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Trabalho apresentado como avaliação parcial da disciplina de Fenômenos Eletromagnéticos do BC&T da UFABC.Trata sobre Circuito RC. Resistor e Capacitor associados em série. Medição e cálculo da constante RC (letra grega tau). Visualização das curvas em osciloscópio.
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Relatório experimento 7: Circuito RC
Fenômenos eletromagnéticos
Discentes:
Bruno César Prado Cássio Gonçalves Falcão
Fernando Henrique Gomes Zucatelli Thiago Rodrigues Brito
Profº Marcio Peron Godoy
Santo André
2010
Sumário
1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................2 2. OBJETIVOS.......................................................................................................................4 3. PARTE EXPERIMENTAL................................................................................................4
3.1. Materiais .....................................................................................................................4 3.2. Métodos ......................................................................................................................5
3.2.1. Parte 1 – curva de carga pela corrente................................................................5 3.2.2. Parte 2 – curvas de carga e descarga no osciloscópio ........................................5
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................................................6 4.1. Parte 1 – curva de carga pela corrente........................................................................6 4.2. Parte 2 – curvas de carga e descarga no osciloscópio ................................................8
5. CONCLUSÃO..................................................................................................................11 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................11 7. ANEXOS..........................................................................................................................12
7.1. Anexo 1 – curva de carga monolog. .........................................................................12
2
1. INTRODUÇÃO
Um circuito resistor-capacitor (circuito RC), filtro RC ou malha RC, é um dos
mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógicos. Ele
consiste de um resistor e de um capacitor, podendo estar ligados tanto em série
quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão, como
representado na figura abaixo:
Figura 1 – Exemplo de um Circuito RC.
O capacitor de capacitância C da figura está inicialmente descarregado. Para
carregá-lo, gira-se a chave S de modo que ela faça contato no ponto a, colocando
uma bateria ideal de fem E num circuito série RC com o capacitor e uma resistência
R.
Aplicando a regra das malhas ao circuito da Figura 1, percorrendo-o no sentido
horário a partir da bateria. Tem-se:
2
2;
dQ Q dQ dI d QE R I
dt C dt dt dt= + = ⇒ = (1)
Esta é a EDO (Equação Diferencial Ordinária) que descreve a variação com o
tempo da carga q do capacitor, sendo sua solução:
(2)
Pode-se medir q(t) experimentalmente medindo uma grandeza proporcional a
ela, a saber, Vc, a diferença de potencial através do capacitor.
(3)
3
Analogamente, podemos medir I(t) medindo Vr a diferença de potencial através
do resistor.
(4)
A figura abaixo mostra os gráficos de Vc e Vr.
Figura 2 – Gráficos de Vc e Vr em função do tempo.
O produto RC que aparece nas equações é chamado constante de tempo
capacitiva do circuito e é representada pelo símbolo τ (letra grega Tau). Ela é igual
ao tempo necessário para que a carga do capacitor atinja uma fração (1-e-1) ou
aproximadamente 63% do seu valor final (de equilíbrio).
No processo de descarga do capacitor a chave S é girada de a para b de modo
que o capacitor C possa descarregar através do resistor R. A equação de carga
continua válida, exceto que, agora , não existe mais um dispositivo de fem no
circuito. Fazendo E=0 na equação, temos
(5)
A solução desta equação diferencial é
(6)
Calculando a partir de (1) a derivada da malha, onde a tensão da fonte E é
contínua e constante no tempo, pode-se resolver a EDO para I:
1. 0
dE dI dQ dI IR R
dt dt C dt dt C= + ⇒ = +
(7)
Dividindo a equação por R para obter uma EDO linear de primeira ordem e
separável, permitindo separar os elementos diferenciais.
