View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA
RODRIGO CLEBER DA SILVA
Inclusão das Representações de Gary e de Skilling-Umoto em Modelos de
Linhas de Transmissão Trifásicas: Aplicação em Simulações de Transitórios
Eletromagnéticos em Sistemas de Energia Elétrica.
Ilha Solteira
2015
FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA
RODRIGO CLEBER DA SILVA
Inclusão das Representações de Gary e de Skilling-Umoto em Modelos de
Linhas de Transmissão Trifásicas: Aplicação em Simulações de Transitórios
Eletromagnéticos em Sistemas de Energia Elétrica.
Prof. Dr. Sérgio Kurokawa
Orientador
Tese apresentada à Faculdade de
Engenharia - UNESP – Campus de Ilha
Solteira, como parte do pré-requisito para
obtenção do título de Doutor em
Engenharia Elétrica.
Área de Conhecimento: Automação.
Ilha Solteira
2015
da Silva Inclusão das Representações de Gary e de Skilling-Umoto em Modelos de Linhas de Transmissão Trifásicas: Aplicação em Simulações de Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Energia Elétrica.Ilha Solteira25/08/201595 Sim Tese (doutorado)Engenharia ElétricaSistemas Elétricos de PotênciaNão
.
.
FICHA CATALOGRÁFICA
Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação
Silva, Rodrigo Cleber da. Inclusão das representações de gary e de skilling-umoto em modelos de linhas de transmissão trifásicas: aplicação em simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica. / Rodrigo Cleber da Silva. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2015 93 f. : il. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2015 Orientador: Sérgio Kurokawa Inclui bibliografia 1. Efeito corona. 2. Linhas de transmissão. 3. Transitórios eletromagnético. 4. Modelo de gary. 5. Modelo de skilling & umoto.
S586i
Agradecimentos
Gostaria de deixar aqui meus agradecimentos às pessoas que contribuíram de forma
direta e indireta para que este trabalho fosse realizado.
À Deus que sempre me acalmou nos momentos de dificuldade possibilitando as
tomadas de decisão coerente com todo conhecimento adquirido.
À Prof. Dr. Sérgio Kurokawa que acreditou no meu potencial, pela orientação,
amizade, incentivo, confiança e dedicação compartilhada por todos esses anos.
À FAPESP pelo incentivo por meio da concessão de bolsa de estudo.
À todos os docentes e técnicos desta unidade que contribuíram para minha formação
profissional.
À minha família: Olinda (mãe), Paulo (pai), Bruna e Thamara (irmãs) e Fabiana
(esposa), pela amizade, auxilio e incentivo dedicados para a conclusão de mais uma etapa de
minha vida.
Enfim, à todos que contribuíram para a realização de mais um sonho, meus sinceros
agradecimentos.
RESUMO
Neste projeto é desenvolvido um modelo de linha de transmissão trifásica em que
possa ser incluído o efeito corona. O modelo será desenvolvido diretamente no domínio do
tempo e o mesmo baseia-se na hipótese de que um pequeno segmento de linha trifásica pode
ser representado por um circuito constituído por elementos discretos (resistências,
indutâncias, capacitâncias e condutâncias). A inserção do efeito corona no modelo da linha
será feito com base nos modelos de Gary e de Skilling-Umoto que, até o presente momento, é
utilizado para inserir o efeito corona em modelos de linhas de transmissão monofásicas. O
modelo a ser desenvolvido poderá ser utilizado para representar linhas trifásicas genéricas,
independentemente da geometria da mesma, em simulações de transitórios eletromagnéticos
que podem ocorrer em sistemas de energia elétrica. A grande contribuição que resultará do
desenvolvimento deste projeto será a disponibilização de um modelo de linha mais completo
que os modelos disponíveis atualmente, pois o modelo proposto poderá ser aplicado em
qualquer linha trifásica, independentemente da geometria da mesma, e levará em conta o
efeito corona (que é responsável por distorções nas formas de ondas de correntes e tensões
que se propagam ao longo da linha durante a ocorrência de distúrbios). Um modelo de linha
mais precisa que prevê tais distorções, poderá ser útil na análise do sistema de proteção,
permitindo um ajuste mais preciso e aumentando a confiabilidade do sistema de energia
elétrica.
Palavras-chave: Efeito Corona. Modelo de gary. Modelo de skilling & umoto. Circuitos π.
Parâmetros discretos. Transitórios eletromagnéticos. Linhas de transmissão.
Modelos de linha de transmissão.
ABSTRACT
In this project will be developed a model for three-phase transmission line that may be
included in the corona effect. The model will be developed directly in the time domain and
the same is based on the hypothesis that a short segment of three phase line can be represented
by a circuit constituted by discrete elements (resistance, inductance, capacitance, and
conductance). The insertion of the corona effect in the line model will be based on Gary and
Skilling-Umoto models that, until the present time, is used to insert the corona effect in
models of transmission lines monophasic. The model to be developed can be utilized to
represent generic three-phase lines, regardless of the line geometry, in electromagnetic
transient simulations that can occur in electrical power systems. The great contribution that
will result from the development of this project will be the making available of a model line
more complete than the currently available models, since the proposed model can be applied
to any three-phase line, regardless of the geometry of the line, and will take into consideration
the corona effect (which is responsible for distortions in the waveforms of voltages and
currents that propagate along the line during the occurrence of disturbance). A more accurate
model line that provides for such distortions may be useful in the analysis of the protection
system, allowing for a more precise fit and increasing the reliability of the electric power
system.
Keywords: Corona effect. Gary’s model. skilling & umoto’s model. Π-circuits. Discrete
parameters. Electromagnetic transients. Transmission lines. Models of
transmission line.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 8
2 LEVANTAMENTO HISTÓRICO SOBRE O EFEITO
CORONA
12
2.1 MECANISMO DO EFEITO CORONA 13
2.2 ANÁLISE QUANTITATIVA DAS MANIFESTAÇÕES DO
EFEITO CORONA
15
2.2.1 Radiointerferência 15
2.2.2 Ruído acústicos 16
2.2.3 Perdas de Energia por Corona 17
2.3 MODELOS ANALÓGICOS DO EFEITO CORONA 18
2.4 MODELOS MATEMÁTICOS DO EFEITO CORONA 20
2.5 MODELOS FÍSICOS DO EFEITO CORONA 21
2.6 CONCLUSÃO 22
3 MODELOS DE LINHA DE TRANSMISSÃO
MONOFÁSICA
23
3.1 MÉTODO DE BERGERON 23
3.1.1 Validação do modelo 28
3.2 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POR MEIO DE UMA
CASCATA DE CIRCUITOS Π.
30
3.2.1 Validação do modelo 33
3.3 CONCLUSÃO 34
4 INSERÇÃO DO EFEITO CORONA EM MODELOS DE
LINHAS DE TRANSMISSÃO MONOFÁSICA
36
4.1 MODELO DE WAGNER & LLOYD 36
4.1.1 Validação do modelo 38
4.2 MODELO DE CHRISTOPOULOS 40
4.2.1 Validação do modelo 41
4.3 MODELO DE GARY 43
4.3.1 Validação do modelo 44
4.4 MODELO DE SKILLING & UMOTO 46
4.4.1 Validação do modelo 47
4.5 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS 49
4.6 CONCLUSÃO 51
5 MODELO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICA A
PARÂMETROS DISCRETOS
52
5.1 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DO MODELO
PROPOSTO
52
5.2 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS TRIFÁSICAS 54
5.3 VALIDAÇÃO DO MODELO PARA LINHAS TRIFÁSICAS 63
5.3.1 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 1 – Linha
idealmente transposta.
63
5.3.2 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 2 – Linha
com plano de simetria.
66
5.3.3 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 3 – Linha
assimétrica.
68
5.4 CONCLUSÃO 71
6 INCERSÃO DO EFEITO CORONA EM MODELO DE
LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICA A
PARÂMETROS DISCRETOS
73
6.1 ESTUDO DAS CAPACITÂNCIAS EM LINHAS DE
TRANSMISSÃO
73
6.2 PROPOSTA DE INSERÇÃO DO EFEITO CORONA EM
LINHAS DE TRANSMISSÃO
75
6.2.1 Validação da inserção do efeito corona no modelo para linhas
trifásicas.
80
6.2.2 Teste de energização da linha de transmissão trifásica
considerando o efeito corona.
84
6.3 CONCLUSÃO 86
7 CONCLUSÕES 88
REFERÊNCIAS 90
8
1 INTRODUÇÃO
Sabe-se que uma linha de transmissão de energia elétrica é caracterizada pelos seus
parâmetros longitudinais e transversais serem distribuídos ao longo do seu comprimento. Esta
característica, juntamente com o fato de que os parâmetros longitudinais da linha são
variáveis em função da frequência, torna a linha de transmissão um elemento com certas
particularidades que devem ser levadas em consideração no momento de sua representação
(MARTI, 1982).
A natureza distribuída dos parâmetros longitudinais e transversais de uma linha de
transmissão deve ser levada em conta, principalmente, em estudos e simulações de
transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de manobra e descargas atmosféricas
na linha ou nas proximidades (WAGNER; GROSS; LLOYD, 1954). Nestas situações, as
correntes e tensões transitórias na linha assumem características tais que uma perfeita
compreensão das mesmas somente é possível se tais grandezas forem tratadas como ondas
que se propagam ao longo da linha de transmissão (CHIPMAN, 1976; FUCKS, 1977).
Os primeiros estudos técnicos sobre modelagem computacional de sistemas de
energia elétrica e linhas de transmissão foram apresentados no fim dos anos 1960. Os
trabalhos desenvolvidos ao longo desta década foram responsáveis pela criação do conceito
Electromagnetic Transient Program (conhecido como EMTP). Um dos maiores responsável,
Hermann W. Dommel, publicou o trabalho intitulado Digital Computer Solution of
Electromagnetic Transients in Single- and Multiphase Networks (DOMMEL, 1969). O artigo
propôs um método computacional de solução para a simulação de transitórios
eletromagnéticos no domínio do tempo em linhas polifásicas representadas por parâmetros
discretizados ou distribuídos.
H. W. Dommel apresentou uma abordagem diretamente no domínio do tempo, ou
seja, as correntes e tensões simuladas por meio do modelo são encontradas no domínio do
tempo. Entretanto, quando se trata de linhas polifásica há a existência de acoplamento mutuo
entre as fases dificultando a resolução. A forma encontrada por Dommel foi aplicar uma
transformação nas matrizes de impedância longitudinal e admitância transversal da linha de
forma que essas matrizes se tornem matrizes diagonais, este método de resolução é conhecido
como transformação modal (DOMMEL, 1969). Transformação modal desacopla uma linha
com n fases em n modos de propagação, que por vez, podem ser modeladas como n linhas de
transmissão e após a resolução aplica-se a transformada inversa modal para encontrar o
resultado diretamente no domínio das fases. Apesar de ser um método muito utilizado existem
9
algumas desvantagens como, por exemplos, se a linhas de transmissão não apresenta uma
simetria geométrica ou caso os seus parâmetros varie em função do tempo.
O elevado nível de tensão em linhas de transmissão pode resultar no efeito corona na
superfície dos condutores ou nos isoladores. Devido aos altos níveis tensões em que a linha de
transmissão possa transportar pode ocorrer o efeito corona. O efeito corona é um mecanismo
de descarga eletrostática que acontece devido à ionização de um material isolante, geralmente
um gás, sujeito a um campo elétrico de intensidade acima de um nível crítico (MIRANDA,
1994).
Do ponto de vista físico do fenômeno, descargas elétricas em gases são geralmente
iniciadas por um campo elétrico que acelera elétrons livres neste meio. Quando estes elétrons
adquirem, do campo elétrico, energia suficiente, os mesmos chocam-se com outros átomos e
destas colisões resultam mais elétrons livres. Estes elétrons livres podem, ocasionalmente, ao
colidir com um átomo, transferir energia suficiente para que o átomo salte para um estado de
energia mais elevado. Na volta para seu estado original, este átomo libera energia na forma de
luz, calor, energia acústica e radiação eletromagnética (COMBER; DENO; ZAFFANELLA,
1982).
Em linhas de transmissão de energia elétrica podem ocorrer descargas elétricas,
devido ao efeito corona, entre as fases e o solo ou fase e torre. Estas descargas ocorrem se a
diferença de potencial entre uma fase da linha e o solo ultrapassar um valor crítico que é
denominado gradiente crítico disruptivo do ar, sendo que tal valor crítico depende de
diversos fatores tais como: pressão atmosférica, umidade do ar e divergente do campo elétrico
(MIRANDA, 1994).
As perdas que ocorrem nas linhas de transmissão, devido ao efeito corona estão
relacionadas com a geometria dos condutores, com o valor da tensão nominal da linha, com o
gradiente de potencial na superfície dos condutores e com as condições meteorológicas do
local.
O efeito corona também pode se manifestar durante a ocorrência de sobretensões na
linha de transmissão. Nestas situações, as tensões de fase da linha podem atingir valores que
permitam a manifestação do efeito corona. Caso isto ocorra, as formas de ondas de tensão
transitória e em regime, prejudicando o sistema como um todo, sofrerão distorções e poderão
prejudicar o desempenho do sistema de proteção da linha que são especificados em função da
amplitude e da forma de onda das tensões.
Conclui-se então que simulações de transitórios eletromagnéticos realizadas com
modelos de linhas que levem em conta o efeito corona são mais precisas que resultados
10
obtidos com modelos sem este efeito. Simulações mais precisas permitirão dimensionar
sistemas de proteção mais confiáveis, contribuindo assim para aumentar a confiabilidade do
sistema de energia elétrica.
Entretanto não se encontram, na literatura, modelos de linhas de transmissão trifásicas
que levem em conta o efeito corona sendo que diversos autores consideram somente a
componente de sequência zero (MIRANDA, 1994).
Atualmente, a abordagem feita por diversos autores relacionados ao efeito corona,
volta-se no processo de otimização de algoritmos que facilite o estudo do fenômeno. Em
2010, Li et al. apresentou um novo algoritmo que considera o efeito corona em linhas de
transmissão utilizando o método de simulação de carga e o método dos elementos finitos (LI
et al., 2010).
Em 2014, Maruvada apresentou um trabalho que estuda a influência do efeito corona
em linhas de transmissão HVDC, mostrando que mesmo em tensão continua, porém na ordem
de centenas de kV, pode ocorrer perdas na transmissão devido ao efeito corona
(MARUVADA, 2014).
Levando em conta as considerações anteriores, este trabalho propõe um modelo de
linha de transmissão trifásica a parâmetros discretos para inclusão do efeito corona.
Este trabalho é dividido em sete capítulos:
Capítulo 1 – Introdução
Capítulo 2 – Levantamento histórico sobre o efeito corona – Descrição sucinta
do efeito corona em linhas de transmissão e revisão bibliográfica dos modelos
utilizados para a representação do fenômeno no cálculo de transitórios
eletromagnéticos.
Capítulo 3 – Modelos de linha de transmissão monofásica – Descrição sucinta
dos modelos de linhas de transmissão monofásicas. Neste capítulo são feitas
comparação entre os modelos monofásicos.
Capítulo 4 – Inserção do efeito corona em modelos de linhas de transmissão
monofásica – Neste capítulo será mostrado alguns modelos de efeito corona
aplicado em linhas de transmissão. Os modelos serão comparados entre si.
Capítulo 5 – Modelo de linhas de transmissão trifásica a parâmetros discretos –
Neste capítulo será desenvolvido um modelo de linha polifásica a parâmetros
discretos diretamente no domínio do tempo sem o uso de matriz de
decomposição.
11
Capítulo 6 – Inserção do efeito corona em modelo de linhas de transmissão
trifásica a parâmetros discretos – Neste capítulo será inserido o efeito corona
no modelo de linha desenvolvido no capítulo 5.
Capítulo 7 – Conclusões.
12
2 LEVANTAMENTO HISTÓRICO SOBRE O EFEITO CORONA
O efeito corona é um fenômeno complexo. Além da parte física (ionização,
deslocamento, difusão e recombinação de cargas), a representação em linhas de transmissão
aumenta consideravelmente a complexidade das equações de onda (MIRANDA, 1994).
Apesar da modelagem, o efeito corona é importante nas simulações de transitórios
eletromagnéticos, devido à atenuação e distorção causada nas sobretensões ao longo da linha.
As descargas corona em uma superfície de um condutor de uma linha de transmissão
ocorrem quando a intensidade do campo elétrico sobre a superfície do condutor excede o
valor de disruptura do ar. Mesmo em um campo elétrico uniforme entre dois eletrodos planos
paralelo no ar apresenta uma série de condições que controla a variação dessa força. Algumas
dessas condições são: a pressão do ar, o material do eletrodo, a humidade do ar, fotoionização
incidente e tipo de tensão (continua ou alternada). Sobre a superfície condutora, uma
irregularidade, como uma partícula contaminante causa um gradiente de concentração da
tensão que pode se tornar uma fonte pontual de uma descarga. A ruptura do ar na região gera
algumas consequências como: ruído audível, luminosidade, rádio interferência, vibração do
condutor, gás ozônio e outros produtos, e dissipação de energia (FUCKS, 1977; COMBER;
DENO; ZAFFANELLA, 1982). O efeito corona teve suas leis formuladas há mais de um
século atrás principalmente pelo pesquisador F.W. Peek (PEEK,1911; 1912; 1913;1927).
O estudo do efeito corona é feito desde o começo do século XX. Um dos primeiros
pesquisadores importante a estudar o assunto foi Peek (PEEK, 1911; 1912; 1913; 1927) que
publicou quatro artigos sobre corona que resultou nas Leis de Corona (Law of Corona) nos
anos de 1911, 1912, 1913 e 1927. Nesses trabalhos foram apresentados diversos conceitos e
verificações laboratoriais que motivaram o estudo dos trabalhos seguintes. Esses trabalhos
foram de fundamental importância, pois contribuíram para o entendimento do mecanismo
macroscópico básico do efeito corona.
