Mecânica dos Sólidos I - Prof. Arthur...

Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica dos Sólidos IParte 4 – Análise de Deformações

Prof. Arthur M. B. Braga

2009.1

D l tDeslocamento

y

Q

P

xz

Mecânica dos Sólidos I

x

D l tDeslocamento

yQQ

Qu

Pu

Q

PPu

Translação

xz

Mecânica dos Sólidos I

x

D l tDeslocamento

y

PQ

Qu

PuQ

PMovimento de Corpo Rígido

Translação + Rotação

Movimento de Corpo Rígido

xz

Mecânica dos Sólidos I

x

D l tDeslocamento

yPP

PuQ

QQu

P

Translação + Rotação + Deformação

xz

Mecânica dos Sólidos I

x

D l tDeslocamento

y

PP

),,( zyxu

),,( zyxP

),,( y

kjiu ),,(),,(),,(),,( zyxuzyxuzyxuzyx zyx

xz

Mecânica dos Sólidos I

x

D l tDeslocamento

Deslocamento é uma grandeza vetorial (o campo de deslocamentos):

kjiu ),,(),,(),,(),,( zyxuzyxuzyxuzyx zyx

ux, uy, e uz são as componentes do vetor deslocamento nas direções x, y e z.

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 1DDeformação – 1DMedidas de Deformaçãoç

1) Lagrangeana1) Lagrangeana

iL L iif

L LLLL

2) Euleriana

iL L

L

ii

L LLL

)fL

fif

E LLL

LL

3) LogaritimicafL

i

f

LL

lnlog

Mecânica dos Sólidos I

iL

D f ã 1DDeformação – 1D

iL L Grandes deformações Pequenas

fLeque as

deformações

LLi

i

ifL LL

LLL

1,0 m 1,0 m 1,0 m 1,0 m

2,0 m 0,5 m 1,001 m 0,999 miL

Lf

f

ifE LL

LLL

2,0 m 0,5 m 1,001 m 0,999 m

100% - 50% 0,10% - 0,10%fLL

f

i

f

LL

lnlog50% -100% 0,10% - 0,10%

69,3% - 69,3% 0,10% - 0,10%logE

Mecânica dos Sólidos I

i

D f ã 2DDeformação – 2D

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

Não há distorção d l tdo elemento

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

Não há distorção d l tdo elemento

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

Há distorção no l t ( i lh t )elemento (cisalhamento)

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

Há distorção no l t ( i lh t )elemento (cisalhamento)

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

M did d D f ã R l õ tMedida de Deformação – Relações entre deslocamentos e deformações

D C

A B

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

M did d D f ã R l õ tMedida de Deformação – Relações entre deslocamentos e deformações

CDD

HIPÓTESEPequenas

AB

Pequenas Deformações e Rotações!

D C

A Rotações!

A B

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2DCCDy

ABBA lim

C BD

ABxxx 0lim

A

B

y ADADDA

yyy

0

lim

A By

AD

DABBAD limA B

x

y

x

DABBADyxxy

00

lim

xMecânica dos Sólidos I

x

D f ã 2DDeformação – 2DCCDy

CuDu

BD C

CDu

A

B

yAu Deslocamentos

A By

ABu

jiu ),(),( yxuyxu yxA

Deslocamentos

A B

x

y

xjiu ),(),( yxxuyxxu yxB

x

jiu ),(),( yyxuyyxu yxD

Mecânica dos Sólidos I

x

D f ã 2DDeformação – 2DCy CD

BD C

A

B

Au HIPÓTESE

B

ABu

APequenas Deformações e Rotações!

B),( yxux

x),( yxxux x

Mecânica dos Sólidos I

x

D f ã 2DDeformação – 2D

ABABBA

xxx

lim0

xAB

ABx

0

xxuyxuyxxu

yxuyxxuxBA

xxx

xx

)(),(),(),(),(

xxuxyxuxxuyxuxBAyy

xxxx

xxx

)()(),()(),(

)(),(),(

xu

xxxxux xx

xxx

)(lim0

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2DCy CD

Du

BD C

Du),( yyxuy

A

B

Auy

B

A),( yxuy

A BAHIPÓTESE

x

Pequenas Deformações e Rotações!

