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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
CADERNO DE ATIVIDADES
EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE
INFORMÁTICO DE ENSINO
Aguinaldo Borba Pereira
Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2014
Aguinaldo Borba Pereira
CADERNO DE ATIVIDADES
EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE
INFORMÁTICO DE ENSINO
Produto construído após aplicação e análise das atividades da pesquisa apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte 2014
PREFÁCIO
Este caderno de atividades é produto da dissertação de Mestrado em Ensino
de Ciências e Matemática da PUC Minas, intitulada “Triângulos: explorando e
investigando seus elementos e propriedades, auxiliado pela visualização, em um
ambiente informático de ensino” e tem como objetivo geral propor atividades que
possibilitem aos estudantes e professores obterem através de atividades
investigativas generalizações de propriedades do triângulo e que podem ser
estendidos para o estudo da geometria e da matemática em geral, bem como
relembrar alguns conceitos matemáticos básicos, que visam desenvolver habilidades
algébricas e aritméticas fundamentais para o bom andamento do processo de
ensino-aprendizagem.
A elaboração da sequência didática das atividades foi baseada em Dante
(2012), numa abordagem intuitiva e investigativa, desenvolvidas em um ambiente
informático de acordo com o conteúdo abordado.
As atividades fazem uso do software gratuito GeoGebra, voltado para o
desenvolvimento da matemática dinâmica, que aborda a aritmética, a geometria e a
álgebra, possibilitando a realização de cálculos matemáticos, numéricos ou
simbólicos, possibilita ainda manipular diferentes representações de expressões
algébricas, derivar e integrar funções, visualizar diversos tipos de gráficos, além de
outras funcionalidades, sendo um software de fácil utilização e interface amigável.
Foram seis atividades em sequência didática, especialmente preparadas e
aplicadas a estudantes do 3º ano do ensino médio de uma instituição da rede
particular de ensino de Três Corações, Minas Gerais, durante a pesquisa de
mestrado. Estas atividades contemplam os seguintes assuntos: Conservação da
área do triângulo, retas paralelas, retas perpendiculares, soma dos ângulos internos
do triângulo, feixe de paralelas cortadas por transversais e outros conceitos de
geometria. Estes tópicos geralmente encontram-se intercalados com capítulos de
aritmética e álgebra nos livros.
Após a aplicação, análise, discussão das atividades com os alunos
participantes, algumas revisões e adaptações; estas atividades foram organizadas
para compor este caderno de atividades.
Os autores.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 5
1.1. APRESENTAÇÃO ........................................................................................ 5
1.2. INTERESSE PELO TEMA ............................................................................ 6
2. O GEOGEBRA .................................................................................................... 7
3. ATIVIDADES ..................................................................................................... 11
3.1. CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO ........................................... 12
3.2. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO ............................... 14
3.3. COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA ............................................................ 18
3.4. O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES ............................................. 20
3.5. O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES ........................................ 23
3.6. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO .................................. 26
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 28
5
INTRODUÇÃO
1.1. APRESENTAÇÃO
O tema deste projeto de pesquisa é o ensino e aprendizagem de triângulos,
com ênfase na exploração e investigação de seus elementos e propriedades, com
auxílio da visualização, em um ambiente informatizado de ensino.
As ideias iniciais do tema deste projeto de pesquisa ocorreram em 2010, no
momento em que o professor/pesquisador ministrava o conteúdo referente a
triângulos nas turmas do ensino fundamental e médio, em uma instituição particular
em Três Corações, Sul de Minas Gerais. As dificuldades encontradas pelos alunos
em assimilar os conceitos e os cálculos envolvendo Geometria, em geral, foram
percebidas desde o primeiro momento e isto impulsionou o desejo de saber quais
eram as causas e tentar uma nova estratégia de ensino.
Estas dificuldades para um “matemático”, ou melhor, para um “educador
matemático” era objeto de angústia e preocupações. Há uma grande diferença em
ser “matemático” e “educador matemático”, assinalam Fiorentini e Lorenzato (2009):
“O matemático, por exemplo, tende a conceber a matemática como um fim em si mesma, e, quando requerido a atuar na formação de professores de matemática, tende a promover uma educação para a matemática, priorizando os conteúdos formais e uma prática voltada à formação de novos pesquisadores em matemática.
