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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CAMPUS IV-CCAE
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROFESSOR José Elias Dos Santos Filho
Limite de uma Função
I) Introdução ao Limite de uma Função
Você já deve ter tido a experiência de tentar calcular o custo aproximado de um produto. Imagine
você perguntando a um amigo sobre o custo do quilo do feijão carioquinha nos mercados de sua cidade e
obtém a seguinte resposta: “O custo do feijão carioquinha nos mercados de nossa cidade, eu não sei ao
certo, mas sei que é de aproximadamente R$5,00.”
Veja que se você necessita de 7 quilos de feijão carioquinha, o que teremos é uma estimativa de
quanto você vai gastar para obter os 7 quilos de feijão, isto é, quanto mais próximo de R$5,00 estiver o
custo do feijão, o valor a ser pago pelos 7 quilos estará cada vez mais próximo do valor de R$35,00.
Observe que se “ x ” representa o custo do quilo do feijão carioquinha e “ P ” representa o valor a
ser pago pro 7 quilos de feijão, então ( ) 7P x x . Note que, pela situação problema descrito
anteriormente, vemos que se x estiver cada vez mais próximo do valor 5 (denotaremos isso da forma
5x ), teremos ( )P x cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma ( ) 35P x ).
Podemos representar esse fato da seguinte forma:
5lim ( ) 35x
P x
A notação acima nos diz que se x é um valor suficientemente próximo de 5, então o valor da função
( ) 7P x x estará cada vez mais próximo do valor 35.
Veja gráfico abaixo, bem como a planilha de valores, e constate o limite 5
lim ( ) 35x
P x
.
2
II) Noção Intuitiva do Limite
O que faremos agora é estudar o que acontece com os valores de uma função ( )f x quando o
valor de x estiver suficientemente próximo de um ponto a , ou seja, se x a , qual o comportamento
dos valores de ( )f x .
Para ficar mais claro o estudo do limite de uma função num ponto, considere a função
2 1( )
1
xf x
x
, onde ( ) {1}Dom f IR , ou seja,
2 1( )
1
xf x
x
não esta definida para 1x .
Vamos ver o comportamento dos valores de ( )f x , quando 1x . Para isso, observe a tabela
abaixo com valores de 1x (tanto valores x<1 quanto x>1) e os respectivos valores de ( )f x .
Observamos pela tabela acima que se x tende 1, ou seja, 1x então os valores de
2 1( )
1
xf x
x
estarão cada vez mais próximos de 2, isto é, ( ) 2f x sempre que 1x .
Desta forma, diremos que o limites de
2 1( )
1
xf x
x
quando 1x é 2 e denotaremos este fato
da forma
2
1 1
1lim ( ) lim 2
1x x
xf x
x
.
Veja graficamente a ilustração do limite da função
2 1( )
1
xf x
x
quando 1x .
3
Pelo gráfico da função, observe que se o valor de x estiver suficientemente próximo do valor 1, o
valor de ( )f x estará cada vez mais próximo do valor 2. Assim, diremos que o limite de ( )f x quando x
tende a 1 é 2 e denotaremos da forma 1
lim ( ) 2x
f x
.
De um modo geral, dizemos que o limite da função ( )f x , quando x tende ao valor a , é igual ao
número real L se, e somente se, os números reais ( )f x , para os infinitos valores de x permanecerem
próximos de L , sempre que x estiver suficientemente próximo de a .
Notação:
lim ( )x a
f x L
III) Limites Laterais
Note que quando estudamos o limite da função
2 1( )
1
xf x
x
quando 1x , tivemos que
considerar valores de x menores que 1 quanto valores de x maiores que 1, ou seja, valores x<1 e valores
x>1. Vamos rever novamente a tabela que nos ajudou a determinar o limite 1
lim ( ) 2x
f x
.
Na tabela na qual temos 1x com x<1, notamos que
2
1 1 11
1lim ( ) lim ( ) lim 2
1x x xx
xf x f x
x
.
Analogamente, na tabela na qual temos 1x com x>1, também verificamos que
2
1 1 11
1lim ( ) lim ( ) lim 2
1x x xx
xf x f x
x
. Desta forma, se 1x , seja com valores x<1 ou x>1,
teremos
2
1 1
1lim ( ) lim 2
1x x
xf x
x
.
O limite 1
lim ( ) 2x
f x
é denominado de limite lateral pela esquerda da função
2 1( )
1
xf x
x
quando 1x (x<1) e o limite 1
lim ( ) 2x
f x
é denominado de limite lateral pela direita da função
2 1( )
1
xf x
x
quando 1x (x>1).
4
De uma forma geral, se x se aproxima de a através de valores maiores que a ( x a ) ou
simplesmente pela sua direita, e ( )f x L escrevemos
lim ( )x a
f x L
. (Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a )
Analogamente, se x se aproxima de a através de valores menores que a ( x a ) ou
simplesmente pela sua esquerda, e ( )f x M escrevemos
lim ( )x a
f x M
(Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a )
Teorema: O limite lim ( )x a
f x L
, se, e somente se, os limites laterais lim ( )x a
f x
e lim ( )x a
f x
existirem e forem iguais a L .
Simplificando: lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x L f x f x L
Note que, para a função
2 1( )
1
xf x
x
temos que
2 2
1 1
1 1lim 2 lim
1 1x x
x x
x x
e assim
2
1 1
1lim ( ) lim 2
1x x
xf x
x
.
Observação Importante:
Se lim ( ) lim ( )x a x a
f x f x
, então não existe lim ( )x a
f x
.
Exemplos
1) Calcule o limite 2
lim ( )x
g x
, caso exista, sabendo que 2( ) 3g x x x .
Resolução:
Note que, quando 2x , isto é, x se aproxima de 2, (seja pela direita com x>2 ou pela esquerda
com x<2) o valor de 2x estará cada vez mais próximo de 4.
Analogamente, quando 2x , isto é, x se aproxima de 2, (seja pela direita com x>2 ou pela
esquerda com x<2) o valor de 3x estará cada vez mais próximo de 6.