Mecânica dos Sólidos I

x

D f ã 2DDeformação – 2D

ADADDA

yyy

lim0

yxuyyxuyDAyAD

)()( yyuyxuyyxu

yxuyyxuyDA

yyy

yy

)(),(),(

),(),(

yyuyyxuyyuyxuyDA yyyy

yyy

)(

)(),()(),(

yu

yyyyuy yy

yyy

)(lim

0

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DC

D

Deformação – 2D

2Dy

BD C1

A

B

A

BAA

210lim

DABBADxy

x

2100

yxxy

Mecânica dos Sólidos I

x

D f ã 2DDeformação – 2D

C yxuyxxu yy ),(),(t

2

CD

)()( x

yy yy

)()(tan 1

2

B

),(),( yxuyxxu yy

BD C

)( 1

A ),( yxuy

),( yxxuy

BA

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2Dyxuyyxu )()(

yyxuyyxu xx

),(),(tan 2

C

),(),( yxuyyxu xx

)( yyxu CD),( yyxux

2

BD C

),( yxux

D C1

A ),( yxuy

Mecânica dos Sólidos I

BA

D f ã 2DDeformação – 2D

xyxuyxxu yy

11

),(),(tan

u

xxuyxuyxxu yyy

)(),(),(

xuy

1

xu

yu yx

xy

21

yyxuyyxu xx

22),(),(tan

xy

yyuyxuyyxuy

xxx

)(),(),(

yux

2

Mecânica dos Sólidos I

y

D f ã 2DDeformação – 2D

M did d D f ã R l õMedida de Deformação – Relações entre deslocamentos e deformações

