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CONCEITOS TEÓRICOS E ECCaappí í ttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORR
CONDUTOR
5.1 – CORRENTE (I) E DENS A corrente elétrica (convencion
dt
dQI = > 0 (Un
A densidade de corrente de con
volume (nuvem) de cargas com dvJ vρ= (Un
Para um condutor com densidadvelocidade de arrastamento (“dri
( ) (EvJ eede =µ−ρ=ρ=
Definindo eeµρ−=σ co
EJ σ= → densida
A tabela a seguir mostra as expr
que o sinal menos é compensado
Líq
C
Sem
µ =ρ = dh → e →
Relação entre corrente e den
A corrente dI que atravessa
dSJdI N= (de onde te
θ=θ= coscos dSJdSJdI
SdJdI •=
Daí, ∫= •s SdJI
ERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO SS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA
Capítulo V
S, DIEL TRICOS E CAPACIT
DADE DE CORRENTE ( J )
l) representa o movimento de cargas positiv
idade de corrente: C/s ou A)
vecção J (uma grandeza vetorial) represenensidade volumétrica ρv (em C/m3) numa ve
idade de densidade de corrente: A/m2)
de carga dos elétrons ρv = ρe, onde os elétt speed”) Evv ed µ−== (µe = mobilidade
) Eeeµρ
mo condutividade do condutor (em S/m), ob
de de corrente de condução (Forma pontua
ssões para cálculo da condutividade σ de
pelo valor negativo da densidade volumétric
Meio Condutividade σσσσ [S/m]ido ou gás σ = – ρ– µ– + ρ+ µ+ ndutor σ = – ρe µe icondutor σ = – ρe µe + ρh µh obilidade da carga (sempre +) [m2 /(V s)]
ensidade volumétrica de carga (±) [C/m3]lacuna ou buraco (do inglês “hole”)létron
idade de corrente (ver figura):
uma área dS é dada por (ver figura):
m-se:dS
dIJ N = )
29
CIA
s e é expressa por:
a o movimento de umlocidade v (em m/s).
rons se deslocam comdos elétrons), tem-se:
emos finalmente:
l da Lei de Ohm)
vários meios. Observe
a de carga negativa.
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CONCEITOS TEÓRICOS E ECCaappí í ttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORR
5.2 – CONTINUIDADE DA C A corrente através de uma supeigual a razão do decréscimo deregião – princípio da continuida
dt
dQSdJsI i−== •∫
onde +dt
dQi = razão (taxa) de acr
Aplicando o teorema da divergên
t
J v
∂
ρ∂−=∇ •
“A corrente ou carga po
de decréscimo de carga p
5.3 – CONDUTORES METÁL Definição de resistência de um c
∫ σ∫−==
•
•
s
a
babSdELdE
IVR
Para um condutor que possui se
cilíndrico da figura, com área S e
SdE
LdE
I
VR
s
0ab =
∫ σ
∫−==
•
•
Exemplo:Calcular R para o cond
⇒ρ
=ρφ
== Ek
h
I
S
IJ
dzdk
dk
Rh0 0
b
a
=
∫ ∫ φρρ
∫ ρσρ
=φ
ρρ
ERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO SS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA
RRENTE
fície fechada (fluxo de cargas positivas parargas positivas (ou acréscimo de cargas nee. Matematicamente, expressamos como:
(Forma integral da equação da continuid
éscimo (incremento) de cargas no tempo den
cia à expressão acima, obtemos:
(Forma pontual da equação da continuid
segundo que sai (diverge) de um pequeno v
or unidade de volume em cada ponto.”
ICOS – RESISTÊNCIA (R)
ndutor qualquer:
[Ω] (parâmetro positivo)
ão reta uniforme (condutorcomprimento ):
SE
E ⇒
SR
σ=
utor em forma de cunha da figura, para J (o
ρσρ
=σ
= akJ
h
ln
hk
lna
bb
a
σφ
ρ
ρ
=φ
ρ
ρ
ρ
30
a fora da superfície) éativas) no interior da
de)
tro da superfície.
de)
olume é igual a razão
I) no sentido radial.
