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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática

CADERNO DE ATIVIDADES

EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE

INFORMÁTICO DE ENSINO

Aguinaldo Borba Pereira

Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte

2014

Aguinaldo Borba Pereira

CADERNO DE ATIVIDADES

EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE

INFORMÁTICO DE ENSINO

Produto construído após aplicação e análise das atividades da pesquisa apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte 2014

PREFÁCIO

Este caderno de atividades é produto da dissertação de Mestrado em Ensino

de Ciências e Matemática da PUC Minas, intitulada “Triângulos: explorando e

investigando seus elementos e propriedades, auxiliado pela visualização, em um

ambiente informático de ensino” e tem como objetivo geral propor atividades que

possibilitem aos estudantes e professores obterem através de atividades

investigativas generalizações de propriedades do triângulo e que podem ser

estendidos para o estudo da geometria e da matemática em geral, bem como

relembrar alguns conceitos matemáticos básicos, que visam desenvolver habilidades

algébricas e aritméticas fundamentais para o bom andamento do processo de

ensino-aprendizagem.

A elaboração da sequência didática das atividades foi baseada em Dante

(2012), numa abordagem intuitiva e investigativa, desenvolvidas em um ambiente

informático de acordo com o conteúdo abordado.

As atividades fazem uso do software gratuito GeoGebra, voltado para o

desenvolvimento da matemática dinâmica, que aborda a aritmética, a geometria e a

álgebra, possibilitando a realização de cálculos matemáticos, numéricos ou

simbólicos, possibilita ainda manipular diferentes representações de expressões

algébricas, derivar e integrar funções, visualizar diversos tipos de gráficos, além de

outras funcionalidades, sendo um software de fácil utilização e interface amigável.

Foram seis atividades em sequência didática, especialmente preparadas e

aplicadas a estudantes do 3º ano do ensino médio de uma instituição da rede

particular de ensino de Três Corações, Minas Gerais, durante a pesquisa de

mestrado. Estas atividades contemplam os seguintes assuntos: Conservação da

área do triângulo, retas paralelas, retas perpendiculares, soma dos ângulos internos

do triângulo, feixe de paralelas cortadas por transversais e outros conceitos de

geometria. Estes tópicos geralmente encontram-se intercalados com capítulos de

aritmética e álgebra nos livros.

Após a aplicação, análise, discussão das atividades com os alunos

participantes, algumas revisões e adaptações; estas atividades foram organizadas

para compor este caderno de atividades.

Os autores.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 5

1.1. APRESENTAÇÃO ........................................................................................ 5

1.2. INTERESSE PELO TEMA ............................................................................ 6

2. O GEOGEBRA .................................................................................................... 7

3. ATIVIDADES ..................................................................................................... 11

3.1. CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO ........................................... 12

3.2. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO ............................... 14

3.3. COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA ............................................................ 18

3.4. O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES ............................................. 20

3.5. O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES ........................................ 23

3.6. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO .................................. 26

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 28

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INTRODUÇÃO

1.1. APRESENTAÇÃO

O tema deste projeto de pesquisa é o ensino e aprendizagem de triângulos,

com ênfase na exploração e investigação de seus elementos e propriedades, com

auxílio da visualização, em um ambiente informatizado de ensino.

As ideias iniciais do tema deste projeto de pesquisa ocorreram em 2010, no

momento em que o professor/pesquisador ministrava o conteúdo referente a

triângulos nas turmas do ensino fundamental e médio, em uma instituição particular

em Três Corações, Sul de Minas Gerais. As dificuldades encontradas pelos alunos

em assimilar os conceitos e os cálculos envolvendo Geometria, em geral, foram

percebidas desde o primeiro momento e isto impulsionou o desejo de saber quais

eram as causas e tentar uma nova estratégia de ensino.

Estas dificuldades para um “matemático”, ou melhor, para um “educador

matemático” era objeto de angústia e preocupações. Há uma grande diferença em

ser “matemático” e “educador matemático”, assinalam Fiorentini e Lorenzato (2009):

“O matemático, por exemplo, tende a conceber a matemática como um fim em si mesma, e, quando requerido a atuar na formação de professores de matemática, tende a promover uma educação para a matemática, priorizando os conteúdos formais e uma prática voltada à formação de novos pesquisadores em matemática.