O educador matemático, em contrapartida, tende a conceber a matemática como um meio ou instrumento importante à formação intelectual e social de crianças, jovens e adultos e também do professor de matemática do ensino fundamental e médio e, por isso, tenta promover uma educação pela matemática.”
Lorenzato (1995) verificou que o ensino de Geometria, em comparação a
outros conteúdos da Matemática, estava praticamente extinto na maioria das
escolas. Em 2002, quando o professor/pesquisador começou a lecionar, observou
também que a disciplina Desenho Geométrico já não existia mais nas escolas
públicas e, entre as escolas particulares, eram poucas que ainda adotavam a
disciplina. O pesquisador acredita que isso possa ter alavancado ainda mais a
6
defasagem do pensamento geométrico, consequentemente afetando o estudo dos
triângulos.
1.2. INTERESSE PELO TEMA
A escolha de enfatizar a exploração e investigação dos elementos e
propriedades dos triângulos, em um ambiente informatizado de ensino, ocorreu em
virtude de estar em meio a um crescimento absurdo da tecnologia informática e a
mesma ser reconhecida como útil ao meio acadêmico. A expectativa inicial é que a
tecnologia informática seja uma aliada no processo de ensino-aprendizagem dos
alunos tornando-o mais dinâmico e atrativo.
O professor/pesquisador sempre foi adepto dos computadores e atento às
possibilidades criadas por eles. O primeiro computador adquirido pelo pesquisador
foi em 2002 e, com ele, o mesmo visualizava enormes oportunidades para
implementar recursos didáticos em sala de aula, mas a realidade profissional e a
estrutura escolar não favoreciam muito. Hoje, a inclusão digital atingiu todas as
classes e explorar esta ferramenta torna-se quase que obrigatória. Existem vários
softwares facilitadores da aprendizagem, o professor e toda organização escolar
devem acompanhar este processo de evolução do ensino, e ir além.
O triângulo é uma figura geométrica muito difundida e utilizada em diversas
áreas do conhecimento, mesmo em áreas em que a matemática é uma referência
distante. Em todas essas áreas, a visualização, as propriedades e pontos notáveis
do triângulo podem ser exibidos e explorados em modernos softwares disponíveis e
sem custo.
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2. O GEOGEBRA
O que é o GeoGebra?
Para responder a essa pergunta o professor/pesquisador buscou o site dos
seus desenvolvedores: www.geogebra.org.
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito e
multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra,
tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema.
Dizemos que é um software de matemática dinâmica, pois ele transcende a
geometria sendo útil em diversas áreas da matemática. É um software bastante
premiado e sua versão em 3D está em desenvolvimento e possui apenas a versão
Beta.
Hoje o software se encontra na versão 4.4 e em constante desenvolvimento
através de grupos on-line de discussão e aprimoramento. Nestes grupos há também
demonstrações que podem ser baixadas para serem trabalhadas em sala de aula.
O software é constituído basicamente por três áreas: campo de entrada,
janela de álgebra e janela de visualização. Estas áreas possibilitam a construção de
aulas, resolução de problemas, testes de hipóteses e principalmente para um
trabalho investigativo de verificação de propriedades e teoremas da geometria, da
álgebra e até mesmo da estatística.
Para ter acesso ao manual completo do software GeoGebra visite o link:
http://wiki.geogebra.org/pt/Manual:P%C3%A1gina_Principal
Para a presente atividade, utilizou-se itens das telas do GeoGebra pertinentes
ao trabalho proposto, conforme a seguir.
A janela de visualização é onde fica registrado geometricamente todo
comando inserido no campo de entrada e/ou inserido diretamente através da
seleção de um ícone na barra de ferramentas acima da janela.
8
Figura 1 – Janela de Visualização do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
O campo de entrada é o local onde o comando é descrito, e este comando é
representado simultaneamente na janela de álgebra e na janela de visualização. Por
exemplo, para se representar um ponto A localizado na coordenada A=(2,3),
inserimos no campo de entrada A=(2,3) ou A:ponto(2,3).
Figura 2 - Campo de entrada do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
9
Este ponto pode ainda ser inserido diretamente na janela de visualização.
Para isso, é necessário acionar o ícone referente à “Novo Ponto”, porém, este ponto
pode ficar impreciso por estar sendo marcado “a mão livre”.
