RODRIGO CLEBER DA SILVA Inclusão das Representações de … · 2015-11-11 · model line that provides for such distortions may be useful in the analysis of the protection system,

FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA

RODRIGO CLEBER DA SILVA

Inclusão das Representações de Gary e de Skilling-Umoto em Modelos de

Linhas de Transmissão Trifásicas: Aplicação em Simulações de Transitórios

Eletromagnéticos em Sistemas de Energia Elétrica.

Ilha Solteira

2015

FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA

RODRIGO CLEBER DA SILVA

Inclusão das Representações de Gary e de Skilling-Umoto em Modelos de

Linhas de Transmissão Trifásicas: Aplicação em Simulações de Transitórios

Eletromagnéticos em Sistemas de Energia Elétrica.

Prof. Dr. Sérgio Kurokawa

Orientador

Tese apresentada à Faculdade de

Engenharia - UNESP – Campus de Ilha

Solteira, como parte do pré-requisito para

obtenção do título de Doutor em

Engenharia Elétrica.

Área de Conhecimento: Automação.

Ilha Solteira

2015

da Silva Inclusão das Representações de Gary e de Skilling-Umoto em Modelos de Linhas de Transmissão Trifásicas: Aplicação em Simulações de Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Energia Elétrica.Ilha Solteira25/08/201595 Sim Tese (doutorado)Engenharia ElétricaSistemas Elétricos de PotênciaNão

.

.

FICHA CATALOGRÁFICA

Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação

Silva, Rodrigo Cleber da. Inclusão das representações de gary e de skilling-umoto em modelos de linhas de transmissão trifásicas: aplicação em simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica. / Rodrigo Cleber da Silva. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2015 93 f. : il. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2015 Orientador: Sérgio Kurokawa Inclui bibliografia 1. Efeito corona. 2. Linhas de transmissão. 3. Transitórios eletromagnético. 4. Modelo de gary. 5. Modelo de skilling & umoto.

S586i

Agradecimentos

Gostaria de deixar aqui meus agradecimentos às pessoas que contribuíram de forma

direta e indireta para que este trabalho fosse realizado.

À Deus que sempre me acalmou nos momentos de dificuldade possibilitando as

tomadas de decisão coerente com todo conhecimento adquirido.

À Prof. Dr. Sérgio Kurokawa que acreditou no meu potencial, pela orientação,

amizade, incentivo, confiança e dedicação compartilhada por todos esses anos.

À FAPESP pelo incentivo por meio da concessão de bolsa de estudo.

À todos os docentes e técnicos desta unidade que contribuíram para minha formação

profissional.

À minha família: Olinda (mãe), Paulo (pai), Bruna e Thamara (irmãs) e Fabiana

(esposa), pela amizade, auxilio e incentivo dedicados para a conclusão de mais uma etapa de

minha vida.

Enfim, à todos que contribuíram para a realização de mais um sonho, meus sinceros

agradecimentos.

RESUMO

Neste projeto é desenvolvido um modelo de linha de transmissão trifásica em que

possa ser incluído o efeito corona. O modelo será desenvolvido diretamente no domínio do

tempo e o mesmo baseia-se na hipótese de que um pequeno segmento de linha trifásica pode

ser representado por um circuito constituído por elementos discretos (resistências,

indutâncias, capacitâncias e condutâncias). A inserção do efeito corona no modelo da linha

será feito com base nos modelos de Gary e de Skilling-Umoto que, até o presente momento, é

utilizado para inserir o efeito corona em modelos de linhas de transmissão monofásicas. O

modelo a ser desenvolvido poderá ser utilizado para representar linhas trifásicas genéricas,

independentemente da geometria da mesma, em simulações de transitórios eletromagnéticos

que podem ocorrer em sistemas de energia elétrica. A grande contribuição que resultará do

desenvolvimento deste projeto será a disponibilização de um modelo de linha mais completo

que os modelos disponíveis atualmente, pois o modelo proposto poderá ser aplicado em

qualquer linha trifásica, independentemente da geometria da mesma, e levará em conta o

efeito corona (que é responsável por distorções nas formas de ondas de correntes e tensões

que se propagam ao longo da linha durante a ocorrência de distúrbios). Um modelo de linha

mais precisa que prevê tais distorções, poderá ser útil na análise do sistema de proteção,

permitindo um ajuste mais preciso e aumentando a confiabilidade do sistema de energia

elétrica.

Palavras-chave: Efeito Corona. Modelo de gary. Modelo de skilling & umoto. Circuitos π.

Parâmetros discretos. Transitórios eletromagnéticos. Linhas de transmissão.

Modelos de linha de transmissão.

ABSTRACT

In this project will be developed a model for three-phase transmission line that may be

included in the corona effect. The model will be developed directly in the time domain and

the same is based on the hypothesis that a short segment of three phase line can be represented

by a circuit constituted by discrete elements (resistance, inductance, capacitance, and

conductance). The insertion of the corona effect in the line model will be based on Gary and

Skilling-Umoto models that, until the present time, is used to insert the corona effect in

models of transmission lines monophasic. The model to be developed can be utilized to

represent generic three-phase lines, regardless of the line geometry, in electromagnetic

transient simulations that can occur in electrical power systems. The great contribution that

will result from the development of this project will be the making available of a model line

more complete than the currently available models, since the proposed model can be applied

to any three-phase line, regardless of the geometry of the line, and will take into consideration

the corona effect (which is responsible for distortions in the waveforms of voltages and

currents that propagate along the line during the occurrence of disturbance). A more accurate

model line that provides for such distortions may be useful in the analysis of the protection

system, allowing for a more precise fit and increasing the reliability of the electric power

system.

Keywords: Corona effect. Gary’s model. skilling & umoto’s model. Π-circuits. Discrete

parameters. Electromagnetic transients. Transmission lines. Models of

transmission line.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 8

2 LEVANTAMENTO HISTÓRICO SOBRE O EFEITO

CORONA

12

2.1 MECANISMO DO EFEITO CORONA 13

2.2 ANÁLISE QUANTITATIVA DAS MANIFESTAÇÕES DO

EFEITO CORONA

15

2.2.1 Radiointerferência 15

2.2.2 Ruído acústicos 16

2.2.3 Perdas de Energia por Corona 17

2.3 MODELOS ANALÓGICOS DO EFEITO CORONA 18

2.4 MODELOS MATEMÁTICOS DO EFEITO CORONA 20

2.5 MODELOS FÍSICOS DO EFEITO CORONA 21

2.6 CONCLUSÃO 22

3 MODELOS DE LINHA DE TRANSMISSÃO

MONOFÁSICA

23

3.1 MÉTODO DE BERGERON 23

3.1.1 Validação do modelo 28

3.2 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POR MEIO DE UMA

CASCATA DE CIRCUITOS Π.

30


3.3 CONCLUSÃO 34

4 INSERÇÃO DO EFEITO CORONA EM MODELOS DE

LINHAS DE TRANSMISSÃO MONOFÁSICA

36

4.1 MODELO DE WAGNER & LLOYD 36


4.2 MODELO DE CHRISTOPOULOS 40


4.3 MODELO DE GARY 43


4.4 MODELO DE SKILLING & UMOTO 46


4.5 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS 49

4.6 CONCLUSÃO 51

5 MODELO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICA A

PARÂMETROS DISCRETOS

52

5.1 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DO MODELO

PROPOSTO

52

5.2 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS TRIFÁSICAS 54

5.3 VALIDAÇÃO DO MODELO PARA LINHAS TRIFÁSICAS 63

5.3.1 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 1 – Linha

idealmente transposta.

63


com plano de simetria.

66


assimétrica.

68

5.4 CONCLUSÃO 71

6 INCERSÃO DO EFEITO CORONA EM MODELO DE

LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICA A

PARÂMETROS DISCRETOS

73

6.1 ESTUDO DAS CAPACITÂNCIAS EM LINHAS DE

TRANSMISSÃO

73

6.2 PROPOSTA DE INSERÇÃO DO EFEITO CORONA EM

LINHAS DE TRANSMISSÃO

75

6.2.1 Validação da inserção do efeito corona no modelo para linhas

trifásicas.

80

6.2.2 Teste de energização da linha de transmissão trifásica

considerando o efeito corona.

84

6.3 CONCLUSÃO 86

7 CONCLUSÕES 88

REFERÊNCIAS 90

8

1 INTRODUÇÃO

Sabe-se que uma linha de transmissão de energia elétrica é caracterizada pelos seus

parâmetros longitudinais e transversais serem distribuídos ao longo do seu comprimento. Esta

característica, juntamente com o fato de que os parâmetros longitudinais da linha são

variáveis em função da frequência, torna a linha de transmissão um elemento com certas

particularidades que devem ser levadas em consideração no momento de sua representação

(MARTI, 1982).

A natureza distribuída dos parâmetros longitudinais e transversais de uma linha de

transmissão deve ser levada em conta, principalmente, em estudos e simulações de

transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de manobra e descargas atmosféricas

na linha ou nas proximidades (WAGNER; GROSS; LLOYD, 1954). Nestas situações, as

correntes e tensões transitórias na linha assumem características tais que uma perfeita

compreensão das mesmas somente é possível se tais grandezas forem tratadas como ondas

que se propagam ao longo da linha de transmissão (CHIPMAN, 1976; FUCKS, 1977).

Os primeiros estudos técnicos sobre modelagem computacional de sistemas de

energia elétrica e linhas de transmissão foram apresentados no fim dos anos 1960. Os

trabalhos desenvolvidos ao longo desta década foram responsáveis pela criação do conceito

Electromagnetic Transient Program (conhecido como EMTP). Um dos maiores responsável,

Hermann W. Dommel, publicou o trabalho intitulado Digital Computer Solution of

Electromagnetic Transients in Single- and Multiphase Networks (DOMMEL, 1969). O artigo

propôs um método computacional de solução para a simulação de transitórios

eletromagnéticos no domínio do tempo em linhas polifásicas representadas por parâmetros

discretizados ou distribuídos.

H. W. Dommel apresentou uma abordagem diretamente no domínio do tempo, ou

seja, as correntes e tensões simuladas por meio do modelo são encontradas no domínio do

tempo. Entretanto, quando se trata de linhas polifásica há a existência de acoplamento mutuo

entre as fases dificultando a resolução. A forma encontrada por Dommel foi aplicar uma

transformação nas matrizes de impedância longitudinal e admitância transversal da linha de

forma que essas matrizes se tornem matrizes diagonais, este método de resolução é conhecido

como transformação modal (DOMMEL, 1969). Transformação modal desacopla uma linha

com n fases em n modos de propagação, que por vez, podem ser modeladas como n linhas de

transmissão e após a resolução aplica-se a transformada inversa modal para encontrar o

resultado diretamente no domínio das fases. Apesar de ser um método muito utilizado existem

9

algumas desvantagens como, por exemplos, se a linhas de transmissão não apresenta uma

simetria geométrica ou caso os seus parâmetros varie em função do tempo.

O elevado nível de tensão em linhas de transmissão pode resultar no efeito corona na

superfície dos condutores ou nos isoladores. Devido aos altos níveis tensões em que a linha de

transmissão possa transportar pode ocorrer o efeito corona. O efeito corona é um mecanismo

de descarga eletrostática que acontece devido à ionização de um material isolante, geralmente

um gás, sujeito a um campo elétrico de intensidade acima de um nível crítico (MIRANDA,

1994).

