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Estudo da Energia de Deformação
Nota de aula 13 - Estudoda Energia de
Deformação - Resistênciados Materiais II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2010Flávia Bastos RESMAT II 1/35
Estudo da Energia de Deformação
Informações sobre este documento: Estes slides servem paraauxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas deresistência dos materiais II ministradas pela professora FláviaBastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos RESMAT II 2/35
Estudo da Energia de Deformação
Estudo da Energia de Deformação
• Objetivo: Estudar e determinar a quantidade de energiaarmazenada em corpos deformáveis como os queconstituem as estruturas.
• Finalidade: métodos energéticos que permitemdeterminar, por exemplo, a posição de equilíbrio dessasestruturas; critérios de resistência;
Flávia Bastos RESMAT II 3/35
Estudo da Energia de Deformação
Trabalho de uma força
Como modelo inicial para nosso estudo consideramos umamola longitudinal que se deforma quando sujeita a uma cargaF que a deforma quando seu valor vai de zero até o valor finalF . Supomos:a) Não há troca de calor com o meio ambiente.b) O movimento de deformação da mola é lento de modo quedesprezamos as forças de inércia e a energia cinética domovimento.
Flávia Bastos RESMAT II 4/35
Estudo da Energia de Deformação
Trabalho de uma força
Chamando:W → Trabalho desta força;UT → Energia interna acumulada sob a forma de energia dedefomação;K → Energia cinética, temos que:
W = UT +K (1)
A segunda hipótese anterior nos permite afirmar que K = 0,logo:
W = UT (2)
Flávia Bastos RESMAT II 5/35
Estudo da Energia de Deformação
Trabalho de uma força
Sabemos que o trabalho de uma força pode ser obtido:
U = W =
∫ A2
A1
~F · d~r (3)
ou:
U =
∫ A2
A1
(Fxdx+ Fydy + Fzdz) (4)
Flávia Bastos RESMAT II 6/35
Estudo da Energia de Deformação
Aplicação ao caso de uma mola
No caso da mola:
W = UT =
∫ xf
0F (x)dx (5)
onde: F → Força necessária para produzir o alongamento xfda mola. Logo:
W = UT =
∫ xf
0F (x)dx =
∫ xf
0kxdx (6)
já que F (x) = kx.
Flávia Bastos RESMAT II 7/35
Estudo da Energia de Deformação
Aplicação ao caso de uma mola
Temos então:
UT =1
2kx2f (7)
ou, se chamamos xf = x:
UT =1
2kx2 (8)
Podemos ainda dizer que:
UT =1
2Fx (9)
Flávia Bastos RESMAT II 8/35
Estudo da Energia de Deformação
Aplicação ao caso de uma mola
Estas expressões constituem o teorema de Clayperon queestabelece que:“Quando uma carga cresce progressivamente de zero até oseu valor final, o trabalho de deformação, em regime elásticolinear, é a metade do que seria realizado se a carga agissedesde o início com o seu valor final atual”.
Flávia Bastos RESMAT II 9/35
Estudo da Energia de Deformação
Caso de barras com N constante
Podemos imediatamente aplicar esta expressão ao caso deuma barra sujeita e um esforço normal constante já que estatem comportamento similar ao de uma mola, tendo em vistaque:
∆l =Fl
ES→ F =
ES
l∆l (10)
onde observamos que k = ESl e x = ∆l.
Flávia Bastos RESMAT II 10/35
Estudo da Energia de Deformação
Caso de barras com N constante
Assim, temos para este caso:
W = UT =1
2N∆l (11)
com esforço normal N = F e podemos afirmar que:
UT =1
2
N2l
ESou UT =
1
2N∆l (12)
Flávia Bastos RESMAT II 11/35
Estudo da Energia de Deformação
Expressões da energia em termosdas tensões e deformações
Como UT = 12N2lES , multiplicando num. e den. por S:
UT =1
2
N2lS
ES2→ UT =
N2
S2
1
2EV (13)
onde V é o volume da barra. Assim, podemos determinar paraeste caso a energia específica de deformação ou energia porunidade de volume, obtendo-se para esta:
dUTdV
= u =σ2xx2E
. . . Energia específica de deformação (14)
Ou ainda (já que σxx = Eεxx):
u =1
2σxxεxx ou u =
