MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Professor: Lissandro Brito Viena...

MÉTODOS NUMÉRICOSAPLICADOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE

POTÊNCIA

Professor: Lissandro Brito Viena e-mail: lissandroviena@gmail.com

vienalissandro@yahoo.com.br Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro

REVISÃO DE FLUXO DE POTÊNCIA

Trata-se da análise em regime permanente de um sistema de potência interconectado durante operação normal.

O sistema de potência é considerado estar operando em condição balanceada e pode ser representado através de um diagrama unifilar.

Importância do estudo do fluxo de potência:

- Planejamento;- Operação econômica;- Estabilidade transitória;- Estabilidade dinâmica;- Contingênciá;

REVISÃO DE FLUXO DE POTÊNCIA

- O método das tensões nodais é comumente usado para análise de sistema de potência.

CLASSIFICAÇÃO DAS BARRAS

Quatro quantidades são associadas com cada barra. São elas:

- Módulo da tensão de barra;

- Ângulo de fase;

- Potência ativa;

- Potência reativa;

No estudo de fluxo de potência, dua dessas quantidades são especificadas e duas quantidades restantes são obtidas através da solução de equações.

O sistema de barras são geralmente classificados em três categorias:

- Barra slack: Conhecida também como barra swing onde o módulo e o ângulo de fase da tensão são conhecidos.

- Barra de carga: Também conhecida como barra PQ . Nesse tipo de barra as potências ativas e reativas são conhecidas. O módulo e o ângulo de fase da tensão da barra são deconhecidos até a obtenção da solução final.

- Barra de tensão controlada: Também conhecida como barra de geração ou barra reguladora ou barra P- V . Neste tipo de barra, a potência ativa e o módulo da tensão são especificados. O ângulo de fase da tensão e a potência reativa são desconhecido até que a solução final seja obtida. Os limites dos valores de potência reativa também são especificados.

MATRIZ ADMITÂNCIA DE BARRA

De maneira simplificada as resistências das linhas são desprezadas e as impedâncias estão em pu numa base comum.

As impedâncias devem ser convertidas em em admitâncias.

j0,8 j1

j0,5

j0,4j0,4

j0,04

1 2

3

4

A figura abaixo apresenta o diagrama de admitância e a transformação para fontes de corrente e correntes injetadas I1 e I2 .

O nó O serve como referência.

-j1.25 -j1

-j2

-j2.5 -j2.5

-j25

I1I2

O

1 2

3

4

Aplicando a lei de Kirchhoff:

Rearrumando as equações acima, obtém-se:

1 10 1 12 1 2 13 1 3

2 20 2 12 2 1 23 2 3

23 3 2 13 3 1

34 4 3

I y V y (V V ) y (V V )

I y V y (V V ) y (V V )

0 y (V V ) y (V V )

0 y (V V )

1 10 12 13 1 12 2 13 3

2 12 1 20 12 23 2 23 3

13 1 23 2 13 23 34 3 34 4

34 3 34 4

I (y y y )V y V y V

I y V (y y y )V y V

0 y V y V (y y y )V y V

0 y V y V

Seja:

11 10 12 13

22 20 12 23

33 13 23 34

44 34

12 21 12

13 31 13

23 32 23

34 43 34

Y (y y y )

Y (y y y )

Y (y y y )

Y y

Y Y y

Y Y y

Y Y y

Y Y y

As equações nodais equivalentes são:

A notação matricial é dada da seguinte maneira:

- vetor da correntes injetadas

- vetor das tensões de barra

1 11 1 12 2 13 3 14 4

2 21 1 22 2 23 3 24 4

3 31 1 32 2 33 3 34 4

4 41 1 42 2 43 3 44 4

I Y V Y V Y V Y V

I Y V Y V Y V Y V

I Y V Y V Y V Y V

I Y V Y V Y V Y V

barra barra barraI Y V

barraI

barraV

Os elementos da diagonal principal da matriz admitância de barra são conhecidos como admitância própria.

Os elementos fora da diagonal principal da matriz admitância de barra são conhecidos como admitância de transferência ou admitância mútua.