Assim, quando 2x , isto é, x se aproxima de 2, o valor de 2( ) 3g x x x estará cada vez
mais próximo de 4 6 2 , ou seja, 2( ) 3 2g x x x , quando 2x .
Portanto, 2
2 2lim ( ) lim( 3 ) 4 6 2x x
g x x x
.
Dica para Você: Baixe o arquivo, “Limite g(x).ggb” e veja o gráfico da função 2( ) 3g x x x e do limite
2lim ( ) 2x
g x
.
5
2) Considere a função
2 1, 1
( ) 3, 1 2
2 1, 2
x se x
h x x se x
x se x
, cujo gráfico esta representado abaixo.
Calcule, caso exista, os limites 1 2
lim ( ) lim ( )x x
h x e h x
.
Resolução:
a) Note que quando consideramos 1x , devemos levar em conta o fato de que x<1 ou x>1. Assim, note
que quando 1x (x<1), a função é dada por 2( ) 1h x x .
Logo, 2
1 1lim ( ) lim( 1) 1 1 2x x
h x x
.
Analogamente, note que quando 1x (x>1), a função é dada por ( ) 3h x x .
Logo, 1 1
lim ( ) lim( 3) 1 3 2x x
h x x
.
Como 1 1
lim ( ) lim ( ) 2x x
h x h x
, então 1
lim ( ) 2x
h x
. Observe o gráfico da função e veja este
limite graficamente.
b) Note que quando consideramos 2x , devemos levar em conta o fato de que x<2 ou x>2. Assim, note
que quando 2x (x<2), a função é dada por ( ) 3h x x .
Logo, 2 2
lim ( ) lim ( 3) 2 3 1x x
h x x
.
Analogamente, note que quando 2x (x>2), a função é dada por ( ) 2 1h x x .
Logo, 2 2
lim ( ) lim (2 1) 4 1 3x x
h x x
.
Como, 2 2
lim ( ) lim ( )x x
h x h x
, então o limite 1
lim ( )x
h x
não existe.
Observe o gráfico da função e veja que há uma quebra no gráfico da função para valores próximo de
2.
Dica para Você: Baixo o Arquivo “Limite-h(x).ggb” e veja a animação gráfica dessa função.
6
IV) Propriedades do Limite
Suponhamos que lim ( )x a
f x L
, lim ( )x a
g x M
e k IR .
I) Limite de uma constante
O limite de uma constante é a própria constante, isto é, limx a
k k
.
Exemplos: a) 4
lim3 3x
b) 8
2 2lim
3 3x
II) Limite da soma ( ou da diferença )
O limite da soma (ou da diferença) de duas funções é igual à soma ( ou à diferença ) dos limites
dessas funções, isto é:
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x L M
Exemplos:
a) 2 2
4 4 4lim( 3) lim lim3 16 3 19x x x
x x
b) 2 2 2
lim( 5) lim lim5 2 5 3x x x
x x
II) Limite do produto
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .x a x a x a
f x g x f x g x L M
Exemplo:2 2
2 2 2lim4 lim4 lim 4 4 16x x x
x x
III) Limite do quociente
O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o
limite do divisor for igual a zero), isto é:
lim ( )( )lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x L
g x g x M
, desde que lim ( ) 0x a
g x M
Exemplo: 2
2
2
lim( 3)3 5lim
2 lim( 2) 4
x
x
x
xx
x x
IV) Limite de uma potência
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função,
isto é:
lim[ ( )] lim ( )n
n n
x a x af x f x L
Exemplo: 2
2 2
2 2lim 5 lim5 10 100x x
x x
7
V) Limite de uma raiz
O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função, isto é:
lim ( ) lim ( ) nn nx a x a
f x f x L
, desde que n L exista.
Exemplo: 5 4 4 5
5
2 2lim 2 lim2 32 2x x
x x
-EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Explique com suas palavras com suas palavras o significado da equação
2lim ( ) 5x
f x
É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que (2) 3f ? Explique.
2) Explique o que significa dizer que
1lim ( ) 5x
f x
e 1
lim ( ) 7x
f x
Nesta situação, é possível que 1
lim ( )x
f x
exista? Explique.
3) Considere uma função xf cujo gráfico esta representada abaixo.
Com base no gráfico da função xf acima, obtenha:
6 2 0 2 4
64 10 10
) ) ) ) )
) ) ) )
lim lim lim lim lim
lim lim lim lim
x x x x x
xx x x
a f x b f x c f x d f x e f x
g f x h f x i f x j f x
8
4) Utilize o gráfico da função ( )g x para estimar os limites e os valores da função ou explique por que os
limites não existem.
5) Calcule o limite da função no ponto indicado.
2 3 2
2 1 3
53
2 4
32 0 1
) lim 1 ) lim 3 4 )lim 3 4 2
4 3) lim 3 . 4 )lim )lim 1
2 4 2
x x x
x x x
a x x b x c x x x
x xd x x e f x
x x
6) Considere as funções 2132 32 xxgexxxf . Determine :
xg
xfcxgxfbxgxfa
xxx 121lim).lim)lim)
7) Suponha que lim ( ) 5x a
f x
e 0
lim ( ) 2x
g x
. Determine:
( )
) lim ( ) ( ) ) lim2 ( ) ( ) ) lim ( ) 3 ( ) )lim( ) ( )x a x a x a x a
f xa f x g x b f x g x c f x g x d
f x g x
8) Os gráficos de f e g são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista o limite, explique por
quê.
2 1 0
3
1 2 1
( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ). ( )
( )( ) lim ( )lim . ( ) ( ) lim 3 ( )
( )
x x x
x x x
a f x g x b f x g x c f x g x
f xd e x f x f f x
g x
2 2
2
1 1
1
2
) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) ( 2)
) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) (1)
) lim ( ) ) (2)
x x
x
x x
x
x
a g x b g x
c g x d g
e g x f g x
g g x h g
i g x j g
9
9) Considere a função
2
2 4 , 2
2 , 2 0
4, 0
x se x
f x x se x
x se x
.
a) Calcule o valor da expressão ( 3) ( 2) (0) (1)f f f f ;
b) Calcule xfxfxfxxxlimlimlim
102
.2
;
c) Represente graficamente essa função.
10) Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça todas as condições dadas em cada
caso.
1 1
0 0 2
2
) lim ( ) 2, lim ( ) 2, (1) 2.
) lim ( ) 1, lim ( ) 1, lim ( ) 0,
lim ( ) 0, (2) 1, (0) .
x x
x x x
x
a f x f x f
b g x g x g x
g x f f não está definida
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CAMPUS IV-CCAE
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROFESSOR José Elias Dos Santos Filho
Limites Infinitos e Limites no Infinito
I-Limites Infinitos
Inicialmente, considere a função 2
1( )f x
x . Note que, ( ) {0}Dom f IR .
Vamos ver o que acontece com os valores de 2
1( )f x
x , quando 0x . Para isso, observe a
tabela abaixo.
Observe que se x estiver suficientemente próximo de zero, ou seja, se 0x , então os valores de
2
1( )f x
x cresce indefinidamente, ou seja,
2
1( )f x
x . Assim,
20 0
1lim ( ) lim .x x
f xx
Veja o gráfico da função 2
1( )f x
x para visualizar o limite
20 0
1lim ( ) lim .x x
f xx
2
Veja agora o gráfico da função 1
( )g xx
, onde ( ) {0}Dom g IR .
Observe que se 0x , os valores de 1
( )g xx
cresce
indefinidamente, ou seja, 0
lim ( )x
g x
.
Analogamente, observe que quando 0x , os valores
de 1
( )g xx
decresce indefinidamente, ou seja,
0lim ( )x
g x
.
Note que não podemos concluir que 0
lim ( )x
g x
nem que 0
lim ( )x
g x
.
De ponto de vista mais informal, as expressões lim ( )x a
f x
e lim ( )x a
f x
significam
que ( )f x cresce indefinidamente, sem cota superior quando x a pela esquerda ou pela direita,
respectivamente. Se ambas são verdadeiras, então escrevemos lim ( )x a
f x
.
De forma análoga, as expressões lim ( )x a
f x
e lim ( )x a
f x
significam que ( )f x
decresce indefinidamente, sem cota inferior quando x a pela esquerda ou pela direita, respectivamente.
Se ambas são verdadeiras, então escrevemos lim ( )x a
f x
.
-Dicas Importantes para Você
Considere n IN e , 0C IR com C . Podemos ter assim, os seguintes limites infinitos.
0
0 0
)0
) . .0 0
lim
lim lim
nx
n nx x
C CI
x
C C C CII se n for PAR ou se n for IMPAR
x x
Exercícios Resolvidos: 1) Calcule os seguintes limites, caso existam:
1
3)
2
12)
1
3)
2)
2121
30
limlimlimlim
xd
x
xc
xb
xa
xxxx
Resolução:
a) Temos que,
0
3 30 0
0.
2 2 2
0lim lim
x
3
x x
Valor Próximo de 0mas positivo, pois,
x
x x
.
3
b) Temos que,
1
1
1 0
3 3
1 0limx
x então
x
x
.
c) Temos que,
2 ,2 1 5
2
2
2 0
2 1 5
2 0lim
x entãox
x
x então
x
x
x
.
d) Inicialmente note que se 1x , então 2 1 0x e se 1x , então
2 1 0x .
Assim, devemos calcular os seguintes limites laterais, 2
1
3
1limx x
e 2
1
3
1limx x
, antes de tirar alguma
conclusão sobre o limite 2
1
3
1lim
x x .
Note que, 2
1
3 3
1 0limx x
e que 2
1
3 3
1 0limx x
.
Portanto, como os limites laterais são diferentes, então 2
1
3
1lim
x x não existe.
-Assíntotas Verticais
Observe o gráfico da função 2
8( )
( 4)f x
x
, onde ( ) {2, 2}Dom f IR .
Dica para Você: Baixe o Arquivo “Limite Assíntotas Verticais.ggb” para visualizar o gráfico desta função no
Geogebra.
4
Note que existem duas retas verticais, a saber, a reta 2x e a reta 2x dividem o gráfico da
função em três partes.
Observe que quando 2x ou 2x o gráfico da função 2
8( )
( 4)f x
x
estará cada vez
mais próximo da reta 2x . Desta forma, a reta 2x é denominada assíntota vertical da função ( )f x .
Analogamente, quando 2x ou 2x o gráfico da função 2
8( )
( 4)f x
x
estará cada
vez mais próximo da reta 2x . Desta forma, a reta 2x também é denominada assíntota vertical da
função ( )f x .
De uma forma geral, quando temos lim ( )
x aAssíntoaVertical
x af x
ou lim ( )
x aAssíntoaVertical
x af x
, então a função
( )f x possui uma assíntota vertical que é a reta x a .
-Exercícios Propostos:
1) Considere o gráfico da função ( )f x representado abaixo.
2) Calcule os seguintes limites, caso existam:
3 2 2
30 1 2
2 3 1 2 2 1 4) ) ) )
2 91lim lim lim lim
xx x x
x x xa b c d
xx xx
3) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das funções abaixo. Que assíntotas verticais os
gráficos possuem? Por que as assíntotas verticais estão localizadas onde estão?
2 3 23
2
4 3 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
1 1
x x xa f x b g x x c h x d k x sen x
x x xx
Com base no gráfico da função ( )f x ao lado
obtenha:
2 2
1 1
3 3
) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( )
x x
x x
x x
a f x b f x
c f x d f x
e f x f f x
)g as assíntotas verticais da função. Justifique
cada uma delas.
5
II- Limites no Infinito
Considere a função 1
( )f xx
, onde ( ) {0}Dom f IR . Vejamos agora, o que acontece com
os valores de 1
( )f xx
, quando os valores da variável x crescem indefinidamente, ou seja, quando
x , como também, iremos verificar o que acontece com os valores de 1
( )f xx
, quando os valores
da variável x decrescem indefinidamente, ou seja, quando x . Para isso, observe a tabela abaixo:
Com base na tabela acima, observamos que quando os valores de x cresce indefinidamente, ou
seja, quando x , os valores da função 1
( )f xx
estão cada vez mais próximos de zero, isto é,
1lim ( ) lim 0
x xf x
x . Analogamente, quando os valores de x decresce indefinidamente, ou seja,
quando x , os valores da função 1
( )f xx
estão cada vez mais próximos de zero, isto é,
1lim ( ) lim 0
x xf x
x .
