ao limite b 1 , quando x tende ao valor a por valores inferiores a a , diz-se que b 1 é o limite à esquerda de f , e escreve-se. - PowerPoint PPT Presentation
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LIMITE DE UMA FUNÇÃO II
Nice Maria Americano Costa Pinto
2
LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA
Se a função f(x) tende ao limite b1, quando x tende ao valor a por valores inferiores a a, diz-se que b1 é o limite à esquerda de f, e escreve-se
1)(lim bxfax
Se a função f(x) tende ao limite b2, quando x tende ao valor a por valores superiores a a, diz-se que b2 é o limite à direita de f, e escreve-se
2)(lim bxfax
Se os limites à esquerda e à direita da função f(x) existem e são iguais, isto é, se b1= b2=b, então b é o limite de f(x), quando x → a. Inversamente, se f(x) tem limite b em a, então os limites à esquerda e à direita da função são iguais a b
3
bxfx
)(lim
Limite de f(x), x infinito
A função f(x) tende a um limite b, quando x , se, para todo número
>0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um número N, tal que, para todo x verificando x>N, tem-se a f(x)-b< satisfeita.
Por exemplo, a função x
xxf
1)(
tem limite 1, para x , isto é
11
lim
x
xx
De acordo com a definição, temos que mostrar x>N, se
11
x
x
Portanto, temos que determinar N a partir de . Vejamos.
4
1
logo,11
111
111
1
Nxx
xxxx
x
11
x
x
5
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-15 -10 -5 0 5 10 15
y=1 1/x f(x)=1+1/x y=1 1/x f(x)=1+1/x
6
FUNÇÃO TENDENDO AO INFINITO
)(lim xfax
Esta situação é distinta da anterior, pois examinaremos a situação da variável x tendendo a um número finito e a função f(x) tendendo ao infinito.
A função f(x) tende ao infinito quando x a, se, para número positivo M, tão grande quanto ele seja, pode-se encontrar um >0, tal que, para todos os valores de x diferentes de a que verificam a condição x-a< , a inequação f(x) >M é satisfeita.
Se f(x) tende ao infinito assumindo valores negativos ou positivos, diz-se, respectivamente, que f(x) tende a -, + .
21 )1(
1lim xx
Exemplo
7
21 )1(
1lim xx
Mx
x
x
22
22
1
1
1
1
1
8
FUNÇÃO LIMITADADefinição: A função y= f(x) é dita limitada no domínio de definição de x, se existe um número positivo M, tal que, para todos os valores de x pertencendo a este domínio, tem-se que |f(x) | M.
Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→a, se existe uma vizinhança de centro em a, dentro da qual a função é limitada.
Exemplo: y=f(x)= senx é limitada, pois, para -<x<+ , está |f(x) | 1.
Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→, se existe um número N>0, tal que, para todos os valores de | x |>N, a função é limitada.
9
Infinitamente pequenosDefinição: Diz-se que =(x) é um infinitamente pequeno, quando x→a ou x→, se lim (x)=0, quando x→a.
Então, pela definição de limite, vemos que para todo >0, existe um >0, tal que,
para todo x satisfazendo |x-a|< , tem-se |(x)|< .
Teorema:
Se uma função y=f(x) pode ser posta na forma da soma de um número b com um infinitamente pequeno (x), y=b + (x), então lim f(x)=b, quando x →a. Inversamente, se lim f(x)=b, quando x → a então, pode-se escrever que y=f(x)=b+ (x), ou seja, a função y é dada pela soma de seu limite b com um infinitamente pequeno.
A função = (x-1)2 é um infinitamente pequeno quando x→1, pois lim (x-1)2,
quando x→1 é 0.
Igualmente, =1/x é um infinitamente pequeno quando x→, pois lim 1/x=0
10
Demonstração:
Se por hipótese y=b + (x), então, podemos escrever y-b= (x) e
|y-b|=| (x) |.
Como (x) é um infinitamente pequeno, tem-se
| (x) |<, logo,
|y-b|=| (x) |<,
O que é a condição para b ser lim f(x).
