MATEMÁTICA I

LIMITE

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

amanda.perticarrari@unesp.br

Parte 1

•Limites

•Definição de vizinhança e limite

•Limites laterais

•Limite de função real com umavariável real

•Teorema da existência do limite

Parte 2

•Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésimaraiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica)

•Propriedades de limites

•Indeterminações

LIMITE DE UMA FUNÇÃO

No cálculo e em suas aplicações, é comum estudar o

comportamento de uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 quando 𝑥 está

numa vizinhança de um valor 𝑎, mesmo que 𝑎 ∉ 𝐷𝑓.

Sejam 𝑎 ∈ ℝ e 𝛿 > 0 (suficientemente pequeno).

• Dizemos que x está na vizinhança (próximo) de a se

𝑥 − 𝑎 < 𝛿 .

• O valor a é dito limite da variável x.

• Notação: 𝑥 → 𝑎 .

Exemplo. 0,999… ≅ 1 ⇒ 0,999… ⟶ 1

então, 1 − 0,999… < 𝛿

DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE

𝑎 − 𝛿 𝑎 + 𝛿

No caso de uma variável real x, a aproximação do

número 𝑎 pode ser feita de duas maneiras: à

direita e à esquerda.

• Limite à direita de 𝒂 (valores maiores que 𝒂).

• Limite à esquerda de 𝒂 (valores menores que 𝒂).

DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE

Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎+

Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎−

Exemplo 1. Seja a função 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4 definida

para todo 𝑥 ∈ ℝ.

• Analisemos o comportamento de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 assume

valores próximos de 2, porém diferentes de 2.

LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM

UMA VARIÁVEL REAL

𝒙 𝒇 𝒙 𝒙 𝒇 𝒙

1 3,00 3 1,00

1,5 2,50 2,5 1,50

1,7 2,30 2,3 1,70

1,9 2,10 2,10 1,90

1,99 2,01 2,01 1,99

LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM

UMA VARIÁVEL REAL

Note que na função 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4,

✓ quanto mais aproximamos 𝑥 do valor 2 as diferenças

𝑥 − 2 e 𝑓 𝑥 − 𝐿 se tornam suficientemente

pequenas.

✓ Neste caso, lim𝑥→2

𝑓 𝑥 = 𝑓 2 ⇒ lim𝑥→2

−𝑥 + 4 = 2

𝑦

𝑥

Se a variável 𝒙 se aproxima de 𝒂 e os valores 𝑦 =

𝑓 𝑥 se aproximam de um valor real 𝑳, dizemos

que: a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem limite 𝑳 ou “tende a” 𝑳,

quando 𝑥 tende para 𝑎.

Notação: lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿

Note que, dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que

𝑥 − 𝑎 < 𝛿 e 𝑥 ≠ 𝑥0 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖

𝑎

𝐿

𝑓 𝑥1

𝑥1

𝑦 = 𝑓 𝑥𝑦

𝑥

LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM

UMA VARIÁVEL REAL

TEOREMA DA EXISTÊNCIA DO LIMITE

Dada uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 , dizemos que existe o

limite de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 tende ao ponto 𝑎 , se

existirem e forem iguais os limites laterais à

direita e a esquerda de 𝑎, isto é:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿 ⟺

lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = 𝐿

lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = 𝐿

Exemplo 2. Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3.

Determine, caso exista, lim𝑥→0

𝑓 𝑥 .

LIMITE DE FUNÇÃO

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

2𝑥 + 3 = 3

lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

2𝑥 + 3 = 3

Portanto

lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 3

𝑥

𝑦

Exemplo 3. Considere a função 𝑓 𝑥 = ቊ2, se 𝑥 ≤ 0

𝑥2 + 1, se 𝑥 > 0

Determine, caso exista, lim𝑥→0

𝑓 𝑥 .

LIMITE DE FUNÇÃO

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

2 = 2

lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

𝑥2 + 1 = 1

Uma vez que lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = 2 ≠ 1 = lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 temos

que ∄ lim𝑥→0

𝑓 𝑥

Parte 1

•Limites

•Definição de vizinhança e limite

•Limites laterais

•Limite de função real com umavariável real

•Teorema da existência do limite

Parte 2

•Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésimaraiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica)

•Propriedades de limites

•Indeterminações

Se 𝑚, 𝑎 𝜖 ℝ, então lim𝑥→𝑎

𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚 ∙ 𝑎 + 𝑏

• Portanto, para calcular o limite da função linear, 𝑓(𝑥) =

𝑚𝑥 + 𝑏, quando 𝑥 → 𝑎, basta substituir a variável 𝑥 pelo

valor aproximado 𝑎.