CD uD

xux

xx

ABD C

yuy

yy

A)(

21

21 uu

y

yxxyxy

A B22 xyyy

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

M did d D f ã M d d iMedida de Deformação – Mudança do sistemas de coordenada

CD

CD

yy ux

B

D

D C B

D

D C

y

ux

y

xx

ABD C

ABD C

x yy

yy

A BA B

xu

yu yx

yx

x

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

M did d D f ã M d d iMedida de Deformação – Mudança do sistemas de coordenada

yuxuu xxx xy

yu

xx

xu

xu xxx

xx

yy

yu

yx

xu

yu yyy

yy

xy

yu

xx

xu

yy

yu

yx

xu

xu

yu yyxxyx

yx

xyxxyyyxxy

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

yy sincos yxx y

cossin yxyy

x

xy

x

xy

x

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

sincos yxx vvv

yy

cossin yxy

y

vvv y

x

yvxv

xv

yvv

xy

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

sinsincoscossincos

yu

yu

xu

xu yxyx

xx

cossinsincos 22

uuuu yxyx

xyyx

ii 22 cossinsincos 22xyyyxxxx

1

2sin

212cos

22 xyyyxxyyxx

xx

2sin2cos22 xy

yyxxyyxxxx

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 2DDeformação – 2D

M did d D f ã M d d iMedida de Deformação – Mudança do sistemas de coordenada

2sin2cosyyxxyyxx

2sin2cos22 xyxx

2sin2cos

22 xyyyxxyyxx

yy

2cos2sin22

1xy

yyxxyxyx

Mecânica dos Sólidos I

D f ã 3DDeformação – 3D

Tensor de Deformação

yzyyxy

xzxyxx

zzyzxz

xux

xx

yuy

yy

zuz

zz

x y z

)(11 uu yx

)(11 uu zx

)(

22 xyyx

xyxy

)(

22 xzxzxz

)(

21

21

yu

zu zy

yzyz

Mecânica dos Sólidos I

y

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação

TEEE

zzyyxxxx

Gxy

xyxy 221

TEEE

EEEzzyyxx

yy

G

Gxz

xzxz

yy

221

22

T

EEEzzyyxx

yy

Gyz

xzxz

122

TEEEzz

Gyzyz 22

E)1(2

EG

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação

)()1(E

)()1(

)()1()21)(1( zzyyxxxx

E

)()1()21)(1( zzxxyyyy

E

)()1()21)(1( yyxxzzzz

E

xyxy

G

G

2

2

yzyz

xzxz

GG

22

Mecânica dos Sólidos I

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

Técnicas para medida de deformaçãoM â i– Mecânicas

– Elétricas– Ópticas– Acústicas

Mecânica dos Sólidos I

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

E t ô t Elét i R i tiExtensômetros Elétricos ResistivosFilme protetor

Grid de material metálico (elemento sensor)

Filme polimérico (base)

Mecânica dos Sólidos I

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

Mecânica dos Sólidos I

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

E t ô t Elét i R i tiExtensômetros Elétricos ResistivosExtensômetros uniaxiais

LALR

R Resistência elétricaR – Resistência elétrica – ResistividadeL – Comprimento do fio metálicoL – Comprimento do fio metálico A – Área da seção transversal do fio metálico

Mecânica dos Sólidos I

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

E t ô t Elét i R i tiExtensômetros Elétricos ResistivosExtensômetros uniaxiais

ALALRR ),,(

dRdARdLRdR

A

d

dddAdLdR

ddAA

dLL

dR

dSg 21

dd

AdA

LdL

RdR 2

gS

RdR Efeito piezo-resistivo

Mecânica dos Sólidos I

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

E t ô t Elét i R i tiExtensômetros Elétricos ResistivosExtensômetros uniaxiais

SR

gSR

Mecânica dos Sólidos I

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

E t ô t Elét i R i ti

Material Gage Factor

Extensômetros Elétricos Resistivos

Material (SG)Platina (Pt 100%) 6.1 Platina-Irídio (Pt 95% Ir 5%) 5 1 Platina Irídio (Pt 95%, Ir 5%) 5.1 Platina-Tungstênio (Pt 92%, W 8%) 4.0 Isoelastic™ (Fe 55.5%, Ni 36% Cr 8%, Mn 0.5%) * 3.6 Constantan™/Advance™/Copel ™ (Ni 45%, Cu 55%) * 2.1 Nichrome V™ (Ni 80%, Cr 20%) * 2.1 Karma™ (Ni 74% Cr 20% Al 3% Fe 3%) * 2 0 Karma™ (Ni 74%, Cr 20%, Al 3%, Fe 3%) * 2.0 Armour D™ (Fe 70%, Cr 20%, Al 10%) * 2.0 Monel™ (Ni 67%, Cu 33%) * 1.9 Manganin™ (Cu 84%, Mn 12%, Ni 4%) * 0.47 Níquel (Ni 100%) -12.1

Mecânica dos Sólidos I

Fonte: http://www.efunda.com/designstandards/sensors/strain_gages/strain_gage_sensitivity.cfm

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

E t ô t Elét i R i ti

Ponte de Wheatstone (1/4 de Ponte)

Extensômetros Elétricos Resistivos

SR

Ponte de Wheatstone (1/4 de Ponte)

gSR

321 RRRR 321

11 RV

RRRg

ININ 42

12

1RRV

RRVV

IN

4VSV

g

Mecânica dos Sólidos I

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

E t ô t Elét i R i tiExtensômetros triaxiais (rosetas extensométricas)Extensômetros Elétricos Resistivos