EQUAÇÕES DE CARREGAMENTO DAS BARRAS

Considera uma barra i do sistema de potência como mostrada na figura abaixo:

n

ii ikk 0

Y y ,k i

ViV1

V2

Vn

Ii

yi0

yi1

yi2

yin

A corrente líquida injetada na barra i pode ser escrita como:

As seguintes variáveis são definidas:

i i0 i i1 i 1 i2 i 2 i2 i nI y V y (V V ) y (V V ) y (V V )

i i0 i1 i2 in 1 i1 1 i2 2 in nI (y y y y )V y V y V y V

ii i0 i1 i2 in

i1 i1

i2 i2

in in

Y y y y y

Y y

Y y

Y y

i ii i i1 1 i2 2 in nI Y V Y V Y V Y V n

i ii i ik kk 1k i

I Y V Y V

A potência ativa e a potência reativa injetada na barra i são:

*i i i iP jQ V I i i

i *i

P jQI

V

ni i

ii i ik k*k 1ik i

P jQY V Y V

V

ni i

ii i ik k*k 1ik i

P jQY V Y V

V

ni i

i ik k*k 1ii ik i

P jQ1V Y V

Y V

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

Considere a barra 1 como barra slack em que a módulo e ângulo da tensão são conhecidos.

3 4

12

G1 G2

Neste caso, n=4 (quatro barras) e a barra slack s=1.

Da equação:

Para i≠s, isto é, i = 2,3,4

ni i

i ik k*k 1ii ik i

P jQ1V Y V

Y V

42 2

2 2k k*k 122 2k 2

P jQ1V Y V

Y V

2 22 21 1 23 3 24 4*

22 2

P jQ1V Y V Y V Y V

Y V

Dando continuidade para as outras barras:

No método de Gauss Seidel, a nova tensão calculada em (p+1), isto é substitui e é usada na solução das equações subsequentes. As equações podem ser escritas como:

3 33 31 1 32 2 34 4*

33 3

P jQ1V Y V Y V Y V

Y V

4 44 41 1 42 2 43 3*

44 4

P jQ1V Y V Y V Y V

Y V

(p 1)iV (p)

iV

(p 1) (p) (p)2 22 21 1 23 3 24 4*(p)

22 2

P jQ1V Y V Y V Y V

Y V

(p 1) (p 1) (p)3 33 31 1 32 2 34 4*(p)

33 3

P jQ1V Y V Y V Y V

Y V

(p 1) (p 1) (p 1)4 44 41 1 42 2 43 3*(p)

44 4

P jQ1V Y V Y V Y V

Y V

OBS:

A barra 1 é a slack. Em condição de operação normal o módulo da tensão das barras está próximo de 1 pu ou próximo do módulo da tensão da barra slack. Consequentemente, a tensão de partida inicial será igual a (1 +0j) para as tensões desconhecidas.

CÁLCULO DA POTÊNCIA LÍQUIDA INJETADA

ni i

ii i ik k*k 1ik i

P jQY V Y V

V

n*

i i i ii i ik kk 1k i

P jQ V Y V Y V

Seja:

n*

i i i ii i ik kk 1k i

P jQ V Y V Y V

ii ii ii

ik ik ik

i i i

*i i i

k k k

Y Y

Y Y

V V

V V

V V

Seja:

Separando a parte real e a parte imaginária resulta em:

n2

i i i ii ii ik i k ik k ik 1k i

P jQ V Y Y V V ( )

2 2

i i i ii ii i ii ii

n n

ik i k ik k i ik i k ik k ik 1 k 1k i k i

P jQ V Y cos( ) j V Y sen( ) ...

Y V V cos( ) j Y V V sen( )

n2

i i ii ii ik i k ik k ik 1k i

P V Y cos( ) Y V V cos( )

n2

i i ii ii ik i k ik k ik 1k i

Q V Y sen( ) Y V V sen( )

Seja:n

2

i i ii ii ik i k ik k ik 1k i

n

i ik i k ik k ik 1

P V Y cos( ) Y V V cos( )

P Y V V cos( )

n2

i i ii ii ik i k ik k ik 1k i

n

i ik i k ik k ik 1

Q V Y sen( ) Y V V sen( )

Q Y V V sen( )

CONSIDERAÇÕES SOBRE A BARRA P-

Para as barras P-Q, as potências ativa e reativa são conhecidas. Partindo com os valores iniciais das tensões, as equações então para estas podem ser resolvidas iterativamente.