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CONCEITOS TEÓRICOS E ECCaappí í ttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORR
5.4 – O MÉTODO DAS IMAG Aplicação: Na solução de pro
deste por uma supe
Exemplo: Calcular o campo elé
Aplicando o método das imag
21 EEE +=
onde 1E e 2E são os camposdevido, respectivamente, a c(carga original) e a carga imaAssim,
1 22o
2R2
1o
1
R4
Qa
R4
QE
πε+
πε=
onde:
11R R / Ra1
= , sendo
22R R / Ra2
= , sendo
Substituindo os valores, temo
14
1
2
aa
236
104
1010E
zy
9
9
π
−+
−
ππ
×=
−
−
( ) (zy1010
90aa
22
90E −−=
Daí: zy a35,40a97,28E −=
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ENS
lemas envolvendo um plano condutor aterfície equipotencial mais as cargas imagens,
rico E no ponto P(0,1,1) m, para a configur
ns, temos:
no ponto Parga objetoem.
2R
zy1 aa −= o vetor distância orientado de
zy2 a3aR += o vetor distância orientado
:
10
a3a
1036
0
10 zy
9
9 +
π
×−
−
) ( ) ( )zyzyzy a3a85,2aa82,31a3 +−−=+
[V/m] (Nota: Conferir o sentido de E n
31
rado pela substituiçãoomo ilustra a figura.
ação mostrada abaixo.
Q1 = Q a P,
e Q2 = –Q a P.
figura)
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5.5 – A NATUREZA DOS MA Polarização P é definido como
lipv
1limP
v
vn
1i i0v=∑
∆=
∆
∆
=→∆
onde n é o número de diA lei de Gauss relaciona a densid
∫ •= SdDQ
Por analogia, pode-se também resendo esta carga chamada de car
∫ •−= SdPQP
A lei Gauss em termos da carga
∫ •ε= SdEQ oT
onde:QT = Q + QP = soma da cεo = 8,854×10-12 = per
Substituindo as cargas pelas suas
relaciona os 3 campos D , E e
PED o +ε=
Para um material linear, homogê
EP oeεχ= [C/m2]
sendo χe é a suscetibilidade el
constante é relacionada com a pe
εR, (grandeza também adimensio1Re −ε=χ
Combinando estas 3 últimas equ
ED ε=
onde:
oR εε=ε
sendo ε a permissividade elétri
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ERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZA
sendo o momento elétrico total por unidade
v
ptotal
0 ∆ (Unidade: C/m
2
– mesma
olos elétricos por unidade de volume ∆v
ade de fluxo elétrico D com a carga elétric
Nota: D sai ou diverge da carga livre positi
lacionar o campo P com uma carga, QP, quea de polarização.
Nota: P sai ou diverge da carga de polariza
otal, QT, (lei de Gauss generalizada) é expr
rga livre com a carga de polarizaçãoissividade elétrica do vácuo (unidade: F/m
expressões com integrais, obtemos a seguint
, para qualquer tipo de meio:
(Nota: No vácuo 0P = )
eo e isotrópico (mesma propriedade em tod
étrica do material (constante adimensionalrmissividade elétrica relativa (ou constantenal) através da expressão:
ções obtém-se:
a absoluta do material, dada em F/m.