Do ponto de vista físico do fenômeno, descargas elétricas em gases são geralmente

iniciadas por um campo elétrico que acelera elétrons livres neste meio. Quando estes elétrons

adquirem, do campo elétrico, energia suficiente, os mesmos chocam-se com outros átomos e

destas colisões resultam mais elétrons livres. Estes elétrons livres podem, ocasionalmente, ao

colidir com um átomo, transferir energia suficiente para que o átomo salte para um estado de

energia mais elevado. Na volta para seu estado original, este átomo libera energia na forma de

luz, calor, energia acústica e radiação eletromagnética (COMBER; DENO; ZAFFANELLA,

1982).

Em linhas de transmissão de energia elétrica podem ocorrer descargas elétricas,

devido ao efeito corona, entre as fases e o solo ou fase e torre. Estas descargas ocorrem se a

diferença de potencial entre uma fase da linha e o solo ultrapassar um valor crítico que é

denominado gradiente crítico disruptivo do ar, sendo que tal valor crítico depende de

diversos fatores tais como: pressão atmosférica, umidade do ar e divergente do campo elétrico

(MIRANDA, 1994).

As perdas que ocorrem nas linhas de transmissão, devido ao efeito corona estão

relacionadas com a geometria dos condutores, com o valor da tensão nominal da linha, com o

gradiente de potencial na superfície dos condutores e com as condições meteorológicas do

local.

O efeito corona também pode se manifestar durante a ocorrência de sobretensões na

linha de transmissão. Nestas situações, as tensões de fase da linha podem atingir valores que

permitam a manifestação do efeito corona. Caso isto ocorra, as formas de ondas de tensão

transitória e em regime, prejudicando o sistema como um todo, sofrerão distorções e poderão

prejudicar o desempenho do sistema de proteção da linha que são especificados em função da

amplitude e da forma de onda das tensões.

Conclui-se então que simulações de transitórios eletromagnéticos realizadas com

modelos de linhas que levem em conta o efeito corona são mais precisas que resultados

10

obtidos com modelos sem este efeito. Simulações mais precisas permitirão dimensionar

sistemas de proteção mais confiáveis, contribuindo assim para aumentar a confiabilidade do

sistema de energia elétrica.

Entretanto não se encontram, na literatura, modelos de linhas de transmissão trifásicas

que levem em conta o efeito corona sendo que diversos autores consideram somente a

componente de sequência zero (MIRANDA, 1994).

Atualmente, a abordagem feita por diversos autores relacionados ao efeito corona,

volta-se no processo de otimização de algoritmos que facilite o estudo do fenômeno. Em

2010, Li et al. apresentou um novo algoritmo que considera o efeito corona em linhas de

transmissão utilizando o método de simulação de carga e o método dos elementos finitos (LI

et al., 2010).

Em 2014, Maruvada apresentou um trabalho que estuda a influência do efeito corona

em linhas de transmissão HVDC, mostrando que mesmo em tensão continua, porém na ordem

de centenas de kV, pode ocorrer perdas na transmissão devido ao efeito corona

(MARUVADA, 2014).

Levando em conta as considerações anteriores, este trabalho propõe um modelo de

linha de transmissão trifásica a parâmetros discretos para inclusão do efeito corona.

Este trabalho é dividido em sete capítulos:

Capítulo 1 – Introdução

Capítulo 2 – Levantamento histórico sobre o efeito corona – Descrição sucinta

do efeito corona em linhas de transmissão e revisão bibliográfica dos modelos

utilizados para a representação do fenômeno no cálculo de transitórios

eletromagnéticos.

Capítulo 3 – Modelos de linha de transmissão monofásica – Descrição sucinta

dos modelos de linhas de transmissão monofásicas. Neste capítulo são feitas

comparação entre os modelos monofásicos.

Capítulo 4 – Inserção do efeito corona em modelos de linhas de transmissão

monofásica – Neste capítulo será mostrado alguns modelos de efeito corona

aplicado em linhas de transmissão. Os modelos serão comparados entre si.

Capítulo 5 – Modelo de linhas de transmissão trifásica a parâmetros discretos –

Neste capítulo será desenvolvido um modelo de linha polifásica a parâmetros

discretos diretamente no domínio do tempo sem o uso de matriz de

decomposição.

11

Capítulo 6 – Inserção do efeito corona em modelo de linhas de transmissão

trifásica a parâmetros discretos – Neste capítulo será inserido o efeito corona

no modelo de linha desenvolvido no capítulo 5.

Capítulo 7 – Conclusões.

12

2 LEVANTAMENTO HISTÓRICO SOBRE O EFEITO CORONA

O efeito corona é um fenômeno complexo. Além da parte física (ionização,

deslocamento, difusão e recombinação de cargas), a representação em linhas de transmissão

aumenta consideravelmente a complexidade das equações de onda (MIRANDA, 1994).

Apesar da modelagem, o efeito corona é importante nas simulações de transitórios

eletromagnéticos, devido à atenuação e distorção causada nas sobretensões ao longo da linha.

As descargas corona em uma superfície de um condutor de uma linha de transmissão

ocorrem quando a intensidade do campo elétrico sobre a superfície do condutor excede o

valor de disruptura do ar. Mesmo em um campo elétrico uniforme entre dois eletrodos planos

paralelo no ar apresenta uma série de condições que controla a variação dessa força. Algumas

dessas condições são: a pressão do ar, o material do eletrodo, a humidade do ar, fotoionização

incidente e tipo de tensão (continua ou alternada). Sobre a superfície condutora, uma

irregularidade, como uma partícula contaminante causa um gradiente de concentração da

tensão que pode se tornar uma fonte pontual de uma descarga. A ruptura do ar na região gera

algumas consequências como: ruído audível, luminosidade, rádio interferência, vibração do

condutor, gás ozônio e outros produtos, e dissipação de energia (FUCKS, 1977; COMBER;

DENO; ZAFFANELLA, 1982). O efeito corona teve suas leis formuladas há mais de um

século atrás principalmente pelo pesquisador F.W. Peek (PEEK,1911; 1912; 1913;1927).

O estudo do efeito corona é feito desde o começo do século XX. Um dos primeiros

pesquisadores importante a estudar o assunto foi Peek (PEEK, 1911; 1912; 1913; 1927) que

publicou quatro artigos sobre corona que resultou nas Leis de Corona (Law of Corona) nos

anos de 1911, 1912, 1913 e 1927. Nesses trabalhos foram apresentados diversos conceitos e

verificações laboratoriais que motivaram o estudo dos trabalhos seguintes. Esses trabalhos

foram de fundamental importância, pois contribuíram para o entendimento do mecanismo

macroscópico básico do efeito corona.

Skilling & Dykes, em 1937, propuseram um equacionamento que relata a distorção e

atenuação da onda viajante para as perdas de potência por corona em linhas operando em

frequência nominal (SKILLING; DYKES,1937).

Em 1954 e 1955, respectivamente (WAGNER; GROSS; LLOYD,1954; WAGNER;

LLOYD, 1955) publicaram dois artigos que seriam referência para os futuros trabalhos sobre

o efeito corona. A partir de medições de tensão em uma linha experimental e em laboratório,

obtiveram as curvas q x v de um condutor sob efeito corona e propuseram um dos primeiros

modelos analógicos para a representação do efeito corona em linhas de transmissão.

13

Com o surgimento dos computadores e dos programas EMTP (electromagnetic

transientes program), diversos modelos computacionais baseados em resoluções numéricas

foram propostos. Em 1983, Lee (LEE, 1983) apresentou um modelo numérico simples e

preciso para representar o fenômeno não linear de corona, representado por equivalente de

Thévinin. Naredo et al., em 1995, propôs um algoritmo baseado no métodos das

características para a resolução das equações diferenciais, sendo adotado o modelo de corona

de Gary (NAREDO et al., 1995).

Em 2003, Mamis apresentou um modelo de linhas de transmissão monofásica a

parâmetros discretos que considera o efeito corona. Esse modelo leva em consideração

elementos não-lineares distribuídos ao longo da linha. A tensão e corrente no terminal da

linha são dadas a partir da resolução de equações diferenciais resolvidas por métodos de

integração numérica (MAMIS, 2003).

Em 2010, Li et al. apresentou um novo algoritmo que considera o efeito corona em

linhas de transmissão de energia em duas dimensões. Nesse algoritmo foi utilizado o método

de simulação de carga e o método dos elementos finitos na determinação campo elétrico

gerando assim as curvas q x v considerando o efeito corona (Li et al., 2010).

Atualmente existem pesquisas para verificar de forma mais exata o comportamento

dos parâmetros transversais. Florea et al., em 2012, faz um estudo de diversos métodos

numéricos para determinar a variação da capacitância dinâmica corona da linha (FLOREA et

al., 2012).

2.1 MECANISMO DO EFEITO CORONA

Descargas elétricas são geralmente iniciadas por um campo elétrico que acelera

elétrons livres através de um gás. Quando esses elétrons adquirem energia suficiente a partir

de um campo elétrico, podem produzir novos íons resultantes das colisões dos elétrons dos

átomos (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982). Esse processo é chamado de ionização

por impacto de elétrons (conforme mostrado na Figura 1). Os elétrons que iniciam o processo

de ionização são normalmente criados por fotoionização: uma fonte distante transmite energia

suficiente para um átomo, de modo que o átomo se rompe formando um elétron e um íon

carregado positivamente. Durante a aceleração no campo elétrico, os elétrons colidem com os

átomos de nitrogênio, oxigênio e outros gases presentes. A maioria das colisões são colisões

elásticas semelhantes à colisão entre duas bolas de bilhar. O elétron perde apenas uma

pequena parte de sua energia cinética em cada colisão. Ocasionalmente, um elétron de um

14

átomo pode golpear suficientemente rígido, de modo que a excitação ocorre, e o

Figura 1 – Processo de ionização.

Fonte: (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982)

átomo desloca-se para um estado de energia mais elevada. Mais tarde, o átomo excitado pode

reverter para o estado normal, resultando na radiação do excesso de energia na forma de luz e

ondas eletromagnéticas. Ou também, o elétron pode recombinar com um íon positivo,

convertendo a um átomo neutro (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982).

Os elétrons são conduzidos através de um gás devido ao um campo elétrico, o

processo básico ionizante é geralmente descritos como:

A + e A+ + e + e

Onde:

A = um átomo

A+= o íon positivo

e = um elétron

Depois de um elétron livre colidir com um átomo eletricamente neutro, outro elétron é

liberado. Cada um desses elétrons pode liberar mais dois elétrons. Assim, a reação em cadeia

faz com que a quantidade de elétrons aumenta rapidamente. Townsend (TOWNSEND, 1915),

nas suas primeiras experiências com descargas elétricas em gases, descreve por meio de um

coeficiente o número de elétrons produzido por um único elétron percorrendo uma distância

de 1 cm em um campo uniforme. Esse coeficiente é conhecido como coeficiente de primeira

ionização de Townsend.

15

Alguns fatores podem proporcionar um aumento ou diminuição da probabilidade de

colisão dos elétrons com átomos. Como o aumento da pressão, o número de átomos por

centímetro cúbico é aumentado e consequentemente ocorre o aumento de probabilidade da

colisão.

Durante a maior parte do percurso, o elétron não causar ionização por colisão, mas

colide elasticamente com os átomos em seu caminho. Com cada colisão, o elétron perde certa

quantidade de energia e dependendo da energia contida no elétron, esse elétron pode ser

capturado por um átomo neutro, irradiando a energia excedente (COMBER; DENO;

ZAFFANELLA, 1982). Algumas moléculas possuem uma elevada capacidade de captar

elétrons, por exemplo, os halogéneos e o vapor de água. O vapor de água captura os elétrons

ionizantes e inibe o processo de avalanche. Uma vez que esse íon é uma partícula

relativamente imóvel, deixa de ionizar gases por colisão.

2.2 ANÁLISE QUANTITATIVA DAS MANIFESTAÇÕES DO EFEITO CORONA

Conforme foi mencionado anteriormente, o efeito corona produz três manifestações

principais que devem ser levadas em conta:

a. Radiointerferência;

b. Ruídos auditivos;

c. Perdas de energia.

