LISTA 2 INVERSA (2)

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINACAMPUS FLORIANÓPOLISDEPARTAMENTO ACADÊMICO DE FORMAÇÃO GERALDISCIPLINA: MATEMÁTICAPROFESSOR: ANTÔNIO JOÃO e-mail:

anttoniojoao@gmail.com

LISTA 02- MATRIZ INVERSA

1. Verifique se [ 35

−25

15

15

] é a inversa de [ 1 2−1 3].

2. Determine a inversa de cada matriz abaixo:

a) A=[5 64 5] b) B=[2 5

1 3] c) C=[1 00 2] d) D=[1 −1

1 1 ]3. Seja A−1 a inversa de A=[−9 4

2 −1] . Determine:

a) A+A−1 b) ( A−1 )2+A2

4. A inversa de [ y −3−2 x ] é a matriz [ x x−4

x−5 1 ]. Determine x e y.

5. (UC-GO) Determine x a fim de que a matriz A=[1 20 x] seja igual a sua inversa.

6. Resolva as seguintes equações matriciais:

a) [5 64 5 ]X=[13

18 ] b) X [3 42 3 ]=[75] c) [0 1

1 0]X=[ 9−7]

7. Sendo A e B matrizes inversíveis de ordem n, isolar X a partir de cada equação abaixo:

a) AX=B b) AXB=I n c) ( AX )−1=B d) BAX=A e)

( AX )t=B f) ( A+X )t=B

8. Determine X tal que:

a) [1 21 3]X [2 3

3 5]=[0 11 0] b) [2 2

5 5]+[1 23 5 ]X=[1 7

2 7]9. Use o método de Gauss-Jordan para achar a inversa da matriz dada (se existir).

a) A=[1 32 5 ] b) B=[2 3 0

1 −2 −12 0 −1] c) C=[1 −1 2

3 1 22 3 −1]

d) D=[1 1 01 0 10 1 1 ] e) E=[1 0 −1 3

2 3 4 20 2 5 14 1 0 0

] f) F=[2 4 2 40 1 1 01 0 2 33 0 1 0

]1

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10. Resolva as seguintes equações matriciais:

a) [1 0 02 1 02 3 1]X=[572 ] b) X [0 0 0

0 1 21 2 3]=[−1

−3−6 ]

11. (Unirio-RJ) Determine o valor de a para que [−112

72

52

−32

] seja a inversa de [3 7a 11] .

12. (UF-PB) Determine o valor de x sabendo que a inversa de A=[1 0 10 1 02 3 4 ] é a matriz

A−1=12 [ 4 x −1

0 2 0−2 −3 1 ].

13. (Unirio-RJ) Seja B=[a 00 b] , a≠0, b≠0, uma matriz que satisfaz a equação

B−1 ∙ A+3 A=[0 95 0], em que A=[0 −3

2 0 ]. Determine as soma dos elementos da diagonal

principal de B.

14. Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é inversível e A−1=A t.

a) Determine x , y e z de modo que a matriz [1 0 0

0 √22

√22

x y z] seja ortogonal.

b) Mostre que não existem x e y reais de modo que a matriz [√2 xy √2] seja ortogonal.

15. Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:1º) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C.2º) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC=P, onde M é a matriz mensagem a ser codificada.3º) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto:

a=1 , b=2 , c=3 , d=4 ,…, z=26.4º) Considere o alfabeto com 26 letras.5º) O número zero corresponde ao ponto de exclamação.6º) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/ letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue:

2

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m11m12m13m21m22m23m31m32m33.

Considerando que as matrizes: C=[ 1 0 12 1 −2

−1 3 1 ] e P=[ 0 55 320 17 2

52 19 −24].Suponha que foi enviada a você a matriz P.a) Utilize seus conhecimentos sobre operações com matrizes, especificamente em relação à matriz inversa, obtenha a matriz M e decifre a mensagem que foi enviada a você.b) Você está apaixonado(a), mas é tímido(a) e tem vergonha de declarar isso à sua paixão secreta. Descubra qual deve ser a matriz P para enviar a seguinte mensagem: EUTEAMO!!

RESPOSTAS

2. a) A−1=[ 5 −6

−4 5 ] b) B−1=[ 3 −5

−1 2 ] c) C−1=[1 0

012 ] d) D

−1=[ 12

12

−12

12]

3. a) [−10 00 −10 ] b) [98 0

0 98] 4. x=7 e y=1 5. x=−1 6. a) X=[−4338 ]

b) ∄ X c) X=[−79 ] 7. a) X=A−1B b) X=A−1B−1=(BA )−1 c) X=A−1B−1=(BA )−1

d) X=A−1B−1 A=(BA )−1 A e) X=A−1B t f) X=B t−A

8. a) X=[−19 128 −5] b) X=[−1 −21

0 13 ] 9. a) A−1=[−5 3

2 −1] b) B−1=[ 2 3 −3

−1 −2 24 6 −7]

c) ∄ inversa d)D−1=[

12

12

−12

12

−12

12

−12

12

12

] e)E−1=[

19

−827

727

1027

−49

3227

−2827

−1327

19

−2554

1627

1154

13

−118

19

−118

] 3

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f) F−1=[

344

−311

−111

722

944

211

−311

−122

−944

911

311

122

544

−511

211

−322

] 10. a) X=[ 5−31 ] b) ∄ X 11. a=5 12. x=3

13. a+b=−13

6 14. x=0 ; y=√2

2 e z=−√2

2 ou x=0 ; y=−√2

2 e z=√2

2

15.a) M=PC−1 e M=[16 1 181 2 5

14 19 0 ] PARABENS! b) P=[ 27 81 −17−6 40 1615 0 15 ]

4