O educador matemático, em contrapartida, tende a conceber a matemática como um meio ou instrumento importante à formação intelectual e social de crianças, jovens e adultos e também do professor de matemática do ensino fundamental e médio e, por isso, tenta promover uma educação pela matemática.”

Lorenzato (1995) verificou que o ensino de Geometria, em comparação a

outros conteúdos da Matemática, estava praticamente extinto na maioria das

escolas. Em 2002, quando o professor/pesquisador começou a lecionar, observou

também que a disciplina Desenho Geométrico já não existia mais nas escolas

públicas e, entre as escolas particulares, eram poucas que ainda adotavam a

disciplina. O pesquisador acredita que isso possa ter alavancado ainda mais a

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defasagem do pensamento geométrico, consequentemente afetando o estudo dos

triângulos.

1.2. INTERESSE PELO TEMA

A escolha de enfatizar a exploração e investigação dos elementos e

propriedades dos triângulos, em um ambiente informatizado de ensino, ocorreu em

virtude de estar em meio a um crescimento absurdo da tecnologia informática e a

mesma ser reconhecida como útil ao meio acadêmico. A expectativa inicial é que a

tecnologia informática seja uma aliada no processo de ensino-aprendizagem dos

alunos tornando-o mais dinâmico e atrativo.

O professor/pesquisador sempre foi adepto dos computadores e atento às

possibilidades criadas por eles. O primeiro computador adquirido pelo pesquisador

foi em 2002 e, com ele, o mesmo visualizava enormes oportunidades para

implementar recursos didáticos em sala de aula, mas a realidade profissional e a

estrutura escolar não favoreciam muito. Hoje, a inclusão digital atingiu todas as

classes e explorar esta ferramenta torna-se quase que obrigatória. Existem vários

softwares facilitadores da aprendizagem, o professor e toda organização escolar

devem acompanhar este processo de evolução do ensino, e ir além.

O triângulo é uma figura geométrica muito difundida e utilizada em diversas

áreas do conhecimento, mesmo em áreas em que a matemática é uma referência

distante. Em todas essas áreas, a visualização, as propriedades e pontos notáveis

do triângulo podem ser exibidos e explorados em modernos softwares disponíveis e

sem custo.

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2. O GEOGEBRA

O que é o GeoGebra?

Para responder a essa pergunta o professor/pesquisador buscou o site dos

seus desenvolvedores: www.geogebra.org.

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito e

multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra,

tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema.

Dizemos que é um software de matemática dinâmica, pois ele transcende a

geometria sendo útil em diversas áreas da matemática. É um software bastante

premiado e sua versão em 3D está em desenvolvimento e possui apenas a versão

Beta.

Hoje o software se encontra na versão 4.4 e em constante desenvolvimento

através de grupos on-line de discussão e aprimoramento. Nestes grupos há também

demonstrações que podem ser baixadas para serem trabalhadas em sala de aula.

O software é constituído basicamente por três áreas: campo de entrada,

janela de álgebra e janela de visualização. Estas áreas possibilitam a construção de

aulas, resolução de problemas, testes de hipóteses e principalmente para um

trabalho investigativo de verificação de propriedades e teoremas da geometria, da

álgebra e até mesmo da estatística.

Para ter acesso ao manual completo do software GeoGebra visite o link:

http://wiki.geogebra.org/pt/Manual:P%C3%A1gina_Principal

Para a presente atividade, utilizou-se itens das telas do GeoGebra pertinentes

ao trabalho proposto, conforme a seguir.

A janela de visualização é onde fica registrado geometricamente todo

comando inserido no campo de entrada e/ou inserido diretamente através da

seleção de um ícone na barra de ferramentas acima da janela.

http://www.geogebra.org/

http://wiki.geogebra.org/pt/Manual:P%C3%A1gina_Principal

8

Figura 1 – Janela de Visualização do software GeoGebra

Fonte: Elaborada pelo autor

O campo de entrada é o local onde o comando é descrito, e este comando é

representado simultaneamente na janela de álgebra e na janela de visualização. Por

exemplo, para se representar um ponto A localizado na coordenada A=(2,3),

inserimos no campo de entrada A=(2,3) ou A:ponto(2,3).