Skilling & Dykes, em 1937, propuseram um equacionamento que relata a distorção e
atenuação da onda viajante para as perdas de potência por corona em linhas operando em
frequência nominal (SKILLING; DYKES,1937).
Em 1954 e 1955, respectivamente (WAGNER; GROSS; LLOYD,1954; WAGNER;
LLOYD, 1955) publicaram dois artigos que seriam referência para os futuros trabalhos sobre
o efeito corona. A partir de medições de tensão em uma linha experimental e em laboratório,
obtiveram as curvas q x v de um condutor sob efeito corona e propuseram um dos primeiros
modelos analógicos para a representação do efeito corona em linhas de transmissão.
13
Com o surgimento dos computadores e dos programas EMTP (electromagnetic
transientes program), diversos modelos computacionais baseados em resoluções numéricas
foram propostos. Em 1983, Lee (LEE, 1983) apresentou um modelo numérico simples e
preciso para representar o fenômeno não linear de corona, representado por equivalente de
Thévinin. Naredo et al., em 1995, propôs um algoritmo baseado no métodos das
características para a resolução das equações diferenciais, sendo adotado o modelo de corona
de Gary (NAREDO et al., 1995).
Em 2003, Mamis apresentou um modelo de linhas de transmissão monofásica a
parâmetros discretos que considera o efeito corona. Esse modelo leva em consideração
elementos não-lineares distribuídos ao longo da linha. A tensão e corrente no terminal da
linha são dadas a partir da resolução de equações diferenciais resolvidas por métodos de
integração numérica (MAMIS, 2003).
Em 2010, Li et al. apresentou um novo algoritmo que considera o efeito corona em
linhas de transmissão de energia em duas dimensões. Nesse algoritmo foi utilizado o método
de simulação de carga e o método dos elementos finitos na determinação campo elétrico
gerando assim as curvas q x v considerando o efeito corona (Li et al., 2010).
Atualmente existem pesquisas para verificar de forma mais exata o comportamento
dos parâmetros transversais. Florea et al., em 2012, faz um estudo de diversos métodos
numéricos para determinar a variação da capacitância dinâmica corona da linha (FLOREA et
al., 2012).
2.1 MECANISMO DO EFEITO CORONA
Descargas elétricas são geralmente iniciadas por um campo elétrico que acelera
elétrons livres através de um gás. Quando esses elétrons adquirem energia suficiente a partir
de um campo elétrico, podem produzir novos íons resultantes das colisões dos elétrons dos
átomos (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982). Esse processo é chamado de ionização
por impacto de elétrons (conforme mostrado na Figura 1). Os elétrons que iniciam o processo
de ionização são normalmente criados por fotoionização: uma fonte distante transmite energia
suficiente para um átomo, de modo que o átomo se rompe formando um elétron e um íon
carregado positivamente. Durante a aceleração no campo elétrico, os elétrons colidem com os
átomos de nitrogênio, oxigênio e outros gases presentes. A maioria das colisões são colisões
elásticas semelhantes à colisão entre duas bolas de bilhar. O elétron perde apenas uma
pequena parte de sua energia cinética em cada colisão. Ocasionalmente, um elétron de um
14
átomo pode golpear suficientemente rígido, de modo que a excitação ocorre, e o
Figura 1 – Processo de ionização.
Fonte: (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982)
átomo desloca-se para um estado de energia mais elevada. Mais tarde, o átomo excitado pode
reverter para o estado normal, resultando na radiação do excesso de energia na forma de luz e
ondas eletromagnéticas. Ou também, o elétron pode recombinar com um íon positivo,
convertendo a um átomo neutro (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982).
Os elétrons são conduzidos através de um gás devido ao um campo elétrico, o
processo básico ionizante é geralmente descritos como:
A + e A+ + e + e
Onde:
A = um átomo
A+= o íon positivo
e = um elétron
Depois de um elétron livre colidir com um átomo eletricamente neutro, outro elétron é
liberado. Cada um desses elétrons pode liberar mais dois elétrons. Assim, a reação em cadeia
faz com que a quantidade de elétrons aumenta rapidamente. Townsend (TOWNSEND, 1915),
nas suas primeiras experiências com descargas elétricas em gases, descreve por meio de um
coeficiente o número de elétrons produzido por um único elétron percorrendo uma distância
de 1 cm em um campo uniforme. Esse coeficiente é conhecido como coeficiente de primeira
ionização de Townsend.
15
Alguns fatores podem proporcionar um aumento ou diminuição da probabilidade de
colisão dos elétrons com átomos. Como o aumento da pressão, o número de átomos por
centímetro cúbico é aumentado e consequentemente ocorre o aumento de probabilidade da
colisão.
Durante a maior parte do percurso, o elétron não causar ionização por colisão, mas
colide elasticamente com os átomos em seu caminho. Com cada colisão, o elétron perde certa
quantidade de energia e dependendo da energia contida no elétron, esse elétron pode ser
capturado por um átomo neutro, irradiando a energia excedente (COMBER; DENO;
ZAFFANELLA, 1982). Algumas moléculas possuem uma elevada capacidade de captar
elétrons, por exemplo, os halogéneos e o vapor de água. O vapor de água captura os elétrons
ionizantes e inibe o processo de avalanche. Uma vez que esse íon é uma partícula
relativamente imóvel, deixa de ionizar gases por colisão.
2.2 ANÁLISE QUANTITATIVA DAS MANIFESTAÇÕES DO EFEITO CORONA
Conforme foi mencionado anteriormente, o efeito corona produz três manifestações
principais que devem ser levadas em conta:
a. Radiointerferência;
b. Ruídos auditivos;
c. Perdas de energia.
As duas primeiras apresentam nítido caráter de poluição ambiental, atingindo
diretamente a população que vive em volta das linhas de transmissão. As perdas por Corona
representam problemas econômicos. Em geral ocorrem simultaneamente, e se relacionam
diretamente com o gradiente de potencial dos condutores.
2.2.1 Radiointerferência
Descargas pontuais nas superfícies dos condutores, causados por irregularidades ou
partículas sólidas aderentes, provocam a formação de pulsos de correntes que se propagam ao
longo das linhas, estabelecendo campos eletromagnéticos e cuja presença é detectada por
receptores de rádio de amplitude modelada, principalmente nas faixas de 500 a 1600 kHz, ou
seja, exatamente nas faixas reservadas às transmissões em ondas médias (FUCKS, 1977).
Esses pulsos são gerados ao longo das linhas, ao acaso, e em um receptor se manifestam como
um ruído do tipo conhecido por estática, podendo perturbar uma radiorrecepção que, sem a
presença da linha, seria normal. Nos países em que a opinião pública é bem esclarecida sobre
seus direitos, a radiointerferência provocada por linhas de transmissão tem dado origem a
16
demandas judiciais de perdas e danos, sendo concessionárias condenadas a consideráveis
indenizações aos prejudicados. Daí a grande preocupação de não só procurar entender melhor
o fenêmeno, como também encontrar meios de minimizar os seus efeitos, através de criterioso
dimensionamento dos diâmetros dos condutores ou subcondutores; mantendo baixos os
gradientes de potencial. O construtor, ao entender e tensionar os cabos, deverá, por outro lado,
cuidar de que suas superfícies não sejam arranhadas para que não se criem pontos que
favoreçam as descargas pontuais.
As pesquisas mostraram que os fatores que afetam a radiointerferência e que
constituem as variáveis na maioria dos métodos divulgados são:
a. configuração ou distribuição espacial relativa aos condutores das linhas;
b. fator de superfície;
c. frequência de energia irradiada;
d. resistividade do solo;
e. umidade relativa;
f. densidade relativa do ar;
g. velocidade do vento
h. índice de precipitação (chuvas).
Há certa divergência quanto à importância de cada um dos fatores acima enumerados,
porém unanimidade quanto à importância das condições nas superfícies dos condutores.
2.2.2 Ruído Acústicos
Até a criação das linhas de transmissão em 500 kV, as maiores fontes de ruídos nos
sistemas elétricos eram constituídas pelos transformadores e subestações. As linhas pouco ou
nada contribuíam. No entanto, tudo indica que os níveis de ruídos gerados em linhas de 500 e
750 kV e nas futuras linhas em tensões ultra-elevadas podem tornar-se parâmetros limitantes
em seus projetos (FUCKS, 1977).
O ruído auditivo nas linhas ocorre ao longo dos cabos condutores, com componentes
em frequências subarmônicas da frequência da linha, de natureza contínua. Essas
componentes podem ser atribuidas a um movimento oscilatório da capa de ar ionizado que
envolve os condutores (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982). Há, além disso, uma
componente de natureza aleatória e provocada pelos eflúvios de corona nas superfícies dos
condutores durante os semiciclos positivos da tensão da linha, com um espectro mais amplo
de frequências, contendo sons de frequência fundamental, subarmônicos e harmônicos de
17
ordem superior. Essas fontes pontuais devidas aos eflúvios podem ser consideradas
uniformemente distribuídas ao longo da linha, emitindo ondas sonoras esféricas.
A geração dos ruídos audíveis é influenciada pelos seguintes fatores:
a. tensão de operação: são significantes para linhas acimas de 500 kV;
b. condições atmosféricas: as gotas d’água acumuladas na geratriz inferior dos
condutores fazem com que as intensidades das componentes aleatórias aumentem mais do que
as contínuas. Sob chuvas pesadas, o ruído que essas provocam é normalmente maior do que o
ruído gerado pelas linhas, não apresentando problemas mais sérios. As piores condições
ocorrem com chuvas fracas, neblina e água acumulada nos condutores. Em neblina,
especialmente, a transmissão do som é facilitada, aumentando o grau de perturbação. Em
tempo bom o nível de ruído pode ser de 5 a 20 dB, menor do que com condutores molhados,
ou sob neblina, dependendo do gradiente de potencial e do grau de irregularidades nas
superfícies dos cabos;
c. condições dos condutores, números de subcondutores por feixe e configuração
dos feixes afetam as condições de ruídos;
d. condições superficiais dos condutores: condutores envelhecidos pelo tempo
possuem superfícies mais lisas, desempenhando melhor;
e. distância das linhas e posições relativas de objetos refletores;
f. grau de atenuação pelo ar, direções e intensidades de vento etc.
2.2.3 Perdas de Energia por Corona
Mesmo em linhas com condutores bem dimensionados, quando as perdas por corona,
com boas condições meteológicas, são suficientemente pequenas para ser desprezadas para
fins de determinação de parâmetros das linhas, o mesmo não acontece, como mostraram
medições afetuadas em diversos países, em más condições meteológicas (FUCKS,1977).
Para a determinação analítica das perdas por efeito corona, encontra-se na literatura
um número grande de expressões, a maioria delas empíricas e baseadas em pesquisas e
observações realizadas por seus autores e cujos resultados nem sempre convergem
(COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982).
Por todas as condições citadas anteriormente, é fácil concluir que as perdas de energia
devidas ao efeito corona nas linhas de transmissão e, consequentemente, também sua
condutibilidade de dispersão somente podem ser definidas em termos estatísticas, em função
das condições meteorológicas que as linhas são submetidas. Essas, em geral, variam ao longo
de uma mesma linha, já que as linhas costumam ser longas e atravessam regiões com climas
18
totalmente diferentes. Qualquer estudo mais sério visando a determinar valores máximos ou
médios anuais somente poderá dar resultados dignos de confiança se baseia em dados
meteorológicos igualmente merecedores de crédito. Para tanto, é necessário dispor de índices
pluviométricos registrados hora por hora, durante um grande número de anos. A ordenação
dos dados obtidos permite a obtenção de curvas de duração dos índices de precipitação. De
posse desses dados, é possível calcular, pelos processos expostos, a curva de duração de
perdas anuais de potência por corona, que permite a determinação do valor das perdas médias
anuais (conforme mostra a Figura 2).
O grau de confiabilidade será tanto maior quanto maior for o número de anos de
observação e coleta dos índices horários de precipitações. Isso requer, evidentemente, uma
infraestrutura de meteorólogia moderna e eficiente, não só de postos de coleta de dados como
também de registro e ordenação.
Figura 2 – Curva de duração de perdas por Corona.
Fonte: (FUCKS, 1977).
O efeito corona pode produzir outros tipos de efeitos à natureza incluindo a produção
de ozônio e nitrato de oxigênio, já que tanto o gás O2 e N2 estão em abundância no ar
(COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982).
O ozônio é o produto gasoso principal do efeito corona seguido pelos óxidos de
nitrogênio (NO2 e NO3). As concentrações incrementais de NO2 e NO3 causada por uma linha
de transmissão em corona é de 1/6 da concentração de ozônio produzido.
2.3 MODELOS ANALÓGICOS DO EFEITO CORONA
Antes do surgimento dos computadores, as simulações do efeito corona eram feitos a
partir de modelos físicos de pequena escala (chamado Transient Network Analyzers ou
simplesmente TNA). Os modelos analógicos são circuitos elétricos projetados para reproduzir
19
o aumento da capacitância geométrica do condutor ao atingir a tensão crítica de ionização.
Alguns circuitos podem ser observados na Figura 3.
Exceto pelo aumento das capacitâncias da linha em função da tensão, a literatura
técnica apresenta algumas variações na modelagem do efeito corona.
Wagner & Lloyd utilizam os modelos analógicos da Figura 4 com um ou dois ramos
de capacitância chaveados durante o período em que a tensão supera os valores críticos de
corona (WAGNER; LLOYD, 1955).
Kudyan & Shih, Chistopoulos e Ametani & Motoyama utilizam os circuitos da Figura
5 onde os resistores são incluídos em paralelo com os capacitores para simular a constante de
decaimento de carga do corona (KUDYAN; SHIH, 1981; CHISTOPOULOS, 1985;
AMETANI; MOTOYAMA, 1987).
Figura 3 – Alguns modelos analógicos existentes.
Fonte: (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982).
Figura 4 – Modelo analógico de Wagner & Lloyd.
Fonte: (WAGNER; LLOYD, 1955).
20
Figura 5 – Modelo analógico de Chistopoulos.
Fonte: (CHISTOPOULO, 1985).
Vários outros autores (MARUVADA; MENEMENLIS; MALEWSKI, 1977;
PORTELA, 1978) utilizam circuitos semelhantes, onde são incorporados resistores e
capacitores adicionais para representar as perdas de energia e o efeito de carga espacial.
Santiago & Castellamos utilizam o circuito da Figura 6, onde um resistor não-linear
reproduz as constantes de tempo relacionado com as correntes de corona (SANTIAGO;
CASTELLAMOS, 1992).
Figura 6 – Modelo analógico de Santiago & Castellamos.
Fonte: (SANTIAGO; CASTELLAMOS, 1992).
Atualmente, os modelos analógicos podem ser desenvolvidos e simulados utilizando
computadores e o EMTP.
2.4 MODELOS MATEMÁTICOS DO EFEITO CORONA
Os modelos matemáticos reproduzem de forma aproximada a característica q x v de
condutores sob efeito corona, porém através da utilização de equações matemáticas.
Gary et al. propôs que a curva q x v fosse representada linearmente por partes,
permitindo escrever expressões matemáticas para a corrente de corona que dependem do nível
de tensão no condutor e da capacitância dinâmica da seção considerada. Um modelo
21
matemático de três ou quatro seções linearizadas corresponde a um circuito analógico com um
ou dois ramos de corona (CARNEIRO; MARTI, 1988).
Suliciu & Suliciu apresentam um modelo matemático que reproduz as propriedades
dinâmicas das curvas q x ʋ (SULICIU; SULICIU, 1981).
Gary et al. (GARY; TIMOTIN; CRISTESCU, 1983) mostram uma expressão empírica
para o cálculo da capacitância dinâmica da curva q x v:
)(F)CC(Cdt
dqC 0cor0d
(1)
sendo Ccor é a capacitância devido ao corona, F e η são funções empíricas da tensão e dos
parâmetros das curvas q x v obtidas a partir de medições.
Em 2003, Mamis apresentou dois modelos aplicados para o cálculo do efeito corona
em linha de transmissão baseados na capacitância dinâmica, os modelos foram desenvolvido a
partir do modelo de Gary e o modelo de Skilling & Umoto (MAMIS, 2003). Nesses modelos
é possível representar o efeito corona em qualquer ponto da linha. Esses modelos serão
estudados em detalhes nos capítulos posteriores.
Vários outros autores (LEE, 1983; INOUE, 1985) apresentam formulações empíricas
para a variação da capacitância da linha baseadas em constantes e funções obtidas a partir de
medições. A maioria dos modelos apresenta uma relação linear entre a capacitância dinâmica
e a tensão.
2.5 MODELOS FÍSICOS DO EFEITO CORONA
Inicialmente, considera-se as equações diferenciais da linha de transmissão no
domínio do tempo:
v iRi L
x t (2)
i vC
x t (3)
sendo R, L e C são a resistência, indutância e capacitância da linha por unidade de
comprimento, respectivamente.
Os modelos físicos têm como base a obtenção das equações (2) e (3) levando em conta
o efeito corona:
v iRi L
x t (4)
22
i q
x t (5)
)dt
d,f(q
(6)
Um modelo de base física do efeito corona deve conter um mínimo de coeficientes
empíricos que sejam determináveis. Além disso, deve evitar o uso de aproximações que
limitem a sua utilização em condições específicas de propagação.
Os estudos publicados por Cladé et al. (CLADE; GARY; LEFEVRE, 1969),
descrevem a aplicação de leis físicas a fim de examinar o fenômeno de corona ao redor dos
condutores. Estudos posteriores (SEMLYEN; WEI-GANG, 1986; JESUS; BARROS, 1994)
apresentam modelos de descrição do movimento e distribuição de cargas espaciais de uma
forma simplificada, a fim de reproduzir alguns dos fenômenos essenciais produzidos pelo
complexo mecanismo de ionização do ar ao redor do condutor.
Devido à complexidade em descrever matematicamente os fenômenos físicos
envolvidos bem como à quantidade insuficiente de dados de propagação sob efeito corona,
ainda não se dispõe de modelos dessa natureza.