De um ponto de vista mais informal, se os valores de uma função ( )f x ficam cada vez mais
próximos de um número L à medida que x cresce sem parar, então escrevemos:
lim ( )x
f x L
, ou seja, ( )f x L quando x .
Analogamente, se os valores de uma função ( )f x ficam cada vez mais próximos de um número L
à medida que x decresce sem parar, então escrevemos:
lim ( )x
f x L
, ou seja, ( )f x L quando x .
Abaixo veremos uma ilustração gráfica dos limites no infinito.
6
- Dicas Importantes para você
Se C IR é uma constante qualquer então:
) 0 ) 0lim limn nx x
Isso significa que x Isso significa que x crece ou decresce crece ou decresceindefinidamente indefinidamente
C C C CI II
x x
-Exercícios Resolvidos
1) Calcule os seguintes limites:
12)1
3)
2
4) 2
2 limlimlim
xxcx
bxx
axxx
Resolução:
(a) Temos que, note que se x então 2 2x x . Assim,
2
4 40
2limx x x
.
(b) Temos que, 3 3
01
limx x
.
(c) Observe que 2 2 1x x quando x . Assim, 2 2 1lim
x
x x
.
Abaixo você terá uma ilustração do gráfico de cada uma dessas funções.
7
- Dica Importante para Você:
Limites de polinômios quando x
O comportamento de um polinômio qualquer 1 2
1 2 1 0( ) n n
n nP x a x a x a x a x a
,
com 0na , coincide com o comportamento final de seu termo de maior grau n
na x .
Resumindo, se 1 2
1 2 1 0( ) n n
n nP x a x a x a x a x a
, com 0na , então
1 2
1 2 1 0lim ( ) limn n n
n n nx x
a x a x a x a x a a x
e
1 2
1 2 1 0lim ( ) limn n n
n n nx x
a x a x a x a x a a x
-Exercícios Resolvidos
1)Calcule os seguintes limites, caso existam.
2 3 2
33
3 5 4 5 2 1 3 5( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim
6 8 1 3 6 82 5x x x x
x x x x x xa b c d
x x xx
Resolução:
(a) Pela dica acima, temos que lim (3 5) lim 3x x
x x
e que lim (6 8) lim 6x x
x x
.
Assim, 3 5 3 3 3
lim lim lim6 8 6 6 6x x x
x x
x x
.
(b) Temos que,
2 2
3 3
4 4 4 4lim lim lim 0
22 5 2x x x
x x x
xx x
.
(c) Temos que,
3 2 3 25 2 1 5 5lim lim lim
1 3 3 3 3x x x
x x x x
x x
.
(d) Temos que, 33 3 3 3 33 5 3 5 3 3 3 1
lim lim lim lim6 8 6 8 6 6 6 2x x x x
x x x
x x x
.
8
-Assíntotas Horizontais
Sabemos que função 2
8( )
( 4)f x
x
, onde ( ) {2, 2}Dom f IR , apresenta duas
assíntotas verticais, que são as retas 2x e a reta 2x . Um dos argumentos para afirmar que a reta
2x é uma assíntota vertical da função é o fato de que 2
lim ( )x
f x
, e para afirmarmos que a reta
2x é uma assíntota vertical da função é pelo fato de que 2
lim ( )x
f x
.
Observe o gráfico da função 2
8( )
( 4)f x
x
e verifique que a reta 0y limita o gráfico da
função quando x , ou quando x . Essa limitação é devido ao fato de que lim ( ) 0x
f x
e
de que lim ( ) 0x
f x
.
Assim, diremos que a reta 0y é uma assíntota horizontal da função 2
8( )
( 4)f x
x
, pois
0
lim ( ) 0x
yAssíntotaHorizontal
f x
. De uma forma geral, quando temos lim ( )x
y LAssíntotaHorizontal
f x L
ou lim ( )x
y LAssíntotaHorizontal
f x L
,
então a função ( )f x possui uma assíntota horizontal que é a reta y L .
9
-Exercícios Resolvidos:
1) Considere a função
2
2
2 4 4( )
2
x xf x
x x
. Determinar se a função possui assíntotas horizontais.
Resolução:
Para verificarmos se a função possui assíntotas horizontais é necessário calcularmos os limites
lim ( )x
f x
e lim ( )x
f x
.
Assim,
(I)
2 2
2 2
2 4 4 2lim ( ) lim lim lim 2 2
2x x x x
x x xf x
x x x
.
(II)
2 2
2 2
2 4 4 2lim ( ) lim lim lim 2 2
2x x x x
x x xf x
x x x
.
Pelos resultados acima, verificamos que a função
2
2
2 4 4( )
2
x xf x
x x
possui apenas uma
assíntota horizontal que é a reta 2.y Veja o gráfico da função abaixo e constate esse fato.
Note que a função
2
2
2 4 4( )
2
x xf x
x x
também possui assíntotas verticais que são as retas
2x e 0x . Observe que x=2 e x=0 são as raízes da equação 2 2
Denominador
x x . Mostre que
2lim ( )
xf x
,
2lim ( )
xf x
,
0lim ( )x
f x
e 0
lim ( )x
f x
e assim você estará
provando que as retas 2x e 0x são as assíntotas verticais da função.
10
- Exercícios Propostos
4) Determine o limite de cada uma das funções quando (a) x e (b) x .
3 3
2 2 3 2
2 5 3
2 3 2
2 3 1 1 12 7) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )
5 7 3 4 12 3 6
3 6 2 3 2 2 3) ( ) ) ( ) ) ( )
4 8 3 3 5
x x x xa f x b f x c f x d f x
x x x x x x
x x x x xe f x f f x g f x
x x x x x x
5) Para cada uma das funções do exercício (4), determinar as assíntotas horizontais da função.