32
ÃO (P)
e volume, isto é:
unidade de D )
livre, Q, isto é:
a)
produz este campo,
ção negativa)
essa por:
)
e expressão geral que
s as direções) tem-se:
, χ lê-se “csi”). Estaielétrica) do material,
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Relações usando as densidadespolarização, ρP, e de carga total,
dvQ vv ρ∫=
dvQ PvP ρ∫= dvQ TvT ρ∫=
5.6 – CONDIÇÕES DE CONT
Condição de contorno para as cPara o pequeno percurso fe
0LdEretângulo
=•∫
Fazendo 0h →∆ (tendend0LELE 2t1t =∆−∆ ⇒
Condição de contorno para as cPara o pequeno cilindro da
internacilindro
QSdD =•∫
Fazendo 0h →∆ (tendend
(i) Para a fronteira com carSDSD 2n1n ρ=∆−∆
(ii) Para a fronteira sem ca
2n1n DD = (Nest
Relação de contorno se o meio 2
Componentes tangenciais:
Componentes normais:
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volumétricas de carga livre, ρv (ou simplesT:
ρ=∇ • D v
PP ρ−=∇ • To E ρ=ε∇ •
RNO PARA MATERIAIS DIELÉTRIC
mponentes tangenciais:chado retangular da figura, pode-se aplicar:
(válida para o campo E conservati
o a fronteira), obtemos:
2t1t E= ⇒ 2t1t EE = (Et é contínuo)
mponentes normais:figura, pode-se aplicar:
(Lei de Gauss)
o a fronteira), obtemos:
a (ρS ≠ 0):S∆ ⇒ S2n1n DD ρ=− (Neste caso
ga (ρS = 0):
caso Dn é contínuo)
for um condutor perfeito (σ2 → ∞ ⇒ E2 = D
0E 1t = ⇒ 0D 1t = (as comp. tangenc
s1n ρ= ⇒ 1s1n / E ερ= (existem some
33
ente ρ), de carga de
S PERFEITOS
o)
n é descontínuo)
2 = 0):
iais se anulam)
te comp. normais)
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5.7 – CAPACITÂNCIA
Qualquer dispositivo formado pforma um capacitor (figura) cuja
∫−
∫ ε==+− •
•
LdESdE
VQC s
o
5.8 – EXEMPLOS DE CÁLCU
Análise do capacitor de placas p
adzaE
adSaE
V
QC
zz
0
d
zzS0
o ∫−
ε∫==
•
•
Observe também as fórmulas:EdVo =
SS
QED ρ==ε=
onde os campos E e D são consid
Ex. 1: Carrega-se um capacitor
constante. Desconsideraninstantâneas sofridas por:a) O espaço livre entre asb) A fonte de tensão é re
Solução do caso 1(a) – ver figur
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r 2 condutores separados por um dielétricocapacitância é definida como:
[F] (parâmetro positivo)
LO DE CAPACITÂNCIA
lanas paralelas:
( )d0E
SE
−−
ε= ⇒
d
SC
ε=
erados constantes no dielétrico do capacitor
e placas planas paralelas no espaço livre co
do os efeitos de bordas (capacitor ideal), dWE, D, E, C, Q, V, e ρs, quando:placas é substituído por um dielétrico com εovida com as placas afastadas tal que d2 = 3
abaixo:
V2 = V1 = V (mesma fonte de ten
E2 = E1 (E = V/d)
D2 = 3 D1 (D = εR ε0 E)
C2 = 3 C1 (C = εR ε0 S/d)
ρS2 = 3 ρS1 (ρS = DN = D)
Q2 = 3 Q1 (Q = ρS S)
W2 = 3 W1 (W = (1/2) C V2 ou
34
ideal.
uma fonte de tensão
terminar as variações
R = 3;d1.
são)
W = (1/2) εRε0 E2 vol)
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Solução do caso 1(b) – ver figur
Ex. 2: Determinar C de um capa
Para uma Gaussiana cilíndrica de
∫ =• ernaintQSdD
2DQL2D
π=⇒+=πρ
ρπερ
=ε
= aL2
QDE
∫ =ρ περ−== a
babo L2QVV
VlnL2
QV o
a
bo ⇒
ρ
πε
−=
a / bln(
L2
V
QC
o
πε==
Ex. 3: Determinar C de um capa
Para uma gaussiana esférica de r
∫ =• ernaintQSdD
22
r4
QDQr4D
π=⇒=π
r2a
r4
QDE
πε=
ε=
∫ =πε
−==a
br 2abo ar4
QVV
=⇒
−πε
−= Vr1
4QV o
a
bo
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abaixo:
Q2 = Q1 (fonte de tensão rem
ρS2
= ρS1
(ρS
= Q/S)
D2 = D1 (D = DN = ρS)
E2 = E1 (E = D/ ε0)
C2 = C1 /3 (C = εR ε0 S/d)
V2 = 3V1 (V = Q/C ou V = E
W2 = 3 W1 (W = (1/2) C V2 ou
citor coaxial de raios a e b (a < b).