0 0
0I t
I t
dI I dI dt
dt RC I RC+ = ⇒ = −∫ ∫
(8)
4
Resolvendo a integração para as variáveis I e t:
( ) ( ) 0
0 00
( )ln ln ln ; 0
t tII I t
I RC
−− = = − =
(9)
Isolando I(t) e obtendo expressão final:
0
0
; ( ) .t t
RCI
e RC I t I eI
ττ− −
= = ∴ =
(10)
Uma forma de se visualizar a constante de tempo τ ao se analisar o gráfico
desta curva é lendo o valor da diferença de tempo entre o começo da curva quando
a corrente é máxima e o momento em que a corrente é metade deste valor, esta
diferença de tempo é chamada τ1/2 (Tau meio ou Tau de meio)
Como τ1/2 é o tempo para atingir a metade da corrente (ou tensão, dada a
proporcionalidade por meio da resistência) total do circuito para t ≥ 0, ou seja:
1/2 0( )I Iτ =
1/20I
e
τ
τ−
= ( )1/2
11/2
1/2 1/2
1 1ln ln 2 ln(2)
2 2 2
ln 2ln 2
e
τ
ττ
τ
τ ττ
τ
−−
⇒ = ⇒ − = = = −
∴ = ⇒ =
(11)
Assim, encontrando-se o “tempo de meia-vida” (analogia com o termo usado
para fenômenos de radiação que obedecem a uma lei similar) por meio da leitura da
onda é possível calcular a constante de tempo τ, dividindo o valor anotado pelo ln 2.
2. OBJETIVOS
É objetivo deste experimento traçar a curva de corrente no circuito em função
do tempo durante carga de um capacitor e identificar a constante de tempo τ.
Visualizar e registrar as curvas de carga e descarga do capacitor quando
submetido a uma onda quadrada.
3. PARTE EXPERIMENTAL
3.1. Materiais
• Resistor de 47KΩ.
• Capacitores de 1mF e 100nF
• 1 Multímetro digital marca Minipa ET-2510
• 1 Protoboard (Matriz de contato).
5
• 1 Fonte de tensão CC de 0 a 30V MPL-3303.
• 2 Fontes geradoras de sinal Tektronix modelo AFG 3021B.
• 1 Osciloscópio digital Tektronix modelo TDS 2022B.
• Cabos BNC e com ponta de prova.
• 1 Cronômetro
• Memória Flash com entrada USB (pen drive).
3.2. Métodos
3.2.1. Parte 1 – curva de carga pela corrente
Para mensurar a variação de corrente no circuito RC foi montado um circuito
conforme a Figura 3, sendo utilizada a função microamperímetro do multímetro e os
valores de corrente foram anotados em intervalos de 10 segundos até totalizar 180
segundos de carga.
O resistor R usado é nominalmente de 47 kΩ e o capacitor do tipo eletrolítico
com capacitância de 1000 µF = 1 mF.
Figura 3 – Circuito RC com amperímetro.
3.2.2. Parte 2 – curvas de carga e descarga no osciloscópio
Para visualizar o comportamento de carga e descarga, foi usada como fonte do
circuito o gerador de sinais, ajustando os valores de tensão de pico a pico (x Vpp) e
a frequência (f Hz) de uma onda quadrada. O canal 1 do osciloscópio (O) foi ligado
nos pontos P e G e seu canal 2 foi ligado na fonte para comparar as curvas entre a
fonte e o resistor (Figura 4).
O resistor R usado é nominalmente de 47 kΩ e o capacitor do tipo eletrolítico
com capacitância de 10 nF.
6
Figura 4 – Circuito RC com ponta para o osciloscópio.
O osciloscópio foi configurado nos seus parâmetros de amplitude e tempo por
divisão para boas visualizações das curvas.
Foi utilizada a função de cursores do osciloscópio para medir a amplitude da
onda e também seus intervalos de tempo, inclusive para a medição de τ1/2, tempo
em que a tensão sobre o resistor é metade da tensão máxima.
As imagens foram armazenadas no dispositivo de memória Flash.
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1. Parte 1 – curva de carga pela corrente
Os valores de corrente lidos no microamperímetro em seu respectivo intervalo
de tempo durante a carga do capacitor estão na Tabela 1. Encontrou-se os erros da
corrente elétrica conforme o manual do amperímetro que é 1% ± 2D, onde D é o
último algarismo significativo.