6) Com base no gráfico da função ( )
( ) 2sen x
g xx
abaixo, determinar as assíntotas horizontais da
função justificando cada uma delas.
7) Esboce o gráfico de uma função ( )y f x que satisfaça as condições dadas. Nenhuma fórmula é
necessária, simplesmente indique os eixos cartesianos e trace uma curva apropriada.
1 1 1 1
( ) (0) 0, (1) 2, ( 1) 2, lim ( ) 1 lim ( ) 1.
( ) (0) 0, lim ( ) 0, lim ( ) lim ( ) , lim ( ) lim ( ) .
x x
x x x x x
a f f f f x e f x
b f f x f x f x f x e f x
8) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das funções abaixo. Em cada caso, determine o que
se pede com base no gráfico da função.
( ) ( )sen x
a f xx
; Calcule, caso exista, 0
lim ( )x
f x
e lim ( )x
f x
.
1( ) ( )b g x sen
x
; Calcule, caso exista,
0lim ( )x
g x
.
( )c No mesmo plano cartesiano represente 1( ) , ( ) ( ) . ( )x
f x x g x x e h x x sen . Verifique
que ( ) ( ) ( )f x h x g x e com isso estime o valor do limite 0
lim ( )x
h x
.
(c) Represente graficamente a função
22( )
3 6
xg x
x
. A reta x=-2 é uma assíntota vertical da função?
Essa função possui assíntota horizontal? Com base no gráfico, é possível afirmar que a função possui uma
reta com inclinação positiva que representa uma assíntota da função de forma inclinada?
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CAMPUS IV-CCAE
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROFESSOR José Elias Dos Santos Filho
Limites Indeterminados
-Introdução
Sabemos que para calcular o limite da função 2( ) 4f x x e da função
2( ) 2g x x x
quando 2x , procedemos da seguinte forma:
2
2 2lim ( ) lim( 4) 4 4 0x x
f x x
2
2 2lim ( ) lim( 2) 4 2 2 0x x
g x x x
Isto significa que os valores de ( )f x , bem como os valores de ( )g x , estarão suficientemente
próximo de 0(zero) sempre que x estiver suficientemente próximo de 2.
Lembre-se que ( ) 0 ( ) 0f x e g x , pois
2
2x
x
. Na verdade, o que teremos é
( ) 0 ( ) 0f x e g x sempre que 2x .
Vejamos agora tentar, de forma direta, calcular o limite da função
2
2
( ) 4
( ) 2
f x x
g x x x
quando
2x , vejamos:
2
22 2
( ) 4 4 4 0lim lim
( ) 4 2 2 02x x
f x x
g x x x
.
Veja que temos uma expressão da forma 2
( ) 0lim
( ) 0x
f x
g x , o que significa que tanto o numerador
quanto o denominador, são valores suficientemente próximos de 0(zero) e assim não temos como saber o
comportamento da divisão 0
.0
Esse limite 2
( ) 0lim
( ) 0x
f x
g x é denominado de limite indeterminado.
Observe a tabela abaixo e veja o que acontece com os valores de ( )
( )
f x
g x quando 2x .
2
Pela tabela acima, vemos que 2
( )lim 0,5
( )x
f x
g x . De uma forma mais analítica, note que,
2( ) 4 ( 2)( 2)f x x x x e que ( ) ( 1)( 2)g x x x .
Logo, podemos calcular o limite 2
( )lim
( )x
f x
g x da seguinte forma:
2 2
( 2) ( 2)( )lim lim
( )x x
x xf x
g x
( 6) ( 2)x x 2
( 2) 4lim 0,5
( 6) 8x
x
x
.
-Limites Indeterminados 0
0.
Estamos entrando em outra etapa sobre limites, este é conhecido por LIMITES INDETERMINADOS,
sempre que tivermos uma indeterminação do tipo:
Teremos que fazer uso dos nossos conhecimentos algébricos, onde os mais conhecidos são:
Fatoração de Polinômios, Divisão de Polinômios e Multiplicação pelo Conjugado.
Faremos aqui alguns exercícios sobre limites indeterminados. Ante de iniciarmos faremos duas
discussões, uma sobre DIVISÃO ENTRE POLINÔMIOS e outra sobre MULTIPLICAÇÃO OELO CONJUGADO.
-EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Seja 2( )f x x x . O valor do
0
( ) ( )limh
f a h f a
h
é:
Resolução: Temos que,
f (a + h) = (a + h)2 + a + h
I)
2
2 2
( ) ( ) ( )
2
f a h a h a h
a ah h a h
II) 2( )f a a a
Agora, substituímos os valores de ( )f a h e ( )f a , para calcular o limite, observe:
2 2 2
0 0
2
0
2( ) ( )lim lim
lim
h h
h
a ah h a h a af a h f a
h h
a
22ah h a 2h a a 2
0
0
2lim
2lim
h
h
ah h h
h h
a h
h
2h
h
h
h 0lim(2 1) 2 1.h
a h a
Portanto, 0
( ) ( )lim 2 1.h
f a h f aa
h
Foi feito o seguinte passo aqui: Onde tinha (x) eu
troquei por (a + h), pois estou analisando f(a + h)
Foi feito o seguinte passo aqui: Onde tinha (x) eu
troquei por (a), pois estou analisando f(a)
1 , ,0 , 0 , - , ,
0
0 00
3
2) Calcule o limite
2
32
3 2lim
8x
x x
x
.
Resolução:
Poderemos usar para sair da indeterminação 0
0, a Divisão entre Polinômios ou Fatoração. Neste caso, vamos optar
por usar Fatoração de Polinômios. Sabemos pelos produtos notáveis que I) x2 – a2 = (x – a)(x + a)
II) x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2)
Sabendo que 3 3 38 2x x , e por (II) temos que
3 28 ( 2)( 2 4)x x x x .
Com relação ao numerador da fração
2
3
3 2
8
x x
x
, vamos determinar as raízes da equação
2 3 2 0x x , que
são 1 22 1.x ou x Como, 2
1 2( )( )ax bx c a x x x x então 2 3 2 ( 2)( 1)x x x x .