• Observações:

a) Fixando 𝒎 = 𝒄 uma constante e 𝒃 = 𝟎 temos:

lim𝑥→𝑎

𝑐𝑥 + 0 = lim𝑥→𝑎

𝑐𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑎 ⇒ lim𝑥→𝑎

𝑐𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑎

b) Fixando 𝒎 = 𝟎 e 𝒃 = 𝒌, 𝒌 é uma constante, temos:

lim𝑥→𝑎

0𝑥 + 𝑘 = lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘 ⇒ lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘

“o limite da constante é a própria constante”.

LIMITE DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

Se 𝑛 𝜖 ℕ, então

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥𝑛= 𝑓 𝑎

𝑛

• Exemplo 4.

a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2, quando 𝑥 → 3 temos que:

lim𝑥→3

𝑥2 = 32 = 9

b) Seja 𝑓 𝑥 =3𝑥−1 3

125, quando 𝑥 → 2 temos que :

lim𝑥→2

3𝑥−1 3

125=

3∙2−1 3

125= 1

LIMITE DA POTÊNCIA

Dada a função 𝑦 =𝑛𝑓 𝑥 , se 𝑛 é par e 𝑓 𝑎 > 0, ou

𝑛 é ímpar, então:

lim𝑥→𝑎

𝑛𝑓 𝑥 =

𝑛𝑓 𝑎

• Exemplo 5.

a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 5, quando 𝑥 → −2 temos que:

lim𝑥 →−2

𝑥2 + 5 = −2 2 + 5 = 4 + 5 = 9 = 3

b) Seja 𝑓 𝑥 =33𝑥2 − 1, quando 𝑥 → 0 temos que :

lim𝑥 → 0

33𝑥2 − 1 =

33 ∙ 02 − 1 =

3−1 = −1

LIMITE DA N-ÉSIMA RAIZ

Seja 𝑏 ∈ ℝ+ e 𝑏 ≠ 1, então:

lim𝑥→𝑎

𝑏𝑓 𝑥 = 𝑏𝑓 𝑎

• Em particular, se 𝑏 = 𝑒 = 2,71…, temos:

lim𝑥→𝑎

𝑒𝑓 𝑥 = 𝑒𝑓 𝑎

• Exemplo 6.

a) Seja 𝑓 𝑥 = 23𝑥−1, quando 𝑥 → 1 temos que:

lim𝑥 → 1

23𝑥−1 = 23∙1−1 = 23−1 = 22 = 4

b) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑒3𝑥−1, quando 𝑥 → 1

3temos que :

lim𝑥 →1/3

𝑒3𝑥−1 = 𝑒3∙1

3−1 = 𝑒1−1 = 𝑒0 = 1

LIMITE DA EXPONENCIAL

Seja 𝑏 ∈ ℝ+ e 𝑏 ≠ 1, então, se 𝑓 𝑥 > 0:

lim𝑥→𝑎

log𝑏 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑎 > 0

• Em particular, se a base 𝑏 = 𝑒 = 2,71… (n. de

Euler), temos:

lim𝑥→𝑎

ln 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑎 > 0

• Exemplo 7.

a) Seja 𝑓 𝑥 = log 𝑥2, quando 𝑥 → 10 temos que:

lim𝑥 → 10

log 𝑥2 = log 102= log 10 = 1

b) Seja 𝑓 𝑥 = ln 5𝑥 − 4 , quando 𝑥 → 1 temos que :

lim𝑥 → 1

ln 5𝑥 − 4 = ln 5 ∙ 1 − 4 = ln 1 = 0

LIMITE DO LOGARITMO

Função Seno:

lim𝑥→𝑎

sen 𝑓 𝑥 = sen 𝑓 𝑎

Função Cosseno:

lim𝑥→𝑎

cos 𝑓 𝑥 = cos 𝑓 𝑎

Função Tangente:

lim𝑥→𝑎

tg 𝑓 𝑥 = tg 𝑓 𝑎 , com 𝑓 𝑎 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋

LIMITE DAS TRIGONOMÉTRICAS

Para o polinômio de grau 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ, dado por:

𝑝𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

temos que:

lim𝑥→𝑎

𝑝𝑛 𝑥 = 𝑝𝑛 𝑎

LIMITE DE POLINÔMIOS

PROPRIEDADES DE LIMITES

LIMITE DA SOMA E DIFERENÇA

lim𝑥→𝑎

𝑓 ± 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ± lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

LIMITE DO PRODUTO

lim𝑥→𝑎

𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ∙ lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

LIMITE DO QUOCIENTE

lim𝑥→𝑎

𝑓

𝑔𝑥 =

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥, lim

𝑥→𝑎𝑔 𝑥 ≠ 0

INDETERMINAÇÕES

Calcule o limite da função 𝑓 𝑥 =2𝑥−2

𝑥−1quando 𝑥 →

1.

Solução:

lim𝑥→1

2𝑥 − 2

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

2 𝑥 − 1

𝑥 − 1= 2

Para tratar as indeterminações, pode-se mani-

pular algebricamente e simplificar as expressões

eliminando as indeterminações.

3ª. LISTA DE EXERCÍCIOS