2sin2cos22

)( xyyyxxyyxx

Mecânica dos Sólidos I

22

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

R t 45°Roseta a 45°y

)45( )45( B

x

xxA )0(

)45( C

2sin2cos22

)( xyyyxxyyxx

Mecânica dos Sólidos I

22 y

M did E i t l d D f õMedida Experimental de Deformações

R t 45°Roseta a 45°

xy

yyAxy

yyAyyAB

2)90sin()90cos(

22

xyyyA

xyyyAyyA

C

2

)90sin()90cos(22

y

)45( B

ACByy

Axx

x

2CB

xy

xxA )0(

)45( C

Mecânica dos Sólidos I

2)45( C

D f ã 3DDeformação – 3D

Tensor de Deformação

yzyyxy

xzxyxx

zzyzxz

xux

xx

yuy

yy

zuz

zz

x y z

)(11 uu yx

)(11 uu zx

)(

22 xyyx

xyxy

)(

22 xzxzxz

)(

21

21

yu

zu zy

yzyz

Mecânica dos Sólidos I

y

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação

Lei de Hooke GeneralizadaM t i l I t ó i– Material Isotrópico

– Material Elástico– Material Linear– Pequenas Deformaçõesq ç

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEnsaio de TraçãoEnsaio de Tração

Mecânica dos Sólidos I

Figuras reproduzidas de:Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEnsaio de TraçãoEnsaio de Tração

Figuras reproduzidas de:Beer Johnston & DeWolf Mechanics of

Mecânica dos Sólidos I

Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEnsaio de TraçãoEnsaio de Tração

Figuras reproduzidas de:Beer Johnston & DeWolf Mechanics of

Mecânica dos Sólidos I

Beer, Johnston & DeWolf, Mechanics of Materials, 4th ed., McGraw-Hill, 2002

R l ã T ã D f ãRelação entre Tensão e Deformação

Relação Tensão vs. Deformação

F/A

Relação entre Tensão e Deformação

Su

Sy

Regime Plástico

Regime Elástico

F FF F

0,2% /LMecânica dos Sólidos I

/L

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação

Deformação longitudinal

0LAP

LLL

0

EAP

L

LL

PP

LL 0

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação

Deformação transversalDD

)( 00

0

LLDDDDT

0D)( ELT

0

PPDD 0

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção x)

z

Estado uniaxial de tensão (direção x)

y

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção x)

z

Estado uniaxial de tensão (direção x)

Exx

xx

xxE

xxyy

Exx

yy

yxx Ezz

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção y)

z

Estado uniaxial de tensão (direção y)

z

y

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção y)

z

Estado uniaxial de tensão (direção y)yy

zExx

Eyy

yy

yyyy

Eyy

zz

yE

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção z)

z

Estado uniaxial de tensão (direção z)

y

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado uniaxial de tensão (direção y)Estado uniaxial de tensão (direção y)

zz zzz Exx

E

zzyy

Ezz

zz E

y

x

Mecânica dos Sólidos Izz

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEstado triaxial de tensão (emprega se o princípioEstado triaxial de tensão (emprega-se o princípio da superposição):

zz zzyyxx

zz

yy xx EEEyyxx

xx

yyyy

EEEzzyyxx

yy

y

x

y

x

xx

EEEzzyyxx

zz

zzEEE

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano xz)Cisalhamento puro (plano xz)

z

y

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano xz)Cisalhamento puro (plano xz)

z1

xz Gxz

xzxz 221

y

xz

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano yz)Cisalhamento puro (plano yz)

z

y

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano yz)Cisalhamento puro (plano yz)

z1

yz Gyz

yzyz 221

yyz yz

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano xy)Cisalhamento puro (plano xy)

z

y

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoCisalhamento puro (plano xy)Cisalhamento puro (plano xy)

z1

Gxy

xyxy 221

yxy

xy

x

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoEmpregando o princípio da superposição:Empregando o princípio da superposição:

