LIMITE DE UMA FUNÇÃO II

Nice Maria Americano Costa Pinto

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LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA

Se a função f(x) tende ao limite b1, quando x tende ao valor a por valores inferiores a a, diz-se que b1 é o limite à esquerda de f, e escreve-se

1)(lim bxfax

Se a função f(x) tende ao limite b2, quando x tende ao valor a por valores superiores a a, diz-se que b2 é o limite à direita de f, e escreve-se

2)(lim bxfax

Se os limites à esquerda e à direita da função f(x) existem e são iguais, isto é, se b1= b2=b, então b é o limite de f(x), quando x → a. Inversamente, se f(x) tem limite b em a, então os limites à esquerda e à direita da função são iguais a b

3

bxfx

)(lim

Limite de f(x), x infinito

A função f(x) tende a um limite b, quando x , se, para todo número

>0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um número N, tal que, para todo x verificando x>N, tem-se a f(x)-b< satisfeita.

Por exemplo, a função x

xxf

1)(

tem limite 1, para x , isto é

11

lim

x

xx

De acordo com a definição, temos que mostrar x>N, se

11

x

x

Portanto, temos que determinar N a partir de . Vejamos.

4

1

logo,11

111

111

1

Nxx

xxxx

x

11

x

x

5

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-15 -10 -5 0 5 10 15

y=1 1/x f(x)=1+1/x y=1 1/x f(x)=1+1/x

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FUNÇÃO TENDENDO AO INFINITO

)(lim xfax

Esta situação é distinta da anterior, pois examinaremos a situação da variável x tendendo a um número finito e a função f(x) tendendo ao infinito.

A função f(x) tende ao infinito quando x a, se, para número positivo M, tão grande quanto ele seja, pode-se encontrar um >0, tal que, para todos os valores de x diferentes de a que verificam a condição x-a< , a inequação f(x) >M é satisfeita.

Se f(x) tende ao infinito assumindo valores negativos ou positivos, diz-se, respectivamente, que f(x) tende a -, + .

21 )1(

1lim xx

Exemplo

7

21 )1(

1lim xx

Mx

x

x

22

22

1

1

1

1

1

8

FUNÇÃO LIMITADADefinição: A função y= f(x) é dita limitada no domínio de definição de x, se existe um número positivo M, tal que, para todos os valores de x pertencendo a este domínio, tem-se que |f(x) | M.

Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→a, se existe uma vizinhança de centro em a, dentro da qual a função é limitada.

Exemplo: y=f(x)= senx é limitada, pois, para -<x<+ , está |f(x) | 1.

Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→, se existe um número N>0, tal que, para todos os valores de | x |>N, a função é limitada.

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Infinitamente pequenosDefinição: Diz-se que =(x) é um infinitamente pequeno, quando x→a ou x→, se lim (x)=0, quando x→a.

Então, pela definição de limite, vemos que para todo >0, existe um >0, tal que,

para todo x satisfazendo |x-a|< , tem-se |(x)|< .

Teorema:

Se uma função y=f(x) pode ser posta na forma da soma de um número b com um infinitamente pequeno (x), y=b + (x), então lim f(x)=b, quando x →a. Inversamente, se lim f(x)=b, quando x → a então, pode-se escrever que y=f(x)=b+ (x), ou seja, a função y é dada pela soma de seu limite b com um infinitamente pequeno.

A função = (x-1)2 é um infinitamente pequeno quando x→1, pois lim (x-1)2,

quando x→1 é 0.

Igualmente, =1/x é um infinitamente pequeno quando x→, pois lim 1/x=0

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Demonstração:

Se por hipótese y=b + (x), então, podemos escrever y-b= (x) e

|y-b|=| (x) |.

Como (x) é um infinitamente pequeno, tem-se

| (x) |<, logo,

|y-b|=| (x) |<,

O que é a condição para b ser lim f(x).

