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Métodos deFísica Teórica I

São Cristóvão/SE2009

Osmar de Souza e Silva Júnior

Projeto Gráfi co e CapaHermeson Alves de Menezes

Elaboração de ConteúdoOsmar de Souza e Silva Júnior

S589m Silva Júnior, Osmar de Souza e Métodos de Física Teórica I/ Osmar de Souza e Silva Júnior -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009.

1. Física teórica. I. Título.

CDU 539

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FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

Métodos de Física Teórica I

Reimpressão

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitária Prof. “José Aloísio de Campos”

Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa ElzeCEP 49100-000 - São Cristóvão - SE

Fone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a DistânciaCarlos Eduardo Bielschowsky

ReitorJosué Modesto dos Passos Subrinho

Vice-ReitorAngelo Roberto Antoniolli

Chefe de GabineteEdnalva Freire Caetano

Coordenador Geral da UAB/UFSDiretor do CESAD

Antônio Ponciano Bezerra

Vice-coordenador da UAB/UFSVice-diretor do CESADFábio Alves dos Santos

NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO

Hermeson Menezes (Coordenador)Edvar Freire Caetano

Lucas Barros Oliveira

Diretoria PedagógicaClotildes Farias (Diretora)Hérica dos Santos MotaIara Macedo ReisDaniela Souza SantosJanaina de Oliveira Freitas

Diretoria Administrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor)Sylvia Helena de Almeida SoaresValter Siqueira Alves

Coordenação de CursosDjalma Andrade (Coordenadora)

Núcleo de Formação ContinuadaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)

Núcleo de AvaliaçãoGuilhermina Ramos (Coordenadora)Carlos Alberto VasconcelosElizabete SantosMarialves Silva de Souza

Núcleo de Serviços Gráfi cos e Audiovisuais Giselda Barros

Núcleo de Tecnologia da InformaçãoJoão Eduardo Batista de Deus AnselmoMarcel da Conceição Souza

Assessoria de ComunicaçãoGuilherme Borba Gouy

Neverton Correia da SilvaNycolas Menezes Melo

Coordenadores de CursoDenis Menezes (Letras Português)Eduardo Farias (Administração)Haroldo Dorea (Química)Hassan Sherafat (Matemática)Hélio Mario Araújo (Geografi a)Lourival Santana (História)Marcelo Macedo (Física)Silmara Pantaleão (Ciências Biológicas)

Coordenadores de TutoriaEdvan dos Santos Sousa (Física)Geraldo Ferreira Souza Júnior (Matemática)Janaína Couvo T. M. de Aguiar (Administração)Priscilla da Silva Góes (História)Rafael de Jesus Santana (Química)Ronilse Pereira de Aquino Torres (Geografi a)Trícia C. P. de Sant’ana (Ciências Biológicas)Vanessa Santos Góes (Letras Português)

Isabela Pinheiro Ewerton

AULA 1Funções analíticas I .......................................................................... 07

AULA 2Funções analíticas II ......................................................................... 29

AULA 3Funções analíticas III ........................................................................ 45

AULA 4Espaços lineares .............................................................................. 61

AULA 5A estrutura métrica ........................................................................... 75

AULA 6A notação de Dirac ........................................................................... 95

AULA 7Séries infinitas ................................................................................. 113

AULA 8Séries de Fourier ............................................................................131

AULA 9Função Delta de Dirac: Teoria das Distribuições ............................. 149

AULA 10Elementos de Teoria das Probabilidades............................................165

Sumário

1

7

eikx

8

1

9

z z = x + iy x yi =

√−1x z y

z = iy x = 0 z

Um é umaestrutura algébricaconsistindo em umconjunto munido deoperações de somae multiplicaçãosatisfazendo certaspropriedades, comofechamento, comu-tativa, associativa,distributiva, dentreoutras.

w2 + 1 = 0

w = ±iΔ

z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

z1.z2 = (x1 + iy1).(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1) .

z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2

z1 = z2 ⇐⇒ x1 = x2 e y1 = y2 .

z∗ z z = x + iyz∗ = x − iy z z∗

zz∗ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 .

|z| =√

zz∗ =√

x2 + y2 .