Gxy

xyxy 221

Gxz1

22

Gxzxz

122

Gyz

yzyz 221

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoAcoplamentoAcoplamento entre tensões l i di i

ylongitudinais e deformações

bcisalhantes b

xxxx cxx

xaz

a

Mecânica dos Sólidos Id

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoSupondo se queSupondo-se que exista o acoplamento: y

b0

b

xx0xzc

xxxa

za

Mecânica dos Sólidos Id

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. DeformaçãoConsiderando umaConsiderando uma rotação do bloco de 180° d

y180° em torno de x:

d

xxaxxxx

180c

xzc

Mecânica dos Sólidos Ib

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação

M t i l é i t ó iMaterial é isotrópico, logo a deformação ycisalhante deveria ser idêntica à verificada antes da rotação.

d 0xz

a xxxx

c180

xzc

Mecânica dos Sólidos Ib

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação

P t i i i t ó i t õ i ãPara materiais isotrópicos, tensões normais nãoproduzem deformações cisalhantes. Pode-se mostrar que tensões cisalhantes também não produzem deformações longitudinais.

yy yy

g

0xzb

c 0xzb

c

d 0xz

d 0xz

xxxx

x

xzc

xxxx

x

xzca

180

xxxxa

180

xxxx

x

zd

a x

zd

axz

b

cxz

b

c

Mecânica dos Sólidos I

bb

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação

Equações constitutivas para material isotrópico, linear (pequenas deformações) e elástico(pequenas deformações) e elástico

EEE

zzyyxxxx

Gxy

xyxy 221

EEEzzyyxx

yy

Gxz

xzxz 221

EEEzzyyxx

zz

Gyz

yzyz 221

Mecânica dos Sólidos I

R l ã T ã D f ãRelação Tensão vs. Deformação

Considerando variações de temperatura:

T

EEEzzyyxx

xx

Gxy

xyxy 221

TEEE

zzyyxxyy

Gxz

xzxz 221

TEEE

zzyyxxzz

Gyz

yzyz 221

EG

Mecânica dos Sólidos I)1(2

G

E ilíb iEquilíbrio

• Equações de Equilíbrio

0

xzxyxx 0

zyx

0

zyxyzyyxy

0

zzyzxz 0

zyx

Mecânica dos Sólidos I

T i d El ti id dTeoria da Elasticidade

Problema F1F1

Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças

F2F8 F2F8

esforços externos (forças, momentos, etc.) F3

F7F3

F7

F4F4Determinar• Esforços internos (tensões)

F5

F6

F5

F6

Esforços internos (tensões)• Deformações• Deslocamentos

Mecânica dos Sólidos I

T i d El ti id dTeoria da Elasticidade

• Equações de Equilíbrio

0

xzxyxx 0

zyx

0

zyxyzyyxy

0

zzyzxz 0

zyx

Mecânica dos Sólidos I

T i d El ti id dTeoria da Elasticidade

• Relações entre deslocamentos e deformações

u

uu yx11

xux

xx

xyyx

xyxy 22

yuy

yy

xu

zu zx

xzxz 21

21

zuz

zz

uu zyyzyz 2

121 z

yzyy 22

Mecânica dos Sólidos I

T i d El ti id dTeoria da Elasticidade

• Relações constitutivas (tensão vs. deformação)

TEEE

zzyyxxxx

Gxy

xy 2

T

EEEzzyyxx

Gxz

y 2 T

EEEyy

yy

Gyz

xz 2

TEEE

zzyyxxzz

Gyz

yz 2

12EG

Mecânica dos Sólidos I

12

T i d El ti id dTeoria da Elasticidade

• 15 Equações– Equilíbrio (3) FF– Equilíbrio (3)– Deformação vs. Deslocamentos (6)

Tensão vs Deformação (6)

F1

F2F8

F1

F2F8

– Tensão vs. Deformação (6)• 15 Variáveis:

F3

F7F3

F7

zyx uuu

,,3

F4

3

F4

yzxzxyzzyyxx

yzxzxyzzyyxx

,,,,,

,,,,,

F

F6

F

F6

• Condições de contorno

yyyyF5F5

Mecânica dos Sólidos I