Figura 2 - Campo de entrada do software GeoGebra


9

Este ponto pode ainda ser inserido diretamente na janela de visualização.

Para isso, é necessário acionar o ícone referente à “Novo Ponto”, porém, este ponto

pode ficar impreciso por estar sendo marcado “a mão livre”.

Figura 3 – Barra de Ícones do software GeoGebra


A janela de álgebra indica tudo que é feito na janela de visualização, portanto,

caso queira editar alguma informação basta acionar o item diretamente na caixa de

álgebra e alterá-lo com a precisão desejada.

Figura 4 - Janela de álgebra do software GeoGebra


10

É com o auxílio desta ferramenta que se pretende melhorar o processo de

ensino-aprendizagem dos alunos em geometria. Para isso, primeiramente o aluno

deverá passar por uma ambientação do software a fim de dominar os comandos

básicos para que possam desenvolver a atividade de forma satisfatória e a

ferramenta do software seja um facilitador e não um problema a mais neste

processo.

A ferramenta é bastante simples e intuitiva, mas com um número de

comandos bastante extenso. Claro que há áreas mais complexas no software, mas

não é objetivo desta pesquisa abordar esta complexidade e sim verificar se o

GeoGebra pode auxiliar no ensino de apenas um tópico da geometria, triângulos.

11

3. ATIVIDADES

As atividades que compõe este caderno foram propostas com caráter

investigativo em trabalho de mestrado desenvolvido na PUC-Minas, campus

Coração Eucarístico.

Neste capítulo são apresentadas as atividades aplicadas com a proposta de

colaborar com professores e alunos para a inserção do software GeoGebra no

cotidiano escolar e assim propiciar uma generalização dos conceitos através do

dinamismo que o mesmo pode proporcionar. As atividades foram escolhidas

utilizando conceitos básicos da geometria aplicados a triângulos.

A ideia é que o ambiente informático possa ser um aliado no processo de

ensino-aprendizado preenchendo lacunas que possam ocorrer no ensino

convencional, através de uma proposta planejada que possibilitaria aos alunos

transcenderem seus conhecimentos.

Num primeiro momento, é necessário que os alunos conheçam o software de

geometria dinâmica, GeoGebra, que é utilizado na aplicação das atividades. Assim

torna-se necessário a orientação para baixar e instalar corretamente o software seja

em um laboratório de informática, em computadores de casa, tablets e/ou

notebooks.

É de extrema importância que se faça a ambientação dos alunos com o

software para o desenvolvimento de qualquer atividade utilizando o mesmo. Isso

fará com que ele seja um facilitador da aprendizagem e não um problema.

12

3.1. CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO

A área de um triângulo qualquer é calculada pela metade do produto da

medida segmento da base pela medida do segmento da altura. O objetivo específico

desta atividade é fazer com que os alunos observem que em um triângulo qualquer

definindo um dos lados como base ao deslocar o vértice oposto à base por uma reta

paralela à base a área do triângulo permanece o mesmo valor, não importando a

sua forma.

Atividade 01

Objetivo

Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista

geométrico.

Conteúdo explorado

Conservação da área, reta paralela.

Ambiente virtual

Geogebra – Software de geometria dinâmica

a) Marque no plano dois pontos, A e B, com coordenadas inteiras, em um mesmo

alinhamento horizontal.

b) Marque um ponto C, com coordenadas inteiras, não colinear aos pontos A e B.

c) Construa um triângulo ABC, utilizando o recurso polígono do software

GeoGebra.

13

Figura 51 – Exemplo da definição de três pontos


d) Utilizando os recursos do Geogebra determine a área do triângulo.

Dica: Explore aqui as diferentes representações semióticas, faça com que o

aluno utilize a fórmula do cálculo da área do triângulo para verificação do resultado.

Figura 62 – Determinação da área do triângulo


14

e) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento AB

passando por C.

f) Selecione o ponto C e desloque para direita e para esquerda. O que pode ser

dito em relação à área do triângulo? Explique porque isso ocorre?


