Resolução de sistemas de equações não-lineares

Método de Newton

Seminário T3 – Aveiro 2014

Para determinar valores aproximados para a equação , sendo f uma função real de variável real, contínua num intervalo [a,b] que contenha o zero da função, podemos utilizar o método de Newton.Os valores aproximados são dados através da fórmula:

( ) 0f x

1

( ), 0,1,...

'( )n

n nn

f xx x n

f x

1

1 '( ) ( ), 0,1,...n n n nx x f x f x n

Um sistema de equações não lineares

pode escrever-se na forma,

, sendo

1 1 2

2 1 2

1 2

( , ,......., ) 0

( , ,......., ) 0

( , ,......., ) 0

n

n

n n

f x x x

f x x x

f x x x

1 2

T

nx x x x

1( )

( ) 0

( )n

f x

F x

f x

Para resolver a equação utiliza-se o método de Newton “adaptado”

1( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( )n n n nx x J x F x

( ) 0F x

1

1 '( ) ( ), 0,1,...n n n nx x f x f x n

( ) ( 1) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n n nJ x x x F x

( ) ( ) ( )

( 1) ( ) ( )

( ) ( )n n n

n n n

J x h F x

x x h

Sendo

a matriz jacobiana.

( ) ( ) ( )1 1 1

1 2

( ) ( ) ( )2 2 2

( )1 2

( ) ( ) ( )

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

n n n

n

n n n

nn

n n nn n n

n

f x f x f x

x x x

f x f x f x

J x x x x

f x f x f x

x x x

Exemplo:

Resolver o sistema , sendo a

aproximação inicial .

2 2

22

9

2 4

x y

y x

2 21

2 22

( ) 9( )

( ) 4

f x yF

f x x y

1 1

2 2

2 2( )

2 4 2F

f f

x yx y

f f x y

x y

J

( ) ( ) ( )( ) ( )n n nJ h F

(1)1 1

(1)2 2

4 4 1 0.25 2.25

0 4 0 0 2

h h x

h h y

( 1) ( ) ( )n n nx x h

(0) (0) 2 2T T

x y