2.6 CONCLUSÃO
Nesse capítulo foi apresentado o estudo físico sobre o efeito corona. Foi mostrado que
o efeito corona se manifesta a partir do momento que ocorre a ruptura do dielétrico do ar ou
de qualquer outro gás. No caso de sistemas de potência, o efeito corona pode ocorrer em
cadeias de isoladores e na própria linha de transmissão.
Verificou-se que o efeito corona em linhas de transmissão pode gerar diversos
problemas no fornecimento de energia elétrica e sistemas de telecominicação resultando num
fenômeno muito importante a ser estudado em sistemas de potência.
Por fim, foram apresentados diversos modelos utilizados para representar o efeito
corona em linhas de transmissão. Entre os modelos apresentados serão destacados nos
seguintes capítulos os modelos analógicos e os modelos matemáticos.
23
3 MODELOS DE LINHA DE TRANSMISSÃO MONOFÁSICA
Nos anos de 1960 surgiram as primeiras publicações abordando modelagem
computacional em linhas de transmissão, que alguns anos mais tarde foram base para o
desenvolvimento do Eletromagnetic Transient Program, ou simplesmente conhecidos como
EMTP (DOMMEL, 1969). Entre os modelos conhecidos para a simulação de linhas de
transmissão no domínio do tempo, o método de Bergeron (MAMIS; KAYGUSUZ;
KÖKSAL, 2010) e a cascata de circuitos π (MAMIS, 2002; 2003) são alguns dos mais
utilizados. Estes são os modelos mais comuns de linha de transmissão utilizados para o estudo
do efeito corona. Neste capítulo serão apresentados os desenvolvimentos do método de
Bergeron e a cascata de circuito π para uma linha de transmissão monofásica. Estes modelos
serão aplicados para determinação da tensão transitória durante uma energização de uma linha
monofásica.
3.1 MÉTODO DE BERGERON
Considerando os parâmetros longitudinais de uma linha de transmissão como sendo
indutância (L) e resistência (R) por unidade de comprimento e os parâmetro transversal como
sendo a capacitância (C) por unidade de comprimento. Um segmento de linha de transmissão
pode ser representado pela Figura 7.
Figura 7 – Segmento de uma linha de transmissão
Fonte: Próprio Autor.
Aplicando as leis de circuitos na Figura 7, as tensões e correntes em um elemento dx
podem ser escritas como sendo (MAMIS; KAYGUSUZ; KÖKSAL, 2010):
i( x,t )v( x,t ) ( R x )i( x,t ) ( L x )
t
(7)
24
v( x,t )- i(x,t) (C x )
t
(8)
Para um ponto x qualquer ao longo do comprimento da linha, o sistema de equações
diferenciais que descreve as tensões e correntes na linha de transmissão é dado por:
v( x,t ) i( x,t )Ri( x,t ) L
x t
(9)
i( x,t ) v( x,t )- C
t t
(10)
A solução analítica das equações (9) e (10) é de difícil resolução. Considerando que a
linha de transmissão ideal seja sem perdas (R=0), as equações (9) e (10) podem ser rescritas
como sendo:
v( x,t ) i( x,t )L
x t
(11)
i( x,t ) v( x,t )- C
t t
(12)
A solução das equações (11) e (12) conhecida e foi originalmente obtida por
d’Alambert em 1747.
1 0 2 0v( x,t ) f ( x c t ) f ( x c t ) (13)
1 0 2 0
1i( x,t ) ( f ( x c t ) f ( x c t ))
Z (14)
Esta solução é a combinação de ondas arbitrárias que viajam nas duas direções da
linha, onde Z é a impedância característica da linha e c0 é a velocidade de propagação das
ondas viajantes f1 e f2.
LZ
C (15)
0
1c
LC (16)
25
A partir dessa solução obtida por d’Alambert, H. W. Dommel desenvolveu um dos
seus primeiros modelos computacionais no domínio do tempo para linhas de transmissão,
baseado no método de Bergeron (DOMMEL, 1969). Desta forma, uma linha de transmissão
sem perdas é descrita na Figura 8.
Figura 8 – Segmento de linha de transmissão.
Fonte: Próprio autor.
Sabe-se que as equações (11) e (12) são as equações que determinam as correntes e
tensões ao longo da linha mostrada na Figura 8. Multiplicando a equação (14) por Z tem-se:
1 0 2 0Zi( x,t ) Zf ( x c t ) Zf ( x c t ) (17)
Somando as equações (13) e (17), obtém-se:
1 0v( x,t ) Zi( x,t ) 2Zf ( x c t ) (18)
Fazendo a subtração de (13) e (17), tem-se:
2 0v( x,t ) Zi( x,t ) 2Zf ( x c t ) (19)
A equação (18) descreve uma onda progressiva enquanto que (19) descreve uma onda
retrógrada. Essas ondas movem-se ao longo da linha com uma velocidade constante c0.
Portanto, a posição x da onda progressiva é dada por:
0 0x 0 c t x c t 0 (20)
De maneira semelhante, para a onda retrógrada, tem-se:
0 0x d c t x c t d (21)
Portanto com base nas equações (20) e (21) pode-se escrever:
26
1 0 1f ( x c t ) f (0 ) (22)
2 0 2f ( x c t ) f ( d ) (23)
Com base nas equações (22) e (23) conclui-se que f1(x-c0t) e f2(x+c0t) são constantes.
Considere as ondas progressivas de corrente e tensão que no instante t-τ estão no terminal k e
que após um intervalo de tempo τ propagam-se até o terminal m. Com base nas equações (18)
e (22) pode-se descrever as equações no nó k e m.
k km 1V ( t ) Zi ( t ) 2Zf (0 ) (24)
m mk 1V ( t ) Zi ( t ) 2Zf (0 ) (25)
A partir das equações (24) e (25), obtém-se:
mk m k km
1 1i ( t ) V ( t ) V ( t ) i ( t )
Z Z (26)
Considera-se que no instante t-τ as ondas retrógradas de corrente e tensão estão no
terminal m e que após um intervalo de tempo τ, estas ondas propagam-se até o terminal k.
Com base nas equações (19) e (23) pode-se descrever as equações nos nós k e m.
m mk 2V ( t ) Zi ( t ) 2Zf ( d ) (27)
k km 2V ( t ) Zi ( t ) 2Zf ( d ) (28)
A partir das equações (27) e (28), obtém-se:
km k m mk
1 1i ( t ) V ( t ) V ( t ) i ( t )
Z Z (29)
A Figura 9 mostra o circuito que é descrito pelas equações (26) e (29).
Para o circuito mostrado na Figura 9, têm-se:
mk m m
1i ( t ) V ( t ) I ( t )
Z (30)
km k k
1i ( t ) V ( t ) I ( t )
Z
(31)
27
Figura 9 – Modelo de Bergeron para linha de transmissão sem perdas.
Fonte: (DOMMEL, 1969).
Comparando as equações (26) com (30) e (29) com (31), têm-se:
m k km
1I ( t ) V ( t ) i ( t )
Z (32)
k m mk
1I ( t ) V ( t ) i ( t )
Z
(33)
Vale lembrar que o modelo de Bergeron desenvolvido nesse capítulo foi considerado
para uma linha sem perdas (R=0). Entretanto a resistência distribuída (R) da linha pode, com
boa aproximação, ser substituída por resistências concentradas (R*) nas extremidades e no
meio da linha (MAMIS; KAYGUSUZ; KÖKSAL, 2010), como mostra a Figura 10, obtendo-
se as equações:
mk m m
e
1i ( t ) V ( t ) I ( t )
Z (34)
km k k
e
1i ( t ) V ( t ) I ( t )
Z
(35)
sendo:
m k km m mk
e e
1 h 1 1 h 1I ( t ) V ( t ) i ( t ) V ( t ) i ( t )
2 Z 2 Z (36)
k m mk k km
e e
1 h 1 1 h 1I ( t ) V ( t ) i ( t ) V ( t ) i ( t )
2 Z 2 Z
(37)
28
para e
R*Z Z
4,
Z R* / 4h
Z R* / 4, onde R* é a resistência total da linha (R*=R.l).
Figura 10 – Linha de transmissão com perdas para o método de Bergeron.
Fonte: (MIRANDA, 1994).
As equações (34) e (35) representam uma linha de transmissão monofásica (ou um dos
modos de propagação de uma linha polifásica) com parâmetros constantes na frequência. Esta
é uma simplificação que torna a solução das equações da linha de transmissão com perdas
bastante simples – para valores pequenos de resistência da linha (R*/4<<Z), causando
reflexões nas terminações da linha para valores mais elevados de R (MIRANDA, 1994).
3.1.1 Validação do modelo
Para validação do modelo, considera-se uma linha de transmissão monofásica com
100km de comprimento e terminal receptor aberto (conforme mostrada na Figura 11), sendo
representada pelo modelo de Bergeron com perdas.
Figura 11 – Linha de Transmissão Monofásica: Método de Bergeron.
Fonte: Próprio Autor.
Na linha mostrada pela Figura 11, será aplicada uma fonte de tensão continua de 20
kV, sendo os parâmetros longitudinais dado: R’ = 0.05 Ω/km e L’ = 1 mH/km. A capacitância
transversal da linha é C’ = 11.11 nF/km.
A B
29
Figura 12 – Energização da linha monofásica: Método de Bergeron.
Fonte: Próprio Autor.
Figura 13 – As primeiras reflexões da tensão durante a energização da linha monofásica:
Método de Bergeron.
Fonte: Próprio Autor.
A Figura 12 mostra a energização da linha monofásica com o terminal B da linha em
aberto até atingir o regime permanente. Na Figura 13 é mostrada a mesma energização, porém
é possível verificar melhor as reflexões de onda durante o regime transitório. Como a
velocidade de propagação da onda em uma linha de transmissão é próxima da velocidade da
luz e a linha possui 100 km de comprimento, o tempo necessário para ocorrer a primeira
reflexão de onda é de aproximadamente 0,33 ms, conforme é observado na Figura 13.
30
3.2 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POR MEIO DE UMA CASCATA DE CIRCUITOS Π.
Uma das maneiras possíveis de representar uma linha de transmissão monofásica é por
meio de parâmetros discretos. Um modelo aproximado bastante utilizado é o modelo por
cascata de circuitos π (MAMIS, 2002; 2003).
A Figura 14 representa uma linha de transmissão monofásica de comprimento d, com
o terminal emissor conectado a uma fonte de tensão v(t) e terminal receptor aberto.
Figura 14 – Linha de Transmissão Monofásica: método da cascata de circuitos π.
Fonte: Próprio Autor.
A linha mostrada na Figura 14 apresenta os seguintes parâmetros totais da linha:
resistivos (R’), indutivo (L’), condutivo (G’) e capacitivo (C’).
A Figura 14 pode ser representada por uma cascata com n circuitos π (SILVA;
KUROKAWA, 2011):
Figura 15 – Linha de transmissão representada por cascata com n circuitos π.
Fonte: Próprio Autor.
Os parâmetros parciais da linha (R, L, G, C) são funções dependentes do comprimento
da linha e do número de circuitos π utilizados.
dR=R
n (38)
dL=L
n (39)
31
dG=G
n (40)
dC=C
n (41)
As correntes e tensões ao longo da linha podem ser obtidos por meio da resolução do
sistema de equações de estado descrito por:
[X]= [A][X] +[B].u(t) (42)
Na equação (42), [X] é o vetor com as variáveis de estado e as matrizes [A] e [B] são
matrizes de estado do circuito da Figura 15. A maior vantagem de representar as correntes e
tensões do circuito na forma de equações de estado é que podem ser aplicados diversos
métodos numéricos para a resolução das equações diferenciais (SILVA; KUROKAWA,
2011).
Aplicando a Lei de Kirchhoff para as tensões no circuito da Figura 15, apenas para o
trecho final, têm-se:
n 2 n 1 n 1 n 1
dV (t) R.i (t) L. i (t) V (t) 0
dt (43)
n 1 n n n
dV (t) R.i (t) L. i (t) V (t) 0
dt (44)
Manipulando as equações (43) e (44), obtêm-se:
n 1 n-1 n 1 n 2
d R 1 1i (t) i (t) V (t) V (t)
dt L L L (45)
n n n n 1
d R 1 1i (t) i (t) V (t) V (t)
dt L L L (46)
Aplicando a Lei de Kirchhoff para as correntes no circuito da Figura 15, têm-se:
n-1 n n 1 n 1
di (t) i (t) GV (t) C V (t) 0
dt (47)
n n n
G C di (t) V (t) V (t) 0
2 2 dt (48)
Manipulando as equações (47) e (48), obtêm-se:
32
n 1 n 1 n n 1
d 1 1 GV (t) i (t) i (t) V (t)
dt C C C (49)
n n n
d 2 GV (t) i (t) V (t)
dt C C (50)
A partir das equações das correntes e tensões para n circuitos π podem ser escritos na
forma de variável de estado considerando que a matriz [A] pode ser escrita na forma da
equação (51). Têm-se:
A B
AC D
(51)
sendo:
R0 0 0
L
R0 0 0
L
A
R0 0 0
L
R0 0 0
L
(52)
10 0 0
L
10 0 0
L
B
10 0 0
L
10 0 0
L
(53)
1 10 0
C C
10 0 0
C
C
1 10 0
C C
20 0 0
C
(54)
33
G0 0 0
C
G0 0 0
C
D
G0 0 0
C
G0 0 0
C
(55)
1
L
0B
0
0
(56)
T
1 n 1 n
d d d dX i (t) i (t) V (t) V (t)
dt dt dt dt
(57)
T
1 n 1 nX i (t) i (t) V (t) i (t) (58)
3.2.1 Validação do modelo
Para validar o modelo à cascata de circuitos π será realizado o mesmo teste realizado
para o método de Bergeron. Considera-se a linha de transmissão monofásica em aberto
mostrada na Figura 16.
Figura 16 – Linha de Transmissão Monofásica: Método da cascata de circuitos π.
Fonte: Próprio Autor.
A linha mostrada pela Figura 16 é representada por uma cascata de 100 circuitos π
(Figura 15) e com uma distância d igual a 100 km. A linha é energizada por uma tensão
continua 20 kV. Os parâmetros longitudinais da linha são R’ = 0.05 Ω/km e L’ = 1 mH/km. Os
parâmetros transversais da linha são C’ = 11.11 nF/km e G’ = 0.556 µS/km. Para a resolução
A B
34
da equação de estado é utilizado o método da integração trapezoidal (ou Formula de Heun)
(SILVA; KUROKAWA, 2011).
Figura 17 – Energização da linha monofásica: Método da cascata de circuitos π.
Fonte: Próprio Autor
Figura 18 – As primeiras reflexões da tensão durante a energização da linha monofásica:
Método da cascata de circuitos π.
Fonte: Próprio Autor
A Figura 17 mostra a tensão no terminal B da linha monofásica. A Figura 18 mostra as
primeiras reflexões da onda durante o regime transitório. Comparando o método da cascata de
circuitos π com o método de Bergeron verifica-se o aparecimento de oscilações. Essas
oscilações são devidas a representação da linha por elementos discretos de circuitos.
3.3 CONCLUSÃO
Neste capítulo foram estudados dois modelos de linhas no domínio do tempo que
serão utilizados nos próximos capítulos para estudar o efeito corona em linhas de transmissão.
0 20 40 60 80 100 120-10
0
10
20
30
40
50
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10
0
10
20
30
40
50
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
35
Comparando os dois modelos utilizados, o modelo à cascata de circuitos π apresenta a
desvantagem de possuir oscilações que na pratica não existem. Entretanto, estes dois modelos
estão aptos a serem utilizados para o estudo do efeito corona.
36
4 INCLUSÃO DO EFEITO CORONA EM MODELOS DE LINHAS DE
TRANSMISSÃO MONOFÁSICA
Antes do surgimento dos computadores, as simulações do efeito corona eram
realizados a partir de modelos físicos em escalas reduzidas (denominado Transient Network
Analyzers ou, simplesmente, TNA). Atualmente, estes modelos analógicos podem ser
implementado de forma simples em modelos de linhas existentes (modelo de Bergeron). Os
modelos analógicos são circuitos elétricos projetados para reproduzir o aumento da
capacitância geométrica do condutor ao atingir a tensão crítica de ionização.
Conforme foi apresentado no capítulo 2, existem vários modelos para representar o
efeito corona em linhas de transmissão. Alguns desses modelos são baseados em elementos de
circuitos (resistências, capacitâncias e diodos) e outros modelos são baseados em formulação
matemática. Entretanto, todos os modelos têm o mesmo intuito que é representar as perdas
corona com a variação dos parâmetros transversais ao longo da linha de transmissão. Porém,
todos os modelos mostrados são referentes à representação de linhas monofásicas. Alguns
autores sugerem decompor a linha em componentes sequenciais e analisar a influência do
efeito corona na componente de sequência zero (MIRANDA, 1994).
Este capítulo mostra como os modelos analógicos do efeito corona (Modelo de
Christopoulos e o Modelo de Wagner & Lloyd) podem ser incluídos em modelos de linha de
transmissão. Para ilustrar está aplicação será considerado o modelo de Bergeron como modelo
de linha escolhido.
Para verificar a aplicação dos métodos numéricos, os modelos de Gary e Skilling &
Umoto serão aplicados no modelo de linha por parâmetros discretos (cascata de circuitos π).
Os resultados obtidos por todos os modelos serão comparados com os resultados encontrados
na literatura.
4.1 MODELO DE WAGNER & LLOYD
O primeiro modelo analógico encontrado na literatura foi desenvolvido por Wagner &
Lloyd. Este modelo surgiu a partir de verificações experimentais realizados pelos autores
junto a American Gas and Electric Company (WAGNER; GROSS; LLOYD, 1954). O
modelo desenvolvido por Wagner & lloyd está ilustrado na Figura 19. Este modelo pode ser
implementado por um ou mais ramos de capacitância chaveados durante o período em que a
37
tensão supera os valores críticos de corona (WAGNER; GROSS; LLOYD, 1954 ; WAGNER;
LLOYD, 1955).