Para barras de tensão controlada (P - ), em que a potência ativa é especificada e o módulo da tensão também, o valor da potência reativa é resolvido conforme fórmula abaixo:

Então o conjunto das equações de tensão são resolvidas. Entretanto, nas barras P – V, desde que o módulo da tensão é conhecido, somente a parte imaginária é retida enquanto sua parte

V

V

(p 1)iQ

np pp 1 p p

i ik i k ik k ik 1

Q Y V V sen( )

real é selecionada para satisfazer a fórmula abaixo:

PROCEDIMENTOS DE CONVERGÊNCIA

As tensões atualizadas imediatamente substituem os valores anteriores na solução das equações subsequentes. Este procedimento continua até que variações das tensões de barra entre iterações sucessivas ficam dentro de uma precisão especificada.

, i = 1,2,..., n

2 2 2p 1 p 1i i ie f V

(p 1) pi iV max V V

V

CÁLCULO DO FLUXO DE POTÊNCIA E DE PERDAS NA LINHA

Considere uma linha conectada entre duas barras i e j. A linha e o transformador conectados em cada terminal pode ser representado por um circuito com admitância serie e duas adtmitâncias shunts.

Barra i Barra kVi Vk

yik0iky 0

kiyikS

kiSikI

0ikI

0kiI

kiI'ikI

' 0ik ik ikI I I 'ik i k ikI (V V )y

0 0ik i ikI V y

Reorganizando as fórmulas anteriores tem-se que:

A potência fornecida da barra i para dentro da linha é : - conjugado da corrente

Usando as equações anteriores resulta em:

0ik i k ik i ikI (V V )y V y

ik ik ik

*ik ik i ik

S P jQ

P jQ V I

*ikI

*0ik ik i i k ik i ik

** * * * 0ik ik i i k ik i i ik

P jQ V (V V )y V y

P jQ V (V V )y V V y

Aplicando o conjugado na equação abaixo resulta em:

CONJUGADO

De maneira similar, a potência fornecida para dentro da linha da barra k é:

*0ik ik i i k ik i ik

** * * * 0ik ik i i k ik i i ik

P jQ V (V V )y V y

P jQ V (V V )y V V y

* * 0ik ik i i k ik i i ik

2 2* 0ik ik i ik i k ik i ik

P jQ V (V V )y V V y

P jQ V y V V y V y

2 2* 0ki ki k ik k i ik k kiP jQ V y V V y V y

Sabemos também que:

Modificando a equação abaixo resulta em:

É dado que:

ik ik

ik ik

Y y

y Y

2 2* 0ik ik i ik i k ik i ik

2 2* 0ik ik i ik i k ik i ik

P jQ V y V V y V y

P jQ V Y V V Y V y

ik ik ik

i i i

*i i i

0 0ik ik

Y Y

V V

V V

y j y

Substituindo as fórmulas anteriores em:

O fluxo de potência ativa entre a barra i e k é dada por:

2 2* 0ik ik i ik i k ik i ik

2

ik ik i ik ik

i i k k ik ik

2 0i ik

2 2

ik ik i ik ik i ik ik

i k ik ik i k

i k ik ik i k

2 0i ik

P jQ V Y V V Y V y

P jQ V Y

V V Y

j V y

P jQ V Y cos( ) j V Y sen( )

V V Y cos( )

j V V Y sen( )

j V y

O fluxo de potência ativa e reativa é dada por:

De maneira similar, o fluxo de potência entre a barra k e i pode ser escrita como:

2

ik i ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( ) 2

ik i ik ik i k ik ik i k

2 0i ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

2

ki k ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )

2

ki k ik ik i k ik ik i k

2 0k ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

O cálculo das perdas na linha (i k) é a soma dos fluxos de potência nos dois sentidos calculados anteriormente.

loss ik ki

2

loss i ik ik i k ik ik i k

2

k ik ik i k ik ik i k

2 2

loss i k ik ik

i k ik ik i k ik i k

2 2

loss i k ik ik

i k ik

P P P

P V Y cos( ) V V Y cos( )

V Y cos( ) V V Y cos( )

P ( V V ) Y cos( )

V V Y cos{ ( } cos{ ( )

P ( V V ) Y cos( )

2 V V Y cos(

ik i k)cos( )

O cálculo das perdas na linha (i k) é a soma dos fluxos de potência nos dois sentidos calculados anteriormente.