As duas primeiras apresentam nítido caráter de poluição ambiental, atingindo

diretamente a população que vive em volta das linhas de transmissão. As perdas por Corona

representam problemas econômicos. Em geral ocorrem simultaneamente, e se relacionam

diretamente com o gradiente de potencial dos condutores.

2.2.1 Radiointerferência

Descargas pontuais nas superfícies dos condutores, causados por irregularidades ou

partículas sólidas aderentes, provocam a formação de pulsos de correntes que se propagam ao

longo das linhas, estabelecendo campos eletromagnéticos e cuja presença é detectada por

receptores de rádio de amplitude modelada, principalmente nas faixas de 500 a 1600 kHz, ou

seja, exatamente nas faixas reservadas às transmissões em ondas médias (FUCKS, 1977).

Esses pulsos são gerados ao longo das linhas, ao acaso, e em um receptor se manifestam como

um ruído do tipo conhecido por estática, podendo perturbar uma radiorrecepção que, sem a

presença da linha, seria normal. Nos países em que a opinião pública é bem esclarecida sobre

seus direitos, a radiointerferência provocada por linhas de transmissão tem dado origem a

16

demandas judiciais de perdas e danos, sendo concessionárias condenadas a consideráveis

indenizações aos prejudicados. Daí a grande preocupação de não só procurar entender melhor

o fenêmeno, como também encontrar meios de minimizar os seus efeitos, através de criterioso

dimensionamento dos diâmetros dos condutores ou subcondutores; mantendo baixos os

gradientes de potencial. O construtor, ao entender e tensionar os cabos, deverá, por outro lado,

cuidar de que suas superfícies não sejam arranhadas para que não se criem pontos que

favoreçam as descargas pontuais.

As pesquisas mostraram que os fatores que afetam a radiointerferência e que

constituem as variáveis na maioria dos métodos divulgados são:

a. configuração ou distribuição espacial relativa aos condutores das linhas;

b. fator de superfície;

c. frequência de energia irradiada;

d. resistividade do solo;

e. umidade relativa;

f. densidade relativa do ar;

g. velocidade do vento

h. índice de precipitação (chuvas).

Há certa divergência quanto à importância de cada um dos fatores acima enumerados,

porém unanimidade quanto à importância das condições nas superfícies dos condutores.

2.2.2 Ruído Acústicos

Até a criação das linhas de transmissão em 500 kV, as maiores fontes de ruídos nos

sistemas elétricos eram constituídas pelos transformadores e subestações. As linhas pouco ou

nada contribuíam. No entanto, tudo indica que os níveis de ruídos gerados em linhas de 500 e

750 kV e nas futuras linhas em tensões ultra-elevadas podem tornar-se parâmetros limitantes

em seus projetos (FUCKS, 1977).

O ruído auditivo nas linhas ocorre ao longo dos cabos condutores, com componentes

em frequências subarmônicas da frequência da linha, de natureza contínua. Essas

componentes podem ser atribuidas a um movimento oscilatório da capa de ar ionizado que

envolve os condutores (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982). Há, além disso, uma

componente de natureza aleatória e provocada pelos eflúvios de corona nas superfícies dos

condutores durante os semiciclos positivos da tensão da linha, com um espectro mais amplo

de frequências, contendo sons de frequência fundamental, subarmônicos e harmônicos de

17

ordem superior. Essas fontes pontuais devidas aos eflúvios podem ser consideradas

uniformemente distribuídas ao longo da linha, emitindo ondas sonoras esféricas.

A geração dos ruídos audíveis é influenciada pelos seguintes fatores:

a. tensão de operação: são significantes para linhas acimas de 500 kV;

b. condições atmosféricas: as gotas d’água acumuladas na geratriz inferior dos

condutores fazem com que as intensidades das componentes aleatórias aumentem mais do que

as contínuas. Sob chuvas pesadas, o ruído que essas provocam é normalmente maior do que o

ruído gerado pelas linhas, não apresentando problemas mais sérios. As piores condições

ocorrem com chuvas fracas, neblina e água acumulada nos condutores. Em neblina,

especialmente, a transmissão do som é facilitada, aumentando o grau de perturbação. Em

tempo bom o nível de ruído pode ser de 5 a 20 dB, menor do que com condutores molhados,

ou sob neblina, dependendo do gradiente de potencial e do grau de irregularidades nas

superfícies dos cabos;

c. condições dos condutores, números de subcondutores por feixe e configuração

dos feixes afetam as condições de ruídos;

d. condições superficiais dos condutores: condutores envelhecidos pelo tempo

possuem superfícies mais lisas, desempenhando melhor;

e. distância das linhas e posições relativas de objetos refletores;

f. grau de atenuação pelo ar, direções e intensidades de vento etc.

2.2.3 Perdas de Energia por Corona

Mesmo em linhas com condutores bem dimensionados, quando as perdas por corona,

com boas condições meteológicas, são suficientemente pequenas para ser desprezadas para

fins de determinação de parâmetros das linhas, o mesmo não acontece, como mostraram

medições afetuadas em diversos países, em más condições meteológicas (FUCKS,1977).

Para a determinação analítica das perdas por efeito corona, encontra-se na literatura

um número grande de expressões, a maioria delas empíricas e baseadas em pesquisas e

observações realizadas por seus autores e cujos resultados nem sempre convergem

(COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982).

Por todas as condições citadas anteriormente, é fácil concluir que as perdas de energia

devidas ao efeito corona nas linhas de transmissão e, consequentemente, também sua

condutibilidade de dispersão somente podem ser definidas em termos estatísticas, em função

das condições meteorológicas que as linhas são submetidas. Essas, em geral, variam ao longo

de uma mesma linha, já que as linhas costumam ser longas e atravessam regiões com climas

18

totalmente diferentes. Qualquer estudo mais sério visando a determinar valores máximos ou

médios anuais somente poderá dar resultados dignos de confiança se baseia em dados

meteorológicos igualmente merecedores de crédito. Para tanto, é necessário dispor de índices

pluviométricos registrados hora por hora, durante um grande número de anos. A ordenação

dos dados obtidos permite a obtenção de curvas de duração dos índices de precipitação. De

posse desses dados, é possível calcular, pelos processos expostos, a curva de duração de

perdas anuais de potência por corona, que permite a determinação do valor das perdas médias

anuais (conforme mostra a Figura 2).

O grau de confiabilidade será tanto maior quanto maior for o número de anos de

observação e coleta dos índices horários de precipitações. Isso requer, evidentemente, uma

infraestrutura de meteorólogia moderna e eficiente, não só de postos de coleta de dados como

também de registro e ordenação.

Figura 2 – Curva de duração de perdas por Corona.

Fonte: (FUCKS, 1977).

O efeito corona pode produzir outros tipos de efeitos à natureza incluindo a produção

de ozônio e nitrato de oxigênio, já que tanto o gás O2 e N2 estão em abundância no ar

(COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982).

O ozônio é o produto gasoso principal do efeito corona seguido pelos óxidos de

nitrogênio (NO2 e NO3). As concentrações incrementais de NO2 e NO3 causada por uma linha

de transmissão em corona é de 1/6 da concentração de ozônio produzido.

2.3 MODELOS ANALÓGICOS DO EFEITO CORONA

Antes do surgimento dos computadores, as simulações do efeito corona eram feitos a

partir de modelos físicos de pequena escala (chamado Transient Network Analyzers ou

simplesmente TNA). Os modelos analógicos são circuitos elétricos projetados para reproduzir

19

o aumento da capacitância geométrica do condutor ao atingir a tensão crítica de ionização.

Alguns circuitos podem ser observados na Figura 3.

Exceto pelo aumento das capacitâncias da linha em função da tensão, a literatura

técnica apresenta algumas variações na modelagem do efeito corona.

Wagner & Lloyd utilizam os modelos analógicos da Figura 4 com um ou dois ramos

de capacitância chaveados durante o período em que a tensão supera os valores críticos de

corona (WAGNER; LLOYD, 1955).

Kudyan & Shih, Chistopoulos e Ametani & Motoyama utilizam os circuitos da Figura

5 onde os resistores são incluídos em paralelo com os capacitores para simular a constante de

decaimento de carga do corona (KUDYAN; SHIH, 1981; CHISTOPOULOS, 1985;

AMETANI; MOTOYAMA, 1987).

Figura 3 – Alguns modelos analógicos existentes.

Fonte: (COMBER; DENO; ZAFFANELLA, 1982).

Figura 4 – Modelo analógico de Wagner & Lloyd.

Fonte: (WAGNER; LLOYD, 1955).

20

Figura 5 – Modelo analógico de Chistopoulos.

Fonte: (CHISTOPOULO, 1985).

Vários outros autores (MARUVADA; MENEMENLIS; MALEWSKI, 1977;

PORTELA, 1978) utilizam circuitos semelhantes, onde são incorporados resistores e

capacitores adicionais para representar as perdas de energia e o efeito de carga espacial.

Santiago & Castellamos utilizam o circuito da Figura 6, onde um resistor não-linear

reproduz as constantes de tempo relacionado com as correntes de corona (SANTIAGO;

CASTELLAMOS, 1992).

Figura 6 – Modelo analógico de Santiago & Castellamos.

Fonte: (SANTIAGO; CASTELLAMOS, 1992).

Atualmente, os modelos analógicos podem ser desenvolvidos e simulados utilizando

computadores e o EMTP.

2.4 MODELOS MATEMÁTICOS DO EFEITO CORONA

Os modelos matemáticos reproduzem de forma aproximada a característica q x v de

condutores sob efeito corona, porém através da utilização de equações matemáticas.

Gary et al. propôs que a curva q x v fosse representada linearmente por partes,

permitindo escrever expressões matemáticas para a corrente de corona que dependem do nível

de tensão no condutor e da capacitância dinâmica da seção considerada. Um modelo

21

matemático de três ou quatro seções linearizadas corresponde a um circuito analógico com um

ou dois ramos de corona (CARNEIRO; MARTI, 1988).

Suliciu & Suliciu apresentam um modelo matemático que reproduz as propriedades

dinâmicas das curvas q x ʋ (SULICIU; SULICIU, 1981).

Gary et al. (GARY; TIMOTIN; CRISTESCU, 1983) mostram uma expressão empírica

para o cálculo da capacitância dinâmica da curva q x v:

)(F)CC(Cdt

dqC 0cor0d

(1)

sendo Ccor é a capacitância devido ao corona, F e η são funções empíricas da tensão e dos

parâmetros das curvas q x v obtidas a partir de medições.

Em 2003, Mamis apresentou dois modelos aplicados para o cálculo do efeito corona

em linha de transmissão baseados na capacitância dinâmica, os modelos foram desenvolvido a

partir do modelo de Gary e o modelo de Skilling & Umoto (MAMIS, 2003). Nesses modelos

é possível representar o efeito corona em qualquer ponto da linha. Esses modelos serão

estudados em detalhes nos capítulos posteriores.

Vários outros autores (LEE, 1983; INOUE, 1985) apresentam formulações empíricas

para a variação da capacitância da linha baseadas em constantes e funções obtidas a partir de

medições. A maioria dos modelos apresenta uma relação linear entre a capacitância dinâmica

e a tensão.

2.5 MODELOS FÍSICOS DO EFEITO CORONA

Inicialmente, considera-se as equações diferenciais da linha de transmissão no

domínio do tempo:

v iRi L

x t (2)

i vC

x t (3)

sendo R, L e C são a resistência, indutância e capacitância da linha por unidade de

comprimento, respectivamente.