Figura 19 – Modelo de Wagner & Lloyd.
Fonte: (WAGNER; LLOYD, 1955).
O modelo de Wagner & Lloyd é representado por variação da capacitância transversal
da linha a partir da tensão ao longo da linha ultrapassar a tensão de corona. Essa variação se
dá ao longo da linha, pois a capacitância está em função do comprimento da linha. Quando a
tensão volta a ser menor do que a tensão de corona, a capacitância assume o valor
determinado pelas características geométrica da linha.
A Figura 19 mostra dois diodos D1 e D2 que conduzem apenas quando a tensão no
ponto A é maior do que a tensão ec1 e ec2, respectivamente. Quando isto ocorre, uma
capacitância C1 e/ou C2 são conectadas em paralelo a linha, aumentando o valor da
capacitância transversal. Para uma melhor representação deste efeito, pode-se discretizar a
linha em pequenos segmentos e conectar um ramo de corona entre cada segmento de linha
conforme mostrado pela Figura 20. Costuma-se dividir a linha por segmentos menores que 50
m, devido à representação do efeito corona por circuitos analógicos ocorrem pequenas
reflexões de onda que pode ocasionar interferência nos resultados.
Figura 20 – Modelo de Wagner & Lloyd aplicado à linha de transmissão.
Fonte: Próprio Autor.
38
Com a discretização da linha transmissão, a capacitância varia de ponto a ponto e em
regime transitório cada ponto da linha apresenta uma tensão distinta das outras. Portanto, em
cada pondo da linha haverá um valor de capacitância diferente.
4.1.1 Validação do modelo
Para a validação do modelo, utiliza-se na literatura uma linha curta de 2,3 km e com
uma carga no terminal receptor igual ao valor da impedância característica da linha, conforme
mostra a Figura 21.
Figura 21 – Simulação da linha de transmissão com efeito corona: Modelo Wagner & Lloyd.
Fonte: Próprio Autor.
A fonte de tensão v(t) é dada pela equação (59).
6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (59)
Os parâmetros da linha são dados pela Tabela 1, os parâmetros foram calculados para
duas frequências da linha (10 kHz e 100 kHz). Esses valores de frequência forma escolhidos
devido à fonte de tensão ser uma dupla exponencial e a característica do efeito corona ser um
fenômeno em alta frequência.
Tabela 1 – Parâmetros da linha da Figura 20.
Frequência 10 kHz 100 kHz
Resistência 19,29 Ω/km 104,4 Ω/km
Indutância 2,628 mH/km 2,283 mH/km
Capacitância 6,68 nF/km 6,68 nF/km
Fonte: (MIRANDA, 1994).
Os parâmetros do modelo de Wagner & Lloyd utilizados nas simulações são
apresentados na Tabela 2.
39
Tabela 2 – Parâmetros do modelo de Wagner & Lloyd.
Ramo 1 2
Capacitância 9,8 pF/m 0,4 pF/m
Tensão 230 kV 900 kV
Fonte: (MIRANDA, 1994).
A linha da Figura 21 foi dividida em segmentos de 50m, cada segmento foi
representado pelo modelo de Bergeron. Entre esses segmento foi colocado o modelo de
Wagner & Lloyd para representar o efeito corona na linha. As Figuras 22 e 23 mostram a
tensão há uma distancia de 1 km em relação ao terminal emissor da linha.
Figura 22 – Tensão utilizando o modelo de Wagner & Lloyd: parâmetros a 10 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
Figura 23 – Tensão utilizando o modelo de Wagner & Lloyd: parâmetros a 100 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
Nas Figuras 22 e 23, a curva 1 mostra a tensão aplicada pelo terminal emissor da linha
de transmissão, a curva 2 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor considerando o efeito
corona e a curva 3 mostra a tensão a 1 km do terminal sem considerar o efeito corona.
Verificam-se para essas duas faixas de frequência que o efeito corona modifica a forma de
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-500
0
500
1000
1500
2000
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(1)
(2)
(3)
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-500
0
500
1000
1500
2000
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(2)
(1) (3)
40
onda durante o regime transitório sob a ocorrência de uma descarga atmosférica,
apresentando-se como um fenômeno importante a ser considerado no estudo de transitórios
em linhas de transmissão.
4.2 MODELO DE CHRISTOPOULOS
Kudyan & Shih, Christopoulos e Ametani & Motoyama utilizam os circuitos da Figura
24 onde os resistores são incluídos em paralelo com os capacitores para simular a constante de
decaimento de carga de corona (KUDYAN; SHIH, 1981; CHRISTOPOULOS, 1985;
AMETANI; MOTOYAMA, 1987). Esta constante de decaimento é responsável pela variação
da condutância da linha. Comparando com o modelo analógico anterior, a resistência é a
principal diferença entre o modelo de Wagner & Lloyd e o modelo de Christopoulos.
Figura 24 – Modelo de Christopoulos.
Fonte: (CHRISTOPOULOS, 1985).
A Figura 24 mostra um diodo D1 que só conduz quando a tensão no ponto A é maior
do que a tensão ec. Quando isto ocorre, uma capacitância C1 e uma resistência R1 são inseridas
na linha de transmissão variando os parâmetros transversais. Para uma melhor representação
das perdas por efeito corona é necessário dividir a linha em pequenos segmentos e adicionar o
modelo de Christopoulos entre todos os segmentos. Desta forma, é possível representar o
efeito corona distribuído na linha de transmissão, conforme mostrado na Figura 25.
Figura 25 – Modelo de Christopoulos aplicado à linha de transmissão.
Fonte: Próprio Autor
41
Apresentado o mesmo efeito do modelo Wagner & Lloyd, com a discretização da
linha de transmissão, a capacitância varia de ponto a ponto e em regime transitório para cada
ponto da linha apresenta uma tensão distinta das outras. Portanto, em cada pondo da linha
haverá um valor de capacitância diferente.
Vários outros autores (AMETANI; MOTOYAMA, 1987; MARUVADA;
MENEMENLIS; MALEWSKI, 1977) utilizam circuitos lineares semelhantes, onde são
incorporados resistores e capacitores adicionais para representar as perdas de energia e o
efeito de carga espacial.
4.2.1 Validação do modelo
O teste para validação do modelo será utilizado o mesmo para o caso anterior. A linha
utilizada é uma linha curta de 2,3 km e com uma carga no terminal receptor igual ao valor da
impedância característica da linha, conforme mostra a Figura 26.
Figura 26 – Simulação da linha de transmissão com efeito corona: Modelo Christopoulos.
Fonte: Próprio Autor.
A fonte de tensão v(t) é dada pela equação (60).
6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (60)
Os parâmetros da linha são dados pela Tabela 3, os parâmetros foram calculados para
duas frequências da linha (10 kHz e 100 kHz). Esses valores de frequência foram escolhidos
devido à fonte de tensão ser uma dupla exponencial e a característica do efeito corona ser um
fenômeno em alta frequência.
Os parâmetros do modelo de Christopoulos utilizados nas simulações são apresentados
na Tabela 4.
A linha da Figura 26 foi dividida em segmentos de linha de 50m, cada segmento de
linha foi representado pelo modelo de Bergeron. Entre esses segmento foi colocado o modelo
42
de Christopoulos para representar o efeito corona na linha. As Figuras 27 e 28 mostram a
tensão há uma distancia de 1 km em relação ao terminal emissor da linha.
Tabela 3 – Parâmetros da linha da Figura 26.
Frequência 10 kHz 100 kHz
Resistência 19,29 Ω/km 104,4 Ω/km
Indutância 2,628 mH/km 2,283 mH/km
Capacitância 6,68 nF/km 6,68 nF/km
Fonte: (MIRANDA, 1994).
Tabela 4 – Parâmetros do modelo de Christopoulos.
Resistência 600 MΩ/m
Capacitância 9,8 pF/m
Tensão 300 kV
Fonte: (MIRANDA, 1994).
Nas Figuras 27 e 28, a curva 1 mostra a tensão aplicada no terminal emissor da linha
de transmissão, a curva 2 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor considerando o efeito
corona e a curva 3 mostra a tensão a 1 km do terminal sem considerar o efeito corona.
Verificam-se para essas duas faixas de frequência que o efeito corona modifica a forma de
onda durante o regime transitório sob a ocorrência de uma descarga atmosférica,
apresentando-se como um fenômeno importante a ser considerado no estudo de transitórios
em linhas de transmissão.
Figura 27 – Tensão utilizando o modelo de Christopoulos: parâmetros a 10 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-500
0
500
1000
1500
2000
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(2)
(3)(1)
43
Figura 28 – Tensão utilizando o modelo de Christopoulos: parâmetros a 100 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
4.3 MODELO DE GARY
O modelo de Gary é um modelo que também é baseado no conceito da capacitância
dinâmica na linha de transmissão (GARY; TIMOTIN; CRISTESCU, 1983). Entretanto, a
maior diferença entre o modelo de Gary e os modelos analógicos é que a capacitância varia
em função da tensão instantânea no ponto em que ocorre corona. No caso dos modelos
analógicos, apenas pode-se incluir capacitâncias por ramos, esses ramos são limitados, pois a
partir do aumento no número de ramos os cálculos e a implementação numérica se tornam
inviável.
Em 2003, M. S. Mamis apresentou um trabalho que aplicava o modelo de Gary em
modelo de linhas a parâmetros discretos. Este modelo considera que a linha poder ser
representada por uma cascata de circuitos π. Porém, a principal característica deste modelo é
que a capacitância transversal da linha se comporta como uma capacitância não linear. Essa
não linearidade da capacitância segue as condições e os equacionamentos dados na
modelagem de Gary (MAMIS, 2003).
Figura 29 – Segmento de circuito π de um segmento de linha de transmissão com corona.
Fonte: Próprio Autor.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-500
0
500
1000
1500
2000
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(2)
(1) (3)
44
Este modelo é considerado como sendo um modelo dinâmico, ou seja, a capacitância
de corona é dependente da magnitude e taxa de variação de tensão. Nota-se que, as
capacitâncias de corona são elementos extras conectado na cascata de circuitos π (Figura 29)
quando a tensão no circuito π é maior que a tensão de corona e (dv/dt)>0, caso contrário esses
elementos são nulos.
A capacitância de corona apresentado por Gary et. al envolvendo a capacitância
geométrica da linha, é definida como (MAMIS, 2003):
1
C 0
C
vC C
v
(61)
sendo CC é a capacitância de corona, C0 é a capacitância geométrica da linha, vC é a tensão de
ruptura de corona e η é um coeficiente, para um único condutor, é dado pela expressão:
0,22r 1,2 (62)
sendo r é o raio do condutor em centímetros.
4.3.1 Validação do modelo
Para a validação do modelo, utiliza-se uma linha curta de 2,3 km e com uma carga no
terminal receptor igual ao valor da impedância característica da linha (Figura 30).
Figura 30 – Simulação da linha de transmissão com efeito corona: Modelo de Gary.
Fonte: Próprio Autor.
A fonte de tensão v(t) é dada pela equação (63).
6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (63)
Os parâmetros da linha são dados pela Tabela 5, os parâmetros foram calculados para
duas frequências da linha (10 kHz e 100 kHz). O raio do condutor é 11,52 mm e a tensão de
ruptura de corona é 300 kV.
45
Tabela 5 – Parâmetros da linha da Figura 30.
Frequência 10 kHz 100 kHz
Resistência 19,29 Ω/km 104,4 Ω/km
Indutância 2,628 mH/km 2,283 mH/km
Capacitância 6,68 nF/km 6,68 nF/km
Fonte: (MIRANDA, 1994).
Figura 31 – Tensão utilizando o modelo de Gary: parâmetros a 10 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
Figura 32 – Tensão utilizando o modelo de Gary: parâmetros a 100 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
A linha da Figura 30 foi representada por uma cascata de 100 circuitos π. A cascata de
circuitos π foi escrita na forma de equações de estado. Utilizando a Formula de Heun
(integração trapezoidal) foram determinadas as tensões há uma distancia de 1 km do terminal
emissor, conforme mostra as Figuras 31e 32. A curva 1 mostra a tensão aplicada pelo terminal
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120
500
1000
1500
2000
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(1)
(2)
(3)
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(1)
(2)
(3)
46
emissor da linha de transmissão, a curva 2 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor
considerando o efeito corona e a curva 3 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor sem
considerar o efeito corona. Verificam-se para essas duas faixas de frequência que o efeito
corona modifica a forma de onda durante o regime transitório sob a ocorrência de uma
descarga atmosférica, apresentando-se como um fenômeno importante a ser considerado no
estudo de transitórios em linhas de transmissão. Devido ao modelo de linha utilizado, nota-se
que a curva 3 apresenta oscilações devido à representação dos parâmetros da linha por
parâmetros concentrados de circuitos, fato este que não ocorre no modelo de Bergeron.
4.4 MODELO DE SKILLING & UMOTO
O modelo de Skilling & Umoto é um modelo que também é baseado no conceito da
capacitância dinâmica na linha de transmissão. Este modelo é similar ao modelo de Gary,
entretanto leva-se em conta não só o raio do condutor nos cálculos da capacitância, mas
também a altura em que o condutor está (SKILLING; DYKES, 1937; UMOTO; HARA,
1969). O modelo de Skilling & Umoto apresenta uma constante de perdas por corona.
Previamente determinada por resultados experimentais (UMOTO; HARA, 1969).
Em 1937, H. H. Skilling e P. Dykes publicou um trabalho mostrando o mecanismo das
perdas corona, mostrando uma equação que representa a distorção e a atenuação por corona
(SKILLING; DYKES, 1937). Anos mais tarde, J. Umoto e T. Hara apresentaram um trabalho
dando sequencia ao trabalho de Skilling e Dykes, neste trabalho foram apresentados algumas
equações que mostravam a variação da capacitância e da condutância pelo efeito corona
(UMOTO; HARA, 1969). Em 2003, no mesmo trabalho que aplicava o modelo de Gary, M.
S. Mamis aplicou o modelo desenvolvido por Skilling & Umoto para representar o efeito
corona em linhas de transmissão monofásica. Esse modelo considera que a linha poderia ser
representada por uma cascata de circuitos π, sendo a capacitância e a condutância transversal
da linha não linear.
Este modelo também é considerado como modelo dinâmico e aplicam-se as mesmas
condições do modelo de Gary. A capacitância e a condutâncias de corona são elementos
extras conectado na cascata de circuitos π (Figura 29) quando a tensão no circuito π é maior
do que a tensão de corona e (dv/dt)>0, caso contrário esses elementos são nulos.
Esse modelo, a capacitância não linear de corona apresentado por Skilling & Umoto é
adaptado pela simulação por equações de estado. A capacitância corona é definida como
(MAMIS, 2003):
47
CC C
vC 2k 1 F/m
v
(64)
sendo vC é a tensão de corona,
11
C C
rk x10
2h
(65)
e σC é constante de perdas corona, r e h são o raio e a altura do condutor com o solo,
respectivamente.
A ocorrência de corona produz mudança não somente nos valores instantâneos na
capacitância, mas também varia a condutância da linha. A atenuação das perdas corona é
modelada por uma corrente de perda ao longo da uma carga resistiva para o solo definhada
como (MAMIS, 2003):
2
CC R
vG k 1 F/m
v
(66)
sendo:
11
R G
rk x10
2h
(67)
e σG é a constante de perda corona.
4.4.1 Validação do modelo
Para a validação do modelo, utiliza-se uma linha curta de 2,3 km e com uma carga no
terminal receptor igual ao valor da impedância característica da linha (Figura 33).
A fonte de tensão v(t) é dada pela equação (68).
6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (68)
Os parâmetros da linha são dados pela Tabela 6, os parâmetros foram calculados para
duas frequências da linha (10 kHz e 100 kHz). O raio e altura do condutor são,
respectivamente, 11,52 mm e 12 m. A tensão de ruptura de corona é 300 kV. As constantes
são: σC = 30 e σG = 10x106 (MAMIS, 2003).
48
Figura 33 – Simulação da linha de transmissão com efeito corona: Modelo de Skilling &
Umoto.
Fonte: Próprio Autor.
Tabela 6 – Parâmetros da linha da Figura 33.
Frequência 10 kHz 100 kHz
Resistência 19,29 Ω/km 104,4 Ω/km
Indutância 2,628 mH/km 2,283 mH/km
Capacitância 6,68 nF/km 6,68 nF/km
Fonte: (MIRANDA, 1994).
A linha da Figura 33 foi representada por uma cascata de 100 circuitos π. A cascata de
circuitos π foi escrita na forma de equações de estado e utilizando a Formula de Heun
(integração trapezoidal) foi determinado as tensões há uma distancia de 1 km do terminal
emissor, conforme mostra as Figuras 34 e 35
Figura 34 – Tensão utilizando o modelo de Skilling & Umoto: parâmetros a 10 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120
500
1000
1500
2000
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(1)
(3)
(2)
49
Figura 35 – Tensão utilizando o modelo de Skilling & Umoto: parâmetros a 100 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
Nas Figuras 34 e 35, a curva 1 mostra a tensão aplicada pelo terminal emissor da linha
de transmissão, a curva 2 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor considerando o efeito
corona e a curva 3 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor sem considerar o efeito corona.
Verifica-se na curva 3 oscilações devido à representação dos parâmetros da linha por
parâmetros concentrados de circuitos.
4.5 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS
Até o momento, neste capítulo foi mostrado quatro modelos de corona de forma
separada que pode ser empregado em estudo de transitório em linhas de transmissão. De
forma a visualizar a diferença entre cada modelo, neste item serão comparados todos os
modelos com os resultados encontrados na literatura.
Figura 36 – Comparação dos modelos corona: parâmetros a 10 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V] (2)
(1)
(3)
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
X: 0.0014
Y: 1.2e-013
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(2)
(4)
(1)
(5)
(3)
50
As Figuras 36 e 37 mostram os modelos de corona aplicados para a simulação de uma
descarga atmosférica para os parâmetros calculados a uma frequência fixa de 10 e 100 kHz,
respectivamente. A curva 1 representa o modelo de Christopoulos, a curva 2 representa o
modelo de Wagner & Lloyd, a curva 3 representa o modelo Skilling & Umoto, a curva 4
representa o modelo de Gary e a curva 5 o resultado encontrado de forma experimental na
literatura (WAGNER; GROSS; LLOYD, 1954).