10

1z1 − z2 = (x1 + iy1) − (x2 + iy2) = (x1 − x2) + i(y1 − y2)

z1

z2=

x1 + iy1

x2 + iy2=

(x1x2 + y1y2) + i(x2y1 − x1y2)

x22 + y2

2

(x2 − iy2)

(7 + i)(6 − 2i)(1 + i)

︷ ︸︸ ︷(7 + i)(6 − 2i)(1 + i) = [

44︷ ︸︸ ︷42 + 2 +i(

−8︷ ︸︸ ︷−14 + 6)](1 + i)

= 44 + 8 + i(44 − 8) = 52 + 36i

1 + 2i

(1 − i)(3 + 4i).

1 + 2i

(1 − i)(3 + 4i)=

(1 + 2i)

(1 − i)(3 + 4i)

(1 + i)(3 − 4i)

(1 + i)(3 − 4i)

=(1 + 2i)(1 + i)(3 − 4i)

(1 + 1)(9 + 16)

=1

50[(1 − 2 + 3i)(3 − 4i)]

=1

50[−3 + 12 + 13i] =

9

50+

13

50i

(x, y)i = (0, 1)

11

�

�

��

��

���

�

x

iyz = x + iy = (x, y)

O

r

θ �

�

�

�

��

��

������

��

�

��

��

��������

��

��

������ x

iyz1 + z2

z1∗

z2

z2 − z1

z1

−z1

�������

���

��

������

�

��

��

z1 −z1

z = 0z1

∗

x z1

z = 0 z1 z2

z2 z1 + z2

12

1z1 z2

z2 − z1

z1 z2

z2−z1

z2 − z1 z2 −z1

2

2

z = x + iyx, y

r θ

r = |z| =√

x2 + y2 =√

zz∗

θ = arc tgy

x(x �= 0)

r z θz

z

z = x + iy = r cos θ + i r sen θ

= r (cos θ + i sen θ)

= r eiθ

eiα = cos α + i sen α

α

z1 = r1eiθ1 , z2 = r2e

iθ2 ⇒ z1z2 = (r1r2)ei(θ1+θ2)

13

z1

z2=

r1

r2ei(θ1−θ2)

r2 �= 0

z1, z2

zn = rn(cos nθ + i sen nθ) ,

n n = 1, 2, 3, . . .

z−n =1

zn= r−n[cos (−nθ) + isen (−nθ)]

= r−n[cos nθ − isen nθ]

n = 1, 2, . . .

z = z01/n

z0 nz0

zn = z0 ⇒ rn(cos nθ + isen nθ) = r0(cos θ0 + isen θ0)

rn = r0

cos nθ = cos θ0 , sen nθ = sen θ0

n θ = θ0 ± 2kπ k = 0, 1, 2, . . .

θ =θ0 ± 2kπ

n.

14

1kn

k = 0 z θ0/nk = 1 (θ0 + 2π)/n k = n − 1

θ0 + 2(n − 1)π

n.

k = n

θ0 + 2nπ

n=

θ0

n+ 2π

k = 0 k = n + 1k = 1

−2π −4πn z0

z = z01/n = r0

1/n

[cos

θ0 + 2kπ

n+ i sen

θ0 + 2kπ

n

]

k = 0, 1, 2, . . . , n − 1

z0m/n = r0

m/n

[cos

mθ0 + 2kπ

n+ i sen

mθ0 + 2kπ

n

]

k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 m ∈ n ∈ +

+

z1z2 = 0 =⇒ z1 = 0 z2 = 0

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

(z1 + z2)/z3 = z1/z3 + z2/z3 z3 �= 0

x = Re(z) z = x + iy y = Im(z)z

z + z∗ = 2Re(z) , z − z∗ = 2Im(z) ;

15

|z| ≥ Re(z); |z| ≥ Im(z); |z| ≤ Re(z) + Im(z)

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| |z1 − z2| ≥ | |z1| − |z2| |

12(4 + 2i)(1 − 2i)2

10(2+i)(1−3i)

(√

3 + i)6

(−4)1/4

(8 + 8i)2/3

24+2i 1−2i

1 − 2i1− 2i 4 + 2i

4

−4

8+8i

16

1−2 − 11i 1 + i −64 1 + i 1 − i

−1 + i −1 − i

xy = f(x)

y = f(x) xy

fz

f(z)

f : D ⊂ C −→ CD ⊂ C

z −→ f(z)

f DCD z f(z)

zf(z)