Assim,
2
32 2
( 2)3 2lim lim
8x x
xx x
x
.( 1)
( 2)
x
x
2 22 2
( 1) (2 1) 1lim .
( 2 4) (2 2.2 4) 12.( 2 4) x
x
x xx x
3) Calcule o limite indeterminado
2
4
5 4lim
4x
x x
x
.
Resolução:
Como as raízes da equação 2 5 4 0x x , são os valores 1 24 1x ou x , então
2 5 4 ( 4).( 1).x x x x
Desta forma teremos:
2
4 4
( 4)5 4lim lim
4x x
xx x
x
.( 1)
( 4)
x
x
4¨ lim( 1) 4 1 3.
xx
Portanto,
2
4
5 4lim 3
4x
x x
x
.
4
MULTIPLICAÇÃO PELO CONJUGADO
Suponha que queremos calcular o limite indeterminado 0
1 1limx
x x
x
.
Em muitos casos como estes, é de grande importância que nos livremos do termo que envolve a
radiciação e que neste caso é ( 1 1 )x x . O conjugado do termo ( 1 1 )x x é o termo
( 1 1 )Sinalopostoaoanterior
x x .
O que fazemos na prática para calcular o limite, é a multiplicar a fração 1 1x x
x
pela
fração
1 1
1 1
x x
x x
que representa o valor 1.
Assim teremos o seguinte cálculo:
0 0
1 1 1 11 1lim lim .
1 1x x
x x x xx x
x x x x
,
A intenção de se fazer isso, é produzir a “Diferença de Dois Quadrado”, veja:
2 2( ) ( )
2 2
0 0
1 1 1 1 1 1lim . lim
1 1
a ba b a b
x x
x x x x x x
x xx x
.
Efetuando as operações devidas iremos obter o resultado do limite, veja a resolução completa
abaixo:
2 2
( ) ( )
0 0
2 2
0 0
0
1 1 1 11 1lim lim .
1 1
1 1 ( 1) (1 )lim lim
.( 1 1 )
1lim
a b a b
x x
a b
x x
x
x x x xx x
x x x x
x x x x
x x x x
x
1
0
2lim
.( 1 1 ) x
x x
x x x
x
0
.( 1 1 )
2 2 2lim 1
2( 1 1 ) 1 1x
x x
x x
5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Determine o valor numérico do limite 1
1lim .
1x
x
x
Resolução:
Observe que se trata de um limite indeterminado 0
.0
Usaremos a multiplicação pelo Conjugado de ( 1)x que é ( 1)x .
Observe:
2
2
1 1 1
1
11 ( 1) ( 1)lim lim . lim
1 ( 1) ( 1) ( 1).( 1)
( 1)lim
x x x
x
xx x x
x x x x x
x
( 1)x 1
1 1 1lim .
2.( 1) ( 1) 1 1xx x
Portanto, 1
1 1lim .
1 2x
x
x
2) Calcule 2
2lim
2y
y
y
.
Resolução:
Vamos multiplicar a fração 2
2
y
y
pelo termo
2
2
y
y
, observe os cálculos feitos:
2 2
2 2
2
2 ( 2) 2( 2)lim . lim
2 2 2
( 2)lim
y y
y
y y yy
y y y
y
2
( 2)
y
y
2lim 2 2 2 2 2.y
y
Portanto, 2
2lim 2 2.
2y
y
y
6
-Limites Indeterminados .
Considere a função 4 2( )f x x x .
Logo, 4 2lim ( ) lim ( )
x xf x x x
, que é uma indeterminação, pois quando x
teremos 4x e
2x , ou seja, crescem indefinidamente e assim, não podemos estimar o
resultado da subtração .
Para resolver esse tipo de indeterminação, usaremos o fato de que o comportamento de um
polinômio qualquer 1 2
1 2 1 0( ) n n
n nP x a x a x a x a x a
, com 0na , coincide com o
comportamento final de seu termo de maior grau n
na x , ou
seja,1 2
1 2 1 0lim ( ) limn n n
n n nx x
a x a x a x a x a a x
.
Assim, vamos calcular o limite 4 2lim ( ) lim ( )
x xf x x x
da seguinte forma:
4 2 4lim ( ) lim ( ) limx x x
f x x x x
.
- Exercícios Resolvidos
1) Calcule o seguinte limite 4
3lim
2 4 5x x x .
Resolução:
Observe que pelo cálculo direto do limite teremos, 4
3 3lim
2 4 5x
Indeterminação
x x
.
Vamos usar o fato de que quando x o polinômio 42 4 5x x possui o mesmo
comportamento de 42x .
Assim, 4 4
3 3 3lim lim 0
2 4 5 2x xx x x
.
-Limites Indeterminados
.
Considere a função
4
3
2 3 2( )
4
x xg x
x x
. Note que quando, x então
42 3 2x x e que 3 4x x e assim teremos
4
3
2 3 2lim
4x
x x
x x
que também
representa um tipo de indeterminação.
7
Para calcular o limite
4
3
2 3 2lim
4x
x x
x x
iremos novamente utilizar o fato de que
1 2
1 2 1 0lim ( ) limn n n
n n nx x
a x a x a x a x a a x
.
Assim,
4 4
3 3
2 3 2 2 2lim lim lim
14x x x
x x x x
x x x
.
-Exercícios Resolvidos:
1) Calcule o limite
3
4 3
2 5 1lim
5 3x
x x
x x
, caso exista.
Resolução:
Temos que
3 3
4 3 4
2 5 1 2 2 2lim lim lim 0
5 3x x x
x x x
xx x x
.
2) Calcule o limite
4
8
3 2lim
3 4x
x
x x
.
Resolução:
Temos que
82
4 4 4
8 8
3 2 3 3lim lim lim
3 4x x x
x
x x x
x x x
4x
3 ¨.
-Exercícios Propostos:
1) Para cada uma das funções abaixo determine o limite 0
( ) ( ) ( ) ( )lim limh x a
f a h f a f x f ae
h x a
para
os respectivos valores de a .