Figura 37 – Comparação dos modelos corona: parâmetros a 100 kHz.
Fonte: Próprio Autor.
Fazendo uma análise mais critica sobre os modelos, os modelos analógicos de
Christopoulos e Wagner & Lloyd apresentam um aumento de tensão mais abrupto do que os
modelos matemáticos. Este fato ocorre porque os modelos analógicos foram representados
por apenas um ou dois ramos de corona. Uma forma de corrigir essa limitação seria colocar
mais ramos de corona. Entretanto, com o acréscimo de ramos, a resolução numérica desses
elementos se torna mais complexa.
Ao representar o efeito corona por modelos dinâmicos (modelo de Gary e Skilling &
Umodo), verifica-se um aumento da tensão de forma mais suave. Esta característica ocorre
devido ao fato de que estes modelos levam em conta, em cada ponto da linha, a tensão e a
derivada desta tensão em relação ao tempo.
Comparando os dois modelos dinâmicos, o Modelo de Skilling & Umoto é o modelo
que mais se aproxima dos resultados experimentais. Isto devido a sua modelagem levar em
conta o raio e a altura dos condutores e principalmente apresentar uma constante de perdas
corona (determinada de forma experimental), o que não acontece no modelo de Gary. A
representação das perdas por corona, desenvolvido por Skilling & Umoto, é de fácil inserção
no modelo de Gary, fato este que resulta em um aperfeiçoamento deste modelo.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(2)
(1)
(3)(4)
(5)
51
4.6 CONCLUSÃO
Neste capítulo foram estudados quatro modelos utilizados para o estudo do efeito
corona em linhas de transmissão. Os modelos foram comparados entre si e foi possível
verificar que o modelo de Skilling & Umoto foi o que mais se aproxima da curva
experimental. Entretanto, todos os modelos estudados até o momento são apenas utilizados
em modelos de linhas de transmissão monofásica.
No próximo capítulo será apresentado um modelo de linha trifásica que possa incluir o
efeito corona no estudo de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão.
52
5 MODELO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICA A PARÂMETROS
DISCRETOS
Uma das maneiras possíveis de representar uma linha de transmissão é representa-la
por parâmetros discretos. Um dos modelos aproximados bastante utilizado é o modelo a
circuitos π (MAMIS, 2002; 2003). Este modelo representa a linha monofásica a partir de uma
cascata de circuitos π. Esta cascata de circuito π representa os parâmetros distribuídos ao
longo da linha, conforme mostrado no capítulo 3.
No caso de linhas polifásicas, o método mais clássico seria aplicar a decomposição
modal da linha (KUROKAWA, 2003). Entretanto, ao utilizar está técnica, o modelo do efeito
corona de Gary e Skilling & Umoto não podem ser aplicados devido aos seus parâmetros não
admitir variação quando a linha estiver no domínio modal.
Neste capítulo será mostrado o desenvolvimento de um modelo de linha em que as
equações de estado, que descrevem as correntes e tensões de fase da mesma, serão escritas
diretamente no domínio das fases, sem a utilização de qualquer tipo de transformação. O
mesmo pode ser utilizado para representar qualquer linha, independentemente da geometria
da mesma, sendo que, neste trabalho será mostrado o desenvolvimento do modelo para linhas
trifásicas. Este modelo de linha de transmissão trifásica possibilita a inclusão do efeito corona
utilizando os modelos de Gary e Skilling & Umoto
Em linhas de transmissão aéreas, o valor das condutâncias é muito pequeno, ou seja,
não tendo uma influência significativa na forma de onda da corrente e da tensão ao longo da
linha de transmissão (MARTINEZ; GUSTAVSEN; DURBAK, 2005), entretanto, será
considerado no equacionamento do modelo.
5.1 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DO MODELO PROPOSTO
Sabe-se que os parâmetros longitudinais de uma linha de transmissão são classificados
em parâmetros próprios e mútuos.
Os parâmetros próprios são a resistência e a indutância, sendo que os elementos
próprios são uma resistência e uma indutância própria em cada uma das fases. Quanto aos
parâmetros mútuos, deve-se levar em conta que o fato da linha ser construída sobre um solo
que não pode ser considerado ideal (do ponto de vista de suas características elétricas) faz
com que além da indutância mútua, exista também outro elemento que se comporta como uma
resistência e que diversos autores denominam de resistência mútua (DOMMEL, 1996).
53
A queda de tensão em um condutor devido à indutância mútua existente entre o
mesmo e outro é bastante conhecida e pode ser determinada por meio da lei de Lenz (HAYT,
2003). Quanto ao efeito de uma resistência mútua, pouca informação foi encontrada a respeito
da mesma.
A dificuldade em se levar em conta o acoplamento existente entre as fases de uma
linha de transmissão geralmente é eliminada quando a mesma é representada no domínio
modal. Neste domínio uma linha de transmissão de n fases é representada no domínio modal
por seus n modos de propagação, que são totalmente desacoplados uns dos outros e são
representados por n linhas monofásicas independentes. No domínio modal, os parâmetros
mútuos da linha são distribuídos entre os modos da mesma na forma de parâmetros
longitudinais próprios e esta característica dos modos de propagação permite equacionar as
correntes e tensões ao longo dos modos de propagação da linha sem que seja levada em conta,
nestas equações, os parâmetros mútuos da linha. Deste modo quando é necessário calcular
correntes e tensões nas fases de uma linha de transmissão, é bastante usual converter esta
linha para o domínio modal, calcular as correntes e tensões em cada um dos modos de
propagação e em seguida converter tais tensões e correntes para o domínio das fases por meio
da utilização de uma matriz de transformação fase-modo adequada (KUROKAWA, 2003).
Recentemente, Schulze (SCHULZE, 2010) propôs um modelo para considerar o efeito
da resistência. No modelo proposto, considera-se que o efeito de uma resistência mútua
obedece à lei Ohm, ou seja, a resistência mútua entre dois condutores j e k faz com que o
condutor j tenha uma queda de tensão devido à corrente no condutor k e esta queda de tensão
pode ser mensurada por meio de lei de Ohm.
A Figura 38 mostra dois condutores j e k acoplados por uma resistência mútua Rm.
Figura 38 – Representação da resistência mútua.
Fonte: Próprio Autor
condutor j
condutor k
Rm
vj(t)
vk(t)
ij(t)
ik(t)
54
Na figura 38 os condutores j e k são alimentados pelas fontes de tensão vj(t) e vk(t),
respectivamente, estão acoplados devido à presença da resistência mútua Rm e são percorridos
pelas correntes ij(t) e ik(t).
De acordo com Schulze (SCHULZE, 2010), é possível escrever as seguintes equações
para os condutores:
j m kv (t) R i (t) 0 (69)
k m jv (t) R i (t) 0 (70)
Nas equações (69) e (70) verifica-se que, devido à resistência mútua, o condutor j
sofre uma queda de tensão que é função da corrente no condutor k. O mesmo ocorre com o
condutor k em relação ao condutor j. Verifica-se também que a queda de tensão devido à
resistência mútua obedece à lei de Ohm.
Schulze et al. utiliza o modelo para resistência mútua descrita anteriormente para
descrever as equações de correntes e tensões em uma linha de transmissão trifásica
representada por um único circuito (SCHULZE, 2010). No entanto, por utilizar somente um
circuito , o modelo proposto por Schulze pode ser utilizado somente para representar linhas
curtas e não permite a visualização da propagação das ondas de correntes ao longo da linha.
Neste capítulo o modelo de resistência mútua proposto por Schulze será estendido para
situações em que linhas trifásicas sem transposição, com geometria genérica, sejam
representadas por uma grande quantidade de circuitos conectados em cascata, ou seja, será
deduzido um modelo para linhas de transmissão trifásicas de qualquer comprimento que pode
ser utilizado para representar estas linhas em situações em que se deve levar em conta que as
correntes e tensões ao longo da linha comportem-se como ondas.
5.2 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS TRIFÁSICAS
Considere uma linha trifásica genérica, conforme mostra a Figura 39.
Na Figura 39, as fases A, B e C da linha possuem alturas hA, hB e hC respectivamente,
em relação ao solo.
Considerando que um pequeno segmento de linha pode ser representado por elementos
discretos de circuito, é possível representar um pequeno segmento de linha mostrada na
Figura 39 pelo circuito mostrado na Figura 40.
55
C0/2 G0/2
5
Figura 39 – Linha de transmissão trifásica genérica.
A
B
hA
hB
hC
C
Fonte: Próprio Autor
Figura 40 – Representação de um pequeno segmento de linha trifásica por elementos discretos
de circuitos.
Fonte: Próprio Autor
Na Figura 40 (a) vAj(t) e vA(j-1)(t) são as tensões de fase nos pontos 2 e 5,
respectivamente, na fase A, nos extremos do segmento de linha enquanto que vBj(t) e vB(j-1)(t)
são as tensões de fase nos pontos 1 e 4, respectivamente, na fase B, no mesmo segmento e
vCj(t) e vC(j-1)(t) são as tensões de fase nos pontos 3 e 6, respectivamente, na fase C, do
segmento mostrado. As grandezas iAj(t), iBj(t) e iCj(t) são as correntes, nas fases A, B e C
respectivamente, no segmento de linha. As grandezas RA, RB e RC são, respectivamente, as
resistências longitudinais faz fases A, B e C do segmento de linha enquanto que LA, LB e LC
são as indutâncias longitudinais das fases A, B e C, respectivamente. Ainda, no circuito
mostrado na Figura 40 (a), as resistências mutuas são RAB, RAC e RBC e as indutâncias mutuas
RB LB
RBC , LBC LA
RC LC
C0B/2
C0A/2
C0B/2
C0A/2
C0C/2 C0C/2
CAB/2 CAB/2 CBC/2 CBC/2
CAC/2 CAC/2
1
2
3
4
5
6
RA
RAB , LAB
RAC , LAC
(a) (b)
56
são LAB, LAC e LBC. Na Figura 40 (a) serão levadas em consideração as condutâncias próprias e
mútuas que, devido à dificuldade de representação, não são mostradas na Figura 40 (a), mas
estas condutâncias estão em paralelo às capacitâncias conforme mostra a Figura 40 (b). O
segmento de linha possui também as capacitâncias transversais parciais CAB, CBC, CAC, C0A,
C0B e C0C.
Aplicando a Lei das malhas na fase A, B e C da Figura 40, têm-se:
AC 0AB 0ACA ABAj Aj Bj Cj A( j 1) Aj Bj Cj
A A A A A A A
R L Ld R R 1 1 d di i i i v v i i
dt L L L L L L dt L dt (71)
BC BCAB B ABBj Aj Bj Cj B( j 1) Bj Aj Cj
B B B B B B B
R Ld R R 1 1 L d di i i i v v i i
dt L L L L L L dt L dt (72)
AC BC C AC BCCj Aj Bj Cj C( j 1) Cj Aj Bj
C C C C C C C
R R R L Ld 1 1 d di i i i v v i i
dt L L L L L L dt L dt (73)
Aplicando a Lei das correntes na fase A, B e C da Figura 40, têm-se:
A AB AC AB ACA A A B C
A AB AC A AB AC A AB AC A AB AC
AB ACB C
A AB AC A AB AC
d 1 (G G G ) G GV I V V V
dt (C C C ) (C C C ) (C C C ) (C C C )
C d C dV V
(C C C ) dt (C C C ) dt
(74)
AB B AB BC BCB B A B C
B AB BC B AB BC B AB BC B AB BC
AB BCA C
B AB BC B AB BC
d 1 G (G G G ) GV I V V V
dt (C C C ) (C C C ) (C C C ) (C C C )
C d C dV V
(C C C ) dt (C C C ) dt
(75)
AC BC C AC BCC C A B C
C AC BC C AC BC C AC BC C AC BC
AC BCA B
C AC BC C AC BC
d 1 G G (G G G )V I V V V
dt (C C C ) (C C C ) (C C C ) (C C C )
C d C dV V
(C C C ) dt (C C C ) dt
(76)
Manipulando as equações 71-73 e 74-76 é possível obter as seguintes equações:
Aj
Aj 11 Bj 13 Cj 15 Aj 12 Bj 14 Cj 16
A( j 1) 12 B( j 1) 14 C( j 1) 16
di (t)i (t)a i (t)a i (t)a v (t)a v (t)a v (t)a
dt
v (t)( a ) v (t)( a ) v (t)( a )
(71)
Aj
Aj 21 Bj 23 Cj 25 Aj 22 Bj 24 Cj 26
dv (t)i (t)a i (t)a i (t)a v (t)a v (t)a v (t)a
dt (72)
Bj
Aj 31 Bj 33 Cj 35 Aj 32 Bj 34 Cj 36
A( j 1) 32 B( j 1) 34 C( j 1) 36
di (t)i (t)a i (t)a i (t)a v (t)a v (t)a v (t)a
dt
v (t)( a ) v (t)( a ) v (t)( a )
(73)
57
Bj
Aj 41 Bj 43 Cj 45 Aj 42 Bj 44 Cj 46
dv (t)i (t)a i (t)a i (t)a v (t)a v (t)a v (t)a
dt (74)
Cj
Aj 51 Bj 53 Cj 55 Aj 52 Bj 54 Cj 56
A( j 1) 52 B( j 1) 54 C( j 1) 56
di (t)i (t)a i (t)a i (t)a v (t)a v (t)a v (t)a
dt
v (t)( a ) v (t)( a ) v (t)( a )
(75)
Cj
Aj 61 Bj 63 Cj 65 Aj 62 Bj 64 Cj 66
dv (t)i (t)a i (t)a i (t)a v (t)a v (t)a v (t)a
dt (76)
sendo:
2
A BC B C AB C AB AC BC AC B AC AB BC
11 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
R L L L R L L L L R L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(77)
2
BC B C12 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(78)
2
AB BC B C B C AB AC BC BC B AC AB BC
13 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
R L L L R L L L L R L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(79)
C AB AC BC14 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(80)
2
AC BC B C BC C AB AC BC C B AC AB BC
15 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
R L L L R L L L L R L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(81)
B AC AB BC16 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(82)
2
0B AB BC 0C AC BC BC
21
C C C C C C Ca 2
(83)
2A AB AC BC B AB BC C AC BC AB AB C AC BC AC AC B AB BC BC AB AC AC AB
22
(G G G ) C (C C C )(C C C ) C G (C C C ) C G (C C C ) C C G C Ga
(84)
AB 0C AC BC AC BC
23
C C C C C Ca 2
(85)
B AB BC AB C AC BC AC BC B AB BC AB C AC BC AC BC BC AB BC AB BC24
(C C C ) G (C C C ) C G (G G G ) C (C C C ) C C C C G G Ca
(86)
AC 0B AB BC AB BC
25
C C C C C Ca 2
(87)
58
C AC BC AC B AB BC AB BC C AC BC AC B AB BC AB BC BC AC BC AC BC26
(C C C ) G (C C C ) C G (G G G ) C (C C C ) C C C C G G Ca
(88)
2
A C AB AC BC AB AC A C AC A BC AB AC
31 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
R L L L L R L L L R L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(89)
C AB AC BC32 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(90)
2
AB C AB AC BC B AC A C BC A BC AB AC
33 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
R L L L L R L L L R L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(91)
2
AC A C34 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(92)
2
AC C AB AC BC BC AC A C C A BC AB AC
35 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
R L L L L R L L L R L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(93)
A BC AB AC36 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(94)
AB 0C AC BC AC BC
41
C C C C C Ca 2
(95)
A AB AC AB C AC BC BC AC A AB AC AB C AC BC BC AC AC AB AC AC AB42
(C C C ) G (C C C ) C G -(G G G ) C (C C C ) C C + C C G C Ga
(96)
2
0A AB AC 0C AC BC AC
43
C C C C C C Ca 2
(97)
2B AB BC AC A AB AC C AC BC AB AB C AC BC BC BC A AB AC AC AB BC BC AB
44
(G G G ) C (C C C )(C C C ) C G (C C C ) C G (C C C ) C C G C Ga
(98)
BC 0A AB AC AC AB
45
C C C C C Ca 2
(99)
C AC BC BC A AB AC AB AC C AC BC BC A AB AC AB AC AC AC BC AC BC46
(C C C ) G (C C C ) C G -(G G G ) C (C C C ) C C + C G C C Ga
(100)
2
A B AC AB BC AB A BC AB AC AC AB A B
51 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
R L L L L R L L L L R L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(101)
B AC AB BC52 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(102)
59
2
AB B AC AB BC B A BC AB AC BC AB A B
53 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
R L L L L R L L L L R L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(103)
A BC AB AC54 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
L L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(104)
2
AC B AC AB BC BC A BC AB AC C AB A B
55 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
R L L L L R L L L L R L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(105)
2
AB A B56 2 2 2
A B C A BC B AC C AB AB AC BC
L L La
L L L L L L L L L 2L L L
(106)
AC 0B AB BC AB BC
61
C C C C C Ca 2
(107)
A AB AC AC B AB BC BC AB A AB AC AC B AB BC AB BC AB AC AB AB AC62
(C C C ) G (C C C ) C G -(G G G ) C (C C C ) C C +C C G C Ga
(108)
BC 0A AB AC AB AC
63
C C C C C Ca 2
(109)
B AB BC BC A AB AC AC AB B AB BC BC A AB AC AB AC AB AB BC AB BC64
(C C C ) G (C C C ) C G -(G G G ) C (C C C ) C C +C G C C Ga
(110)
2
0A AB AC 0B AB BC AB
65
C C C C C C Ca 2
(111)
2C AC BC AB A AB AC B AB BC AC AC B AB BC BC BC A AB AC AB AC BC BC AC
66
(G G G ) C (C C C )(C C C ) +C G (C C C ) G C (C C C ) C C G C Ga
(112)
sendo:
0A AB AC 0B AB BC 0C AC BC
2 2
0A AB AC BC 0B AB BC AC
2
0C AC BC AB AB BC AC
C C C C C C C C C
C C C C C C C C
C C C C 2C C C
(113)
Escrevendo a equação (71)-(76) na forma de equação de estado obtém-se:
[x] [A][x] [B][u(t)] (114)
sendo:
60
11 12 13 14 15 16
21 23 25
31 32 33 34 35 36
41 43 43
51 52 53 54 55 56
61 63 65
a a a a a a
a 0 a 0 a 0
a a a a a a[A]
a 0 a 0 a 0
a a a a a a
a 0 a 0 a 0
(115)
12 14 16
32 34 36
32 36 34
a a a
0 0 0
a a aB
0 0 0
a a a
0 0 0
(116)
T Aj Aj Bj Bj Cj Cjdi (t) dv (t) di (t) dv (t) di (t) dv (t)
xdt dt dt dt dt dt
(117)
T
A( j 1) B( j 1) C( j 1)u(t) V (t) V (t) V (t)
(118)
Na equação (117), T[x] é o vetor [x] transposto e na equação (118), [u(t)]T é o vetor
[u(t)] transposto.