Seja:

As perdas podem ser calculadas também por:

2 2

loss i k ik i k i k ik ikP 2 V V Y cos( ) V V Y cos( )

ik ik ik

ik ik ik

ik ik ik

Y G jB

G Y cos( )

B Y sen( )

2 2

loss ik i k ik i k i kP G 2 V V Y cos( ) V V

A perda de potência reativa na linha é a soma dos fluxos de potência determinados pelas equações:

2

ik i ik ik i k ik ik i k

2 0i ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

2

ki k ik ik i k ik ik i k

2 0k ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

2

loss i ik ik i k ik ik i k

2 20i ik k ik ik i k ik ik i k

2 0k ik

2 2

loss i k ik i k ik ik i k ik i k

2 20 0i ik k ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

Q ( V V )B V V Y sen( ) sen( )

( V y V y )

Seja:

EXEMPLO DE CÁCULO DE FLUXO DE POTÊNCIAUTILIZANDO O MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

A figura abaixo mostra um diagram unifilar de um sistema de potência de três barras. Os dados para o sistema é dado na tabela abaixo:

2 2 2 20 0loss i k ik i k ik i k i ik k ikQ ( V V )B 2 V V B cos( ) ( V y V y )

Barra Tensãoassumida

GERAÇÃO CARGA

MW MVAr MW MVAr

1(Slack) 1,05+0j ---------- ------------ 0 0

2 1+0j 50 30 305.6 140.2

3 1+0j 0 0 138.6 45.2

Os dados da linha são:

Código da barrai – k

ImpedânciaZik

1-2 0,02+j0,04

1-3 0,01+j0,03

2-3 0,0125+j0,025

1 3

2

SOLUÇÃO:

PASSO 1:

Converter todas as cargas em valores em pu.

Converter todas as gerações em pu:

2

2

3

3

305,6PL 3,056pu

100140,2

QL 1,402pu100

138.6PL 1,386pu

10045,2

QL 0,452pu100

2

2

3

3

2 g2 L

2 g2 L

3 g3 L

3 g3 L

P P P 0,5 3,056 2.556pu

Q Q Q 0,3 1,402 1,102pu

P P P 0 1,386 1,386pu

Q Q Q 0 0,452 0,452pu

Converter todas as gerações em pu:

PASSO 2:Formação Ybarra

Inicialmente as impedâncias das linhas devem ser transformadas em admitâncias.

g2

g2

50P 0,5pu

10030

Q 0,3pu100

12 2112

13 3131

23 3223

1 1y y (10 j20)

Z 0,02 j0,04

1 1y y (10 j30)

Z 0,01 j0,03

1 1y y (16 j32)

Z 0,0125 j0,025

PASSO 2:Formação Ybarra

O elemento (1,1) da matriz admitância de barra é:

Entretanto, a admitância shunt da linha foi desprezada. Os elementos da diagonal principal da matriz admitância de barra são:

11 12 13 10Y y y y

11 12 13

22 12 23

33 13 23

Y y y (10 j20) (10 j30) (20 j50)

Y y y (10 j20) (16 j32) (26 j52)

Y y y (10 j30) (16 j32) (26 j62)

o11

o22

o33

Y (20 j50) 53,85 68,2

Y (26 j52) 58,13 63,4

Y (26 j62) 67,23 67,2

PASSO 2:Formação Ybarra

Os elementos fora da diagonal principal são:

