Sistemas de Equações Não-Lineares

Lorena Elias

O objetivo é resolvermos um sistema com várias equações e várias incógnitas do tipo:

Sistemas de Equações Não-Lineares

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As raízes deste sistema

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são os pontos do plano (x, y), onde as curvas definidas por f e g se interceptam

Método da Iteração Linear

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Sistemas de Equações Não-Lineares - Método da Iteração Linear

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Passo 1: Reescrever o sistema

Sistemas de Equações Não-Lineares - Método da Iteração Linear

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a) F, G e suas derivadas parciais de primeira ordem sejam contínuas na vizinhança da raiz (x̄, ȳ).

b) As seguintes desigualdades sejam satisfeitas: |Fₓ| + |Fᵧ| ≤ k₁ < 1 |Gₓ| + |Gᵧ| ≤ k₂ < 1

c) A aproximação inicial (x₀, y₀) pertença a vizinhança V de (x̄, ȳ).

Passo 2: Condições para ConvergênciaSuficientes, mas não necessárias

Sistemas de Equações Não-Lineares - Método da Iteração Linear

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Seja (x₀, y₀) uma aproximação para (x̄, ȳ).

O processo iterativo para obter as aproximações sucessivas (xₖ, yₖ) para a solução (x̄, ȳ) é dado por:

Passo 3: Aplicar o método iterativo

Sistemas de Equações Não-Lineares - Método da Iteração Linear

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Durante o processo iterativo, para obtermos uma solução com uma determinada precisão 𝜖, calculamos o erro relativo para todas as componentes do vetor solução.

Até que TODAS as componentes estejam com a precisão satisfeita

OBS: Precisão da estimativa

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Exemplo:

Passo 1: Reescrever o sistema

O Sistema não linear acima possui uma raiz próxima a (0.9, 1.1). Usando o método iterativo linear determine essa raiz com precisão de 10⁻²

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Exemplo:

Passo 2: Condições para Convergência

|Fₓ| + |Fᵧ| = | (0.4)(0.9) + (0.2)(1.1) | + | (0.2)(0.9) | = 0.76 < 1 |Gₓ| + |Gᵧ| = | (0.4) + (0.1)(1.1)² | + | (0.2)(0.9)(1.1) | = 0.719 < 1.

As condições suficientes de convergência são satisfeitas:

Derivadas parciais das funções

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Exemplo:

Passo 3: Aplicar o método iterativoPrecisão de 10⁻²

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Exemplo:

Passo 3: Aplicar o método iterativo Precisão de 10⁻²

Então, considerando o erro relativo de 10⁻²,a solução é(x̄, ȳ) = (0.9773, 0.9802)

Método de Newton

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Seja (x₀, y₀) uma aproximação para (x̄, ȳ). E admitindo que f e g sejam diferenciáveis.

Expandimos f(x, y) e g(x, y) usando a série de Taylor para funções de duas variáveis em torno de (x₀, y₀)

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E a partir disso

Obtemos isso

Sistemas de Equações Não-Lineares - Método de Newton

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A resolução desse último sistema

Vai nos dar o (x₁, y₁).

O que esperamos é que (x₁, y₁) esteja mais próximo de (x̄, ȳ) e que a cada iteração a nossa estimativa esteja mais próxima do valor real

Sistemas de Equações Não-Lineares - Método de Newton

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O método de Newton é definido por

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Algumas observações

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Exemplo Precisão de 10⁻³(x₀, y₀) = (1.2, 0.7)

Passo 1: Calcular as derivadas parciais (Jacobiano)

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Exemplo Precisão de 10⁻³(x₀, y₀) = (1.2, 0.7)

Passo 2: Substituir (x₀, y₀)

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Exemplo Precisão de 10⁻³(x₀, y₀) = (1.2, 0.7)

Passo 3: Aplicar os cálculos anteriores no método

Sistemas de Equações Não-Lineares - Método de Newton

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Exemplo Precisão de 10⁻³(x₀, y₀) = (1.2, 0.7)

Os erros relativos ainda estão maiores que 10⁻³Então temos que continuar com o método

Voltaremos ao passo 2

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Exemplo Precisão de 10⁻³(x₀, y₀) = (1.2, 0.7)

Passo 2: Substituir (x₁, y₁) no sistema

Sistemas de Equações Não-Lineares - Método de Newton

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Exemplo Precisão de 10⁻³(x₀, y₀) = (1.2, 0.7)

Passo 3: Aplicar os cálculos anteriores no método

Sistemas de Equações Não-Lineares - Método de Newton

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Exemplo Precisão de 10⁻³(x₀, y₀) = (1.2, 0.7)

Os erros relativos são menores que 10⁻³

Então a solução do sistema é dada por(x̄, ȳ) = (1.2252, 0.7070)

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Fim