2 2
2 2 3
3 3 3 2
) ( ) 2 , 3; ) ( ) , 3; ) ( ) 2 , 1
) ( ) 2 , 2; ) ( ) 2 1, 1; ) ( ) , 2
) ( ) 1, 1 ) ( ) 2 , 2; ) ( ) , 3
a f x x a b f x x a c f x x a
d f x x x a e f x x a f f x x a
g f x x a h f x x a i f x x x a
2) Calcule os seguintes limites:
25 2
6 3 2 21 2 3
2 2 2
2 2 22 3 1
2 2
23 0 2
3
22 1
4 14 9 7 3 4)lim ) lim )lim
3 1 4 14 2
5 6 9 5 4)lim )lim )lim
4 5 6 4 3
9 (2 ) 4 2) lim )lim )lim
3 2 2
8)lim ) lim
2
x x x
x x x
x h x
x x
xx x x xa b c
x x x x
x x x x xd e f
x x x x x
x h xg h i
hx x x
x xj k
x x
2
2 0
20 1
1 9 5 4 3)lim
6 3 3
4 2 2 3)lim )lim
49
x
x x
x xl
xx x
x xm n
x x
8
3) Calcule os seguintes limites no infinito:
3 4 2
4 3 28
2 2
2
32
2
4 4
3
2 5 1 3 2 2 3) lim ) lim ) lim
5 3 3 13 4
1 1) lim ) lim ) lim
3 2 3 23 1
) lim ) lim 1 ) lim 1 33
2 3 1) lim ) lim
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x xa b c
x x x xx x
x x xd e g
x xx x
x xh i x x j x x
x
x x xk l
x x
9
4 9 6 4
1) lim
5 1x
xm
x x x
4) Calcule os seguintes limites infinitos:
3 2 3
2 2 22 1
32 5
23
2 20 1 1
2 2
22 3
3 1 3 1) lim ) lim ) lim
2 1 4 2 1
5 6 1 5) lim (5 4 ) ) lim ) lim
36 1
2 1 2 3 2 3) lim ) lim ) lim
1 1
4 3) lim ) lim
4 4
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x xa b c
x x x x x
x xd x x x e f
xx x
x x xg h i
x x x
x xj k
x x
21
1) lim
6 9 1x
x xl
x x x
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CAMPUS IV-CCAE
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROFESSOR José Elias Dos Santos Filho
Funções Contínuas
- Introdução
Inicialmente considere as funções
2 1( )
1
xf x
x
,
2 1, 1
( ) ,1
1, 1
xse x
g x x
se x
( ) 1h x x , e a
função 1, 1
( )2, 1
x sek x
x se x
. Abaixo você poderá observar as semelhanças entre os gráficos das
funções , ,f g k e h .
Gráfico da função Observações sobre o Gráfico
Note que (1)f não existe, já que
( ) {1}Dom f IR . Isso faz com que
tenhamos uma quebra no gráfico da função
no ponto 1x , na qual você pode observar.
Dizemos assim, que a função ( )f x não é
contínua no ponto 1x .
Observe ainda que 1
lim ( ) 2 (1)x
f x f
.
Note que agora, que temos (1) 1g , já
que ( )Dom g IR , mas, no entanto, ainda
continuamos com uma quebra no gráfico da
função no ponto 1x , na qual você pode
observar. Dizemos assim, que a função
( )g x não é contínua no ponto 1x .
Observe ainda que 1
lim ( ) 2 (1)x
g x g
.
2
Observe que o gráfico da função ( )k x
possui uma quebra no seu gráfico de forma
mais clara, isso é devido ao fato de que
1 1lim ( ) lim ( )x x
k x k x
, ou seja, 1
lim ( )x
k x
não existe. Dizemos assim que a função
( )k x não é contínua no ponto 1x .
Note ainda que a função ( )k x esta definida
no ponto 1x , a saber,
1
( ) 2 lim ( )x
k x k x
.
Obseve que a função ( )h x não apresenta
quebra no gráfico no ponto 1x e assim
diremos que a função ( )h x é continua no
ponto 1x .
A continuidade da função ( ) 1h x x no
ponto 1x é devido ao fato de que
(1) 2h e que 1
lim ( ) 2x
h x
, ou seja,
1lim ( ) 2 (1)x
h x h
.
- Funções Contínuas
Com base nos gráfico apresentados anteriormente podemos apresentar a definição de continuidade
de uma função num ponto.
Definição: Dizemos que uma função f é contínua em x a se as seguintes condições forem satisfeitas:
(I) ( )f a existe
(II) lim ( )x a
f x
existe
(III) lim ( ) ( )x a
f x f a
Exemplo 1: Podemos verificar que a função
2 1( )
1
xf x
x
não é contínua no ponto 1x , pois a função
não esta definida no ponto 1x , ou seja, (1)f não existe. Portanto a função
2 1( )
1
xf x
x
não é
contínua no ponto 1x . (Veja o gráfico na tabela anterior)
3
Exemplo 2: Considerando a função 1, 1
( )2, 1
x sek x
x se x
, vemos que (1)k existe, ou seja, (1) 2k ,
mas 1
lim ( )x
k x
não existe, já que 1 1
lim ( ) lim ( )x x
k x k x
. Portanto a função 1, 1
( )2, 1
x sek x
x se x
não
é contínua no ponto 1x . (Veja o gráfico na tabela anterior)
Exemplo 3: Considere a função
2 1, 1
( ) 1
1, 1
xse x
g x x
se x
.
Note que,
(I) (1) 1g existe
(II) 1
lim ( ) 2x
g x
existe
No entanto, note que 1
lim ( ) 2 (1)x
g x g
.
Portanto a função
2 1, 1
( ) 1
1, 1
xse x
g x x
se x
não é contínua no ponto 1x . (Veja o gráfico na
tabela anterior)
Exemplo 4: Considerando a função ( ) 1h x x teremos:
(I) (1) 2h existe
(II) 1 1
lim ( ) lim( 1) 2x x
h x x
existe
(III) 1
lim ( ) (1) 2x
h x h
Portanto a função ( ) 1h x x é contínua no ponto 1x . (Veja o gráfico na tabela anterior)
Uma função é contínua em um intervalo [ , ]a b se e somente se for contínua em cada ponto do
intervalo. Uma função contínua é aquela que é contínua em cada ponto de seu domínio.