raio a < ρ < b e comprimento L
Lρ
ρρ ρ• ada
a
bln
L2
Q
πε=
citor esférico de raios a e b (a < b).
io a < r < b
• rr adr
−
πε b1
a1
4Q
o
35
vida)
d)
= (1/2) εRε0 E2 vol)
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b
1
a
14
V
QC
o −
πε== (Se b
Ex. 4: Determinar C de uma lin
Seja uma configuração condutorde permissividade ε, conforme m
Foi visto no capítulo 4 que a difecom carga uniformemente distrib
A
BLAB ln
2V
ρ
ρ
πε
ρ=
Para os 2 fios infinitos paralelospotencial do ponto P(x, y, 0) em
L
1
0LPO l2ln2V πε
ρ
−ρ
ρ
πε
ρ
=
onde: ρ1 e ρ10 = ρ0 são as menoρ2 e ρ20 = ρ0 são as meno
Da figura tem-se:
( ) 221 yax +−=ρ
( ) 222 yax ++=ρ
Substituindo (03) e (04) em (02)
( )
( )2
2L
yax
yaxln
2V
+−
++
πε
ρ=
Seja V = V1 = constante, uma suespaço em que V = V1 é obtido f
( )
( ) / V4
22
22
eyax
yaxL1=
+−
++ ρπε
onde k1 é uma constante arbitrári
1L
1 kln4
Vπε
ρ=
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→ ∞ ⇒ a4C πε= = capacitância do capa
a de transmissão com dois fios infinitos pa
a constituída por 2 fios (infinitos) paralelos,ostrado na figura abaixo.
rença de potencial entre 2 pontos A e B deviuída é dada por:
ρA e ρB são as menores distâncias do fio aos
a figura, com cargas simétricas com densidelação a um ponto qualquer O (referência) n
1
2L
2
0
ln2 ρ
ρ
πε
ρ
=ρ
ρ
es distâncias do fio 1 (carga +) aos pontos Pes distâncias do fio 2 (carga –) aos pontos P
e fazendo VPO = V (com a referência V0 = 0
( )
( ) 22
22L
yax
yaxln
4 +−
++
πε
ρ=
erfície equipotencial. Então, o lugar geométzendo:
1k=
a dependente de V1 e expressa por:
36
itor esférico isolado)
alelos
situados em um meio
o a um fio infinito
pontos A e B) (01)
de linear uniforme, oo plano x = 0, é:
(02)
e O, respectivamente;e O, respectivamente.
(03)
(04)
implícita), obtém-se:
(05)
ico dos pontos no
(06)
(07)
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CONCEITOS TEÓRICOS E ECCaappí í ttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORR
Desenvolvendo a expressão (06)
( )2221 yaax2xk =++−
( ) ( )1kax21kx 112 ++−−
( ya1k
1kax2x 22
1
12 ++−
+−
22
1
1
k
2y
1k
1kax
=+
−
+−
A equação (08) representa uma c
1k
1kahx
1
1
−
+== e y =
e raio:
1k ka2br1
1−
==
De (09), pode-se isolar k1, do segakahhk 11 +=−
( ) ahahk1 +=−
ah
ahk1
−
+=
Substituindo (11) em (10):
ahah
a21ahah
b−
+=
−
−
+
ah
aha2
ah
a2b
−
+=
−
( ) ah
ah
ah
b2
2
−
+=
−
ahah
b2
+=−
222 ahb −= 22 bha −=
Substituindo agora (12) em (11)
22
22
1h
h
bhh
bhhk
−
+=
−−
−+=
ou
222
1 b
bhhk
−+=
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temos:222 yaax2 +++
)( ) 01kya 122 =−+
) 0=
2
1
1
1
k
−
ircunferência centrada em:
uinte modo:
racionalizando o denominador:
( )222
22
22
22
22
22
bhh
bhh
bhh
bhh
bh
bh
−−
−+
=−+
−+×
−
−
37
(08)
(09)
(10)
(11)
(12)
2
222
b
bhh
−+
=
(13)
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Substituindo (13) em (07):
b
bhhln
4V
22L
1
−+
πε
ρ=
De (14) podemos obter a capacpotencial V = V1 e um planofigura abaixo). Esta pode ser obti
0V
L
V
QC
1
L
o −
ρ== ⇒ C
Para b << h, obtém se a capacitpequeno e igual a b) e um plano
C
A expressão (15) também percilíndricos nos potenciais V1 e2h (ver figura abaixo).