Figura 3 – Barra de Ícones do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
A janela de álgebra indica tudo que é feito na janela de visualização, portanto,
caso queira editar alguma informação basta acionar o item diretamente na caixa de
álgebra e alterá-lo com a precisão desejada.
Figura 4 - Janela de álgebra do software GeoGebra
Fonte: Elaborada pelo autor
10
É com o auxílio desta ferramenta que se pretende melhorar o processo de
ensino-aprendizagem dos alunos em geometria. Para isso, primeiramente o aluno
deverá passar por uma ambientação do software a fim de dominar os comandos
básicos para que possam desenvolver a atividade de forma satisfatória e a
ferramenta do software seja um facilitador e não um problema a mais neste
processo.
A ferramenta é bastante simples e intuitiva, mas com um número de
comandos bastante extenso. Claro que há áreas mais complexas no software, mas
não é objetivo desta pesquisa abordar esta complexidade e sim verificar se o
GeoGebra pode auxiliar no ensino de apenas um tópico da geometria, triângulos.
11
3. ATIVIDADES
As atividades que compõe este caderno foram propostas com caráter
investigativo em trabalho de mestrado desenvolvido na PUC-Minas, campus
Coração Eucarístico.
Neste capítulo são apresentadas as atividades aplicadas com a proposta de
colaborar com professores e alunos para a inserção do software GeoGebra no
cotidiano escolar e assim propiciar uma generalização dos conceitos através do
dinamismo que o mesmo pode proporcionar. As atividades foram escolhidas
utilizando conceitos básicos da geometria aplicados a triângulos.
A ideia é que o ambiente informático possa ser um aliado no processo de
ensino-aprendizado preenchendo lacunas que possam ocorrer no ensino
convencional, através de uma proposta planejada que possibilitaria aos alunos
transcenderem seus conhecimentos.
Num primeiro momento, é necessário que os alunos conheçam o software de
geometria dinâmica, GeoGebra, que é utilizado na aplicação das atividades. Assim
torna-se necessário a orientação para baixar e instalar corretamente o software seja
em um laboratório de informática, em computadores de casa, tablets e/ou
notebooks.
É de extrema importância que se faça a ambientação dos alunos com o
software para o desenvolvimento de qualquer atividade utilizando o mesmo. Isso
fará com que ele seja um facilitador da aprendizagem e não um problema.
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3.1. CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO
A área de um triângulo qualquer é calculada pela metade do produto da
medida segmento da base pela medida do segmento da altura. O objetivo específico
desta atividade é fazer com que os alunos observem que em um triângulo qualquer
definindo um dos lados como base ao deslocar o vértice oposto à base por uma reta
paralela à base a área do triângulo permanece o mesmo valor, não importando a
sua forma.
Atividade 01
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Conservação da área, reta paralela.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano dois pontos, A e B, com coordenadas inteiras, em um mesmo
alinhamento horizontal.
b) Marque um ponto C, com coordenadas inteiras, não colinear aos pontos A e B.
c) Construa um triângulo ABC, utilizando o recurso polígono do software
GeoGebra.
13
Figura 51 – Exemplo da definição de três pontos
Fonte: Elaborada pelo autor
d) Utilizando os recursos do Geogebra determine a área do triângulo.
Dica: Explore aqui as diferentes representações semióticas, faça com que o
aluno utilize a fórmula do cálculo da área do triângulo para verificação do resultado.
Figura 62 – Determinação da área do triângulo
Fonte: Elaborada pelo autor
14
e) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento AB
passando por C.
f) Selecione o ponto C e desloque para direita e para esquerda. O que pode ser
dito em relação à área do triângulo? Explique porque isso ocorre?
Fonte: Elaborada pelo autor
3.2. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO
Uma das propriedades mais conhecidas envolvendo triângulos é que a soma
dos ângulos internos de um triângulo é igual a 360º. Há muitas formas de mostrar e
demonstrar esta propriedade, dobraduras, recortes e desenvolvimento algébrico são
Figura 73 – Deslocamento horizontal do ponto C mantendo a base AB
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alguns exemplos. A ideia aqui é obter a propriedade através da generalização
fazendo o uso do recurso computacional.
Na atividade são abordadas ainda as propriedades das retas paralelas
cortadas por transversais. Ângulos correspondentes, alternos internos, opostos pelo
vértice podem ser observados.