Os modelos físicos têm como base a obtenção das equações (2) e (3) levando em conta

o efeito corona:

v iRi L

x t (4)

22

i q

x t (5)

)dt

d,f(q

(6)

Um modelo de base física do efeito corona deve conter um mínimo de coeficientes

empíricos que sejam determináveis. Além disso, deve evitar o uso de aproximações que

limitem a sua utilização em condições específicas de propagação.

Os estudos publicados por Cladé et al. (CLADE; GARY; LEFEVRE, 1969),

descrevem a aplicação de leis físicas a fim de examinar o fenômeno de corona ao redor dos

condutores. Estudos posteriores (SEMLYEN; WEI-GANG, 1986; JESUS; BARROS, 1994)

apresentam modelos de descrição do movimento e distribuição de cargas espaciais de uma

forma simplificada, a fim de reproduzir alguns dos fenômenos essenciais produzidos pelo

complexo mecanismo de ionização do ar ao redor do condutor.

Devido à complexidade em descrever matematicamente os fenômenos físicos

envolvidos bem como à quantidade insuficiente de dados de propagação sob efeito corona,

ainda não se dispõe de modelos dessa natureza.

2.6 CONCLUSÃO

Nesse capítulo foi apresentado o estudo físico sobre o efeito corona. Foi mostrado que

o efeito corona se manifesta a partir do momento que ocorre a ruptura do dielétrico do ar ou

de qualquer outro gás. No caso de sistemas de potência, o efeito corona pode ocorrer em

cadeias de isoladores e na própria linha de transmissão.

Verificou-se que o efeito corona em linhas de transmissão pode gerar diversos

problemas no fornecimento de energia elétrica e sistemas de telecominicação resultando num

fenômeno muito importante a ser estudado em sistemas de potência.

Por fim, foram apresentados diversos modelos utilizados para representar o efeito

corona em linhas de transmissão. Entre os modelos apresentados serão destacados nos

seguintes capítulos os modelos analógicos e os modelos matemáticos.

23

3 MODELOS DE LINHA DE TRANSMISSÃO MONOFÁSICA

Nos anos de 1960 surgiram as primeiras publicações abordando modelagem

computacional em linhas de transmissão, que alguns anos mais tarde foram base para o

desenvolvimento do Eletromagnetic Transient Program, ou simplesmente conhecidos como

EMTP (DOMMEL, 1969). Entre os modelos conhecidos para a simulação de linhas de

transmissão no domínio do tempo, o método de Bergeron (MAMIS; KAYGUSUZ;

KÖKSAL, 2010) e a cascata de circuitos π (MAMIS, 2002; 2003) são alguns dos mais

utilizados. Estes são os modelos mais comuns de linha de transmissão utilizados para o estudo

do efeito corona. Neste capítulo serão apresentados os desenvolvimentos do método de

Bergeron e a cascata de circuito π para uma linha de transmissão monofásica. Estes modelos

serão aplicados para determinação da tensão transitória durante uma energização de uma linha

monofásica.

3.1 MÉTODO DE BERGERON

Considerando os parâmetros longitudinais de uma linha de transmissão como sendo

indutância (L) e resistência (R) por unidade de comprimento e os parâmetro transversal como

sendo a capacitância (C) por unidade de comprimento. Um segmento de linha de transmissão

pode ser representado pela Figura 7.

Figura 7 – Segmento de uma linha de transmissão

Fonte: Próprio Autor.

Aplicando as leis de circuitos na Figura 7, as tensões e correntes em um elemento dx

podem ser escritas como sendo (MAMIS; KAYGUSUZ; KÖKSAL, 2010):

i( x,t )v( x,t ) ( R x )i( x,t ) ( L x )

t

(7)

24

v( x,t )- i(x,t) (C x )

t

(8)

Para um ponto x qualquer ao longo do comprimento da linha, o sistema de equações

diferenciais que descreve as tensões e correntes na linha de transmissão é dado por:

v( x,t ) i( x,t )Ri( x,t ) L

x t

(9)

i( x,t ) v( x,t )- C

t t

(10)

A solução analítica das equações (9) e (10) é de difícil resolução. Considerando que a

linha de transmissão ideal seja sem perdas (R=0), as equações (9) e (10) podem ser rescritas

como sendo:

v( x,t ) i( x,t )L

x t

(11)

i( x,t ) v( x,t )- C

t t

(12)

A solução das equações (11) e (12) conhecida e foi originalmente obtida por

d’Alambert em 1747.

1 0 2 0v( x,t ) f ( x c t ) f ( x c t ) (13)

1 0 2 0

1i( x,t ) ( f ( x c t ) f ( x c t ))

Z (14)

Esta solução é a combinação de ondas arbitrárias que viajam nas duas direções da

linha, onde Z é a impedância característica da linha e c0 é a velocidade de propagação das

ondas viajantes f1 e f2.

LZ

C (15)

0

1c

LC (16)

25

A partir dessa solução obtida por d’Alambert, H. W. Dommel desenvolveu um dos

seus primeiros modelos computacionais no domínio do tempo para linhas de transmissão,

baseado no método de Bergeron (DOMMEL, 1969). Desta forma, uma linha de transmissão

sem perdas é descrita na Figura 8.

Figura 8 – Segmento de linha de transmissão.

Fonte: Próprio autor.

Sabe-se que as equações (11) e (12) são as equações que determinam as correntes e

tensões ao longo da linha mostrada na Figura 8. Multiplicando a equação (14) por Z tem-se:

1 0 2 0Zi( x,t ) Zf ( x c t ) Zf ( x c t ) (17)

Somando as equações (13) e (17), obtém-se:

1 0v( x,t ) Zi( x,t ) 2Zf ( x c t ) (18)

Fazendo a subtração de (13) e (17), tem-se:

2 0v( x,t ) Zi( x,t ) 2Zf ( x c t ) (19)

A equação (18) descreve uma onda progressiva enquanto que (19) descreve uma onda

retrógrada. Essas ondas movem-se ao longo da linha com uma velocidade constante c0.

Portanto, a posição x da onda progressiva é dada por:

0 0x 0 c t x c t 0 (20)

De maneira semelhante, para a onda retrógrada, tem-se:

0 0x d c t x c t d (21)

Portanto com base nas equações (20) e (21) pode-se escrever:

26

1 0 1f ( x c t ) f (0 ) (22)

2 0 2f ( x c t ) f ( d ) (23)

Com base nas equações (22) e (23) conclui-se que f1(x-c0t) e f2(x+c0t) são constantes.

Considere as ondas progressivas de corrente e tensão que no instante t-τ estão no terminal k e

que após um intervalo de tempo τ propagam-se até o terminal m. Com base nas equações (18)

e (22) pode-se descrever as equações no nó k e m.

k km 1V ( t ) Zi ( t ) 2Zf (0 ) (24)

m mk 1V ( t ) Zi ( t ) 2Zf (0 ) (25)

A partir das equações (24) e (25), obtém-se:

mk m k km

1 1i ( t ) V ( t ) V ( t ) i ( t )

Z Z (26)

Considera-se que no instante t-τ as ondas retrógradas de corrente e tensão estão no

terminal m e que após um intervalo de tempo τ, estas ondas propagam-se até o terminal k.

Com base nas equações (19) e (23) pode-se descrever as equações nos nós k e m.

m mk 2V ( t ) Zi ( t ) 2Zf ( d ) (27)

k km 2V ( t ) Zi ( t ) 2Zf ( d ) (28)

A partir das equações (27) e (28), obtém-se:

km k m mk

1 1i ( t ) V ( t ) V ( t ) i ( t )

Z Z (29)

A Figura 9 mostra o circuito que é descrito pelas equações (26) e (29).

Para o circuito mostrado na Figura 9, têm-se:

mk m m

1i ( t ) V ( t ) I ( t )

Z (30)

km k k

1i ( t ) V ( t ) I ( t )

Z

(31)

27

Figura 9 – Modelo de Bergeron para linha de transmissão sem perdas.

Fonte: (DOMMEL, 1969).

Comparando as equações (26) com (30) e (29) com (31), têm-se:

m k km

1I ( t ) V ( t ) i ( t )

Z (32)

k m mk

1I ( t ) V ( t ) i ( t )

Z

(33)

Vale lembrar que o modelo de Bergeron desenvolvido nesse capítulo foi considerado

para uma linha sem perdas (R=0). Entretanto a resistência distribuída (R) da linha pode, com

boa aproximação, ser substituída por resistências concentradas (R*) nas extremidades e no

meio da linha (MAMIS; KAYGUSUZ; KÖKSAL, 2010), como mostra a Figura 10, obtendo-

se as equações:

mk m m

e

1i ( t ) V ( t ) I ( t )

Z (34)

km k k

e

1i ( t ) V ( t ) I ( t )

Z

(35)

sendo:

m k km m mk

e e

1 h 1 1 h 1I ( t ) V ( t ) i ( t ) V ( t ) i ( t )

2 Z 2 Z (36)

k m mk k km

e e

1 h 1 1 h 1I ( t ) V ( t ) i ( t ) V ( t ) i ( t )

2 Z 2 Z

(37)

28

para e

R*Z Z

4,

Z R* / 4h

Z R* / 4, onde R* é a resistência total da linha (R*=R.l).

Figura 10 – Linha de transmissão com perdas para o método de Bergeron.

Fonte: (MIRANDA, 1994).

As equações (34) e (35) representam uma linha de transmissão monofásica (ou um dos

modos de propagação de uma linha polifásica) com parâmetros constantes na frequência. Esta

é uma simplificação que torna a solução das equações da linha de transmissão com perdas

bastante simples – para valores pequenos de resistência da linha (R*/4<<Z), causando

reflexões nas terminações da linha para valores mais elevados de R (MIRANDA, 1994).

3.1.1 Validação do modelo

Para validação do modelo, considera-se uma linha de transmissão monofásica com

100km de comprimento e terminal receptor aberto (conforme mostrada na Figura 11), sendo

representada pelo modelo de Bergeron com perdas.

Figura 11 – Linha de Transmissão Monofásica: Método de Bergeron.


Na linha mostrada pela Figura 11, será aplicada uma fonte de tensão continua de 20

kV, sendo os parâmetros longitudinais dado: R’ = 0.05 Ω/km e L’ = 1 mH/km. A capacitância

transversal da linha é C’ = 11.11 nF/km.

A B

29

Figura 12 – Energização da linha monofásica: Método de Bergeron.


Figura 13 – As primeiras reflexões da tensão durante a energização da linha monofásica:

Método de Bergeron.


A Figura 12 mostra a energização da linha monofásica com o terminal B da linha em

aberto até atingir o regime permanente. Na Figura 13 é mostrada a mesma energização, porém

é possível verificar melhor as reflexões de onda durante o regime transitório. Como a

velocidade de propagação da onda em uma linha de transmissão é próxima da velocidade da

luz e a linha possui 100 km de comprimento, o tempo necessário para ocorrer a primeira

reflexão de onda é de aproximadamente 0,33 ms, conforme é observado na Figura 13.

30

3.2 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POR MEIO DE UMA CASCATA DE CIRCUITOS Π.

Uma das maneiras possíveis de representar uma linha de transmissão monofásica é por

meio de parâmetros discretos. Um modelo aproximado bastante utilizado é o modelo por

cascata de circuitos π (MAMIS, 2002; 2003).

A Figura 14 representa uma linha de transmissão monofásica de comprimento d, com

o terminal emissor conectado a uma fonte de tensão v(t) e terminal receptor aberto.

Figura 14 – Linha de Transmissão Monofásica: método da cascata de circuitos π.


A linha mostrada na Figura 14 apresenta os seguintes parâmetros totais da linha:

resistivos (R’), indutivo (L’), condutivo (G’) e capacitivo (C’).