Tabela 1 – Corrente no circuito no decorrer do tempo de carga do capacitor.
t (s) i (μA)
0 75,7 ± 1,0
10 65,8 ± 0,9
20 55,1 ± 0,8
30 46,2 ± 0,7
40 39,3 ± 0,6
50 33,1 ± 0,5
60 28,0 ± 0,5
70 23,7 ± 0,4
80 20,1 ± 0,4
90 17,3 ± 0,4
t (s) i (μA)
100 14,7 ± 0,3
110 12,6 ± 0,3
120 10,9 ± 0,3
130 9,3 ± 0,3
140 8,0 ± 0,3
150 7,0 ± 0,3
160 6,1 ± 0,3
170 5,2 ± 0,3
180 4,6 ± 0,2
7
Pela Tabela 1 tem-se que a corrente inicial I0 é de 75,7 µA, assim a metade
deste valor é de 37,85 µA, que está próximo do valor de 39,3 µA lido no instante
t=40 s. Poder-se-ia utilizar uma aproximação linear entre os valores de 39,3 e 33,1
µA e obter o tempo para a metade da corrente mais próximo, contudo optou-se por
usar um valor pertencente aos anotados na Tabela 1.
Assim este tempo será considerado como o τ1/2. Aplicando este valor na
equação (11) tem-se o valor de τ:
1/2 4057,7078 58
ln 2 ln 2
ττ = = ≅ ≈ (12)
Como na equação (10) aparece o termo 1/τ, calcula-se então o inverso de τ:
1 1
0,017258τ
= ≅ (13)
Calcula-se agora o valor de τ por meio dos valores de R e C, considerando a
resistência interna do amperímetro de 3,5 KΩ (obtida em outro experimento).
3 3 3(46,7.10 3,5.10 ).1,03.10 51,706 52RC sτ −= = + = ≅ (14)
Sendo o inverso 1/τ:
11 10,0192
52s
τ
−= ≅ (15)
Na Figura 5 encontra-se o gráfico obtido por ferramenta computacional
(Microsoft Excel 2002), para os dados da Tabela 1.
Corrente em função do tempo y = 73,424e-0,0157x
R2 = 0,9988
0,010,020,030,040,050,060,070,080,0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200tempo (s)
I (µ
A)
Figura 5 – Curva exponencial da corrente em função do tempo obtida experimentalmente plotada no
Microsoft Excel 2002.
8
Dado o ajuste matemático executado pelo software, tem-se que I0 = 73,4 µA,
que é um valor levemente diferente do medido em t= 0s de 75,7 µA. Ainda de acordo
com o software, o valor de 1/τ: é de 0,0157 s-1, sendo τ = 63,69 ≅ 64s.
O índice R2 (covariância) é de 99,88%, indica ótimo ajuste da função aos
pontos coletados.
Comparando-se os valores de RC obtidos pelos três modos:
Tabela 2 – Valores de RC.
Resistor x Capacitor Eq. (12) e (13) ττττ1/2 Eq. (14) e (15) Gráfico computacional (Figura 5)
ττττ 58 52 64
1/ττττ 0,0172 0,0192 0,0157
No Anexo 7.1 encontra-se o gráfico com os dados da Tabela 1 em papel
monolog. Para o gráfico monolog, é considerada a seguinte transformação a partir
da equação (10):
( ) 0 0 0
log( )log ( ) log . log( ) log( ) log( )
t te
I t I e I e I t y a bxτ τ
τ
− − = = + = − ≡ = −
(16)
O termo independente a (coeficiente linear da reta) representa o logaritmo de I0
e o coeficiente angular da reta b (inclinação) representa o logaritmo do e de Euler na
base usada para a extração (no caso 10) dividida pela constante τ. Assim também
pode-se obter τ e 1/τ do gráfico monolog pela equação (17):
log( ) 1
log( )
e b
b eτ
τ= ⇔ = (17)
4.2. Parte 2 – curvas de carga e descarga no osciloscópio
Nesta parte foi utilizado o resistor R = 46,8 KΩ e a capacitor C = 10nF. Na
Figura 6 visualiza-se a forma de onda da tensão no resistor em amarelo e da fonte
(onda quadrada) em azul claro. Para uma boa visualização da imagem ao ser salva
na memória Flash, o osciloscópio foi colocado em Stop. Da esquerda para a direita
tem-se: 5V / Div e 250 ms / Div; 5V / Div e 100 ms / Div. De onde se extrai a
amplitude da onda da fonte de 5V de pico e no resistor nos instante da subida da
borda (do menor valor para o maior) o pico de tensão no resistor é de 10V, ambas
as tensões possuem período de 500ms (5 divisões), ou seja, frequência de 2 Hz.