17

�

�

�����

Re

Im

z0

��ε

�

�

z0 ε

z0

z

|z − z0| < ε

ε z − z0

z0 z |z − z0|

εz0 z0

z0

z0 z0

z ε z0 |z−z0| = ε

18

1ε z0

z

S ∈ C

Sε z0

S = {z |z − z0| ≤ ε}|z − z0| = ε S

ε z0

Sε z0

|z| = rr

P1

P2

19

f(z) z ∈ DD f(z) CD

zf(z)

f(x)

f

xf(x)

f(z) = z1/2

f(z)

P (z) = a0 + a1z + a2z2 + . . . + anzn

20

1D =a0, a1, . . . , an

f(z) =1

z2 + 1

z = ±iz = i z = −i f(z)

f(z)

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

u v x y

f(z) = z2 = (x + iy)2 = (x2 − y2)︸ ︷︷ ︸u(x,y)

+i (2xy)︸ ︷︷ ︸v(x,y)

.

f(z)z0 z0

limz→z0

f(z) = w0

δ ε > 0 z �= z0

|z − z0| < δ =⇒ |f(z) − w0| < ε .

z z0 f(z) = u + ivw0

f(z)w0 z

z0

limz→−2

z3 + 8

z + 2= 16 .

21

z0 = −2δ > 0

ε > 0

|z − (−2)| < δ =⇒∣∣∣∣z

3 + 8

z + 2− 16

∣∣∣∣ < ε .

δ > 0 ε = δ2 + 8δ |z + 2| < δz �= −2∣∣∣∣z

3 + 8

z + 2− 16

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣(z + 2)(z2 − 2z + 4)

(z + 2)− 16

∣∣∣∣ = |(z2 − 2z + 4) − 16|= |(z − 2)2 − 16| = |[(z + 2) − 4]2 − 16|= |(z + 2)2 − 8(z + 2)| ≤ |z + 2|2 + 8|z + 2|< δ2 + 8δ = ε

ε δ

22

1z = x + iy f(z) = u(x, y) + i v(x, y)

limz→z0

f(z) = w0 ⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

limx → x0

y → y0

u(x, y) = Re(w0)

limx → x0

y → y0

v(x, y) = Im(w0)

limz→z0 f1(z) = w1 limz→z0 f2(z) = w2

limz→z0 [f1(z) + f2(z)] = w1 + w2

limz→z0 [f1(z).f2(z)] = w1.w2

limz→z0 [f1(z)/f2(z)] = w1/w2 w2 �= 0

f(z) z = z0

f(z0)

limz→z0 f(z)

f(z0) = limz→z0 f(z)

z ∈limz→z0

P (z) = P (z0) .

f(z)z0 f z0

f ′(z0) = limz→z0

f(z) − f(z0)

z − z0.

23

z0

f(z) = z3 − 2zz0 z �= z0

f(z) − f(z0)

z − z0=

z3 − x03 − 2z + 2z0

z − z0

=(z − z0)(z

2 + zz0 + z02) − 2(z − z0)

z − z0

= z2 + zz0 + z02 − 2 ,

f ′(z0) = limz→z0

f(z) − f(z0)

z − z0= lim

z→z0

(z2 + zz0 + z02 − 2) = 3z0

2 − 2 .

d

dzzn = nzn−1 .

f(z) = |z|2f(z) f(z) = z.z∗

δz = z − z0

f ′(z0) = limz→z0

f(z) − f(z0)

z − z0

= limΔz→0

f(z0 + Δz) − f(z0)

Δz

= limΔz→0

(z0 + Δz)(z0∗ + Δz∗) − z0z0

∗

Δz

= limΔz→0

z0z0∗ + z0Δz∗ + z0

∗Δz∗ + ΔzΔz∗ − z0z0∗

Δz

= limΔz→0

(z0

∗ + Δz∗ + z0Δz∗

Δz

).

z0 = 0 f ′(z0) = 0z0 �= 0

Δz = Δx → 0

Δx→0

[z0

∗ + Δx + z0Δx

Δx

]= z0

∗ + z0 ;

24

1Δz = iΔy → 0

Δy→0

[z0

∗ + (−iΔy) + z0−iΔy

iΔy

]= z0

∗ − z0 ;

z0 �= 0f(z) = |z|2 z = 0

d

dz= 0

d

dzz = 1

d

dz(f1 + f2) =

df1

dz+

df2

dzd

dz(f.g) =

df

dz.g + f.

dg

dzd

dz

(f

g

)=

g df/dz − f dg/dz

g2

d

dzf [g(z)] =

df

dg

dg

dz

|z − 2| ≥ 2

|z − 1| < 2

Im(z2) > 1

25

26

1

27