Atividade 02
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado:
Soma dos ângulos internos, retas paralelas, retas transversais, ângulos
correspondentes e opostos pelo vértice.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano, três pontos quaisquer, A, B e C, e em seguida construa um
triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software GeoGebra.
b) Utilizando o recurso reta paralela do software GeoGebra, determine a reta
paralela ao segmento AB passando por C.
c) Construa a com o recurso semirreta do software GeoGebra, a semirreta com
origem em A, passando por C.
d) Utilizando o recurso ângulo do software GeoGebra, meça o ângulo interno A
do triângulo ABC e o ângulo formado pela reta paralela e a semirreta, nessa
ordem. O que pode ser dito em relação à medida desses ângulos? Que é dado a
esses ângulos?
16
Figura 84 – Exemplo do item d, atividade 2
Fonte: Elaborada pelo autor
e) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que podemos observar em relação
aos ângulos? Registre todas as suas observações.
f) Construa a semirreta com origem em B, passando por C.
g) Utilizando os recursos do GeoGebra meça o ângulo interno C do triângulo ABC e
o ângulo formado pelas duas semirretas. O que pode ser dito em relação à
medida desses ângulos? Que nome é dado a esses ângulos?
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Figura 95 – Exemplo dos itens f e g, atividade 2
Fonte: Elaborada pelo autor
h) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação aos
ângulos? Registre todas as suas observações.
Figura 60 - Soma dos ângulos internos do triângulo
Fonte: Elaborada pelo autor
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i) O que pode ser concluído em relação à soma dos ângulos internos de um
triângulo, com base nas conclusões anteriores?
j) O que se pode dizer em relação ao ângulo externo do vértice B?
3.3. COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA
Esta atividade tem como objetivo explorar conceitos como ponto médio,
ângulos, segmentos paralelos e proporção. Nela, há pretensão ainda explorar a
semelhança de triângulos além do teorema de Tales. O GeoGebra possibilita a
inserção de imagens em sua janela de visualização, este é um recurso que pode
ajudar alunos e professores na resolução de diversas situações problema.
Atividade 03
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Base média, segmentos paralelos, módulo do segmento, ponto médio,
proporção.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
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a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C;
b) Construa o triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software
GeoGebra;
c) Determine utilizando o recurso ponto médio ou centro do software GeoGebra,
os pontos médios dos lados AC e BC, nomeie esses como D e E,
respectivamente, e construa o segmento DE;
d) O que pode observado em relação ao segmento obtido, comparando-o com os
segmentos inicialmente construídos? Use os recursos do Geogebra para medir,
por exemplo, ângulos e comprimentos, para auxiliar nas conclusões;
Observação: Esta conclusão pode ser prejudicada pelo número de casas decimais
com o qual o software está configurado. Pode-se aumentar o número de casas
decimais em: opções → arredondamento ou elaborar uma atividade mais dirigida de
modo a tornar mais evidente as conclusões desejadas.
Figura 11 – Exemplo do item d, atividade 3
Fonte: Elaborada pelo autor
20
e) O que acontece se modificarmos o triângulo construído inicialmente? Mova um
dos vértices e registre suas observações;
3.4. O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES
A atividade aborda conceitos como ponto médio, mediana e permite
demonstrar através do conceito de área porque o ponto G (baricentro) é o centro de
gravidade de qualquer triângulo. Utilizando o software é possível modificar a forma
do triângulo e assim observar que há uma equivalência na área dos triângulos
menores formados pelas medianas do triângulo maior.
Atividade 04
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Medianas, módulo de segmentos, ponto médio, proporção, lugar geométrico,
baricentro.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C; em
seguida construa o triângulo ABC com recursos do GeoGebra;
b) Determine os pontos D, E e F, que são os pontos médios dos lados AB, AC e
BC, respectivamente, do triângulo ABC;
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c) Determine os segmentos que representam as medianas do triângulo ABC. O que
se pode dizer em relação às medianas do triângulo ABC? Registre todas as suas
observações.
d) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que é possível observar em relação
ao item anterior? Registre.
e) Meça os segmentos formados sobre as medianas. O que se pode dizer sobre as
medidas encontradas? Registre todas as suas observações.
f) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação a essas
medidas? Registre todas as suas observações.