Esta capacitância, obtida pelametade do valor encontrado em (
2)V(VL
VQ'C
11
L
o
ρ=−−
ρ==
Para b << h, obtém se a capacmuito pequenos e iguais a b),transmissão:
C
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b
bhhln
2
22L
2−+
πε
ρ=
itância de um capacitor formado por umondutor no potencial V = 0, separados porda pela definição de capacitância por:
−+
πε=
bbhhln
L2
22
ncia de um capacitor formado por um fio condutor, separados por uma distância h:
( )bh2lnL2πε
=
ite obter a capacitância do capacitor formV1 (cargas simétricas), separados um do o
efinição e da aplicação do método das i15), isto é:
2C
VL1
L = ⇒
−+
πε=
bbhhln
L'C22
itância de um capacitor formado por 2 fioeparados por uma distância 2h – configur
( )bh2ln
L'
πε=
38
(14)
ondutor cilíndrico nouma distância h (ver
(15)
ndutor (de raio muito
(16)
ado por 2 condutorestro por uma distância
agens, corresponde a
(17)
condutores (de raiosção de uma linha de
(18)
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5.9 – EXERCÍCIOS PROPOS 5.1) Uma carga está distribuíd
segmento que se estende dplano z = 0 existe um plan
a) Determinar a densidadeb) Se esta carga linearmen
no eixo z que ela deveri
Respostas: a)2S
9
2
a
−=ρ
5.2) Suponha que o plano z
permeabilidades relativas[ηC] situada na origem.dielétricos perfeitos (Dn1 =
a) O campo elétrico na regb) O campo elétrico na regc) O ângulos formados pel
Respostas: a) (5
59E1
⋅=
c) θ1 = 63,44o e
5.3) A região 1, definida por 0relativa εR1 = 2, enquantmaterial dielétrico de per
elétrico na região 1 é dadaa) 2nD
;
Respostas: a) φ= a4D 2n
;
d) 2 a5,4P
+= ρ
5.4) A superfície de separação
1z4y
3x
=++ . O dielétric
dielétrico 2 possui pemissielétrico uniforme expressocondições de contorno, qua
a) 2na (versor normal ao pl
Respostas: a) 4(131
2na ⋅=
c) (t213
1E ⋅=
e) (t1 131E ⋅=
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OS
. com densidade linear de carga ρL = π /zponto (0,0,a) ao ponto (0,0,3a), sendo a >condutor bastante grande, pede-se:
superficial de carga na origem;e distribuída fosse concentrada em um pontser colocada para obter a mesma solução de
ηC/m2]; b) aln32
3z = = 1,5722a [m].
= 1 m separa o espaço em duas regiõeR1 = 2 e εR2 = 4. A região 1 contém uma cDeterminar, a partir das condições de coDn2 e Et1 = Et2), o seguinte:
ião 1, aplicado ao ponto (0, 2, 1);ião 2, aplicado ao ponto (0, 2, 1);s dois campos com a direção normal ao pla
)aa zy
+ [V/m]; b) )aa4(
10
59E zy2
+⋅=
θ2 = 75,96o.
< φ < π /4 rad, contém um material dielétrque a região 2, definida por π /4 < φ <
issividade relativa εR2 = 4. Sabendo-se que
or z1 a5a4a3D
++= φρ [ηC/m2
], determinb) 2tD
; c) 2D
; d
b) z2t a10a6D
+= ρ ; c) 2 1a4a6D
++= φρ
za5,7a3
+φ .
entre dois dielétricos é expressa pela equaç
1 contém a origem e possui permissivida
vidade relativa εR2 = 4. Na região do dielétripor yx2 3aaE += . Determinar os seguintesndo necessário):
ano do lado da região 2); b) n2E ; c) t2E ; d)
)123 zyx aa ++ ; b) 134(131
yxn2 aaE ++⋅=
)zyx 12369 aaa −+ ; d) ( xn1 413
2aE ⋅=
)zyx 1236 aaa −+ .