A equação (114) permite calcular as correntes e tensões de fase nos terminais de um
pequeno segmento da linha mostrada na Figura 40 diretamente no domínio das fases
independentemente da geometria da linha.
Considerando agora que a linha é representada por n segmentos do tipo mostrado na
Figura 40 é possível reescrever a equação (117) como sendo:
T
A1 An A1 An B1 Bn B1
Bn C1 Cn C1 Cn
[x] [i (t) i (t) v (t) v (t) i (t) i (t) v (t)
v (t) i (t) i (t) v (t) v (t)]
(119)
O vetor [x], na equação (119), possui 6n elementos e é constituído pelas correntes
longitudinais e pelas tensões transversais nas fases da linha representada por uma cascata de n
circuitos do tipo mostrado na Figura 40. Deste modo, as grandezas iAj(t), iBj(t) e iCj(t)
correspondem às correntes nas fases A, B e C, respectivamente, no j-ésimo segmento
representado por um circuito igual ao circuito mostrado na Figura 40. De modo análogo, as
grandezas vAj(t), vBj(t) e vCj(t) corresponde às tensões nas fases A, B e C no j-ésimo segmento.
61
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]
[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]
[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A]
[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]
[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]
[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]
(120)
A matriz [A], na equação (120), é uma matriz quadrada de dimensão 6n. Esta matriz é
constituída por 36 submatrizes quadrada, de dimensão n, que obedece às seguintes regras de
formação:
- Submatrizes [A11], [A13], [A15], [A22], [A24], [A26], [A31], [A33], [A35], [A42], [A44], [A46],
[A51], [A53], [A55]. [A62], [A64] e [A66]: estas submatrizes possuem elementos não nulos
somente na diagonal principal e são escritas como sendo:
A equação (121) é válida para os elementos a11, a13, a15, a22, a24, a26, a31, a33, a35, a42,
a44, a46, a51, a53, a55, a62, a64 e a66 calculado a partir das equações (77)-(112).
- Submatrizes [A12], [A14], [A16], [A32], [A34], [A36], [A52], [A54] e [A56]: estas submatrizes
possuem elementos não nulos somente na diagonal principal e na subdiagonal inferior e são
escritas como sendo:
pq
pq pq
pqpq
pq
pq pq
a
a a
a[A ]
a
a a
(122)
A equação (122) é válida para p = 1, 3, 5 e q = 2, 4, 6, sendo que o elemento apq é
calculado a partir das equações (77)-(112).
- Submatrizes [A21], [A23], [A25], [A41], [A43], [A45], [A61], [A63] e [A65]: estas submatrizes
possue elementos não nulos somente na diagonal principal e na subdiagonal superior e são
escritas como sendo:
pq
pq
pq
pq
pq
a
a
[A ]
a
a
(121)
62
pq pq
pq pq
pq
pq pq
pq
a a
a a1
[A ]2
a a
2a
(123)
A equação (123) é válida para p = 2, 4, 5 e q = 1, 3, 5, sendo que o elemento apq é
calculado a partir das equações (77)-(112).
Na equação (114), [B] é uma matriz de ordem 6n x 3 que é escrita como sendo:
11 12 13
(2n 1)1 (2n 1)2 (2n 1)3
(4n 1)1 (4n 1)2 (4n 1)3
b b b
0 0 0
b b b
B
0 0 0
b b b
0 0 0
(124)
sendo:
11 12b a (125)
12 14b a (126)
13 16b a (127)
322n 1 1b a
(128)
342n 1 2b a
(129)
362n 1 3b a
(130)
524n 1 1b a
(131)
544n 1 2b a
(132)
564n 1 3b a
(133)
Os elementos a12, a14, a16, a32, a34, a36, a52, a54 e a56 são calculados a partir das equações
(77)-(112).
63
Na equação (114) o vetor [u(t)] é escrito como sendo:
T
A B C[u(t)] v (t) v (t) v (t)
(134)
Sendo vA(t), vB(t) e vC(t) as fontes conectada, nas fases A, B e C, no inicio da linha.
Observa-se que equação (114) é constituída somente por grandezas de fase da linha e
permite obter, diretamente no domínio do tempo, as correntes e tensões de fase ao longo do
comprimento da linha, sem a necessidade de aplicar qualquer matriz de transformação.
5.3 VALIDAÇÃO DO MODELO PARA LINHAS TRIFÁSICAS
Neste item, será apresentada a validação do modelo proposto comparando com o
modelo clássico que utiliza a transformação modal. Para está validação será considerada uma
linha idealmente transposta. Em seguida serão realizados alguns testes, entre eles, será
simulada uma linha com plano de simetria, a energização de uma linha assimétrica, inserção
de bancos de capacitores e variação na carga.
5.3.1 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 1 – Linha idealmente transposta.
Seja uma linha de transmissão trifásica idealmente transposta, conforme mostra a
Figura 41:
Figura 41 – Representação da linha de transmissão trifásica.
1
2 3
4 5
(9.27; 24.4)
(7.51; 36)
3.6
m
Fonte: (KUROKAWA, 2003).
Considera-se que cada uma das fases da linha mostrada na Figura 41 é constituída de
um condutor com 1cm de raio. Os parâmetros desta linha foram calculados na frequência de
64
60 Hz, levando a conta os efeitos solo e pelicular. Deste modo, foram obtidos os seguintes
valores para os parâmetros longitudinais e transversais da linha.
0,6667 0,4667 0,4667
R ' 0,4667 0,6667 0,4667 /km
0,4667 0,4667 0,6667
(135)
1,5 0,5167 0,5167
L ' 0,5167 1,5 0,5167 mH/km
0,5167 0,5167 1,5
(136)
7,5 -1,8 -1,8
C' -1,8 7,5 -1,8 F/km
-1,8 -1,8 7,5
(137)
As capacitâncias parciais são dadas por: C0A=C0B=C0C= 3,9 ηF/km e CAB=CAC=CBC=
1,8 ηF/km.
A linha de transmissão mostrada na Figura 41, com 100 km de comprimento, teve uma
das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440 kV enquanto que os
terminais receptores da linha foram mantidos abertos. A configuração descrita anteriormente é
mostrada na Figura 42.
Figura 42 – Teste de validação do modelo para linha de transmissão trifásica
Solo
V1 = 440 kV
V2 = 0 V
#1
#2
V3 = 0 V
#3
t = 0
Fonte: Próprio Autor.
O modelo proposto e modelo clássico foram utilizados para simular as tensões de fase
nos terminais da linha mostrada na Figura 42. A condutância da linha de transmissão foi
considerada nula, porque em linhas aéreas a condutância não influencia de forma significativa
nas tensões e correntes da linha (MARTINEZ; GUSTAVSEN; DURBAK, 2005).
Nas simulações realizadas com o modelo proposto a linha foi representada por 100
65
circuitos do tipo mostrado na Figura 40 conectados em cascata. No modelo clássico, cada
modo de propagação foi representada também por 100 circuitos π (cada um representando um
pequeno segmento de linha) conectados em cascata e considerou a matriz de Claker como
matriz de decomposição modal.
Figura 43 – Tensão no terminal da linha na fase 1: modelo proposto (curva 1) e modelo
clássico (curva 2).
Fonte: Próprio Autor.
Figura 44 – Tensão no terminal da linha na fase 2: modelo proposto (curva 1) e modelo
clássico (curva 2).
Fonte: Próprio Autor.
Figura 45 – Tensão no terminal da linha na fase 3: modelo proposto (curva 1) e modelo
clássico (curva 2).
Fonte: Próprio Autor.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
200
400
600
800
1000
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V] (1)
(2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400
-200
0
200
400
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V] (1)
(2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400
-200
0
200
400
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V] (1)
(2)
66
As Figuras 43, 44 e 45 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1, 2
e 3 da linha. A curva 1 mostra resultados obtidos com o modelo proposto, enquanto que as
curva 2 mostram o resultado modelo clássico.
As Figuras 43, 44 e 45 mostram que não há diferença entre os resultados obtidos com
os dois modelos. Deste modo é possível afirmar que as considerações feitas, durante o
desenvolvimento do modelo proposto, estão corretas. É importante destacar que o modelo
proposto possibilita obter os resultados diretamente no domínio das fases, sem o uso de
qualquer matriz de transformação real, enquanto que o modelo clássico utiliza matrizes de
decomposição modal.
5.3.2 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 2 – Linha com plano de simetria.
No teste 2 será considerada a mesma linha representada na Figura 41, entretanto, a
linha de transmissão não terá transposição entre as fases.
Com isso, a linha mostrada na Figura 41, com 100 km de comprimento, terá os
seguintes parâmetros longitudinais e transversais:
0,8 0,5 0,5
R ' 0,5 0,6 0,4 /km
0,5 0,4 0,6
(138)
1,44 0,56 0,56
L ' 0,56 1,47 0,43 mH/km
0,56 0,43 1,47
(139)
6,3 -2,4 -2,4
C' -2,4 8,1 -0,6 F/km
-2,4 -0,6 8,1
(140)
As capacitâncias parciais são dadas por: C0A= 1,5 ηF/km, C0B=C0C= 5,1 ηF/km,
CAB=CAC= 2,4 ηF/km e CBC= 0,6 ηF/km.
Considera-se que a linha de transmissão mostrada na Figura 42, com 100 km de
comprimento, teve uma das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440
kV e os terminais receptores da linha foram mantidos em aberto.
O modelo proposto e o modelo clássico foram utilizados para simular as tensões de
fase nos terminais da linha mostrada na Figura 42.
Nas simulações, realizadas com o modelo proposto, a linha foi representada por 100
circuitos do tipo mostrado na Figura 40 conectado em cascata. No modelo clássico a linha foi
67
representada também por 100 circuitos discretos (cada um representando um pequeno
segmento de linha) conectados em cascata e considerou a matriz de Claker como matriz de
decomposição modal.
As Figuras 46, 47 e 48 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1, 2
e 3 da linha. A curva 1 mostra os resultados obtidos por meio do modelo proposto, enquanto
que a curva 2 mostra os resultados obtidos utilizando modelo clássico.
As Figuras 46, 47 e 48 mostram que o modelo proposto e o modelo clássico
apresentam diferença no módulo da tensão. Está diferença está relacionada com a matriz de
decomposição modal (matriz de Clarke) adotada pelo modelo clássico. A matriz de Clarke
apenas desacopla linhas trifásicas idealmente transpostas, para linhas com plano de simetria
utiliza-se esta matriz para desacoplar, de forma aproximada, as fases. Deste modo é possível
afirmar que o modelo proposto é um modelo mais exato do que o modelo clássico. É
importante destacar que o modelo proposto possibilita obter os resultados diretamente no
domínio das fases sem o uso de qualquer matriz de transformação real, enquanto que o
modelo clássico utiliza matriz de decomposição modal.
Figura 46 – Tensão no terminal da linha na fase 1: modelo proposto (curva 1) e modelo
clássico modal (curva 2).
Fonte: Próprio autor.
Figura 47 – Tensão no terminal da linha na fase 2: modelo proposto (curva 1) e modelo
clássico modal (curva 2).
Fonte: Próprio autor.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
200
400
600
800
1000
Tempo (ms)
Ten
são
(k
V)
(2)
(1)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400
-200
0
200
400
Tempo (ms)
Ten
são
(k
V)
(2)
(1)
68
Figura 48 – Tensão no terminal da linha na fase 3 modelo proposto (curva 1) e modelo
clássico modal (curva 2).
Fonte: Próprio autor.
5.3.3 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 3 – Linha assimétrica.
No teste 3, considera-se uma linha assimétrica conforme mostra a Figura 49.
Figura 49 – Linha de transmissão assimétrica.
Fonte: Próprio autor.
A linha mostrada na Figura 49, com 100 km de comprimento, terá os novos seguintes
parâmetros longitudinais e transversais:
1,0427 0,9242 0,9280
R ' 0,9242 1,0525 0,9342 /km
0,9280 0,9342 1,0627
(141)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400
-200
0
200
400
Tempo (ms)
Ten
são
(k
V)
(2)
(1)
1
2
3
69
1,7 1 0,9049
L ' 1 1,7 1 mH/km
0,9049 1 1,7
(142)
11,73 -4,43 -1,89
C' -4,43 13,21 -4,25 F/km
-1,89 -4,25 12,19
(143)
As capacitâncias parciais são dadas por: C0A= 5,41 ηF/km, C0B=4,53 ηF/km, C0C=
6,05 ηF/km, CAB=4,43 ηF/km, CAC= 1,89 ηF/km e CBC= 4,25 ηF/km.
Considera-se que a linha de transmissão mostrada na Figura 49, com 100 km de
comprimento, teve uma das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440
kV enquanto que os terminais receptores da linha foram mantidos em aberto.
Na simulação, realizadas com o modelo proposto, a linha foi representada por 100
circuitos do tipo mostrado na Figura 40 conectado em cascata.
A Figura 50 mostra a tensão na fase 1 da linha de transmissão assimétrica da Figura
49. Este resultado mostra que se pode aplicar o modelo proposto para o estudo de transitórios
de linhas assimétricas.
Figura 50 – Tensão no terminal da linha na fase 1 modelo proposto.
Fonte: Próprio autor.
Considerando a mesma linha assimétrica, o modelo proposto foi utilizado para
energizar a linha mostrada pela Figura 49. Considerou-se que no terminal receptor da linha foi
conectada uma carga de 15,85 MVA, com um fator de potência de 0,98, conforme mostra a
Figura 51. No tempo t = 20 ms, ocorreu um chaveamento da carga abrupta, a nova carga
conectada no terminal receptor é de 100 MVA. As simulações foram realizadas no software
Matlab®.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
200
400
600
800
1000
Tempo (ms)
Ten
são
(k
V)
70
Figura 51 – Teste de chaveamento de carga utilizando o modelo de linha de transmissão
assimétrica.
Fonte: Próprio autor.
A Figura 52 mostra as tensões no terminal receptor da linha, considerando o
chaveamento de carga. As curvas 1, 2 e 3 mostra a tensão nas fases 1, 2 e 3, respectivamente.
Na Figura 52 é possível observar que a energização ocorre no tempo t = 0 ms e o
chaveamento de carga ocorre no tempo t = 20 ms. Depois do chaveamento da carga ocorreram
oscilações nas tensões conforme esperado.
Figura 52 – Tensão no terminal receptor da linha para um chaveamento de carga.
Fonte: Próprio autor.
Em outra situação, na Figura 53, foi considerado um chaveamento de um banco de
capacitores no terminal receptor da linha. Inicialmente a linha mostrada na Figura 49, com
uma carga resistiva por fase igual a 1 kΩ foi conectada no terminal receptor e, foi energizada
no tempo t = 0. Quando o tempo atingiu t = 20 ms foi conectado um banco de capacitores
trifásico no terminal receptor (Cc=25 µF).
A Figura 54 mostra a tensão resultante no terminal receptor da linha, considerando o
chaveamento do banco de capacitores. A curva 1, 2 e 3 mostra a tensão nas fases 1, 2 e 3,
respectivamente.
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1000
-500
0
500
1000
Tempo [ms]
Ten
são
[k
v]
AC 440 kV
440 kV Transmission line
Load
1
2
3
t=0
(1) (2) (3)
71
Figura 53 – Teste de chaveamento de banco de capacitores utilizando o modelo de linha de
transmissão assimétrica.
Fonte: Próprio autor.
Na Figura 54 mostra que depois da inclusão do banco de capacitor, no tempo t = 20
ms, existiu um aumento da tensão no terminal receptor da linha conforme esperado.
Figura 54 – Tensão no terminal receptor da linha para um chaveamento de banco de
capacitores.
Fonte: Próprio autor.
5.4 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi apresentado um novo modelo de linhas de transmissão trifásica que
determina as correntes e tensões em todos os pontos da linha.
Este modelo foi validado a partir do modelo clássico a decomposição modal. O
modelo clássico é um método matemático que desacopla a linha, omitindo os valores de
resistências, indutâncias e capacitâncias mútuas, facilitando a resolução dos problemas.
O modelo proposto a parâmetros discretos permite representar diretamente no domínio
das fases, sem o uso de qualquer matriz de transformação modal e, desta forma, pode ser
0 10 20 30 40 50 60-1000
-500
0
500
1000
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
AC 440 kV 440 kV Transmission
line
Load
1
2
3
t=0
capacitor
bank
t=20 ms
Cc
72
usado para representar uma linha de transmissão trifásica transposta ou não transposta com ou
sem simetria vertical.
Para a validação do modelo proposto, foram comparados os métodos em duas
situações. A primeira considerou-se a linha idealmente transposta, cujas respostas de todos os
modelos foram iguais. Na segunda situação, o modelo clássico modal apresentou uma
variação em relação ao modelo proposto, entretanto, está variação é devido ao modelo
proposto não apresentar aproximações. Sabe-se que o modelo clássico modal para linhas não
transposta não ocorre o desacoplamento de forma exata utilizando a matriz de Clarke
(TAVARES, 1999).