3.2. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO

Uma das propriedades mais conhecidas envolvendo triângulos é que a soma

dos ângulos internos de um triângulo é igual a 360º. Há muitas formas de mostrar e

demonstrar esta propriedade, dobraduras, recortes e desenvolvimento algébrico são

Figura 73 – Deslocamento horizontal do ponto C mantendo a base AB

15

alguns exemplos. A ideia aqui é obter a propriedade através da generalização

fazendo o uso do recurso computacional.

Na atividade são abordadas ainda as propriedades das retas paralelas

cortadas por transversais. Ângulos correspondentes, alternos internos, opostos pelo

vértice podem ser observados.

Atividade 02

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado:

Soma dos ângulos internos, retas paralelas, retas transversais, ângulos

correspondentes e opostos pelo vértice.

Ambiente virtual


a) Marque no plano, três pontos quaisquer, A, B e C, e em seguida construa um

triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software GeoGebra.

b) Utilizando o recurso reta paralela do software GeoGebra, determine a reta

paralela ao segmento AB passando por C.

c) Construa a com o recurso semirreta do software GeoGebra, a semirreta com

origem em A, passando por C.

d) Utilizando o recurso ângulo do software GeoGebra, meça o ângulo interno A

do triângulo ABC e o ângulo formado pela reta paralela e a semirreta, nessa

ordem. O que pode ser dito em relação à medida desses ângulos? Que é dado a

esses ângulos?

16

Figura 84 – Exemplo do item d, atividade 2


e) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que podemos observar em relação

aos ângulos? Registre todas as suas observações.

f) Construa a semirreta com origem em B, passando por C.

g) Utilizando os recursos do GeoGebra meça o ângulo interno C do triângulo ABC e

o ângulo formado pelas duas semirretas. O que pode ser dito em relação à

medida desses ângulos? Que nome é dado a esses ângulos?

17

Figura 95 – Exemplo dos itens f e g, atividade 2


h) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação aos

ângulos? Registre todas as suas observações.

Figura 60 - Soma dos ângulos internos do triângulo


18

i) O que pode ser concluído em relação à soma dos ângulos internos de um

triângulo, com base nas conclusões anteriores?

j) O que se pode dizer em relação ao ângulo externo do vértice B?

3.3. COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA

Esta atividade tem como objetivo explorar conceitos como ponto médio,

ângulos, segmentos paralelos e proporção. Nela, há pretensão ainda explorar a

semelhança de triângulos além do teorema de Tales. O GeoGebra possibilita a

inserção de imagens em sua janela de visualização, este é um recurso que pode

ajudar alunos e professores na resolução de diversas situações problema.

Atividade 03

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Base média, segmentos paralelos, módulo do segmento, ponto médio,

proporção.

Ambiente virtual


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a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C;

b) Construa o triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software

GeoGebra;

c) Determine utilizando o recurso ponto médio ou centro do software GeoGebra,

os pontos médios dos lados AC e BC, nomeie esses como D e E,

respectivamente, e construa o segmento DE;

d) O que pode observado em relação ao segmento obtido, comparando-o com os

segmentos inicialmente construídos? Use os recursos do Geogebra para medir,

por exemplo, ângulos e comprimentos, para auxiliar nas conclusões;

Observação: Esta conclusão pode ser prejudicada pelo número de casas decimais

com o qual o software está configurado. Pode-se aumentar o número de casas

decimais em: opções → arredondamento ou elaborar uma atividade mais dirigida de

modo a tornar mais evidente as conclusões desejadas.

Figura 11 – Exemplo do item d, atividade 3


20

e) O que acontece se modificarmos o triângulo construído inicialmente? Mova um

dos vértices e registre suas observações;

3.4. O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES

A atividade aborda conceitos como ponto médio, mediana e permite

demonstrar através do conceito de área porque o ponto G (baricentro) é o centro de

gravidade de qualquer triângulo. Utilizando o software é possível modificar a forma

do triângulo e assim observar que há uma equivalência na área dos triângulos

menores formados pelas medianas do triângulo maior.

Atividade 04

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Medianas, módulo de segmentos, ponto médio, proporção, lugar geométrico,

baricentro.