39
[ηC/m], ao longo do. Sabendo que sobre o
, determinar a posição(a).
s com dielétricos derga pontual de 10ntorno para materiais
o z = 1.
V/m];
ico de permissividade /2 rad, contém outroa densidade de fluxo
r, na região 2:) 2P
;
za
;
ão do plano dada por:
e relativa εR1 = 2 e o
co 2 existe um campoparâmetros (usando as
n1E ; e) t1E .
)2 za ;
)zy 123 aa ++ ;
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CONCEITOS TEÓRICOS E ECCaappí í ttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORR
5.5) Seja um condutor plano n
cilíndrico, de raio b, no pot
o módulo da densidade de
cargas (supondo uniforme)a) A capacitância (a partirb) A capacitância entre d
simétricos ±V1, com sec) Repetir os itens (a) e (b)
Respostas: a)
=
h1
lnC
c)( h2ln
L2C1
πε=
5.6) a) Determinar a expressã
no espaço livre devidob) Uma linha infinita de
no ponto P eqüidistant[C/m].
c) Para a mesma configresultante E neste mes
Respostas: a)πε
ρ=
o
LAB
2
V
5.7) Uma configuração de car
situadas em (0, a, 0) e (2a,= 0. Determinar (em funçãa) O potencial elétrico nob) O vetor campo elétricoc) O vetor força resultante
Respostas: a) VP = 0; b)
5.8) Um condutor de cobre (c
truncada, de dimensões 2 <
Se ρ ρ
aE 410−
= [V/m],
a) A corrente total que atrab) A resistência do condutc) O valor do potencial noRespostas: a) I = 121,47 [
c) Pb 540V = ,
ERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO SS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA
potencial zero situado uma distância h d
encial V1, expresso por:b
hhL1 ln
2V
+
πε
ρ=
carga (em C/m) no cilindro, no plano, ou n
e ε a permissividade elétrica do meio. Detea definição) entre o condutor plano e o conis condutores cilíndricos paralelos, mesmos eixos separados por uma distância 2h;supondo b << h.
−
πε
bbh 22
L2; b)
−+
πε=
bhh 222
ln
LC
)e
( )bh2ln
LC2
πε= .
o que fornece a diferença de potencial VAB a uma linha infinita de carga com densidadearga está paralela a um plano condutor. Dee entre o plano condutor (com V = 0) e a li
uração do item (b) determinar a magnituo ponto P.
ρ
ρ
A
Bln ; b) VP = 50 ln3 = 54,93 [V]; c) E
(Nota: h = distância da linha i
a é constituída por duas cargas pontuaisa, 0), respectivamente, e um plano condutorde Q, a e εo):
onto P(a, a, 0);o ponto P(a, a, 0);sobre a carga Q2.
x2o
P 50
525Q
aaπε
)( −⋅
= ; c)
(
o
2
2 64
2Q
F
⋅
=πε
ndutividade σ = 71085 ⋅, [S/m]) tem a
ρ < 12 [cm], 0 < φ < 30o, 0 < z < 4 [cm].
o interior do condutor, determinar:
essa o condutor;r,entro do condutor em relação a uma de suas]; b) R = 1,475 [µΩ];
410−⋅ [V] ou 4Pa 10251V −⋅−= , [V].
40
eixo de um condutor
b2−[V], sendo ρL
a linha equivalente de
rminar:utor cilíndrico acima;raio b e potenciais
b
;
entre 2 pontos A e Blinear constante ρL.erminar o potencial Vha com ρ πεL o= 100
e do campo elétrico
h3
400= [V/m].
nfinita ao plano condutor.)