A Figura 14 pode ser representada por uma cascata com n circuitos π (SILVA;

KUROKAWA, 2011):

Figura 15 – Linha de transmissão representada por cascata com n circuitos π.


Os parâmetros parciais da linha (R, L, G, C) são funções dependentes do comprimento

da linha e do número de circuitos π utilizados.

dR=R

n (38)

dL=L

n (39)

31

dG=G

n (40)

dC=C

n (41)

As correntes e tensões ao longo da linha podem ser obtidos por meio da resolução do

sistema de equações de estado descrito por:

[X]= [A][X] +[B].u(t) (42)

Na equação (42), [X] é o vetor com as variáveis de estado e as matrizes [A] e [B] são

matrizes de estado do circuito da Figura 15. A maior vantagem de representar as correntes e

tensões do circuito na forma de equações de estado é que podem ser aplicados diversos

métodos numéricos para a resolução das equações diferenciais (SILVA; KUROKAWA,

2011).

Aplicando a Lei de Kirchhoff para as tensões no circuito da Figura 15, apenas para o

trecho final, têm-se:

n 2 n 1 n 1 n 1

dV (t) R.i (t) L. i (t) V (t) 0

dt (43)

n 1 n n n

dV (t) R.i (t) L. i (t) V (t) 0

dt (44)

Manipulando as equações (43) e (44), obtêm-se:

n 1 n-1 n 1 n 2

d R 1 1i (t) i (t) V (t) V (t)

dt L L L (45)

n n n n 1

d R 1 1i (t) i (t) V (t) V (t)

dt L L L (46)

Aplicando a Lei de Kirchhoff para as correntes no circuito da Figura 15, têm-se:

n-1 n n 1 n 1

di (t) i (t) GV (t) C V (t) 0

dt (47)

n n n

G C di (t) V (t) V (t) 0

2 2 dt (48)

Manipulando as equações (47) e (48), obtêm-se:

32

n 1 n 1 n n 1

d 1 1 GV (t) i (t) i (t) V (t)

dt C C C (49)

n n n

d 2 GV (t) i (t) V (t)

dt C C (50)

A partir das equações das correntes e tensões para n circuitos π podem ser escritos na

forma de variável de estado considerando que a matriz [A] pode ser escrita na forma da

equação (51). Têm-se:

A B

AC D

(51)

sendo:

R0 0 0

L

R0 0 0

L

A

R0 0 0

L

R0 0 0

L

(52)

10 0 0

L

10 0 0

L

B

10 0 0

L

10 0 0

L

(53)

1 10 0

C C

10 0 0

C

C

1 10 0

C C

20 0 0

C

(54)

33

G0 0 0

C

G0 0 0

C

D

G0 0 0

C

G0 0 0

C

(55)

1

L

0B

0

0

(56)

T

1 n 1 n

d d d dX i (t) i (t) V (t) V (t)

dt dt dt dt

(57)

T

1 n 1 nX i (t) i (t) V (t) i (t) (58)


Para validar o modelo à cascata de circuitos π será realizado o mesmo teste realizado

para o método de Bergeron. Considera-se a linha de transmissão monofásica em aberto

mostrada na Figura 16.

Figura 16 – Linha de Transmissão Monofásica: Método da cascata de circuitos π.


A linha mostrada pela Figura 16 é representada por uma cascata de 100 circuitos π

(Figura 15) e com uma distância d igual a 100 km. A linha é energizada por uma tensão

continua 20 kV. Os parâmetros longitudinais da linha são R’ = 0.05 Ω/km e L’ = 1 mH/km. Os

parâmetros transversais da linha são C’ = 11.11 nF/km e G’ = 0.556 µS/km. Para a resolução

A B

34

da equação de estado é utilizado o método da integração trapezoidal (ou Formula de Heun)

(SILVA; KUROKAWA, 2011).

Figura 17 – Energização da linha monofásica: Método da cascata de circuitos π.

Fonte: Próprio Autor

Figura 18 – As primeiras reflexões da tensão durante a energização da linha monofásica:

Método da cascata de circuitos π.


A Figura 17 mostra a tensão no terminal B da linha monofásica. A Figura 18 mostra as

primeiras reflexões da onda durante o regime transitório. Comparando o método da cascata de

circuitos π com o método de Bergeron verifica-se o aparecimento de oscilações. Essas

oscilações são devidas a representação da linha por elementos discretos de circuitos.

3.3 CONCLUSÃO

Neste capítulo foram estudados dois modelos de linhas no domínio do tempo que

serão utilizados nos próximos capítulos para estudar o efeito corona em linhas de transmissão.

0 20 40 60 80 100 120-10

0

10

20

30

40

50

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

0

10

20

30

40

50

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

35

Comparando os dois modelos utilizados, o modelo à cascata de circuitos π apresenta a

desvantagem de possuir oscilações que na pratica não existem. Entretanto, estes dois modelos

estão aptos a serem utilizados para o estudo do efeito corona.

36

4 INCLUSÃO DO EFEITO CORONA EM MODELOS DE LINHAS DE

TRANSMISSÃO MONOFÁSICA

Antes do surgimento dos computadores, as simulações do efeito corona eram

realizados a partir de modelos físicos em escalas reduzidas (denominado Transient Network

Analyzers ou, simplesmente, TNA). Atualmente, estes modelos analógicos podem ser

implementado de forma simples em modelos de linhas existentes (modelo de Bergeron). Os

modelos analógicos são circuitos elétricos projetados para reproduzir o aumento da

capacitância geométrica do condutor ao atingir a tensão crítica de ionização.

Conforme foi apresentado no capítulo 2, existem vários modelos para representar o

efeito corona em linhas de transmissão. Alguns desses modelos são baseados em elementos de

circuitos (resistências, capacitâncias e diodos) e outros modelos são baseados em formulação

matemática. Entretanto, todos os modelos têm o mesmo intuito que é representar as perdas

corona com a variação dos parâmetros transversais ao longo da linha de transmissão. Porém,

todos os modelos mostrados são referentes à representação de linhas monofásicas. Alguns

autores sugerem decompor a linha em componentes sequenciais e analisar a influência do

efeito corona na componente de sequência zero (MIRANDA, 1994).

Este capítulo mostra como os modelos analógicos do efeito corona (Modelo de

Christopoulos e o Modelo de Wagner & Lloyd) podem ser incluídos em modelos de linha de

transmissão. Para ilustrar está aplicação será considerado o modelo de Bergeron como modelo

de linha escolhido.

Para verificar a aplicação dos métodos numéricos, os modelos de Gary e Skilling &

Umoto serão aplicados no modelo de linha por parâmetros discretos (cascata de circuitos π).

Os resultados obtidos por todos os modelos serão comparados com os resultados encontrados

na literatura.

4.1 MODELO DE WAGNER & LLOYD

O primeiro modelo analógico encontrado na literatura foi desenvolvido por Wagner &

Lloyd. Este modelo surgiu a partir de verificações experimentais realizados pelos autores

junto a American Gas and Electric Company (WAGNER; GROSS; LLOYD, 1954). O

modelo desenvolvido por Wagner & lloyd está ilustrado na Figura 19. Este modelo pode ser

implementado por um ou mais ramos de capacitância chaveados durante o período em que a

37

tensão supera os valores críticos de corona (WAGNER; GROSS; LLOYD, 1954 ; WAGNER;

LLOYD, 1955).

Figura 19 – Modelo de Wagner & Lloyd.

Fonte: (WAGNER; LLOYD, 1955).

O modelo de Wagner & Lloyd é representado por variação da capacitância transversal

da linha a partir da tensão ao longo da linha ultrapassar a tensão de corona. Essa variação se

dá ao longo da linha, pois a capacitância está em função do comprimento da linha. Quando a

tensão volta a ser menor do que a tensão de corona, a capacitância assume o valor

determinado pelas características geométrica da linha.

A Figura 19 mostra dois diodos D1 e D2 que conduzem apenas quando a tensão no

ponto A é maior do que a tensão ec1 e ec2, respectivamente. Quando isto ocorre, uma

capacitância C1 e/ou C2 são conectadas em paralelo a linha, aumentando o valor da

capacitância transversal. Para uma melhor representação deste efeito, pode-se discretizar a

linha em pequenos segmentos e conectar um ramo de corona entre cada segmento de linha

conforme mostrado pela Figura 20. Costuma-se dividir a linha por segmentos menores que 50

m, devido à representação do efeito corona por circuitos analógicos ocorrem pequenas

reflexões de onda que pode ocasionar interferência nos resultados.

Figura 20 – Modelo de Wagner & Lloyd aplicado à linha de transmissão.


38

Com a discretização da linha transmissão, a capacitância varia de ponto a ponto e em

regime transitório cada ponto da linha apresenta uma tensão distinta das outras. Portanto, em

cada pondo da linha haverá um valor de capacitância diferente.


Para a validação do modelo, utiliza-se na literatura uma linha curta de 2,3 km e com

uma carga no terminal receptor igual ao valor da impedância característica da linha, conforme

mostra a Figura 21.

Figura 21 – Simulação da linha de transmissão com efeito corona: Modelo Wagner & Lloyd.


A fonte de tensão v(t) é dada pela equação (59).

6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (59)

Os parâmetros da linha são dados pela Tabela 1, os parâmetros foram calculados para

duas frequências da linha (10 kHz e 100 kHz). Esses valores de frequência forma escolhidos

devido à fonte de tensão ser uma dupla exponencial e a característica do efeito corona ser um

fenômeno em alta frequência.

Tabela 1 – Parâmetros da linha da Figura 20.

Frequência 10 kHz 100 kHz

Resistência 19,29 Ω/km 104,4 Ω/km

Indutância 2,628 mH/km 2,283 mH/km

Capacitância 6,68 nF/km 6,68 nF/km


Os parâmetros do modelo de Wagner & Lloyd utilizados nas simulações são

apresentados na Tabela 2.

39

Tabela 2 – Parâmetros do modelo de Wagner & Lloyd.

Ramo 1 2

Capacitância 9,8 pF/m 0,4 pF/m

Tensão 230 kV 900 kV


A linha da Figura 21 foi dividida em segmentos de 50m, cada segmento foi

representado pelo modelo de Bergeron. Entre esses segmento foi colocado o modelo de

Wagner & Lloyd para representar o efeito corona na linha. As Figuras 22 e 23 mostram a

tensão há uma distancia de 1 km em relação ao terminal emissor da linha.

Figura 22 – Tensão utilizando o modelo de Wagner & Lloyd: parâmetros a 10 kHz.


Figura 23 – Tensão utilizando o modelo de Wagner & Lloyd: parâmetros a 100 kHz.


Nas Figuras 22 e 23, a curva 1 mostra a tensão aplicada pelo terminal emissor da linha

de transmissão, a curva 2 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor considerando o efeito

corona e a curva 3 mostra a tensão a 1 km do terminal sem considerar o efeito corona.

Verificam-se para essas duas faixas de frequência que o efeito corona modifica a forma de

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-500

0

500

1000

1500

2000

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(1)

(2)

(3)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-500

0

500

1000

1500

2000

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(2)

(1) (3)

40

onda durante o regime transitório sob a ocorrência de uma descarga atmosférica,

apresentando-se como um fenômeno importante a ser considerado no estudo de transitórios

em linhas de transmissão.

4.2 MODELO DE CHRISTOPOULOS

Kudyan & Shih, Christopoulos e Ametani & Motoyama utilizam os circuitos da Figura

24 onde os resistores são incluídos em paralelo com os capacitores para simular a constante de

decaimento de carga de corona (KUDYAN; SHIH, 1981; CHRISTOPOULOS, 1985;

AMETANI; MOTOYAMA, 1987). Esta constante de decaimento é responsável pela variação

da condutância da linha. Comparando com o modelo analógico anterior, a resistência é a

principal diferença entre o modelo de Wagner & Lloyd e o modelo de Christopoulos.