Note que o gráfico da função ( ) 1h x x é uma reta que não possui quebra no gráfico. Assim, a
função ( ) 1h x x é contínua em todos os pontos do domínio da função ( )Dom h IR , ou
simplesmente, ( ) 1h x x é uma função contínua.
- Continuidade dos Polinômios
Se 1 2
1 2 1 0( ) n n
n nP x a x a x a x a x a
, com 0na é um polinômio qualquer, então
lim ( ) ( )x c
P x P c
para todo c IR , ou seja, um polinômio qualquer é contínuo para todo ponto
x c IR .
4
-Propriedades de Funções Contínuas
Se as funções f e g são contínuas em x c , então :
(I) f g é contínua em x c ;
(II) f g é contínua em x c ;
(III) .f g é contínua em x c ;
(IV) f
g é contínua em x c , se ( ) 0g c .
-Composta de Funções Contínuas
Se f é contínua x c e g é contínua em ( )f c , então a composta ( ( ))g f x é composta em
x c .
-Exercícios Resolvidos
1) Considere uma função ( )f x cujo gráfico está representado abaixo:
Com base no gráfico da função responda:
a) ( )f x é contínua no ponto 2x ? Justifique.
b) ( )f x é contínua no ponto 1x ? Justifique.
c) Qual é o domínio da função ( )f x e m quais pontos de seu domínio a função é contínua?
Resolução:
a) Com base no gráfico da função temos que:
(I) (2) 1f , existe (II) 2 2
lim ( ) 1 lim ( )x x
f x f x
, ou seja, 2
lim ( ) 1x
f x
existe.
Como 2
lim ( ) 1 (2)x
f x f
, então a função é contínua em 2x .
Graficamente vemos que o gráfico da função não possui quebra no ponto 2x , ou seja, a função
é contínua em 2x .
b) Pelo gráfico da função teremos:
(I) (1) 2f (II) 1 1
lim ( ) 1 lim ( ) 3x x
f x f x
, ou seja, 1
lim ( )x
f x
não existe.
Portanto, a função ( )f x não é contínua no ponto 1x .
5
c) Vemos que a função ( )f x esta definida no intervalo [ 5,4] e assim, ( ) [ 5,4]Dom f .
Já vimos que a função não é contínua no ponto 1x e com base no gráfico, vemos que também
existe uma quebra no gráfico da função no ponto 2x , ou seja, ( )f x também não é contínua no ponto
2x .
Veja que ( 2) 0f existe, mas no entanto 2
lim ( )x
f x
não existe, já que 2
lim ( ) 3x
f x
que é
diferente do limite 2
lim ( ) 0x
f x
.
Portanto, ( )f x é continua no conjunto [ 5,4] { 2,1}C .
2) Mostre que a função 2( ) 1 1g x x é contínua no intervalo [ 1,1] .
Resolução: Se 1 1a , então, usando as Propriedades dos Limites, temos
2 2 2 2lim ( ) lim 1 1 1 lim 1 1 lim(1 ) 1 1 ( )x a x a x a x a
g x x x x a g a
Assim, ( )g x é contínua em x a se 1 1a .
Vamos agora verificar se a função 2( ) 1 1g x x é contínua nos extremos do intervalo
[ 1,1] , ou seja, 1x e 1x .
Para o ponto 1x temos que 1
lim ( ) ( 1)x
g x g
. Veja que não faz sentido calcular
1lim ( )
xg x
. (Veja o gráfico abaixo)
Analogamente, para o ponto 1x temos que 1
lim ( ) (1)x
g x g
. Veja que não faz sentido calcular
1lim ( )
xg x
. (veja o gráfico abaixo)
Portanto, 2( ) 1 1g x x é contínua no intervalo [ 1,1] . Veja o Graco da função abaixo.
6
3)Determinar m IR de modo que
2 5 4,( )
x x se x 4f x
3m , se x =4
seja contínua em x = 4.
Resolução:
(I) Temos que (4) 3.4 12f
(II) Cálculo do limite de ( )f x :
2 2
4 4lim ( ) lim( 5 4) 4 5 4 6 2x x
f x x x
(III) Para que a função seja contínua em x = 4, devemos ter 4
lim ( ) (4)x
f x f
e assim:
4
2lim ( ) (4) 2 3
3xf x f m m
.
Portanto, para que a função seja contínua em x=4 devemos ter 2
3m .
4) Verificar se a função
2 4( )
2
xf x
x
é contínua no ponto em x =3 e no ponto x=2.
Resolução:
(I) Temos
23 4(3) 5
3 2f
.
(II)
2
3 3
( 2) ( 2)4lim lim
2x x
x xx
x
( 2)x 3lim( 2) 5x
x
Logo, f(x) é contínua em x=3.
Observe que ( )f x não é contínua em x=2, pois, não existe (2)f .
7
-Exercícios Propostos:
1) Complete a afirmação:
“A função f é contínua em x c se estiver definida ( )f c , existir lim ( )x c
f x
e ____________________.”
2) Considere as funções 1, 4
( )1, 4
se xf x
se x
e
4 10, 4( )
6, 4
x se xg x
se x
.
a) A função ( )f x é contínua em 4x ? Justifique.
b) A função ( )g x é contínua em 4x ? Justifique.
c) A função ( ) ( )f x g x é contínua em 4x ? Justifique.
d) A função ( ( ))g f x é contínua em 4x ? Justifique.
3) Para quais valores de x , se houver, a função
2
2
16( )
5 4
xf x
x x
é descontínua?
4) Considere a função ( )h x cujo gráfico esta representado abaixo:
Com base no gráfico de ( )h x responda:
a) Qual o domínio da função?
b) A função é contínua no ponto 0x ? E no ponto 1x ? Justifique.
c) Em quais pontos a função é contínua?
5) Encontre um valor para a constante k , se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.
22
2
97 2, 1 , 2 , 3) ( ) ) ( ) ) ( ) 3
, 1 2 , 2, 3
xx se x kx se x se xa f x b g x c h x x
kx se x x k se xk se x
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