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Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Teorema da Amostragem
Carlos Alexandre Mello
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Processamento Digital de Sinais
Aspecto fundamental: Conversão do sinal contínuo em uma sequência
de amostras
Um sinal discreto no tempo
Após o processamento digital, a sequência de saída pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo
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Processamento Digital de Sinais
A sequência x é escrita como: x = {x[n]}, - <n <
n inteiro
Sequência gerada a partir do processo de amostragem
n-ésimo termo: x[n] = xa(nT), - <n <
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Processamento Digital de Sinais
Referimo-nos a um sistema que implementa a operação anterior como um conversor ideal contínuo-para-discreto (C/D) no tempo
Na prática, a operação de amostragem é implementada por um conversor analógico-para-digital (A/D)
Tais sistemas podem ser vistos como aproximações de conversores C/D ideais
Na implementação ou escolha de um conversor A/D deve-se considerar a quantização da saída, linearidade, a necessidade de circuitos sample-and-hold e limitações na taxa de amostragem
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Processamento Digital de Sinais
Circuito sample-and-hold no MatLab
Simulink
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Processamento Digital de Sinais
Circuito sample-and-hold no MatLabEntrada
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Processamento Digital de Sinais
Circuito sample-and-hold no MatLabSaída
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Processamento Digital de Sinais
Circuito sample-and-hold no MatLabSaída
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Processamento Digital de Sinais
Circuito sample-and-hold no MatLabSaída
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Processamento Digital de Sinais
Em geral, a amostragem é um processo não-inversível Ou seja, dada uma sequência x[n], às vezes,
não é possível reconstruir o sinal original xc(t)
Muitos sinais diferentes podem gerar a mesma sequência de amostras de saída
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Processamento Digital de SinaisAmostragem
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Processamento Digital de Sinais
É conveniente representarmos matematicamente o processo de amostragem, dividindo-o em duas partes O processo consiste de um trem de impulsos
seguido de uma conversão desse trem em uma sequência
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Processamento Digital de SinaisAmostragem
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Teorema da Amostragem
Na conversão analógico-digital é necessário colher-se um número discreto de amostras de um sinal contínuo
O problema crucial na amostragem está com o número de amostras/seg que devem ser colhidas
Um número muito pequeno de amostras pode resultar em uma representação demasiadamente pobre do sinal
A análise quantitativa acerca desse problema é estudada pelo Teorema de Shannon-Nyquist
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Teorema da Amostragem
Experimento: Sinal de voz >> [som, Fs] = wavread('a_casa.wav');
>> soundsc(som, Fs)
>> som2 = som(1:2:length(som));
>> soundsc(som2, Fs/2)
>> soundsc(som, Fs/2) %
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Teorema da Amostragem
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Teorema da Amostragem
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Teorema da Amostragem
O teorema estabelece que, sob certas condições, as amostras de um sinal podem conter precisamente toda a informação a ele associada
Isto significa que o sinal pode ser perfeitamente recuperado a partir de amostras colhidas sem nenhuma aproximação
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Teorema de Shannon
Um sinal de banda limitada por fm Hz está
unicamente determinado por amostras, se
são tomadas, pelo menos, 2fm amostras
equidistantes por segundo
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Teorema de ShannonProva
Se as amostras são obtidas a cada Ts segundos, considera-se então um trem de impulsos Ts(t)
A amostragem de um sinal f(t) em intervalos de T segundos será definida por:
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Teorema de ShannonProva
Pares sinal etransformada
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Teorema de ShannonProva
Vamos analisar o espectro do sinal amostrado
O espectro do sinal amostrado fs(t) pode ser determinado com o auxílio do teorema da convolução na frequência:
Segue que:
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Teorema de ShannonProva
Se:
Então, o espectro de fs(t) é dado por:
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Teorema de ShannonProva
E, finalmente:
Este espectro é esboçado para vários valores de ws, isto é, vários valores para o espaçamento Ts
entre amostras
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Teorema de ShannonProva
Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Suponha um sinal banda limitado em wm:
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Teorema de ShannonProva
Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Se:
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Teorema de ShannonProva
Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Se:
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Teorema de ShannonProva
Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Se:
Aliasing
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Teorema de ShannonProva
Recuperação do sinal original - FPB
FPB
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Teorema de ShannonProva
Para recuperação do sinal com um FPB sem distorções, é preciso que: ws 2wm
ou seja 2/Ts 2.2fm Ts 1/(2fm) seg
O limite 1/Ts = 2fm é chamado de taxa de Nyquist
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Teorema de Shannon
Além da preocupação com a taxa de amostragem, deve-se tomar precauções quanto à recuperação do sinal para não provocar distorções: Ganho nas altas frequências
Perda nas baixas frequências
Modulação das frequências do sinal original
Casos híbridos
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Teorema de ShannonProva
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Teorema de ShannonProva
Na digitalização de imagens, podemos observar esses fenômenos: Exemplo: Padrões de Moireé
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Teorema da AmostragemRecuperação do Sinal a Partir de suas Amostras
De acordo com o teorema de Shannon-Nyquist, se Ts ½ fm, então a passagem do sinal amostrado por um filtro passa-baixa ideal recupera exatamente o sinal analógico
Sabendo que: f(t)
F(w)
FPBFunção Sample
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Teorema da AmostragemRecuperação do Sinal a Partir de suas Amostras
Como o sinal é recomposto através das amostras, observa-se que f(t) corresponde à superposição de várias funções sample deslocadas, centradas em 0, T, 2T, ....
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Teorema da Amostragem
Referências: Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim
e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989
Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007
Digital Signal and Image Processing, T.Bose, John Wiley and Sons, 2004
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