A matriz admitância de barra é formada a partir dos elementos calculados anteriormente:

o12 21 12

o13 31 13

o23 32 23

Y Y y (10 j20) 10 j20 22,36 116,6

Y Y y (10 j30) 10 j30 31,62 108,4

Y Y y (16 j32) 16 j32 35,77 116,6

o o o

o o obarra

o o o

53,85 68,2 22,36 116,6 31,62 108,4

Y 22,36 116,6 58,13 63,4 35,77 116,6

31,62 108,4 35,77 116,6 v 67,23 67,2

PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVO

A tensão da barra slack: V1= 1,05+0j

Tensão de partida:

Os seguintes cálculos serão realizados separadamente:

(p 1) (p)2 22 21 1 23 3*(p)

22 2

P jQ1V Y V Y V

Y V

(0)2

(0)3

V 1 0j

V 1 0j

o2 2o

22

P jQ 2,556 j1,1020,0478 220,1

Y 58,13 63,4

PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVO

A equação para a tensão na barra 2 pode ser escrita como:

oo21

o22

Y 22,36 116,60,3846 180 0,3846

Y 58,13 63,4

oo23

o22

Y 35,77 116,60,6153 180 0,6153

Y 58,13 63,4

o(p 1) (p)2 1 3(p) *

2

0,0478 220,1V 0,3846V 0,6153V

(V )

PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVO

Para a barra 3, a equação da tensão é:

Realizando os cálculos da fórmula acima separadamente:

(p 1) (p 1)3 33 31 1 32 2*(p)

33 3

P jQ1V Y V Y V

Y V

o3 3o

33

P jQ 1,386 j0,4520,0217 229,2

Y 67,23 67,2

o

o31o

33

Y 31,62 108,40,47 175,6

Y 67,23 67,2

o

o32o

33

Y 35,77 116,60,532 183,8

Y 67,23 67,2

PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVO

Para a barra 3, a equação da tensão é:

A equação acima fica então da seguinte forma:

Resolvendo a equação das duas barras:

(p 1) (p 1)3 33 31 1 32 2*(p)

33 3

P jQ1V Y V Y V

Y V

o

(p 1) o o (p 1)3 1 2*(p)

33 3

1 0,0217 229,2V 0,47 175,6 V 0,532 183,8 V

Y V

PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVOResolvendo a equação das duas barras iterativamente:Para p = 0

o(p 1) (0)2 1 3(0) *

2

o(p 1)2 *

(1) o2

0,0478 220,1V 0,3846V 0,6153V

(V )

0,0478 220,1V 0,3846 1,05 0,6153(1 0j)

(1 0j)

V 0,98305 1,8

oo

*(1)3

o o

(1) o3

0,0217 229,20,47 175,6 1,05

1 0jV

0,532 183,8 0,98305 1,8

V 1,0011 2,06

PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVOResolvendo a equação das duas barras iterativamente:

Após a primeira iteração, o resultado da tensão fasorial das barras 2 e 3 é:

Para segunda iteração (p = 2):

(1) o2V 0,98305 1,8

(1) o3V 1,0011 2,06

PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVOPara segunda iteração (p = 2):

Após a segunda iteração:

o

(2) o2 o

(2) o2

0,0478 220,1V 0,3846 1,05 0,6153 1,001 2,06

0,98305 1,8

V 0,98265 3,048

oo

*o(2)3

o o

(2) o3

0,0217 229,20,47 175,6 1,05

1,011 2,06V

0,532 183,8 0,98265 3,048

V 1,00099 2,68

(2) o2V 0,98265 3,048 (2) o

3V 1,00099 2,68

CÁLCULO DA POTÊNCIA INJETADA NA BARRA SLACK

As seguintes fórmulas serão retomadas:

n2

i i ii ii ik i k ik k ik 1k i

n

i ik i k ik k ik 1

P V Y cos( ) Y V V cos( )

P Y V V cos( )

n2

i i ii ii ik i k ik k ik 1k i

n

i ik i k ik k ik 1

Q V Y sen( ) Y V V sen( )

Q Y V V sen( )

CÁLCULO DA POTÊNCIA INJETADA NA BARRA SLACK

A questão pede esses dados após a segunda iteração:Seja:

n

i ik i k ik k ik 1

3

1 1k 1 k 1k 1 kk 1

2

1 1 11 11 1 2 12 12 1 2

1 3 13 13 1 3

P Y V V cos( )