Ambiente virtual


a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C; em

seguida construa o triângulo ABC com recursos do GeoGebra;

b) Determine os pontos D, E e F, que são os pontos médios dos lados AB, AC e

BC, respectivamente, do triângulo ABC;

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c) Determine os segmentos que representam as medianas do triângulo ABC. O que

se pode dizer em relação às medianas do triângulo ABC? Registre todas as suas

observações.

d) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que é possível observar em relação

ao item anterior? Registre.

e) Meça os segmentos formados sobre as medianas. O que se pode dizer sobre as

medidas encontradas? Registre todas as suas observações.

f) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação a essas

medidas? Registre todas as suas observações.

22

g) As medianas dividem o triângulo ABC em 6 triângulos menores. Determine a

área de cada um desses triângulos. O que se pode dizer em relação à medida

dessas áreas? Explique porque isto ocorre.

Figura 12 – Baricentro e suas propriedades


h) Selecione o ponto de encontro das medianas, habilite o recurso do Geogebra

chamado “rastro”, em seguida mova um dos vértices do triângulo na horizontal ou

na vertical. Qual a trajetória do ponto selecionado?

23

Figura 13 – Ilustração do item h, atividade 4, rastro


3.5. O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES

A atividade visa permitir a verificação de que um ponto qualquer da mediatriz

é o lugar geométrico equidistante de dois pontos fixos. Ela visa também observar

que, a partir do momento que são traçadas as mediatrizes referentes aos lados de

um triângulo qualquer, existe um único ponto comum (circuncentro) entre essas

retas e que por ele é possível traçar uma circunferência circunscrita ao triângulo.

Atividade 05

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Reta perpendicular, mediatriz do lado do triângulo, circunferência

circunscrita.

24

Ambiente virtual


a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C;

b) Construa o triângulo ABC;

c) Determine o ponto médio de cada um dos lados do triângulo ABC.

d) Construa utilizando o recurso reta perpendicular do software GeoGebra, uma

reta perpendicular a cada um dos lados passando pelo seu ponto médio. O que

se pode dizer em relação às retas perpendiculares traçadas? Registre todas as

suas observações. Como podemos chamar as retas perpendiculares?

e) Marque o ponto de encontro entre as retas perpendiculares.

f) Meça utilizando os recursos do GeoGebra, a distância deste ponto a cada vértice

do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação às medidas determinadas?

Registre suas observações.

g) Mova um dos vértices do triângulo, o que se pode observar em relação ao item

anterior? Registre suas observações.

h) Construa uma circunferência com centro no ponto de intersecção das retas

perpendiculares e extremidade em um dos vértices do triângulo ABC. O que se

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pode observar em relação a essa circunferência? Como se chama este ponto de

intersecção? Registre suas observações.

i) Mova um dos vértices do triângulo. O que se pode observar em relação ao item

anterior? Registre suas observações.

Figura 14 – Exemplo da atividade 5


26

3.6. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

Esta atividade consiste em verificar a desigualdade triangular. Ela busca fazer

com que os alunos consigam observar que a existência de um triângulo está

condicionada a soma da medida dos seus dois menores lados ser maior que a

medida do seu maior lado. A atividade é bastante complexa, pode haver dificuldade

em observar que ao ocorrer o cruzamento das circunferências ocorre ali a

determinação de um ponto que possibilita a formação de um triângulo.

Atividade 06

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Condição de existência de um triângulo.

Ambiente virtual


a) Construa um segmento de reta com 15 cm de comprimento.

b) Com centro em uma das extremidades construa uma circunferência com raio

igual a 7 cm.

c) Com centro na outra extremidade construa circunferências com raios: 5 cm, 6

cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm.

d) Marque os pontos de intersecção entre as circunferências registrando as suas

observações.

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e) Estabeleça uma condição necessária para que exista ponto de intersecção

entre as circunferências.

f) Que figura é formada ligando as extremidades do segmento com o ponto de

intersecção?

Dica: Deixar claro que existe um limitante inferior e um limitante superior para que

tenha a formação de triângulos dados duas medidas.

Figura 157 – Exemplo da atividade 6


28

REFERÊNCIAS

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