Com a determinação deste modelo, agora se tem um modelo habito para inserir
elementos não lineares diretamente no domínio do tempo e das fases. Um exemplo prático foi
a variação de carga e do banco de capacitores, de forma ilustrativa foi utilizado cargas
simétricas, mas a inserção de cargas assimétricas não dificulta a modelagem realizada. No
próximo capítulo será mostrada uma proposta de modelo corona para linhas trifásicas
diretamente no domínio do tempo e das fases.
73
6 INCLUSÃO DO EFEITO CORONA EM MODELO DE LINHAS DE
TRANSMISSÃO TRIFÁSICA A PARÂMETROS DISCRETOS
Conforme já mencionado nos capítulos anteriores, o estudo do efeito corona em linhas
de transmissão é muito importante. O efeito corona pode causar problemas sociais e
econômicos. Do ponto de vista da engenharia, o efeito corona causa atenuação na tensão
gerando perdas ao longo da linha de transmissão.
Entretanto, os modelos de linha de transmissão encontrados na literatura apenas
estudam o efeito corona em modelos de linhas monofásicas. O efeito corona causa variação
nos parâmetros transversais da linha. Em linhas polifásicas existem acoplamentos entre as
fases dificultando a inserção do efeito corona nos modelos polifásicos existentes.
No capítulo 5 foi desenvolvido um modelo de linha de transmissão trifásica que poder
admitir a inserção do efeito corona nos parâmetros transversais da linha. O modo que será
feito está inserção será descrito neste capítulo, apresentando simulações que validam o novo
modelo para o estudo do efeito corona.
6.1 ESTUDO DAS CAPACITÂNCIAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO
Antes de iniciar o estudo da inclusão do efeito corona em linhas de transmissão é
muito importante estudar como são determinadas suas capacitâncias.
Os condutores das linhas de transmissão de energia elétrica energizados apresentam
diferenças de potenciais entre si e também com relação ao solo. Essas diferenças indicam a
presença de cargas elétricas distribuídas ao longo desses mesmos condutores. Uma linha de
transmissão comporta-se como um capacitor, tendo como elétrodos os próprios condutores e o
solo. Assim sendo, uma linha de transmissão, ao ser energizado, absorve da fonte cargas
elétricas necessárias ao seu carregamento, da mesma maneira que um capacitor (FUCKS,
1977).
Aplicando-se uma tensão alternada senoidal a uma linha de transmissão, a carga
elétrica dos condutores em um ponto qualquer varia de acordo com valores instantâneos das
diferenças de potencial existentes entre os condutores ou entre condutor e o solo (FUCKS,
1977). A capacitância entre os condutores é a carga dos mesmos pela diferença de potencial
entre eles.
Considerando que a matriz de capacitância [C] é a matriz de capacitância de um
sistema de n condutores, a matriz [C] pode ser expressa pela equação (144).
74
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
C C C
C C CC
C C C
(144)
O significado dos elementos mostrados na matriz [C], na equação (144), pode ser
visualizado na Figura 55.
Figura 55 – Capacitâncias em um sistema de n condutores.
Fonte: (FUCKS, 1977).
Considerando que na Figura 55, os condutores 1, 2, ..., n possuem, em relação ao solo,
os potenciais v1, v2, ..., vn, respectivamente. Deste modo, podem-se escrever as seguintes
equações (FUCKS, 1977):
1 10 1 12 1 2 1n 1 nq C v C (v v ) ... C (v v ) (145)
A equação (144) pode ser escrita como sendo:
1 10 12 1n 1 12 2 1n nq (C C ... C )v C v ... C v (146)
De modo análogo, para os demais condutores, obtêm-se:
2 12 1 20 12 2n 2 2n nq C v (C C ... C )v ... C v (147)
n 1n 1 2n 2 n0 1n 2n nq C v C v ... (C C C ...)v (148)
As equações (146)-(148) podem ser escritas na forma matricial como sendo:
75
10 12 1n 12 1n
21 20 21 2n 2n
n1 n2 n0 n1 nn 1
(C C ... C ) C C
C (C C ... C ) CC
C C (C C ... C )
(149)
Relacionando (144) e (149), pode-se concluir que os elementos com índice ii, ou seja,
Cii em (144), correspondem à soma das capacitâncias existentes entre o inésimo condutor e os
demais, além da capacitância existente entre esse condutor e o solo. Um elemento com índice
ij, ou seja, Cij corresponde à capacitância entre os condutores i e j.
Na equação (149), as capacitâncias C10, C20, ..., Cn0 são as capacitâncias parciais entre
os condutores 1, 2, ..., n e solo. As capacitâncias C12, C1n, ..., C2n são as capacitâncias parciais
entre os condutores. Na equação (144) são mostradas as capacitâncias aparente da linha.
6.2 PROPOSTA DE INSERÇÃO DO EFEITO CORONA EM LINHAS DE
TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS
Conforme já mencionado em capítulos anteriores, o efeito corona tem como principal
característica influenciar na variação dos parâmetros transversais da linha. A capacitância é o
parâmetro transversal que mais sofre variação do efeito corona.
No caso de linhas monofásicas, ao representar a linha por elementos discretos,
somente existirá a capacitância referente ao condutor e ao solo. Devido a está característica,
os modelos de efeito corona são inseridos nesta capacitância. Em caso de linhas polifásicas,
conforme mostrado no item anterior, ocorre a existências de capacitâncias parciais entre os
condutores e entre os condutores e o solo. Modelos de linhas polifásicas costuma-se aplicar a
teoria de decomposição modal. Essa teoria transforma uma linha polifásica em várias linhas
monofásicas onde os elementos mútuos são refletidos nos elementos próprios (KUROKAWA,
2003). Ao utilizar esse modelo de linha não é possível aplicar os modelos de efeito corona
conhecidos, já que a dificuldade seria variar as capacitâncias parciais entre os condutores e o
solo sem interferir nas capacitâncias parciais entre os condutores. O mesmo raciocínio
realizado para as capacitâncias da linha pode ser feito para as condutâncias.
Devido a está limitação dos parâmetros transversais da linha, o problema se resume
em determinar um modelo de linha de transmissão trifásica que determine as tensões e
correntes ao longo da linha diretamente no domínio do tempo, sem utilização da técnica de
desacoplamento modal. Entretanto, esse modelo foi desenvolvido no capítulo 5 e será
mostrada a inserção do efeito corona nesse modelo a seguir.
76
Considerando-se o modelo de linha de transmissão mostrado pela Figura 56.
Figura 56 – Modelo de linha para inserção do efeito corona.
Fonte: Próprio Autor
A Figura 57 (a) e (b) mostra as capacitâncias e condutâncias entre os condutores e o
solo do modelo da Figura 56, respectivamente.
Figura 57 – Representação dos parâmetros transversais da linha de transmissão trifásica: (a)
capacitâncias e (b) condutâncias.
(a) (b)
Fonte: Próprio Autor
Algumas considerações são feitas para a inserção do efeito corona nesse modelo de
linha:
i. Os modelos de efeito corona utilizados são os modelos adaptados de Gary e o Skilling
& Umoto. Esses modelos são modelos computacionais muito utilizados em linhas
monofásicas a parâmetros discretos.
RB LB
RBC , LBC LA
RC LC
C0B/2
C0A/2
C0B/2
C0A/2
C0C/2 C0C/2
CAB/2 CAB/2 CBC/2 CBC/2
CAC/2 CAC/2
1
2
3
4
5
6
RA
RAB , LAB
RAC , LAC
(a)
CA0
CB0
CC0
CAB
CAC
CBC
A
C
B GA0 B
GB0
GAB
A GAC
GBC
C
GC0
77
ii. Ocorre apenas variação nas capacitâncias e condutâncias parciais entre os condutores e
o solo. Essa consideração ocorre devido a maior diferença de potencial se dá
justamente ente o condutor e o solo. As capacitâncias e condutâncias parciais entre
fases permaneceram constantes. A partir desta consideração tem-se a Figura 58.
Figura 58 – Representação dos parâmetros transversais da linha de transmissão trifásica: (a)
capacitâncias e (b) condutâncias.
(a) (b)
Fonte: Próprio Autor
Os modelos Gary e Skilling & Umoto são considerados como sendo um modelo
dinâmico, ou seja, as capacitâncias e condutâncias de corona são dependentes da tensão e da
taxa de variação da tensão.
No caso do modelo Gary, nota-se que as capacitâncias de corona são elementos extras
somados as capacitâncias parciais entre o condutor e o solo (Figura 58 (a)) quando a tensão
entre a fase e o solo é maior do que a tensão de corona e derivada desta tensão for maior que
zero caso contrário esses elementos são nulos.
A capacitância de corona apresentado por Gary envolvendo a capacitância geométrica
da linha é definida como:
1
C 0
C
vC C
v
(150)
sendo CC é a capacitância de corona, C0 é a capacitância parcial entre o condutor e o solo, vC é
a tensão de ruptura de corona e η é um coeficiente, para um único condutor, é dado pela
expressão:
CA0
CB0
CC0
CAB
CAC
CBC
A
C
B GA0 B
GB0
GAB
A GAC
GBC
C
GC0
78
0,22r 1,2 (151)
sendo r é o raio do condutor em centímetros.
No caso do modelo Skilling & Umoto, nota-se que as capacitâncias e condutâncias de
corona são elementos extras somados as capacitâncias e condutâncias parciais entre o
condutor e o solo (Figura 58 (a) e Figura 58 (b), respectivamente) quando a tensão entre a fase
e o solo é maior do que a tensão de corona e a derivada dessa tensão forem maiores que zero
caso contrário esses elementos são nulos.
Nesse modelo a capacitância não-linear de corona apresentado por Skilling & Umoto é
adaptado pela simulação por equações de estado. A capacitância corona é definida como:
CC C
vC 2k 1 F/m
v
(152)
sendo vC é a tensão de corona,
11
C C
rk x10
2h
(153)
e σC é constante de perdas corona, r e h são o raio e a altura do condutor com o solo,
respectivamente.
A atenuação das perdas corona é modelada por uma corrente de perda ao longo da uma
carga resistiva para o solo definida como:
2
CC R
vG k 1 F/m
v
(154)
sendo:
11
R G
rk x10
2h
(155)
e σG é a constante de perda corona.
79
A Figura 59 mostra por diagrama de blocos como será feita o cálculo de linhas
trifásicas considerando o efeito corona.
Figura 59 – Diagrama de blocos para a inserção do efeito corona em linhas trifásicas.
Fonte: Próprio Autor
A Figura 59 mostra o diagrama de inserção do efeito corona em linhas de transmissão
trifásicas. A primeira etapa é determinar as matrizes [A] e [B] de estado a partir dos
parâmetros da linha. Em seguida determinar as tensões e correntes para o primeiro passo de
cálculo. O terceiro passo seria verificar se as tensões em todos os pontos da linha são menores
do que a tensão de corona e se a derivada das mesmas são maiores do que zero. Caso estas
condições forem verdadeiras, ocorre a atualização nos valores das capacitâncias e
condutâncias parciais entre o condutor e o solo, atualizando a matriz de estado [A]. No caso
S
N
S
Fim
Corrigir C e G,
Atualizar a matriz de estado
t = tfinal
Vn>Vcor &
Vn,In para t = tanterior+Δt.
.
N
80
das condições forem falsas, se não terminou a simulação, é recalculado a matriz de estado [A]
com os seus valores iniciais.
6.2.1 Validação da inserção do efeito corona no modelo para linhas trifásicas.
Por não encontrar na literatura modelos do efeito corona aplicados em linhas de
transmissão polifásicas, a validação do modelo não será dada de modo direto. Seja uma linha
de transmissão trifásica idealmente transposta com os três condutores na mesma altura,
conforme mostra a Figura 60:
Figura 60 – Linha de transmissão trifásica idealmente transposta com os três condutores na
mesma altura
Fonte: Próprio Autor
Considerou-se que cada uma das fases da linha mostrada na Figura 60 é constituída de
um condutor com raio médio geométrico de 3,278 cm. Os parâmetros desta linha foram
calculados na frequência de 10 e 100 kHz, levando a conta os efeitos solo e pelicular. Deste
modo, foram obtidos os seguintes valores para os parâmetros longitudinais e transversais da
linha.
Parâmetros da linha para frequência de 10 kHz:
7,904 7,752 7,752
R ' 7,752 7,904 7,752 /km
7,752 7,752 7,904
(156)
28 m
9,27 m 9,27 m
81
1,336 0,6191 0,6191
L ' 0,6191 1,336 0,6191 mH/km
0,6191 0,6191 1,336
(157)
12,8744 -3,085 -3,085
C' -3,085 12,8744 -3,085 F/km
-3,085 -3,085 12,8744
(158)
0,556 1,112 1,112
G ' 1,112 0,556 1,112 S/km
1,112 1,112 0,556
(159)
As capacitâncias parciais são dadas por: C0A=C0B=C0C= 6,7044 ηF/km e
CAB=CAC=CBC= 3,085 ηF/km.
Parâmetros da linha para frequência de 100 kHz:
54,34 53,36 53,36
R ' 53,36 54,34 53,36 /km
53,36 0,4667 54,34
(160)
1,176 0,4612 0,4612
L ' 0,4612 1,176 0,4612 mH/km
0,4612 0,6191 1,176
(161)
Os valores de capacitância e condutância para frequência de 100 kHz são os mesmos
da frequência de 10 kHz.
Considera-se que a linha de transmissão mostrada na Figura 60, com 2,3 km de
comprimento, teve todas as suas fases energizadas por uma fonte de tensão dada:
6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (161)
Nas simulações realizadas com o modelo proposto, a linha foi representada por 100
circuitos do tipo mostrado na Figura 56 conectado em cascata. Na Figura 61, foi conectada a
linha uma carga em estrela com o valor próximo ao valor da impedância característica.
O motivo pela escolha deste teste é feita pelo fato de cada condutor apresentar
parâmetros de linha bem próximos e ao energizar a linha com as três tensões idênticas às
tensões de cada fase têm o comportamento bem próximo de uma linha monofásica. Portanto,
será considerada uma linha monofásica equivalente para validar o modelo trifásico. Os
82
valores dos parâmetros da linha monofásica calculados para 10 kHz são R’ = 7,904 Ω/km, L’
= 1,336 mH/km, C’ = 12,8744 ηF/km e G’ = 0.556 µS/km e para 100 kHz são R’ = 54,34
Ω/km, L’ = 1,176 mH/km, C’ = 12,8744 ηF/km e G’ = 0.556 µS/km. A linha monofásica será
representada por 100 circuitos π em cascata e será comparada com a fase 1, devido a simetria,
as outras fases são iguais. Todos os resultados serão mostrados para tensão a 1 km do terminal
emissor da linha.
Figura 61 – Teste de da inserção do efeito corona em linhas trifásicas.
Fonte: Próprio autor.
Os modelos utilizados para representar o efeito corona em linha de transmissão
trifásica são o modelo de Gary e de Skilling & Umoto.
Figura 62 – Tensão na fase 1 pelo modelo de Skilling & Umodo com parâmetros de 10 kHz:
linha monofásica (curva 1) e modelo proposto (curva 2).
Fonte: Próprio Autor.
A Figura 62 mostra a tensão considerando os parâmetros calculados para frequência
10 kHz. A curva 1 é a tensão da linha monofásica e a curva 2 é a tensão na fase 1 da linha
trifásica.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10-5
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(1)
(2)
V(t) Carga trifásica
1
2
3
t=0
83
Figura 63 – Tensão na fase 1 pelo modelo de Gary com parâmetros de 10 kHz: linha
monofásica (curva 1) e modelo proposto (curva 2).
Fonte: Próprio Autor.
A Figura 63 mostra a tensão considerando os parâmetros calculados para frequência
10 kHz. A curva 1 é a tensão da linha monofásica e a curva 2 é a tensão na fase 1 da linha
trifásica.
Figura 64 – Tensão na fase 1 pelo modelo de Skilling & Umodo com parâmetros de 100 kHz:
linha monofásica (curva 1) e modelo proposto (curva 2).
Fonte: Próprio Autor.
A Figura 64 mostra a tensão considerando os parâmetros calculados para frequência
100 kHz. A curva 1 é a tensão da linha monofásica e a curva 2 é a tensão na fase 1 da linha
trifásica.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10-5
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(2)
(1)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10-5
0
200
400
600
800
1000
1200
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V]
(2)
(1)
84
Figura 65 – Tensão na fase 1 pelo modelo de Gary com parâmetros de 100 kHz: linha
monofásica (curva 1) e modelo proposto (curva 2).
Fonte: Próprio Autor.
A Figura 65 mostra a tensão considerando os parâmetros calculados para frequência
100 kHz. A curva 1 é a tensão da linha monofásica e a curva 2 é a tensão na fase 1 da linha
trifásica.
As Figuras 62-65 mostram a inserção do efeito corona em modelos de linhas trifásicas.
Verifica-se que o modelo de Skilling & Umoto continua sendo o melhor modelo para
representar o efeito corona em modelagem de linhas a parâmetros discretos. Entretanto, o
modelo de Gary pode continuar sendo utilizado para esta finalidade. No caso das Figuras 62 e
64, verifica-se que há uma diferença no módulo da tensão entre o modelo monofásico e
trifásico. Este fato ocorre por que as linhas trifásicas existem acoplamentos mútuos que geram
perdas entre os condutores.
6.2.2 Teste de energização da linha de transmissão trifásica considerando o efeito
corona.
Para verificar a influência do efeito corona em linhas de transmissão trifásicas, neste
tópico será realizado um teste de energização de uma linha sem e com o efeito corona
considerando o modelo proposto neste capítulo.