Figura 24 – Modelo de Christopoulos.

Fonte: (CHRISTOPOULOS, 1985).

A Figura 24 mostra um diodo D1 que só conduz quando a tensão no ponto A é maior

do que a tensão ec. Quando isto ocorre, uma capacitância C1 e uma resistência R1 são inseridas

na linha de transmissão variando os parâmetros transversais. Para uma melhor representação

das perdas por efeito corona é necessário dividir a linha em pequenos segmentos e adicionar o

modelo de Christopoulos entre todos os segmentos. Desta forma, é possível representar o

efeito corona distribuído na linha de transmissão, conforme mostrado na Figura 25.

Figura 25 – Modelo de Christopoulos aplicado à linha de transmissão.


41

Apresentado o mesmo efeito do modelo Wagner & Lloyd, com a discretização da

linha de transmissão, a capacitância varia de ponto a ponto e em regime transitório para cada

ponto da linha apresenta uma tensão distinta das outras. Portanto, em cada pondo da linha

haverá um valor de capacitância diferente.

Vários outros autores (AMETANI; MOTOYAMA, 1987; MARUVADA;

MENEMENLIS; MALEWSKI, 1977) utilizam circuitos lineares semelhantes, onde são

incorporados resistores e capacitores adicionais para representar as perdas de energia e o

efeito de carga espacial.


O teste para validação do modelo será utilizado o mesmo para o caso anterior. A linha

utilizada é uma linha curta de 2,3 km e com uma carga no terminal receptor igual ao valor da

impedância característica da linha, conforme mostra a Figura 26.

Figura 26 – Simulação da linha de transmissão com efeito corona: Modelo Christopoulos.



6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (60)


duas frequências da linha (10 kHz e 100 kHz). Esses valores de frequência foram escolhidos

devido à fonte de tensão ser uma dupla exponencial e a característica do efeito corona ser um

fenômeno em alta frequência.

Os parâmetros do modelo de Christopoulos utilizados nas simulações são apresentados

na Tabela 4.

A linha da Figura 26 foi dividida em segmentos de linha de 50m, cada segmento de

linha foi representado pelo modelo de Bergeron. Entre esses segmento foi colocado o modelo

42

de Christopoulos para representar o efeito corona na linha. As Figuras 27 e 28 mostram a

tensão há uma distancia de 1 km em relação ao terminal emissor da linha.







Tabela 4 – Parâmetros do modelo de Christopoulos.

Resistência 600 MΩ/m

Capacitância 9,8 pF/m

Tensão 300 kV


Nas Figuras 27 e 28, a curva 1 mostra a tensão aplicada no terminal emissor da linha


corona e a curva 3 mostra a tensão a 1 km do terminal sem considerar o efeito corona.

Verificam-se para essas duas faixas de frequência que o efeito corona modifica a forma de

onda durante o regime transitório sob a ocorrência de uma descarga atmosférica,

apresentando-se como um fenômeno importante a ser considerado no estudo de transitórios

em linhas de transmissão.

Figura 27 – Tensão utilizando o modelo de Christopoulos: parâmetros a 10 kHz.


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-500

0

500

1000

1500

2000

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(2)

(3)(1)

43

Figura 28 – Tensão utilizando o modelo de Christopoulos: parâmetros a 100 kHz.


4.3 MODELO DE GARY

O modelo de Gary é um modelo que também é baseado no conceito da capacitância

dinâmica na linha de transmissão (GARY; TIMOTIN; CRISTESCU, 1983). Entretanto, a

maior diferença entre o modelo de Gary e os modelos analógicos é que a capacitância varia

em função da tensão instantânea no ponto em que ocorre corona. No caso dos modelos

analógicos, apenas pode-se incluir capacitâncias por ramos, esses ramos são limitados, pois a

partir do aumento no número de ramos os cálculos e a implementação numérica se tornam

inviável.

Em 2003, M. S. Mamis apresentou um trabalho que aplicava o modelo de Gary em

modelo de linhas a parâmetros discretos. Este modelo considera que a linha poder ser

representada por uma cascata de circuitos π. Porém, a principal característica deste modelo é

que a capacitância transversal da linha se comporta como uma capacitância não linear. Essa

não linearidade da capacitância segue as condições e os equacionamentos dados na

modelagem de Gary (MAMIS, 2003).

Figura 29 – Segmento de circuito π de um segmento de linha de transmissão com corona.


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-500

0

500

1000

1500

2000

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(2)

(1) (3)

44

Este modelo é considerado como sendo um modelo dinâmico, ou seja, a capacitância

de corona é dependente da magnitude e taxa de variação de tensão. Nota-se que, as

capacitâncias de corona são elementos extras conectado na cascata de circuitos π (Figura 29)

quando a tensão no circuito π é maior que a tensão de corona e (dv/dt)>0, caso contrário esses

elementos são nulos.

A capacitância de corona apresentado por Gary et. al envolvendo a capacitância

geométrica da linha, é definida como (MAMIS, 2003):

1

C 0

C

vC C

v

(61)

sendo CC é a capacitância de corona, C0 é a capacitância geométrica da linha, vC é a tensão de

ruptura de corona e η é um coeficiente, para um único condutor, é dado pela expressão:

0,22r 1,2 (62)

sendo r é o raio do condutor em centímetros.


Para a validação do modelo, utiliza-se uma linha curta de 2,3 km e com uma carga no

terminal receptor igual ao valor da impedância característica da linha (Figura 30).

Figura 30 – Simulação da linha de transmissão com efeito corona: Modelo de Gary.



6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (63)


duas frequências da linha (10 kHz e 100 kHz). O raio do condutor é 11,52 mm e a tensão de

ruptura de corona é 300 kV.

45







Figura 31 – Tensão utilizando o modelo de Gary: parâmetros a 10 kHz.


Figura 32 – Tensão utilizando o modelo de Gary: parâmetros a 100 kHz.


A linha da Figura 30 foi representada por uma cascata de 100 circuitos π. A cascata de

circuitos π foi escrita na forma de equações de estado. Utilizando a Formula de Heun

(integração trapezoidal) foram determinadas as tensões há uma distancia de 1 km do terminal

emissor, conforme mostra as Figuras 31e 32. A curva 1 mostra a tensão aplicada pelo terminal

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120

500

1000

1500

2000

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(1)

(2)

(3)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(1)

(2)

(3)

46

emissor da linha de transmissão, a curva 2 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor

considerando o efeito corona e a curva 3 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor sem

considerar o efeito corona. Verificam-se para essas duas faixas de frequência que o efeito

corona modifica a forma de onda durante o regime transitório sob a ocorrência de uma

descarga atmosférica, apresentando-se como um fenômeno importante a ser considerado no

estudo de transitórios em linhas de transmissão. Devido ao modelo de linha utilizado, nota-se

que a curva 3 apresenta oscilações devido à representação dos parâmetros da linha por

parâmetros concentrados de circuitos, fato este que não ocorre no modelo de Bergeron.

4.4 MODELO DE SKILLING & UMOTO

O modelo de Skilling & Umoto é um modelo que também é baseado no conceito da

capacitância dinâmica na linha de transmissão. Este modelo é similar ao modelo de Gary,

entretanto leva-se em conta não só o raio do condutor nos cálculos da capacitância, mas

também a altura em que o condutor está (SKILLING; DYKES, 1937; UMOTO; HARA,

1969). O modelo de Skilling & Umoto apresenta uma constante de perdas por corona.

Previamente determinada por resultados experimentais (UMOTO; HARA, 1969).

Em 1937, H. H. Skilling e P. Dykes publicou um trabalho mostrando o mecanismo das

perdas corona, mostrando uma equação que representa a distorção e a atenuação por corona

(SKILLING; DYKES, 1937). Anos mais tarde, J. Umoto e T. Hara apresentaram um trabalho

dando sequencia ao trabalho de Skilling e Dykes, neste trabalho foram apresentados algumas

equações que mostravam a variação da capacitância e da condutância pelo efeito corona

(UMOTO; HARA, 1969). Em 2003, no mesmo trabalho que aplicava o modelo de Gary, M.

S. Mamis aplicou o modelo desenvolvido por Skilling & Umoto para representar o efeito

corona em linhas de transmissão monofásica. Esse modelo considera que a linha poderia ser

representada por uma cascata de circuitos π, sendo a capacitância e a condutância transversal

da linha não linear.

Este modelo também é considerado como modelo dinâmico e aplicam-se as mesmas

condições do modelo de Gary. A capacitância e a condutâncias de corona são elementos

extras conectado na cascata de circuitos π (Figura 29) quando a tensão no circuito π é maior

do que a tensão de corona e (dv/dt)>0, caso contrário esses elementos são nulos.

Esse modelo, a capacitância não linear de corona apresentado por Skilling & Umoto é

adaptado pela simulação por equações de estado. A capacitância corona é definida como

(MAMIS, 2003):

47

CC C

vC 2k 1 F/m

v

(64)

sendo vC é a tensão de corona,

11

C C

rk x10

2h

(65)

e σC é constante de perdas corona, r e h são o raio e a altura do condutor com o solo,

respectivamente.

A ocorrência de corona produz mudança não somente nos valores instantâneos na

capacitância, mas também varia a condutância da linha. A atenuação das perdas corona é

modelada por uma corrente de perda ao longo da uma carga resistiva para o solo definhada

como (MAMIS, 2003):

2

CC R

vG k 1 F/m

v

(66)

sendo:

11

R G

rk x10

2h

(67)

e σG é a constante de perda corona.


Para a validação do modelo, utiliza-se uma linha curta de 2,3 km e com uma carga no

terminal receptor igual ao valor da impedância característica da linha (Figura 33).


6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (68)


duas frequências da linha (10 kHz e 100 kHz). O raio e altura do condutor são,

respectivamente, 11,52 mm e 12 m. A tensão de ruptura de corona é 300 kV. As constantes

são: σC = 30 e σG = 10x106 (MAMIS, 2003).

48

Figura 33 – Simulação da linha de transmissão com efeito corona: Modelo de Skilling &

Umoto.








A linha da Figura 33 foi representada por uma cascata de 100 circuitos π. A cascata de

circuitos π foi escrita na forma de equações de estado e utilizando a Formula de Heun

(integração trapezoidal) foi determinado as tensões há uma distancia de 1 km do terminal

emissor, conforme mostra as Figuras 34 e 35

Figura 34 – Tensão utilizando o modelo de Skilling & Umoto: parâmetros a 10 kHz.


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120

500

1000

1500

2000

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(1)

(3)

(2)

49

Figura 35 – Tensão utilizando o modelo de Skilling & Umoto: parâmetros a 100 kHz.


Nas Figuras 34 e 35, a curva 1 mostra a tensão aplicada pelo terminal emissor da linha


corona e a curva 3 mostra a tensão a 1 km do terminal emissor sem considerar o efeito corona.

Verifica-se na curva 3 oscilações devido à representação dos parâmetros da linha por

parâmetros concentrados de circuitos.

4.5 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS

Até o momento, neste capítulo foi mostrado quatro modelos de corona de forma

separada que pode ser empregado em estudo de transitório em linhas de transmissão. De

forma a visualizar a diferença entre cada modelo, neste item serão comparados todos os

modelos com os resultados encontrados na literatura.

Figura 36 – Comparação dos modelos corona: parâmetros a 10 kHz.