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g) As medianas dividem o triângulo ABC em 6 triângulos menores. Determine a
área de cada um desses triângulos. O que se pode dizer em relação à medida
dessas áreas? Explique porque isto ocorre.
Figura 12 – Baricentro e suas propriedades
Fonte: Elaborada pelo autor
h) Selecione o ponto de encontro das medianas, habilite o recurso do Geogebra
chamado “rastro”, em seguida mova um dos vértices do triângulo na horizontal ou
na vertical. Qual a trajetória do ponto selecionado?
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Figura 13 – Ilustração do item h, atividade 4, rastro
Fonte: Elaborada pelo autor
3.5. O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES
A atividade visa permitir a verificação de que um ponto qualquer da mediatriz
é o lugar geométrico equidistante de dois pontos fixos. Ela visa também observar
que, a partir do momento que são traçadas as mediatrizes referentes aos lados de
um triângulo qualquer, existe um único ponto comum (circuncentro) entre essas
retas e que por ele é possível traçar uma circunferência circunscrita ao triângulo.
Atividade 05
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Reta perpendicular, mediatriz do lado do triângulo, circunferência
circunscrita.
24
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C;
b) Construa o triângulo ABC;
c) Determine o ponto médio de cada um dos lados do triângulo ABC.
d) Construa utilizando o recurso reta perpendicular do software GeoGebra, uma
reta perpendicular a cada um dos lados passando pelo seu ponto médio. O que
se pode dizer em relação às retas perpendiculares traçadas? Registre todas as
suas observações. Como podemos chamar as retas perpendiculares?
e) Marque o ponto de encontro entre as retas perpendiculares.
f) Meça utilizando os recursos do GeoGebra, a distância deste ponto a cada vértice
do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação às medidas determinadas?
Registre suas observações.
g) Mova um dos vértices do triângulo, o que se pode observar em relação ao item
anterior? Registre suas observações.
h) Construa uma circunferência com centro no ponto de intersecção das retas
perpendiculares e extremidade em um dos vértices do triângulo ABC. O que se
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pode observar em relação a essa circunferência? Como se chama este ponto de
intersecção? Registre suas observações.
i) Mova um dos vértices do triângulo. O que se pode observar em relação ao item
anterior? Registre suas observações.
Figura 14 – Exemplo da atividade 5
Fonte: Elaborada pelo autor
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3.6. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO
Esta atividade consiste em verificar a desigualdade triangular. Ela busca fazer
com que os alunos consigam observar que a existência de um triângulo está
condicionada a soma da medida dos seus dois menores lados ser maior que a
medida do seu maior lado. A atividade é bastante complexa, pode haver dificuldade
em observar que ao ocorrer o cruzamento das circunferências ocorre ali a
determinação de um ponto que possibilita a formação de um triângulo.
Atividade 06
Objetivo
Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista
geométrico.
Conteúdo explorado
Condição de existência de um triângulo.
Ambiente virtual
Geogebra – Software de geometria dinâmica
a) Construa um segmento de reta com 15 cm de comprimento.
b) Com centro em uma das extremidades construa uma circunferência com raio
igual a 7 cm.
c) Com centro na outra extremidade construa circunferências com raios: 5 cm, 6
cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm.
d) Marque os pontos de intersecção entre as circunferências registrando as suas
observações.
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e) Estabeleça uma condição necessária para que exista ponto de intersecção
entre as circunferências.
f) Que figura é formada ligando as extremidades do segmento com o ponto de
intersecção?
Dica: Deixar claro que existe um limitante inferior e um limitante superior para que
tenha a formação de triângulos dados duas medidas.
Figura 157 – Exemplo da atividade 6
Fonte: Elaborada pelo autor
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REFERÊNCIAS
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semiótica. Campinas: Papirus.
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Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: Ministério da
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DUVAL, R. (2009). Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e
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EVES, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, 1997.
FIORENTINI, Dario. Investigação em educação matemática: percursos teóricos
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Autores Associados, 2009.
29
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KILPATRICK, J.; RICO, L.; GÓMEZ, P. (Eds.). Educación Matemática. México:
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LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria? A Educação Matemática
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NÉRI, Izaias Cordeiro. O que é Geometria Dinâmica. Disponível em:
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POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
FERREIRA, Márcia Santos. Os Centros de Pesquisas Educacionais do INEP e os
estudos em ciências sociais sobre a educação no Brasil. Revista Brasileira de
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