Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridade Paulo R. Guimarães Jr Marcus A. M. de Aguiar

Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridadeMódulo IV: Leis de potência e auto-similaridade

Paulo R. Guimarães JrPaulo R. Guimarães Jr

Marcus A. M. de AguiarMarcus A. M. de Aguiar

Instituto de Física “Gleb Wataghin” Instituto de Física “Gleb Wataghin”

UNICAMPUNICAMP

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV

ConteúdoConteúdo

1. Fractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

Ao final desta aula, você deve ser capaz de: Ao final desta aula, você deve ser capaz de:

1. Entender a relação entre auto-similaridade e lei de potência

2. Entender as implicações para a diversidade da estrutura fractal da natureza

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

ConteúdoConteúdo

1.1. FractaisFractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

Cálculo da Dimensão FractalCálculo da Dimensão Fractal

Cobrindo uma reta de comprimento 1 com segmentos menores:

Tamanho Número

1 1

Tamanho Número

1 1

½ 2

Tamanho Número

1 1

½ 2

Dividindo o lado do segmento por 2, o número de segmentos multiplica por 2. Veja que N() = 1/.

Tamanho Número

1 1

½ 2

¼ 4

Cobrindo um quadrado de lado 1 com quadrados menores:

Tamanho Número

1 1

Tamanho Número

1 1

½ 4=22

Tamanho Número

1 1

½ 4=22

¼ 16=4*4=42

Tamanho Número

1 1

½ 4=22

¼ 16=42

1/2k (2k)2 = (1/)2

Dividindo o lado por 2, o número de quadrados multiplica por 4 = 22. Veja que N() = (1/)2 .

Cobrindo cubo de lado 1 com cubos menores:

Tamanho Número

1 1

Tamanho Número

1 1

½ 8=23

Tamanho Número

1 1

½ 8=23

¼ 64=43

1/2k (2k)3 = (1/)3

Dividindo o lado por 2, o número de cubos multiplica por 8 = 23.

Agora temos que N() = (1/)3 .

Podemos então definir a dimensão de uma figura com base nesse processo:

]/1log[

)](log[

N

d

d

N

1)(

Tomando o logaritmo dos dois lados podemos isolar d:

1

log1

log)](log[ dNd

e

Dimensão da Curva de Koch:

Tamanho Número

1 1

1/3 4

1/9 16=42

1/27 64=43

1/3k 4k

....26185.13log

4log

3log

4log

3log

4log

]/1log[

)](log[

k

kNd

k

k

FractaisFractais

1. Estruturas auto-similares

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística

Idéia:Idéia:

A medida de uma característica em uma certa parte do sistema é proporcional ao valor da medida da mesma característica para o sistema inteiro.

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

espacial escala certa uma em medida população

(ha) espacial escala r

população

N(r)

N

Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

N(r)r)N( ~

Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

kN(r)r)N(

Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

kN(r)r)N(

Como investigar auto-similaridade estatística?Como investigar auto-similaridade estatística?

• A assinatura: leis de potência

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ConteúdoConteúdo

1. Fractais2.2. Leis de PotênciaLeis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo

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Lei de potênciaLei de potência

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

ArrN

Lei de potênciaLei de potência

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

ArrN

Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

2rrN

Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

2rrN

Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

222 rrrN

Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

2rrN

)(222 rNrrN

Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

)()(2 rkNrNrN

Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

)()(2 rkNrNrN

Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

)log(

)log(

brrN

brrN

Lei de potênciaLei de potência

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

ArrN

r

N(r) ArrN

N(r)

r

ArrN

inclinação

Maioria das espécies tem poucas interações

Freqüência baixa de espécies com muitas

interações

ConteúdoConteúdo

1. Fractais2. Leis de Potência3.3. Passeios aleatóriosPasseios aleatórios4. Resumo

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Passeios aleatórios

Idéia:Idéia:

Um processo estocástico no qual uma partícula se move pelo espaço através de saltos aleatórios.

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

Passeios aleatóriosPasseios aleatórios

D = 2 o passeio aleatório garante a cobertura de planos, mas não de espaços tridimencionais

Reações biológicas ocorrem em superfícies

E a estrutura tridimencional dos ambientes?

Módulo IV

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Dimensão da Curva de Koch:

Tamanho Número

1 1

1/3 4

1/9 16=42

1/27 64=43

1/3k 4k

....26185.13log

4log

3log

4log

3log

4log

]/1log[

)](log[

k

kNd

k

k

d = 1.5

DL 1~

ConteúdoConteúdo

1. Fractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

FractaisFractais

1. Estruturas auto-similares

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística

Módulo IV

F016: Física aplicada à Ecologia

kN(r)r)N(

N(r)

r

ArrN

inclinação

Maioria das espécies tem poucas interações

Freqüência baixa de espécies com muitas

interações