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V] (2)

(1)

(3)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

X: 0.0014

Y: 1.2e-013

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(2)

(4)

(1)

(5)

(3)

50

As Figuras 36 e 37 mostram os modelos de corona aplicados para a simulação de uma

descarga atmosférica para os parâmetros calculados a uma frequência fixa de 10 e 100 kHz,

respectivamente. A curva 1 representa o modelo de Christopoulos, a curva 2 representa o

modelo de Wagner & Lloyd, a curva 3 representa o modelo Skilling & Umoto, a curva 4

representa o modelo de Gary e a curva 5 o resultado encontrado de forma experimental na

literatura (WAGNER; GROSS; LLOYD, 1954).

Figura 37 – Comparação dos modelos corona: parâmetros a 100 kHz.


Fazendo uma análise mais critica sobre os modelos, os modelos analógicos de

Christopoulos e Wagner & Lloyd apresentam um aumento de tensão mais abrupto do que os

modelos matemáticos. Este fato ocorre porque os modelos analógicos foram representados

por apenas um ou dois ramos de corona. Uma forma de corrigir essa limitação seria colocar

mais ramos de corona. Entretanto, com o acréscimo de ramos, a resolução numérica desses

elementos se torna mais complexa.

Ao representar o efeito corona por modelos dinâmicos (modelo de Gary e Skilling &

Umodo), verifica-se um aumento da tensão de forma mais suave. Esta característica ocorre

devido ao fato de que estes modelos levam em conta, em cada ponto da linha, a tensão e a

derivada desta tensão em relação ao tempo.

Comparando os dois modelos dinâmicos, o Modelo de Skilling & Umoto é o modelo

que mais se aproxima dos resultados experimentais. Isto devido a sua modelagem levar em

conta o raio e a altura dos condutores e principalmente apresentar uma constante de perdas

corona (determinada de forma experimental), o que não acontece no modelo de Gary. A

representação das perdas por corona, desenvolvido por Skilling & Umoto, é de fácil inserção

no modelo de Gary, fato este que resulta em um aperfeiçoamento deste modelo.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(2)

(1)

(3)(4)

(5)

51

4.6 CONCLUSÃO

Neste capítulo foram estudados quatro modelos utilizados para o estudo do efeito

corona em linhas de transmissão. Os modelos foram comparados entre si e foi possível

verificar que o modelo de Skilling & Umoto foi o que mais se aproxima da curva

experimental. Entretanto, todos os modelos estudados até o momento são apenas utilizados

em modelos de linhas de transmissão monofásica.

No próximo capítulo será apresentado um modelo de linha trifásica que possa incluir o

efeito corona no estudo de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão.

52

5 MODELO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICA A PARÂMETROS

DISCRETOS

Uma das maneiras possíveis de representar uma linha de transmissão é representa-la

por parâmetros discretos. Um dos modelos aproximados bastante utilizado é o modelo a

circuitos π (MAMIS, 2002; 2003). Este modelo representa a linha monofásica a partir de uma

cascata de circuitos π. Esta cascata de circuito π representa os parâmetros distribuídos ao

longo da linha, conforme mostrado no capítulo 3.

No caso de linhas polifásicas, o método mais clássico seria aplicar a decomposição

modal da linha (KUROKAWA, 2003). Entretanto, ao utilizar está técnica, o modelo do efeito

corona de Gary e Skilling & Umoto não podem ser aplicados devido aos seus parâmetros não

admitir variação quando a linha estiver no domínio modal.

Neste capítulo será mostrado o desenvolvimento de um modelo de linha em que as

equações de estado, que descrevem as correntes e tensões de fase da mesma, serão escritas

diretamente no domínio das fases, sem a utilização de qualquer tipo de transformação. O

mesmo pode ser utilizado para representar qualquer linha, independentemente da geometria

da mesma, sendo que, neste trabalho será mostrado o desenvolvimento do modelo para linhas

trifásicas. Este modelo de linha de transmissão trifásica possibilita a inclusão do efeito corona

utilizando os modelos de Gary e Skilling & Umoto

Em linhas de transmissão aéreas, o valor das condutâncias é muito pequeno, ou seja,

não tendo uma influência significativa na forma de onda da corrente e da tensão ao longo da

linha de transmissão (MARTINEZ; GUSTAVSEN; DURBAK, 2005), entretanto, será

considerado no equacionamento do modelo.

5.1 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DO MODELO PROPOSTO

Sabe-se que os parâmetros longitudinais de uma linha de transmissão são classificados

em parâmetros próprios e mútuos.

Os parâmetros próprios são a resistência e a indutância, sendo que os elementos

próprios são uma resistência e uma indutância própria em cada uma das fases. Quanto aos

parâmetros mútuos, deve-se levar em conta que o fato da linha ser construída sobre um solo

que não pode ser considerado ideal (do ponto de vista de suas características elétricas) faz

com que além da indutância mútua, exista também outro elemento que se comporta como uma

resistência e que diversos autores denominam de resistência mútua (DOMMEL, 1996).

53

A queda de tensão em um condutor devido à indutância mútua existente entre o

mesmo e outro é bastante conhecida e pode ser determinada por meio da lei de Lenz (HAYT,

2003). Quanto ao efeito de uma resistência mútua, pouca informação foi encontrada a respeito

da mesma.

A dificuldade em se levar em conta o acoplamento existente entre as fases de uma

linha de transmissão geralmente é eliminada quando a mesma é representada no domínio

modal. Neste domínio uma linha de transmissão de n fases é representada no domínio modal

por seus n modos de propagação, que são totalmente desacoplados uns dos outros e são

representados por n linhas monofásicas independentes. No domínio modal, os parâmetros

mútuos da linha são distribuídos entre os modos da mesma na forma de parâmetros

longitudinais próprios e esta característica dos modos de propagação permite equacionar as

correntes e tensões ao longo dos modos de propagação da linha sem que seja levada em conta,

nestas equações, os parâmetros mútuos da linha. Deste modo quando é necessário calcular

correntes e tensões nas fases de uma linha de transmissão, é bastante usual converter esta

linha para o domínio modal, calcular as correntes e tensões em cada um dos modos de

propagação e em seguida converter tais tensões e correntes para o domínio das fases por meio

da utilização de uma matriz de transformação fase-modo adequada (KUROKAWA, 2003).

Recentemente, Schulze (SCHULZE, 2010) propôs um modelo para considerar o efeito

da resistência. No modelo proposto, considera-se que o efeito de uma resistência mútua

obedece à lei Ohm, ou seja, a resistência mútua entre dois condutores j e k faz com que o

condutor j tenha uma queda de tensão devido à corrente no condutor k e esta queda de tensão

pode ser mensurada por meio de lei de Ohm.

A Figura 38 mostra dois condutores j e k acoplados por uma resistência mútua Rm.

Figura 38 – Representação da resistência mútua.


condutor j

condutor k

Rm

vj(t)

vk(t)

ij(t)

ik(t)

54

Na figura 38 os condutores j e k são alimentados pelas fontes de tensão vj(t) e vk(t),

respectivamente, estão acoplados devido à presença da resistência mútua Rm e são percorridos

pelas correntes ij(t) e ik(t).

De acordo com Schulze (SCHULZE, 2010), é possível escrever as seguintes equações

para os condutores:

j m kv (t) R i (t) 0 (69)

k m jv (t) R i (t) 0 (70)

Nas equações (69) e (70) verifica-se que, devido à resistência mútua, o condutor j

sofre uma queda de tensão que é função da corrente no condutor k. O mesmo ocorre com o

condutor k em relação ao condutor j. Verifica-se também que a queda de tensão devido à

resistência mútua obedece à lei de Ohm.

Schulze et al. utiliza o modelo para resistência mútua descrita anteriormente para

descrever as equações de correntes e tensões em uma linha de transmissão trifásica

representada por um único circuito (SCHULZE, 2010). No entanto, por utilizar somente um

circuito , o modelo proposto por Schulze pode ser utilizado somente para representar linhas

curtas e não permite a visualização da propagação das ondas de correntes ao longo da linha.

Neste capítulo o modelo de resistência mútua proposto por Schulze será estendido para

situações em que linhas trifásicas sem transposição, com geometria genérica, sejam

representadas por uma grande quantidade de circuitos conectados em cascata, ou seja, será

deduzido um modelo para linhas de transmissão trifásicas de qualquer comprimento que pode

ser utilizado para representar estas linhas em situações em que se deve levar em conta que as

correntes e tensões ao longo da linha comportem-se como ondas.

5.2 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS TRIFÁSICAS

Considere uma linha trifásica genérica, conforme mostra a Figura 39.

Na Figura 39, as fases A, B e C da linha possuem alturas hA, hB e hC respectivamente,

em relação ao solo.

Considerando que um pequeno segmento de linha pode ser representado por elementos

discretos de circuito, é possível representar um pequeno segmento de linha mostrada na

Figura 39 pelo circuito mostrado na Figura 40.

55

C0/2 G0/2

5

Figura 39 – Linha de transmissão trifásica genérica.

A

B

hA

hB

hC

C


Figura 40 – Representação de um pequeno segmento de linha trifásica por elementos discretos

de circuitos.


Na Figura 40 (a) vAj(t) e vA(j-1)(t) são as tensões de fase nos pontos 2 e 5,

respectivamente, na fase A, nos extremos do segmento de linha enquanto que vBj(t) e vB(j-1)(t)

são as tensões de fase nos pontos 1 e 4, respectivamente, na fase B, no mesmo segmento e

vCj(t) e vC(j-1)(t) são as tensões de fase nos pontos 3 e 6, respectivamente, na fase C, do

segmento mostrado. As grandezas iAj(t), iBj(t) e iCj(t) são as correntes, nas fases A, B e C

respectivamente, no segmento de linha. As grandezas RA, RB e RC são, respectivamente, as

resistências longitudinais faz fases A, B e C do segmento de linha enquanto que LA, LB e LC

são as indutâncias longitudinais das fases A, B e C, respectivamente. Ainda, no circuito

mostrado na Figura 40 (a), as resistências mutuas são RAB, RAC e RBC e as indutâncias mutuas

RB LB

RBC , LBC LA

RC LC

C0B/2

C0A/2

C0B/2

C0A/2

C0C/2 C0C/2

CAB/2 CAB/2 CBC/2 CBC/2

CAC/2 CAC/2

1

2

3

4

5

6

RA

RAB , LAB

RAC , LAC

(a) (b)

56

são LAB, LAC e LBC. Na Figura 40 (a) serão levadas em consideração as condutâncias próprias e

mútuas que, devido à dificuldade de representação, não são mostradas na Figura 40 (a), mas

estas condutâncias estão em paralelo às capacitâncias conforme mostra a Figura 40 (b). O

segmento de linha possui também as capacitâncias transversais parciais CAB, CBC, CAC, C0A,

C0B e C0C.