Q1 = +Q e Q2 = −Q,aterrado (V = 0) em y
)(
)
yx2
4
aa +
−
.
forma de uma cunha
extremidades.
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CONCEITOS TEÓRICOS E ECCaappí í ttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORR
5.9) A região entre as placascamadas diferentes de diedielétrico, S = área, a = coa) As capacitâncias indivi
total resultante (CT);
b) As diferenças de potencc) As magnitudes dos camd) As magnitudes das dens
Respostas: a) CC 21 ==
b) VV 21 ==
d) DD 21 ==
5.10) Um arco, carregado com c
um círculo de raio a. Sab
apoiadas sobre um planoobtido no centro do círculo
Resposta: yo
L aEaπε
ρ −= .
5.11) A capacitância de um cap
raios a e b, respectivament
πε=
a
bln
L2C , onde ε represe
Seja agora a configuraçãodesprezível, comprimentodielétrico de permissividadielétrico de permissividad
ERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO SS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA
planas de um capacitor de placas paralelalétricos, dispostas como na figura abaixo (
primento). Determinar:uais dos três capacitores formados (C1, C2
ial existentes nos dielétricos 1 e 2, isto é V1 eos elétricos nos três dielétricos, isto é E1, E2
idades de fluxo nos três dielétricos, isto é D1
a
S2 oε ,
a
SC o
3ε
= ea
S2C o
Tε
= ;
2
V; c)
a2
VE1 = ,
a4
VE 2 = e
a3
VE3 = ;
a2
Voε e
a
VD o
3ε
= .
rga distribuída com densidade constante ρL ndo-se que este arco está em pé, com ape
ondutor, porém isoladas deste, determinarformado pelo arco.
(Nota: Adotou-se o plano condutor situa
citor coaxial de comprimento L e condutore, é dada pela expressão:
nta a permissividade elétrica do meio entre o
obtida com três cilindros condutores coaxie raios a, 2a e 4a. Entre os condutores inte
de ε1 = εo, e entre os condutores centralε2 = 2εo.
41
s é constituída por 3= permissividade do
e C3) e a capacitância
V2;e E3;, D2 e D3.
epresenta a metade deas suas extremidades
o campo elétrico ( E )
o sobre y = 0)
s interno e externo de
s condutores.
is, todos de espessurano e central existe ume externo existe um
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CONCEITOS TEÓRICOS E ECCaappí í ttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORR
a) Determinar os valores db) Se uma tensão V é apli
que surgirão entre osexterno (V2), ambas to
Respostas: a) 2ln
L2C o1
πε=
b) V1 = 66,67%
5.12) A figura mostra uma conc(condutividade σ = 4 S/mficando a metade mergulhaa) Determinar a resistênciab) Se uma voltagem V0 = 1
condutores, calcular:• a corrente resultante,
• a densidade de correconcha, supondo fun
• campo elétrico na reg
Respostas: a)
πσ=
a
1
2
1R
b) I = 2,79 A,
5.13) A figura mostra dois bloco
livre, onde na região 3,Determinar:a) εR3 b) εR2 c) 1E
d) a diferença de potencial3.
Respostas: a) εR3 = 1,339;c) 1 a004,8E =
d) V = V 2 + V 3
5.14) Uma esfera de raio a é feiεR constante. A esfera estinterior e exterior da esfera
2
cosEr3V
R
oint
+ε
θ−= e
a) Mostrar que intE é uni
b) Mostrar que oext EE =
c) Mostrar que estes camem r = a.Atenção: Cuidado para não
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s três capacitâncias obtidas com esta configcada entre os condutores interno e externo,ondutores interno e central (V1) e entre oadas em porcentagem de V.
, 2ln
L4C o2
πε= , 2ln3
L4C o3
πε= ;
de V e V2 = 33,33% de V.
ha de metal semi-esférica de raio b = 1 m. Uma bola de metal de raio a = 0,1 m flutuda na água. Pede-se:total entre a bola e a concha.volt for aplicada entre os dois
nte na região entre a bola e aão somente de r,ião entre a bola e a concha.