1
2Eε2xx (15)
Flávia Bastos RESMAT II 12/35
Estudo da Energia de Deformação
Barras (curtas) a cortante constanteExaminamos em seguida o caso singular de uma barra curtasujeita a um esforço constante (figura***). Neste caso oteorema de Clayperon nos assegura que:
UT =Qv
2(16)
Assumindo γ pequeno→ γ ∼= tgγ = vh , temos:
UT =Qγh
2(17)
que multiplicada por S no numerador e denominador fica:
UT =QγV
2S(18)
Flávia Bastos RESMAT II 13/35
Estudo da Energia de Deformação
Barras (curtas) a cortante constanteLogo a energia específica de deformação neste caso é dadapor:
dUTdV
= u =Qγ
2S(19)
Supomos neste caso que τ = QS (peças curtas). Lei de Hooke
para cisalhamento γ = τG . Obtemos então:
u =1
2Gτ2 (20)
u =τγ
2(21)
u =Gγ2
2(22)
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Estudo da Energia de Deformação
Energia de Deformação para umestado triaxial de tensões
• Tensões normaisPara um prisma com tensão normal σxx temos (considerando oprisma de comprimento dx e área dydz):
dUσxxT = σxxdydz︸ ︷︷ ︸Força
dεxxdx︸ ︷︷ ︸alongamento
(23)
dUσxxT = σxxdεxxdxdydz (24)
dUσxxT = σxxdεxxdV (25)
UσxxT =
∫V
[∫ εxx
0σxxdεxx
]dV (26)
Flávia Bastos RESMAT II 15/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia de Deformação para umestado triaxial de tensões
A energia específica de deformação neste caso pode ser dadaentão por:
uσxx =
∫ εxx
0σxxdεxx (27)
Para as outras tensões (σyy e σzz) obtemos:
uσyy =
∫ εyy
0σyydεyy (28)
uσzz =
∫ εzz
0σzzdεzz (29)
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Estudo da Energia de Deformação
Energia de Deformação para umestado triaxial de tensões
e temos que:
u =
∫ εxx
0σxxdεxx +
∫ εyy
0σyydεyy +
∫ εzz
0σzzdεzz (30)
onde εxx, εyy e εzz dependem de σxx, σyy e σzz.
Flávia Bastos RESMAT II 17/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia de Deformação para umestado triaxial de tensões
• Tensões tangenciais
Analogamente teríamos para as tensões tangenciais:
uτxy =
∫ γxy
0τxydγxy (31)
uτxz =
∫ γxz
0τxzdγxz (32)
uτyz =
∫ γyz
0τyzdγyz (33)
Flávia Bastos RESMAT II 18/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia específica de deformaçãocom atuação concomitante de σxx,σyy, σzz, τxy, τxz e τyz
Obtemos então por unidade de volume:
u = σxxdεxx+σyydεyy+σzzdεzz+τxydγxy+τxzdγxz+τyzdγyz (34)
essas parcelas devem ser somadas (integradas) quando asdeformações variam de zero até o valor final. Obtemos então apartir da lei de Hooke generalizada:
u = σxxE [dσxx − ν(dσyy + dσzz)]
+σyyE [dσyy − ν(dσxx + dσzz)]
+ σzzE [dσzz − ν(dσxx + dσyy)]
+τxyG dτxy + τxz
G dτxz +τyzG dτyz
(35)
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Estudo da Energia de Deformação
Energia específica de deformaçãocom atuação concomitante de σxx,σyy, σzz, τxy, τxz e τyz
Integrando o termo da direita quando as tensões variam dezero até seu valor final obtemos:
u =1
2E(σ2
xx+σ2yy+σ2
zz)− νE
(σxxσyy+σyyσzz+σxxσzz)+1
2G(τ2xy+τ2xz+τ2yz)
(36)
Utilizando novamente a lei de Hooke generalizada podemos escrever:
u =Eν
2(1 + ν)(1− 2ν)(εxx+εyy+εzz)2+G(ε2xx+ε2yy+ε2zz)+
G
2(γ2xy+γ2xz+γ2yz)
(37)
Flávia Bastos RESMAT II 20/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia específica de deformaçãocom atuação concomitante de σxx,σyy, σzz, τxy, τxz e τyz
Em termos das tensões principais:
u =1
2E(σ21 + σ22 + σ23)− ν
E(σ1σ2 + σ2σ3 + σ1σ3) (38)
Flávia Bastos RESMAT II 21/35
Estudo da Energia de Deformação
Densidade de Energia de DistorçãoTendo em vista que qualquer tensor de tensão σ˜̃ pode serdecomposto como:
σ = σh˜̃ + σD˜̃ (39)
σh˜̃ → tensor de tensão hidrostático;
σD˜̃ → tensor de tensão desviador.
Logo:
u = uhidro + uD (40)
uhidro → Energia específica de deformação referente àvariação de volume;uD → Energia específica de distorção.