(Esta foi a frequência que propiciou melhor visualização no osciloscópio). A
9
atenuação da sonda e do osciloscópio foram ajustada para 1X em todas as
medições.
Figura 6 – Imagem do osciloscópio esq: 5V/Div e 250 ms/Div; dir: 5V/Div e 100 ms/Div.
A Figura 7 mostra a imagem do osciloscópio com o uso dos cursores na opção
“amplitude”. A imagem da esquerda é a mesma da imagem da direita da Figura 6, a
partir dela foram ajustadas as alturas dos cursores, em seguida, diminuiu-se o tempo
por divisão de 100ms para 25ms de forma a ver mais claramente o pico (Figura 7
direita). A tensão de pico a pico da onda do resistor é de 20V.
Figura 7 – Imagem do osciloscópio ambas de 5V/Div esq: 250 ms/Div; dir: 100 ms/Div.
Na Figura 8 foram usados os cursores no modo “tempo”, para a medição do
tempo τ1/2. O 1º cursor foi ajustado no início da borda de subida e o 2º no ponto em
que a curva do resistor intercepta a curva da fonte, pois esta de acordo com as
divisões do osciloscópio representa metade do pico da curva do resistor. Nesta
figura, foram utilizados 10ms/Div (Figura 8 esq.), 5ms/Div (Figura 8 centro) e
2,5ms/Div (Figura 8 dir.), onde também se percebe o efeito de rampa na elevação da
tensão, o que quando se utiliza uma escala com mais milisegundos por divisão. De
10
acordo com a Figura 8 esq. o variação de tempo ∆t é de 15,40 ms enquanto a da dir.
∆t é de 14,90 ms. Considerando que o procedimento de ajuste é manual, considera-
se que o valor de ∆t a ser usado é o da figura de direita.
Figura 8 – Imagem do osciloscópio ambas 5V/Div, sendo esq. 10ms/Div, centro 5ms/Div e dir.
2,5ms/Div.
Então pela equação (11) o tempo τ é igual ao ∆t dividido pelo ln(2) sendo igual
a 21,6 ms. O que não é condizente com o valor de τ calculado por RC que seria
0,468 ms. Este valor é 46 vezes menor que o calculado através das medições no
osciloscópio. Logo, estima-se que ocorreu algum erro experimental.
Na Figura 9 confirma-se a frequência do sinal de 2 Hz ao se medir o período
entre dois picos de mesmo sinal da onda do resistor.
Figura 9 – Imagem do osciloscópio ambas 5V/Div e 100ms/Div.
11
5. CONCLUSÃO
O circuito RC é caracterizado por uma equação diferencial ordinária para a
carga e corrente/tensão. Este é caracterizado por uma constante de tempo τ que
pode ser encontrada por diversões métodos, entre eles, a multiplicação da
resistência pela capacitância (RC). Matematicamente utilizando o tempo em que a
corrente ou tensão é igual a metade do tempo total este valor é conhecido como τ1/2
e dividindo este valor por ln(2) obtém-se a constante τ. Caso seja plotado o gráfico
de i(t) pode-se usar a mesma técnica utilizado no cálculo matemático ao se ler o
valor de tal meio pelo gráfico ou se for plotado em escala monolog τ será log(e)/|b|.
A partir dos dados coletados para a Parte 2, não pudemos obter os resultados
previstos para o experimento, porque provavelmente nos equivocamos na
montagem do circuito.
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: Eletromagnetismo, 4.ed. Rio de Janeiro, LTC, 1996. v.3.
12
7. ANEXOS
7.1. Anexo 1 – curva de carga monolog.
Figura 10 – Gráfico monolog manual.
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