Ω=
− 358,0
b
1;
r2a
r
444,0J = [A/m2], r2
ar
111,0E = [V/m]
infinitos de dielétricos perfeitos e paralelos
z3 a6E
= V/m e z3 a18P
= pC/m2. S
através das regiões 2 e
b) εR2 = 1,512;[V/m];
0,106 + 0,300 = 0,406 [V]
a de um dielétrico homogêneo com permicentrada na origem no espaço livre. Os c
são expressos, respectivamente, por:
θ+ε
−ε+θ−= cos
2
1
r
EcosErV
R
R2
o3
oexta
forme (isto é, possui módulo constante).
za para r >> a.
pos obedecem a todas as condições de f
esquecer o sinal negativo das expressões aci
42
ração;determinar as tensõescondutores central e
cheia de água do marno centro da concha,
, rodeados pelo espaço
z2 a24P
= pC/m2.
ssividade elétricampos de potencial no
(Eo = constante)
onteira do dielétrico
ma.
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Respostas: a)+ε
=E3
ER
oint
b) (oext cEE =
c) De extE −=
De intE −=
Logo, de D
5.15) Um capacitor coaxial de ra
contém duas camadas dieléoutra na região 2 definidaa) Determinar a capacitâ
b) Determinar Dρ e Eρ = c+ (na região 2 próx
(referência) e V = 100
Respostas: a)CC
CCC
21
21
+=
b) D1 = 107,46
5.16) Dado a ( φρ−= 210J 4 sen
(a) a região do plano x = 0
(b) a região do plano y = 0Atenção: O problema é
Fazer uma figu
Respostas: a) I = 20 mA;
5.17) Sabendo as equações D
isotrópico)a) Demonstrar as seguin
perfeitos: P
P
1R
2R
1t
2t
ε
ε
=
partindo das condições
b) Determinar a constantqual a densidade de flu
Atenção: Empregar soment
Respostas: a) Demonstraç
ERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO SS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA
( )θθ−θ asenacos2 r , portanto
E3E
R
oint
+ε=
) zor aEasenas =θ−θ θ , pois =• cosaa rz
extV∇ e r=a, ( rRR
oext senacos
2
E3E −θε
+ε
=
intV e r=a, ( rR
oint asenacos
2
E3E θ−θ
+ε= θ
2N1 D= ⇒ NN intRext EE ε= e de 1T EE =
io interno a = 2 cm, raio externo b = 4 cm etricas, sendo uma na região 1 definida por a or c < ρ < b com εR2 = 4. Sendo c = 3 cm,cia do capacitor coaxial.
m ρ = c
–
(na região 1 próximo a fronteira cimo a fronteira com a região 1), sabendo-sevolts em ρ = a.
pF55,202pF51,77341,274
51,77341,274=
+
×=
nC/m2, E1 = 6,068 kV/m, D2 = 107,46 nC/
)φρ φ+ a2cos [A/m2], determinar a corrent
, limitada por 0 < y < 2 cm e 0 < z < 1 cm, n
, limitada por 0 < x < 2 cm e 0 < z < 1 cm, nais fácil de resolver em coordenadas cilíndria ilustrativa para facilitar a visualização.
) I = 20 mA.
PEo +ε e ED ε= (para um dielétrico
tes relações para a polarização na frontei
1
1
−
−
e
( )
( )1
1
P
P
1R2R
2R1R
1n
2n
−εε
−εε
= ,de contorno normal 2n1n DD = e tangenci
dielétrica (ou permissividade elétrica relatixo elétrico é quatro vezes a polarização.e as fórmulas dadas acima para resolver os d
o; b) εR = 4/3
43
constante= ;
θ e θ−=• θ senaaz ;
)TN
extext EEa +=θ θ
TN intint EE +=
2 ⇒ TT intext EE =
omprimento L = 1 m,ρ < c com εR1 = 2, e
ede-se:
m a região 2) e em ρ que V = 0 em ρ = b
2, E2 = 3,034 kV/m
que cruza:
a direção xa− ;
a direção ya− .cas.
linear, homogêneo e
ra entre 2 dielétricos
al 2t1t EE = .
va) εR do material no
is itens.
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