Exemplo:

A função y=1+1/x. 1/x é um infinitamente pequeno quando x → ; lim y=1, quando x → . Então y pode ser escrita como a soma de seu limite com um infinitamente pequeno, y=1+

11

Teorema 1: A soma algébrica de um número finito de infinitamente pequenos é um infinitamente pequeno.

Teorema 2: O produto de um infinitamente pequeno por uma função limitada é um infinitamente pequeno quando x →a ou x →

Teorema 3: O quociente de um infinitamente pequeno, (x), por uma função, z(x), cujo limite é diferente de zero é um infinitamente pequeno, i. e., (x)/ z(x) é um infinitamente pequeno .

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Teoremas fundamentais

Teorema. O limite da soma algébrica de duas ou mais funções é igual à soma dos limites dessas funções.

lim (u1+u2)= lim u1+lim u2

Demonstração:

212121

2121221121

21

222

111

2211

limlim)lim(

antesvistoteoremaPelo

)(

.pequenosinitamenteinfsão onde

.lim...lim,lim

uuaauu

aaaauu

Então

e

au

au

auauau nn

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Teorema 2. O limite do produto de um número finito de funções é igual ao produto dos limites dessas funções.

lim (u1(x) u2(x) ..un (x))= lim u1.lim u2.lim un

Demonstração (para duas funções):

212121

21122121221121

21

222

111

2211

limlim)lim(

antesvistoteoremaPelo

))((

.pequenosnitamentesão onde

lim,lim

uuaauu

aaaaaauu

Então

ine

au

au

auau

14

Teorema 2. O limite do quociente de duas variáveis é igual ao quociente dos limites dessas variáveis.

lim (u/v)= lim u/lim v

Demonstração:

v

u

b

a

v

u

bb

ab

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

v

u

Então

e

bv

au

bvau

lim

lim)lim(

antesvistosteoremasPelos

)()(

.pequenosinitamenteinfsão onde

lim,lim

1

15

01

0

lim

1lim1lim

1601610lim10lim10lim

1013

lim1lim3

1lim3

lim

1

1

1

4

22

4

2

3

23

x

x

x

xxx

xxxx

x

x

x

x

xx

xxx

xx

Exemplos

16

x

xsenx 0lim

M

B AO

C

x

1lim

11lim1coslim

cos1

11

.1.2

1.1.

2

1.1.

2

1

.1.2

1.

2

1COA triangulodo área

.1.2

1.

2

1MOAsetor do área

.1.2

1.

2

1MOA triangulodo área

COA triangulodo áreaMOAsetor do áreaMOA triangulodo área

0

00

x

senx

e

mas

xx

senxcoxsenx

xsenx

tgx

senx

x

senx

senx

tgxxsenx

tgxxsenx

tgxACOA

xMAOA

senxMBOA

x

xx

17

Continuidade das funçõesSeja y=f(x) uma função definida para o valor x0 e numa certa vizinhança de x0; seja ainda y0=f(x0).

Se à variável x damos um acréscimo x, passando do ponto x0 para x0+ x, a função também sofrerá um acréscimo y, dado por

y=f(x0+ x)-f(x0)

y=f(x) é dita uma função contínua em x=x0, se ela é definida em x=x0 e numa certa vizinhança de x0 e ainda se

0lim

0lim

000

0

xfxxf

ou

y

x

x

18

Teorema. Toda função elementar é contínua no ponto em que ela está definida

0

000

00

000

0

lim

limlim

0lim

xfxf

xfxfxxf

xfxxf

xx

xx

x

0 xem adescontínu é

02lim

mas

2lim

2

1

0

1

0

1

x

x

x

x

xxf

Se uma das condições de continuidade não for satisfeita, i.e., se a função não está definida em x0, ou, se o lim f(x), quando x →x0 não existe, a função é dita descontínua em x0, ou, que há uma descontinuidade em x=x0

Exemplos

0emdefinidaestánão1

xx

xf

19

0 xem adescontínu é

2)(lim

1)(lim

0

0

xf

xf

x

x

1

2