P Y V V cos( )

P V Y cos( ) V V Y cos( )

V V Y cos( )

o1 1

o2 2

o3 3

o11 11

V 1,05 0

V 0,98265 3,048

V 1,00099 2,68

Y 53,85 68,2

CÁLCULO DA POTÊNCIA INJETADA NA BARRA SLACK

Substituindo os valores na fórmula da potência líquida injetada:

o12 12

o13 13

Y 22,36 116,56

Y 31,62 108,4

2 o1

o o o o

1

1

P (1,05) 53,85 1,05 0,98265 22,36cos(116,56

0 3,048 ) 1,05 1,00099 31,62cos(108,4 0 2,68 )

P 22,048 9,2038 9,004

P 3,84pu 3,84 100 384MW

1P 3,84pu 3,84 100 384MW

CÁLCULO DA POTÊNCIA INJETADA NA BARRA SLACKO cálculo da potência reativa líquida injetada é:

n

i ik i k ik k ik 1

1 11 1 1 11 1 1 12 1 2 12 2 1

13 1 3 13 3 1

2 o1

o o

Q Y V V sen( )

Q Y V V sen( ) Y V V sen( )

Y V V sen( )

Q 1,05 53,85 sen( 68,2 )......

1,05 0,98265 22,36sen(116,56 3,048 )....

1,05 1,00099 31,62sen(10

o o

1

1

8,4 2,68 )

Q 55,1238 21,1552 31,99

Q 1,9786pu 197,86MW

1Q 1,9786pu 197,86MVAr

PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :

O fluxo de potência entre as barras 1 e 2:

2

ik i ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )

2

12 1 12 12 1 2 12 12 1 2

2 o12

o o

12

P V Y cos( ) V V Y cos( )

P (1,05) 22,36 cos(116,56 ) 1,05 0,98265

22,36cos(116,56 0 3,048 )

P 11,0227 9,2038 1,8189pu

12P 11,0227 9,2038 1,8189pu

PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :

O fluxo de potência entre as barras 1 e 3:

2

ik i ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )

2

13 1 13 13 1 3 13 13 1 3

2 o13

o o

13

P V Y cos( ) V V Y cos( )

P (1,05) 31,62 cos(108,4 ) 1,05 1,00099

31,62cos(108,4 0 2,68 )

P 11,0038 9,0042 2pu

13P 11,0038 9,0042 2pu

PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :

O fluxo de potência entre as barras 2 e 3:

2

ik i ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )

2

23 2 23 23 2 3 23 23 2 3

2 o23

o o o

23

P V Y cos( ) V V Y cos( )

P (0,98265) 33,77 cos(116,6 ) 0,98265 1,00099

35,77cos(116,6 3,048 2,68 )

P 15,4654 15,9557 0,4903pu

23P 15,4654 15,9557 0,4903pu

PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :

O fluxo de potência entre as barras 2 e 1:

2

21 2 12 12 1 2 12 12 2 1

2 o21

o o o

21

P V Y cos( ) V V Y cos( )

P (0,98265) 22,36 cos(116,56 ) 1,05 0,98265

22,36cos(116,56 3,048 0 )

P 9,654 11,398 1,744pu

2

ki k ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )

21P 9,654 11,398 1,744pu

PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :

O fluxo de potência entre as barras 3 e 1:

2

31 3 13 13 1 3 13 13 3 1

2 o31

o o o

31

P V Y cos( ) V V Y cos( )

P (1,00099) 31,62 cos(108,4 ) 1,05 1,00099

31,62cos(108,4 2,68 0 )

P 10 11,953 1,95pu

2

ki k ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )

31P 10 11,953 1,95pu

PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :

O fluxo de potência entre as barras 3 e 2:

2

32 3 23 23 3 2 23 23 3 2

2 o32

o o o

32

P V Y cos( ) V V Y cos( )

P (1,00099) 35,77 cos(116,6 ) 0,98265 1,00099

35,77cos(116,6 3,048 2,68 )

P 16,048 15,551 0,496pu

2

ki k ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )

32P 16,048 15,551 0,496pu

As perdas de potência ativa nas linhas 1-2; 2-3; 1-3 são:

12 12 21

12

13 13 31

13

23 23 32

23

PLoss P P 1,8189 1,744 0,049pu

PLoss 7,49MW

PLoss P P 2 1,95 0,05pu

PLoss 5MW

PLoss P P 0,4903 0,496 0,0057pu

PLoss 0,57MW

O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:

O cálculo do fluxo de potência na linha :

2

ik i ik ik i k ik ik i k

2 0i ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

2

ki k ik ik i k ik ik i k

2 0k ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:

O cálculo do fluxo de potência na linha 1-2 :

2

ik i ik ik i k ik ik i k

2 0i ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

2

12 1 12 12 1 2 12 12 1 2

2 o12

o o

12

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

Q (1,05) 22,36sen(116,56 ) 1,05 0,98265

22,36sen(116,56 3,048 )

Q 22,05 21,1552 0,8948pu

12Q 22,05 21,1552 0,8948pu

O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:

O cálculo do fluxo de potência na linha 1-3 :

2

ik i ik ik i k ik ik i k

2 0i ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

2

13 1 13 13 1 3 13 13 1 3

2 o13

o o

13

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

Q (1,05) 31,62sen(108,4 ) 1,05 1,000099

31,62sen(108,4 2,68 )

Q 33,0788 31,9908 1,088pu

13Q 33,0788 31,9908 1,088pu

O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:

O cálculo do fluxo de potência na linha 2-3 :

2

ik i ik ik i k ik ik i k

2 0i ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

2 o23

o o o

23

Q (0,98265) 35,77sen(116,6 ) 0,98265 1,000099

35,77sen(116,6 3,048 2,68 )

Q 30,8836 31,3582 0,4746pu

23Q 30,8836 31,3582 0,4746pu

O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:

O cálculo do fluxo de potência na linha 2-1 :

2 o21

o o

21

Q (0,98265) 22,36sen(116,56 ) 1,05 0,98265

22,36sen(116,56 3,048 )

Q 19,3122 20,0582 0,746pu

2

ki k ik ik i k ik ik i k

2 0k ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

21Q 19,3122 20,0582 0,746pu

O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:

O cálculo do fluxo de potência na linha 3-1 :

2 o31

o o

31

Q (1,00099) 31,62sen(108,4 ) 1,05 1,000099

31,62sen(108,4 2,68 )

Q 30,0629 31,0098 0,9469pu

2

ki k ik ik i k ik ik i k

2 0k ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

31Q 30,0629 31,0098 0,9469pu

O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:

O cálculo do fluxo de potência na linha 2-3 :

2

ik i ik ik i k ik ik i k

2 0i ik

Q V Y sen( ) V V Y sen( )

V y

2 o32

o o o

32

Q (1,00099) 35,77sen(116,6 ) 1,000099 0,98265

35,77sen(116,6 2,68 3,048 )

Q 32,0472 31,5606 0,4866pu

32Q 32,0472 31,5606 0,4866pu

O cálculo das perdas de potência reativa nas linhas 1-2; 2-3 e 1-3 são:

loss12 12 21

loss12

loss13 13 31

loss13

loss23 23 32

loss23

Q Q Q 0,8948 0,746 0,1488pu

Q 14,88MVAr

Q Q Q 1,088 0,9469 0,1411pu

Q 14,11MVAr

Q Q Q 0,4746 0,4866 0,012pu

Q 1,2MVAr

Até a segunda iteração o esquema do fluxo de potência no sistema de três barras é mostrado abaixo.

384 MW197,86 MVAr

181,89 MW 200 MW

-49,03 MW

+49,6 MW

CONSIDERAÇÕES SOBRE BARRAS P-V

Para barras do tipo P-Q, as potencias ativas e reativas são especificadas. Partindo com os valores das tensões, um conjunto de equações de tensões podem ser resolvidas iterativamente.

Para barras de tensão controlada, P – V, em que a potência ativa é especificada e o módulo da tensão, primeiro se resolve para encontrar:Considere que:

i i i

2 22

i i i

i i i

i i i

V real(V ) jimag(V )

V real(V ) imag(V )

real(V ) V cos

imag(V ) V sen