Exemplo:
A função y=1+1/x. 1/x é um infinitamente pequeno quando x → ; lim y=1, quando x → . Então y pode ser escrita como a soma de seu limite com um infinitamente pequeno, y=1+
11
Teorema 1: A soma algébrica de um número finito de infinitamente pequenos é um infinitamente pequeno.
Teorema 2: O produto de um infinitamente pequeno por uma função limitada é um infinitamente pequeno quando x →a ou x →
Teorema 3: O quociente de um infinitamente pequeno, (x), por uma função, z(x), cujo limite é diferente de zero é um infinitamente pequeno, i. e., (x)/ z(x) é um infinitamente pequeno .
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Teoremas fundamentais
Teorema. O limite da soma algébrica de duas ou mais funções é igual à soma dos limites dessas funções.
lim (u1+u2)= lim u1+lim u2
Demonstração:
212121
2121221121
21
222
111
2211
limlim)lim(
antesvistoteoremaPelo
)(
.pequenosinitamenteinfsão onde
.lim...lim,lim
uuaauu
aaaauu
Então
e
au
au
auauau nn
13
Teorema 2. O limite do produto de um número finito de funções é igual ao produto dos limites dessas funções.
lim (u1(x) u2(x) ..un (x))= lim u1.lim u2.lim un
Demonstração (para duas funções):
212121
21122121221121
21
222
111
2211
limlim)lim(
antesvistoteoremaPelo
))((
.pequenosnitamentesão onde
lim,lim
uuaauu
aaaaaauu
Então
ine
au
au
auau
14
Teorema 2. O limite do quociente de duas variáveis é igual ao quociente dos limites dessas variáveis.
lim (u/v)= lim u/lim v
Demonstração:
v
u
b
a
v
u
bb
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
v
u
Então
e
bv
au
bvau
lim
lim)lim(
antesvistosteoremasPelos
)()(
.pequenosinitamenteinfsão onde
lim,lim
1
15
01
0
lim
1lim1lim
1601610lim10lim10lim
1013
lim1lim3
1lim3
lim
1
1
1
4
22
4
2
3
23
x
x
x
xxx
xxxx
x
x
x
x
xx
xxx
xx
Exemplos
16
x
xsenx 0lim
M
B AO
C
x
1lim
11lim1coslim
cos1
11
.1.2
1.1.
2
1.1.
2
1
.1.2
1.
2
1COA triangulodo área
.1.2
1.
2
1MOAsetor do área
.1.2
1.
2
1MOA triangulodo área
COA triangulodo áreaMOAsetor do áreaMOA triangulodo área
0
00
x
senx
e
mas
xx
senxcoxsenx
xsenx
tgx
senx
x
senx
senx
tgxxsenx
tgxxsenx
tgxACOA
xMAOA
senxMBOA
x
xx
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Continuidade das funçõesSeja y=f(x) uma função definida para o valor x0 e numa certa vizinhança de x0; seja ainda y0=f(x0).
Se à variável x damos um acréscimo x, passando do ponto x0 para x0+ x, a função também sofrerá um acréscimo y, dado por
y=f(x0+ x)-f(x0)
y=f(x) é dita uma função contínua em x=x0, se ela é definida em x=x0 e numa certa vizinhança de x0 e ainda se
0lim
0lim
000
0
xfxxf
ou
y
x
x
18
Teorema. Toda função elementar é contínua no ponto em que ela está definida
0
000
00
000
0
lim
limlim
0lim
xfxf
xfxfxxf
xfxxf
xx
xx
x
0 xem adescontínu é
02lim
mas
2lim
2
1
0
1
0
1
x
x
x
x
xxf
Se uma das condições de continuidade não for satisfeita, i.e., se a função não está definida em x0, ou, se o lim f(x), quando x →x0 não existe, a função é dita descontínua em x0, ou, que há uma descontinuidade em x=x0
Exemplos
0emdefinidaestánão1
xx
xf
19
0 xem adescontínu é
2)(lim
1)(lim
0
0
xf
xf
x
x
1
2
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