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Resolução de sistemas de equações não-lineares Método de Newton. Seminário T3 – Aveiro 2014. Para determinar valores aproximados para a equação , sendo f uma função real de variável real, contínua num intervalo [a,b] que contenha o zero da função, podemos utilizar o método de Newton. - PowerPoint PPT Presentation
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Resolução de sistemas de equações não-lineares
Método de Newton
Seminário T3 – Aveiro 2014
Para determinar valores aproximados para a equação , sendo f uma função real de variável real, contínua num intervalo [a,b] que contenha o zero da função, podemos utilizar o método de Newton.Os valores aproximados são dados através da fórmula:
( ) 0f x
1
( ), 0,1,...
'( )n
n nn
f xx x n
f x
1
1 '( ) ( ), 0,1,...n n n nx x f x f x n
Um sistema de equações não lineares
pode escrever-se na forma,
, sendo
1 1 2
2 1 2
1 2
( , ,......., ) 0
( , ,......., ) 0
( , ,......., ) 0
n
n
n n
f x x x
f x x x
f x x x
1 2
T
nx x x x
1( )
( ) 0
( )n
f x
F x
f x
Para resolver a equação utiliza-se o método de Newton “adaptado”
1( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( )n n n nx x J x F x
( ) 0F x
1
1 '( ) ( ), 0,1,...n n n nx x f x f x n
( ) ( 1) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n n nJ x x x F x
( ) ( ) ( )
( 1) ( ) ( )
( ) ( )n n n
n n n
J x h F x
x x h
Sendo
a matriz jacobiana.
( ) ( ) ( )1 1 1
1 2
( ) ( ) ( )2 2 2
( )1 2
( ) ( ) ( )
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
n n n
n
n n n
nn
n n nn n n
n
f x f x f x
x x x
f x f x f x
J x x x x
f x f x f x
x x x
Exemplo:
Resolver o sistema , sendo a
aproximação inicial .
2 2
22
9
2 4
x y
y x
2 21
2 22
( ) 9( )
( ) 4
f x yF
f x x y
1 1
2 2
2 2( )
2 4 2F
f f
x yx y
f f x y
x y
J
( ) ( ) ( )( ) ( )n n nJ h F
(1)1 1
(1)2 2
4 4 1 0.25 2.25
0 4 0 0 2
h h x
h h y
( 1) ( ) ( )n n nx x h
(0) (0) 2 2T T
x y
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