Seja uma linha de transmissão trifásica idealmente transposta, conforme mostra a
Figura 66. Considera-se que cada uma das fases da linha mostrada na Figura 66 é constituída
de um condutor com 1cm de raio. Os parâmetros desta linha foram calculados na frequência
de 60 Hz, levando a conta os efeitos solo e pelicular. Deste modo, foram obtidos os valores
para os parâmetros longitudinais e transversais da linha (equações (162)-(164)).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10-5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Tempo [ms]
Ten
são
[k
V] (1)
(2)
85
Figura 66 – Representação da linha de transmissão trifásica.
1
2 3
4 5
(9.27; 24.4)
(7.51; 36)
3.6
m
Fonte: (KUROKAWA, 2003).
0,6667 0,4667 0,4667
R ' 0,4667 0,6667 0,4667 /km
0,4667 0,4667 0,6667
(162)
1,5 0,5167 0,5167
L ' 0,5167 1,5 0,5167 mH/km
0,5167 0,5167 1,5
(163)
7,5 -1,8 -1,8
C' -1,8 7,5 -1,8 F/km
-1,8 -1,8 7,5
(164)
As capacitâncias parciais são dadas por: C0A=C0B=C0C= 3,9 ηF/km e CAB=CAC=CBC=
1,8 ηF/km.
Figura 67 – Teste de validação do modelo para linha de transmissão trifásica
Solo
V1 = 440 kV
V2 = 0 V
#1
#2
V3 = 0 V
#3
t = 0
Fonte: Próprio Autor.
86
A linha de transmissão mostrada na Figura 66, com 100 km de comprimento, teve uma
das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440 kV enquanto que os
terminais receptores da linha foram mantidos abertos. A configuração descrita anteriormente é
mostrada na Figura 67.
O modelo proposto foi utilizado para simular as tensões de fase nos terminais da linha
mostrada na Figura 67. Nas simulações realizadas com o modelo proposto a linha foi
representada por uma cascata 100 circuitos. A tensão no terminal receptor da fase 1 é
mostrada na Figura 68. A tensão de corona foi considerada vc= 600 kV.
Figura 68 – Tensão no terminal da linha na fase 1: curva sem corona (curva 1), curva com
corona – modelo de Skilling & Umoto (curva 2) e curva com corona – modelo de Gary (curva
3).
Fonte: Próprio Autor.
Na Figura 68 a curva 1 é a tensão no terminal receptor da linha utilizando o modelo
proposto e sem a inserção do efeito corona, a curva 2 é a tensão no terminal receptor da linha
utilizando o modelo proposto e com a inserção do efeito corona considerando o modelo de
corona de Skilling & Umoto e a curva 3 é a tensão no terminal receptor da linha utilizando o
modelo proposto e com a inserção do efeito corona considerando o modelo de corona de
Gary. Nota-se que a inserção do efeito corona provoca uma atenuação na tensão, está
atenuação é devida a variação dos parâmetros transversais da linha.
6.3 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi apresentado um novo modelo de linhas de transmissão trifásica que
leva em consideração a influência do efeito corona. Este modelo foi validado a partir dos
modelos de linhas monofásicas existentes a parâmetros discretos. Este método foi adotado
pelo fato de não encontrar na literatura modelos de linhas de transmissão polifásico que
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10-3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 10
5
Tempo (ms)
Ten
são
(V
)
(1)
(2)
(3)
87
considera o efeito corona.
Os resultados encontrados foram satisfatórios, pois o modelo representou de forma
adequada à variação dos parâmetros transversais da linha. Verifica-se que o modelo de
Skilling & Umoto é o modelo que mais adequado para representar o efeito corona em linhas
de transmissão. Resultado este que também foi determinado no Capítulo 4.
88
7 CONCLUSÕES
A importância do estudo do efeito corona em linhas de transmissão se dá devido aos
prejuízos econômicos e impactos sociais por ele causados. Em lugares que a população é bem
instruída dos seus direitos civis, o efeito corona gera principalmente dois problemas: a radio-
interferência e o ruído auditivo. No plano econômico, o efeito corona gera perdas no
transporte de energia, causando redução nos lucros das empresas de transmissão de energia.
Entretanto, grande parte das pesquisas sobre o efeito corona é realizada a partir de
experimentos. E ainda nos dias de hoje, a modelagem que estuda esse fenômeno em linhas de
transmissão não apresentou um modelo exato. Em busca de uma modelagem adequada,
verificou-se na literatura que os modelos existentes para representar este fenômeno só são
conhecidos para linhas monofásicas. Sabe-se que em linhas transmissão polifásicas ocorre à
existência de parâmetros mútuos, levados em consideração inviabiliza a utilização dos
modelos de corona existente nos dias atuais.
Para apresentar um modelo de linhas de transmissão polifásica que considera o efeito
corona em seu modelo, o problema se resume em determinar um modelo de linha adequado e
adaptar os modelos de efeito coronas existente na literatura.
Uma representação clássica de linhas de transmissão, diretamente no domínio do
tempo, consiste em separar a linha em seus modos de propagação e representar cada um
destes modos por meio de elementos discretos de circuitos. Neste modelo, a cada instante de
tempo é necessário representar a linha no domínio modal, calcular as correntes e tensões em
cada um dos modos de propagação da linha e, em seguida, converter os valores calculados
para o domínio das fases.
Com o objetivo de se obter um modelo diretamente no domínio do tempo e das fases,
nesse trabalho foi proposto um modelo de linha de transmissão. Esse modelo foi desenvolvido
sem a utilização de qualquer matriz de decomposição. Esse novo modelo se baseia em
representar um segmento de linha por elementos discretos de circuito. Com a utilização das
leis de circuitos foi possível obter uma equação de estado contendo as impedâncias e
admitância sem introduzir nenhuma aproximação.
Para a validação do modelo de linha proposto, utilizou-se como base o modelo que
utiliza a transformação modal. No teste 1 obteve-se resultado satisfatório. Entretanto, no teste
2 ocorreu uma pequena diferença entre os resultados gerados. No teste 2, a linha de
transmissão considerada não foi idealmente transposta, ou seja, a utilização de Clarke como
89
sendo a matriz de decomposição modal trata-se de um método que possui algumas
aproximações.
A partir da análise feita é possível validar o novo método desenvolvido. A grande
vantagem deste método é que esse modelo pode ser aplicado para qualquer configuração de
linha polifásicas e principalmente inserir elementos não-lineares. O que não ocorre nos
modelos clássicos. Ressaltando que o modelo não utiliza nenhum tipo de matriz de
decomposição modal.
A característica de admitir a inserção de elementos não-lineares qualifica o modelo de
linha desenvolvido para inserir o efeito corona. Já que o fenômeno se caracteriza por variar os
elementos transversais da linha de transmissão em função da tensão da linha de forma não-
linear. A capacitância da linha é o parâmetro que mais sofre influência do efeito corona.
Em uma linha de transmissão polifásica, existem capacitâncias parciais entre
condutores e entre condutor e o solo. Devido à altura dos condutores e os níveis de tensão, a
linha se comporta como um capacitor, obtendo uma maior diferença de potencial entre o
condutor e o solo. Esse fato motivou a inserção do efeito corona nas capacitâncias parciais
entre o solo e o condutor, do mesmo modo que se aplica ao modelo de linha monofásica.
Em linhas de transmissão monofásica a parâmetros discretos, existem dois modelos
utilizados para representar o efeito corona: o modelo de Gary e o modelo de Skilling &
Umoto. Os dois modelos de corona foram inseridos no modelo trifásico.
O modelo trifásico de corona foi comparado com o modelo monofásico equivalente.
Esta comparação foi realizada por não encontrar na literatura modelos que consideram o
efeito corona em linhas polifásicas. Apesar de não serem iguais, os resultados encontrados
foram muito satisfatórios. Os resultados obtidos foram similares aos resultados encontrados
para linhas monofásicas. O modelo de Skilling & Umoto apresentou um resultado mais
próximo da literatura, entretanto, dependendo do caso a ser estudado pode-se utilizar o
modelo de Gary para o estudo do efeito corona.
Então, a partir das análises feitas nesse trabalho é possível validar o novo método
desenvolvido. A grande vantagem deste método é que o efeito corona é inserido diretamente
no modelo de linhas de transmissão polifásica, diretamente no domínio do tempo.
90
REFERÊNCIAS
CARNEIRO, S.; MARTI, J. R. Evaluation of corona and line models in electromagnetic
transientes simulations. IEEE Transactions on Power Delivery, Piscataway, v. 6, n. 1, p.
334-342, jan. 1991.
CHIPMAN, R. A. Teoria e problemas de linhas de transmissão. São Paulo: McGraw-Hill
do Brasil, 1976.
CHRISTOPOULOS, C. Propagation of surges above the corona threshold on a line with a
lossy earth return. The International Journal for Computation and Mathematics in
Electrical and Electronic Engineering, Dublin, v. 4, n. 2, p.91 – 102, 1985.
CLADE, J. J.; GARY, C. H.; LEFEVRE, C. A. Calculation of corona losses beyond the
critical gradient in alternating voltage. IEEE Transactions on Power Apparatus and
Systems, Piscataway, v. 88, n. 5, p. 695-703, maio 1969.
COMBER, M. G.; DENO, D. W.; ZAFFANELLA, L. E. Corona phenomena on AC
transmission lines. In: AUTOR. Transmission line reference book: 345kV and Above. 2. ed.
Palo Alto: Electric Power Research Institute, 1982. p. 169-204. Project UHV Technical
Resource Operation Large Transformer Division General Electric CO.
DOMMEL, H. W. Digital computer solution of electromagnetic transients in single and
multiphase networks. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Piscataway, v.
PAS-88, n. 4, p. 388-399, 1969.
DOMMEL, H. W. EMTP theory book. Vancouver: Microtran Power System Analysis
Corporation, 1996.
FLOREA, G. A.; LIPAN, L. C.; DRAGAN, G.; MATEESCU, E.; RODEAN, I.; OLTEAN,
M. Considerations on the line capacitance under surge corona discharge. In:
INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY- EMC
EUROPE, 2012, Roma. 2012, Proceedings..., New York: [s.n.], 2012, p.1-6.
FUCHS, R. D., Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas; teoria das linhas em regime
permanete. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1977.
GARY, C.; TIMOTIN, A.; CRISTESCU, D. Prediction of surge propagation influenced by
corona and skin effect. IEE Proceedings A Physical Science, Measurement and
Instrumentation, Management and Education, London, v. 130, n. 5, p. 264 – 272, jul.
1983.
HAYT, W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
INOUE, A. Propagation analysis of overvoltage surges with corona based upon charge versus
voltage curve. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Piscataway, v. 104,
n. 3, p. 655-660, mar. 1985.
91
JESUS, C.; CORREIA DE BARROS, M. T. Modelling of corona dynamics of the a.c.
corona effect above the critical gradient. IEEE Transactions on Power Delivery,
Piscataway, v. 9, n. 3, p. 1564 – 1569, jul. 1994.
KUDYAN, H. M.; SHIH, C. H. A nonlinear circuit model for transmission lines in corona.
IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Piscataway, v. 100, n. 3, p. 1420-
1430, mar. 1981,
KUROKAWA, S. Parâmetros longitudinais e transversais de linhas de transmissão
calculados a partir das correntes e tensões de fase. 2003. 151 f. Tese (Doutorado em
Engenharia Elétrica)– Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade
Estadual de Campinas, Campinas, 2003.
LEE, K. C. Non-linear corona models in an electromagnetic transientes program (EMTP).
IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Piscataway, v. 102, n. 9, p. 2936-
2942, set. 1983.
LI, W.; ZHANG, B.; ZENG, R; HE, J. Dynamic simulation od surge corona with time-
dependente upwind difference method, IEEE Transactions on Magnetcs, Piscataway, v. 46,
n. 8, p. 3109 – 3112, aug. 2010.
MAMIS, M. S., Computation of electromagnetic transients on transmission lines with
nonlinear components, IEE Proceedings Generation, Transmission and Distribution,
Stevenage, v. 150, n. 2, p. 200-203, mar. 2003.
MAMIS, M. S., NACAROGLU, A., Transient voltage and current distributions
ontransmission lines, IEE Proceedings Generation, Transmission and Distribution,
Stevenage , v. 149, n. 6, p. 705-712, nov. 2002.
MAMIS, M. S., KAYGUSUZ, A., KÖKSAL, M. State variable distributed-parameter
representation of transmission line for transient simulations. Turkish Journal Of Electrical
Engineering & Computer Sciences, Ankara, v. 18, n. 1, p. 31-42, 2010.
MARTÍ, J. R. Accurate modelling of frequency-dependent transmission lines in
electromagnetic transient simulations. IEEE Transactions on Power Apparatus and
Systems, Piscataway, v. PAS-101, n. 1, p. 147-155, 1982.
MARTINEZ, J. A.; GUSTAVSEN, B.; DURBAK D. Parameter determination for modeling
system transients—part I: overhead lines. IEEE Transactions on Power Delivery,
Piscataway, v. 20, n. 3, p. 2038-2044, jul. 2005.
MARUVADA, P. S.; MENEMENLIS, H.; MALEWSKI, R. Corona characteristic of
conductor bundles under impulse voltages. IEEE Transactions on Power Apparatus and
Systems, Piscataway, v. 96, p. 102-115, jan./fev. 1977.
MARUVADA, P.S. Influence of Wind on the Electric Field and Ion Current Environment of
HVDC Transmission Lines. IEEE Transactions on Power Delivery, Piscataway, v. 29, n. 6,
p. 2561-2569, dez. 2014.
MIRANDA, G. C. Uma contribuição ao estudo do efeito corona em linhas de transmissão
92
utilizando o método dos elementos finitos. 1994. 123f. Tese (Doutorado em Engenharia
Elétrica), Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de
Campinas, Campinas, 1994.
MOTOYAMA, H.; AMETANI, A Development of a linear model for corona wave
deformation and its effects on lightning surges. Electrical Engineering in Japan, New York,
v. 107, n. 2, p. 98–106, mar. 1987.
NAREDO, J. L.; SOUDACK, A. C.; MARTI, J. R. Simulation of transientes on transmission
lines with corona via the method of characteristics. IEE Proc. Generators, Transmission
and Distribution, London, v. 142, n. 1, p. 81-87, jan. 1995.
PEEK, F. W. The law of corona and the dielectric strength o fair. In: ANNUAL
CONVENTION OF THE AMERICAN INSTITUTE OF ELECTRICAL ENGINEERS, 28.,
1911, Chicago. Proceedings... Chicago: [s.n.], 1911. p. 1889-1965.
PEEK, F. W. The law of corona and the dielectric strength o fair. In: ANNUAL
CONVENTION OF THE AMERICAN INSTITUTE OF ELECTRICAL ENGINEERS, 29.,
1912, Boston. Proceedings... Boston: [s.n.], 1912. p. 1051-1092.
PEEK, F. W. The law of corona and the dielectric strength o fair - III. In: ANNUAL
CONVENTION OF THE AMERICAN INSTITUTE OF ELECTRICAL ENGINEERS, 30.,
1913, Boston. Proceedings... Boston: [s.n.], 1913. p. 1767-1785.
PEEK, F. W. The law of corona and the dielectric strength o fair. In: SUMMER
CONVENTION OF THE AMERICAN INSTITUTE OF ELECTRICAL ENGINEERS, 4.,
1097, Detroit. Proceedings... Detroit: [s.n.], 1927, p. 1009-1024.
PORTELA, C. M. Computer simulation of electromagnetic transients with nonlinear
phenomena. In: POWER SYSTEMS COMPUTATION CONFERENCE, 6., 1978, Darmstadt.
Proceedings... Darmstadt: Zurith, 1978. p.1-8
SANTIAGO, N.; CASTELLANOS, F. Physical aspects of corona effect during transient
overvoltages and their simulation with circuit models. In: INTERNATIONAL
CONFERENCE ON POWER SYSTEMS AND ENGINEERING- IASTED, 1992,
Vancouver. Proceedings... Vancouver: [s.n.], 1992. p. 160-168
SCHULZE, R.; SCHEGNER, P.; ZIVANOVIC, R. Parameter identification of unsymmetrical
transmission lines using fault records obtained from protective relays. IEEE Transactions on
Power Delivery, Piscataway, v. 26, n. 2, p. 1265-1272, dez. 2010.
SEMLYEN, A; WEI-GANG, H. Corona modeling for calculation of transients on
transmission lines. IEEE Transactions on Power Delivery, Piscataway, v. 1, n. 1 p 228-
239, jul. 1986.
SKILLING, H. H.; DYKES, P. K. Distortion of Traveling Waves by Corona. Transactions of
the American Institute of Electrical Engineers. New York, v. 56, n. 7, p. 850-857, 1937.
SULICIU, M. M.; SULICIU, I. A rate type constitutive equation for the description of the
corona effect. IEEE transactions on Power Apparatus and Systems, Piscataway, v. 100, n.
93
8, p. 3681-3685, agosto 1981.
SILVA, R., C.; KUROKAWA, S. integration methods used in numerical simulations of
electromagnetic transients. IEEE Latin America Transactions, Piscataway, v. 9, n. 7, p.
1060-1065, dez. 2011.
TAVARES, M. C.; PISSOLATO, J.; PORTELA, C. M.; Mode domain multiphase
transmission line model: use in transient studies. IEEE Transactions on Power Delivery,
Piscataway, v. 14, n. 4, p. 1533-1544, out. 1999.
TOWNSEND, J. S. Electricity in gases. Oxford: Clarendon Press, 1915.
UMOTO, J., HARA, T. Numerical analysis of surge propagation on single-conductor systems
considering corona losses. Electrical Engineering in Japan, New York, v. 89, n. 5, p. 21-28,
1969.
WAGNER, C. F.; GROSS, J. W.; LLOYD, B. L. High voltage impulse tests on transmission
lines. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Piscataway, v. 73, n.
1 p. 196-210, abril 1954.
WAGNER, C. F.; LLOYD, B. L. Effects of corona on traveling waves. Transactions of the
American Institute of Electrical Engineers, Piscataway, v. 74, n. 12, p. 858-872, out. 1955.
Recommended