Resumo Xxi Sic

DERIVAES LOCALMENTE NILPOTENTES E O DCIMO QUARTO PROBLEMA DE HILBERT

Pedro Paulo Rocha de Castro, graduando em Engenharia Qumica

Marcelo de Oliveira Veloso, Departamento de Fsica e Matemtica

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemticos em Paris, o matemtico alemo David Hilbert props uma lista de 23 problemas que deveriam ser resolvidos ao longo do novo sculo. O objetivo deste trabalho foi fornecer a soluo para o dcimo quarto problema de Hilbert. Como era sabido por antemo que esse problema poderia ser "atacado" utilizando conhecimentos a respeito de anis polinomiais e derivaes localmente nilpotentes, esses assuntos comearam a ser abordados. Os primeiros focos de estudo foram as definies e propriedades dos anis polinomiais. Basicamente, um anel de polinmios nada mais do que um anel cujos elementos so polinmios com coeficientes em um determinado anel. Em seguida, foi estudada a definio de derivao sobre um anel polinomial e algumas de suas propriedades. De uma forma bem resumida, uma derivao em um anel B uma funo aditiva D : B B, isto , D(a+b) = D(a)+D(b), que satisfaz a regra de Leibniz ( D(ab) = D(a)b + aD(b) ). Posteriormente, foram abordados a definio de derivao localmente nilpotente e algumas de suas propriedades que seriam teis na resoluo do dcimo quarto problema de Hilbert. Resumidamente, uma derivao D dita localmente nilpotente se para cada elemento f do anel, existe um nmero natural n, tal que Dn(f) = 0. Os exemplos clssicos e mais conhecidos de derivaes localmente nilpotentes so as derivadas parciais. Com base nos conhecimentos adquiridos nestes estudos citados foi possvel iniciar a resoluo do dcimo quarto problema de Hilbert, que pode ser enunciado da seguinte maneira: seja C[n] o anel polinomial C[X1, ..., Xn], C(n) o seu corpo de fraes e L um subcorpo de C(n) contendo C. A sub-lgebra , L C(n), finitamente gerada como C-lgebra? Nesse trabalho o estudo foi realizado para uma dimenso 5 (n = 5), em que encontrou-se um contra-exemplo, utilizando as definies e propriedades estudadas anteriormente, o que era equivalente a encontrar uma derivao localmente nilpotente, D, em C[n] tal que o ker D (ncleo de D) no seja finitamente gerado. Esse resultado j havia sido obtido e apresentado por Daigle e Freudenburg.

Palavras-chave: Dcimo quarto problema. Hilbert. Derivaes localmente nilpotentes.

Agncia financiadora: UFSJ