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Estudo da Energia de Deformação
Densidade de Energia de Distorção
Como:
σh˜̃ = σh
1 0 00 1 00 0 1
(41)
com σh = σ1+σ2+σ33 , obtemos para uhidro:
uhidro =1
2E(σ2h + σ2h + σ2h)− ν
E3σ2h (42)
obtendo:
uhidro =1− 2ν
6E(σ1 + σ2 + σ3)
2 (43)
Flávia Bastos RESMAT II 23/35
Estudo da Energia de Deformação
Densidade de Energia de Distorção
Obtém-se uD pela diferença:
uD = u− uhidro (44)
e temos que:
uD =1 + ν
6E[(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2] (45)
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Estudo da Energia de Deformação
Energia de deformação em funçãodos esforços em barras prismáticas
• Introdução:
Tendo em vista a utilização das expressões do trabalhorealizado pelos esforços em barras prismáticas e seu empregoem princípios tipo dos trabalhos virtuais, determinam-se aseguir os valores das energias de deformação em barrasquando os esforços atuantes nestas são variáveis.
Flávia Bastos RESMAT II 25/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia de deformação em funçãodos esforços em barras prismáticas
• Barra a esforço normal variável
Para um trecho de barra sujeito a esforço axial (comprimentodx), generalizando as expressões anteriores, temos que:
UT =
∫ l
0
N(x)
2
N(x)dx
ES(46)
ou:
UT =
∫ l
0
1
2
N(x)2
ESdx (47)
Flávia Bastos RESMAT II 26/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia de deformação em funçãodos esforços em barras prismáticas
• Barra a esforço cortante variável
UT =
∫ l
0
1
2
Q(x)2
GSdx (48)
Para o caso de barras não curtas onde não é possíveldesprezar a concomitância da ação de Q com M (momentofletor) utilizamos:
UT =
∫ l
0
1
2
kQ(x)2
GSdx (49)
Flávia Bastos RESMAT II 27/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia de deformação em funçãodos esforços em barras prismáticas
• Barra a esforço de flexão
Para M (fletor) constante num trecho obtemos pelo teorema deClayperon para este caso:
UT =Mϕ
2(50)
ϕ→ rotação relativa entre as seções.Neste caso tratamos a barra como uma mola a flexão.Para um trecho de viga de comprimento dx, admitindo-seM = M(x) teríamos:
dϕ =M
EIds ∼=
M
EIdx (51)
ds→ elemento de comprimento de arco;Flávia Bastos RESMAT II 28/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia de deformação em funçãodos esforços em barras prismáticas
• Barra a esforço de flexão
Assim obtemos:
UT =
∫ l
0
1
2M(x)dϕ =
∫ l
0
1
2M(x)
M(x)
EIdx (52)
UT =
∫ l
0
M(x)2
2EIdx (53)
Flávia Bastos RESMAT II 29/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia de deformação em funçãodos esforços em barras prismáticas
• Barra a torção
Para uma barra sujeita a um momento torsor constanteobtém-se:
UT =1
2Tθ (54)
T → momento torsor;θ → Rotação relativa entre seções medida no plano da seção.Para um trecho de comprimento dx teríamos:
dθ =T (x)
GItdx (55)
It → Momento de inércia polar da seção;Flávia Bastos RESMAT II 30/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia de deformação em funçãodos esforços em barras prismáticas
• Barra a torção
UT =
∫ l
0
1
2T (x)dθ (56)
UT =
∫ l
0
T (x)2
2GItdx (57)
Flávia Bastos RESMAT II 31/35
Estudo da Energia de Deformação
Energia de deformação em funçãodos esforços em barras prismáticas
• Trabalho ou energia de deformação total
Somando-se as contribuições anteriores temos:
UT =
∫ l
0
1
2
N(x)2
ESdx+
∫ l
0
1
2
kQ(x)2
GSdx+
∫ l
0
M(x)2
2EIdx+
∫ l
0
T (x)2
2GItdx
(58)
Flávia Bastos RESMAT II 32/35
Estudo da Energia de Deformação
Cálculo do coeficiente k
Vimos que para peças curtas:
τ =Q
S⇒ U =
∫ l
0
Q2
2GSdx (59)
Queremos aplicar relação similar a esta para viga onde:
τ =QMs
tI(60)
isto é:
U =
∫ l
0
kQ2
2GSdx (61)
Flávia Bastos RESMAT II 33/35
Estudo da Energia de Deformação
Cálculo do coeficiente kSabemos que em ambos os casos:
U =
∫V
τ2
2GdV =
∫ l
0
1
2G
{∫z
∫yτ2dydz
}dx (62)
U =
∫ l
0
1
2G
{∫z
∫y
Q2M2s
t2I2dydz
}dx (63)
U =
∫ l
0
Q2
2G
{1
I2
∫S
M2s
t2dS
}dx (64)
U =
∫ l
0kQ2
2GSdx (65)
com:
k =S
I2
∫S
M2s
t2dS (66)
Flávia Bastos RESMAT II 34/35
Estudo da Energia de Deformação
Cálculo do coeficiente k
• Para seção retangular obtemos K = 1, 2;• Para seção circular cheia obtemos K = 1, 11;• Para seção circular de parede delgada obtemos K = 2;
Flávia Bastos RESMAT II 35/35
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