Aplicando a Lei das malhas na fase A, B e C da Figura 40, têm-se:

AC 0AB 0ACA ABAj Aj Bj Cj A( j 1) Aj Bj Cj

A A A A A A A

R L Ld R R 1 1 d di i i i v v i i

dt L L L L L L dt L dt (71)

BC BCAB B ABBj Aj Bj Cj B( j 1) Bj Aj Cj

B B B B B B B

R Ld R R 1 1 L d di i i i v v i i


AC BC C AC BCCj Aj Bj Cj C( j 1) Cj Aj Bj

C C C C C C C

R R R L Ld 1 1 d di i i i v v i i


Aplicando a Lei das correntes na fase A, B e C da Figura 40, têm-se:

A AB AC AB ACA A A B C

A AB AC A AB AC A AB AC A AB AC

AB ACB C

A AB AC A AB AC

d 1 (G G G ) G GV I V V V

dt (C C C ) (C C C ) (C C C ) (C C C )

C d C dV V

(C C C ) dt (C C C ) dt

(74)

AB B AB BC BCB B A B C

B AB BC B AB BC B AB BC B AB BC

AB BCA C

B AB BC B AB BC

d 1 G (G G G ) GV I V V V

dt (C C C ) (C C C ) (C C C ) (C C C )

C d C dV V


(75)

AC BC C AC BCC C A B C

C AC BC C AC BC C AC BC C AC BC

AC BCA B

C AC BC C AC BC

d 1 G G (G G G )V I V V V

dt (C C C ) (C C C ) (C C C ) (C C C )

C d C dV V


(76)

Manipulando as equações 71-73 e 74-76 é possível obter as seguintes equações:

Aj

Aj 11 Bj 13 Cj 15 Aj 12 Bj 14 Cj 16

A( j 1) 12 B( j 1) 14 C( j 1) 16

di (t)i (t)a i (t)a i (t)a v (t)a v (t)a v (t)a

dt

v (t)( a ) v (t)( a ) v (t)( a )

(71)

Aj

Aj 21 Bj 23 Cj 25 Aj 22 Bj 24 Cj 26

dv (t)i (t)a i (t)a i (t)a v (t)a v (t)a v (t)a

dt (72)

Bj

Aj 31 Bj 33 Cj 35 Aj 32 Bj 34 Cj 36

A( j 1) 32 B( j 1) 34 C( j 1) 36


dt

v (t)( a ) v (t)( a ) v (t)( a )

(73)

57

Bj

Aj 41 Bj 43 Cj 45 Aj 42 Bj 44 Cj 46


dt (74)

Cj

Aj 51 Bj 53 Cj 55 Aj 52 Bj 54 Cj 56

A( j 1) 52 B( j 1) 54 C( j 1) 56


dt

v (t)( a ) v (t)( a ) v (t)( a )

(75)

Cj

Aj 61 Bj 63 Cj 65 Aj 62 Bj 64 Cj 66


dt (76)

sendo:

2

A BC B C AB C AB AC BC AC B AC AB BC

11 2 2 2

A B C A BC B AC C AB AB AC BC

R L L L R L L L L R L L L La

L L L L L L L L L 2L L L

(77)

2

BC B C12 2 2 2


L L La


(78)

2

AB BC B C B C AB AC BC BC B AC AB BC

13 2 2 2




(79)

C AB AC BC14 2 2 2


L L L La


(80)

2

AC BC B C BC C AB AC BC C B AC AB BC

15 2 2 2




(81)

B AC AB BC16 2 2 2


L L L La


(82)

2

0B AB BC 0C AC BC BC

21

C C C C C C Ca 2

(83)

2A AB AC BC B AB BC C AC BC AB AB C AC BC AC AC B AB BC BC AB AC AC AB

22

(G G G ) C (C C C )(C C C ) C G (C C C ) C G (C C C ) C C G C Ga

(84)

AB 0C AC BC AC BC

23

C C C C C Ca 2

(85)

B AB BC AB C AC BC AC BC B AB BC AB C AC BC AC BC BC AB BC AB BC24

(C C C ) G (C C C ) C G (G G G ) C (C C C ) C C C C G G Ca

(86)

AC 0B AB BC AB BC

25

C C C C C Ca 2

(87)

58

C AC BC AC B AB BC AB BC C AC BC AC B AB BC AB BC BC AC BC AC BC26

(C C C ) G (C C C ) C G (G G G ) C (C C C ) C C C C G G Ca

(88)

2

A C AB AC BC AB AC A C AC A BC AB AC

31 2 2 2


R L L L L R L L L R L L L La


(89)

C AB AC BC32 2 2 2


L L L La


(90)

2

AB C AB AC BC B AC A C BC A BC AB AC

33 2 2 2




(91)

2

AC A C34 2 2 2


L L La


(92)

2

AC C AB AC BC BC AC A C C A BC AB AC

35 2 2 2




(93)

A BC AB AC36 2 2 2


L L L La


(94)

AB 0C AC BC AC BC

41

C C C C C Ca 2

(95)

A AB AC AB C AC BC BC AC A AB AC AB C AC BC BC AC AC AB AC AC AB42

(C C C ) G (C C C ) C G -(G G G ) C (C C C ) C C + C C G C Ga

(96)

2

0A AB AC 0C AC BC AC

43

C C C C C C Ca 2

(97)

2B AB BC AC A AB AC C AC BC AB AB C AC BC BC BC A AB AC AC AB BC BC AB

44

(G G G ) C (C C C )(C C C ) C G (C C C ) C G (C C C ) C C G C Ga

(98)

BC 0A AB AC AC AB

45

C C C C C Ca 2

(99)

C AC BC BC A AB AC AB AC C AC BC BC A AB AC AB AC AC AC BC AC BC46

(C C C ) G (C C C ) C G -(G G G ) C (C C C ) C C + C G C C Ga

(100)

2

A B AC AB BC AB A BC AB AC AC AB A B

51 2 2 2


R L L L L R L L L L R L L La


(101)

B AC AB BC52 2 2 2


L L L La


(102)

59

2

AB B AC AB BC B A BC AB AC BC AB A B

53 2 2 2




(103)

A BC AB AC54 2 2 2


L L L La


(104)

2

AC B AC AB BC BC A BC AB AC C AB A B

55 2 2 2




(105)

2

AB A B56 2 2 2


L L La


(106)

AC 0B AB BC AB BC

61

C C C C C Ca 2

(107)

A AB AC AC B AB BC BC AB A AB AC AC B AB BC AB BC AB AC AB AB AC62

(C C C ) G (C C C ) C G -(G G G ) C (C C C ) C C +C C G C Ga

(108)

BC 0A AB AC AB AC

63

C C C C C Ca 2

(109)

B AB BC BC A AB AC AC AB B AB BC BC A AB AC AB AC AB AB BC AB BC64

(C C C ) G (C C C ) C G -(G G G ) C (C C C ) C C +C G C C Ga

(110)

2

0A AB AC 0B AB BC AB

65

C C C C C C Ca 2

(111)

2C AC BC AB A AB AC B AB BC AC AC B AB BC BC BC A AB AC AB AC BC BC AC

66

(G G G ) C (C C C )(C C C ) +C G (C C C ) G C (C C C ) C C G C Ga

(112)

sendo:

0A AB AC 0B AB BC 0C AC BC

2 2

0A AB AC BC 0B AB BC AC

2

0C AC BC AB AB BC AC

C C C C C C C C C

C C C C C C C C

C C C C 2C C C

(113)

Escrevendo a equação (71)-(76) na forma de equação de estado obtém-se:

[x] [A][x] [B][u(t)] (114)

sendo:

60

11 12 13 14 15 16

21 23 25

31 32 33 34 35 36

41 43 43

51 52 53 54 55 56

61 63 65

a a a a a a

a 0 a 0 a 0

a a a a a a[A]

a 0 a 0 a 0

a a a a a a

a 0 a 0 a 0

(115)

12 14 16

32 34 36

32 36 34

a a a

0 0 0

a a aB

0 0 0

a a a

0 0 0

(116)

T Aj Aj Bj Bj Cj Cjdi (t) dv (t) di (t) dv (t) di (t) dv (t)

xdt dt dt dt dt dt

(117)

T

A( j 1) B( j 1) C( j 1)u(t) V (t) V (t) V (t)

(118)

Na equação (117), T[x] é o vetor [x] transposto e na equação (118), [u(t)]T é o vetor

[u(t)] transposto.

A equação (114) permite calcular as correntes e tensões de fase nos terminais de um

pequeno segmento da linha mostrada na Figura 40 diretamente no domínio das fases

independentemente da geometria da linha.

Considerando agora que a linha é representada por n segmentos do tipo mostrado na

Figura 40 é possível reescrever a equação (117) como sendo:

T

A1 An A1 An B1 Bn B1

Bn C1 Cn C1 Cn

[x] [i (t) i (t) v (t) v (t) i (t) i (t) v (t)

v (t) i (t) i (t) v (t) v (t)]

(119)

O vetor [x], na equação (119), possui 6n elementos e é constituído pelas correntes

longitudinais e pelas tensões transversais nas fases da linha representada por uma cascata de n

circuitos do tipo mostrado na Figura 40. Deste modo, as grandezas iAj(t), iBj(t) e iCj(t)

correspondem às correntes nas fases A, B e C, respectivamente, no j-ésimo segmento

representado por um circuito igual ao circuito mostrado na Figura 40. De modo análogo, as

grandezas vAj(t), vBj(t) e vCj(t) corresponde às tensões nas fases A, B e C no j-ésimo segmento.

61

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]

[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]

[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A]

[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]

[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]

[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]

(120)

A matriz [A], na equação (120), é uma matriz quadrada de dimensão 6n. Esta matriz é

constituída por 36 submatrizes quadrada, de dimensão n, que obedece às seguintes regras de

formação:

- Submatrizes [A11], [A13], [A15], [A22], [A24], [A26], [A31], [A33], [A35], [A42], [A44], [A46],

[A51], [A53], [A55]. [A62], [A64] e [A66]: estas submatrizes possuem elementos não nulos

somente na diagonal principal e são escritas como sendo:

A equação (121) é válida para os elementos a11, a13, a15, a22, a24, a26, a31, a33, a35, a42,

a44, a46, a51, a53, a55, a62, a64 e a66 calculado a partir das equações (77)-(112).

- Submatrizes [A12], [A14], [A16], [A32], [A34], [A36], [A52], [A54] e [A56]: estas submatrizes

possuem elementos não nulos somente na diagonal principal e na subdiagonal inferior e são

escritas como sendo:

pq

pq pq

pqpq

pq

pq pq

a

a a

a[A ]

a

a a

(122)

A equação (122) é válida para p = 1, 3, 5 e q = 2, 4, 6, sendo que o elemento apq é

calculado a partir das equações (77)-(112).

- Submatrizes [A21], [A23], [A25], [A41], [A43], [A45], [A61], [A63] e [A65]: estas submatrizes

possue elementos não nulos somente na diagonal principal e na subdiagonal superior e são

escritas como sendo:

pq

pq

pq

pq

pq

a

a

[A ]

a

a

(121)

62

pq pq

pq pq

pq

pq pq

pq

a a

a a1

[A ]2

a a

2a

(123)

A equação (123) é válida para p = 2, 4, 5 e q = 1, 3, 5, sendo que o elemento apq é

calculado a partir das equações (77)-(112).

Na equação (114), [B] é uma matriz de ordem 6n x 3 que é escrita como sendo:

11 12 13

(2n 1)1 (2n 1)2 (2n 1)3

(4n 1)1 (4n 1)2 (4n 1)3

b b b

0 0 0

b b b

B

0 0 0

b b b

0 0 0

(124)

sendo:

11 12b a (125)

12 14b a (126)

13 16b a (127)

322n 1 1b a

(128)

342n 1 2b a

(129)

362n 1 3b a

(130)

524n 1 1b a

(131)

544n 1 2b a

(132)

564n 1 3b a

(133)

Os elementos a12, a14, a16, a32, a34, a36, a52, a54 e a56 são calculados a partir das equações

(77)-(112).

63

Na equação (114) o vetor [u(t)] é escrito como sendo:

T

A B C[u(t)] v (t) v (t) v (t)

(134)

Sendo vA(t), vB(t) e vC(t) as fontes conectada, nas fases A, B e C, no inicio da linha.

Observa-se que equação (114) é constituída somente por grandezas de fase da linha e

permite obter, diretamente no domínio do tempo, as correntes e tensões de fase ao longo do

comprimento da linha, sem a necessidade de aplicar qualquer matriz de transformação.

5.3 VALIDAÇÃO DO MODELO PARA LINHAS TRIFÁSICAS

Neste item, será apresentada a validação do modelo proposto comparando com o

modelo clássico que utiliza a transformação modal. Para está validação será considerada uma

linha idealmente transposta. Em seguida serão realizados alguns testes, entre eles, será

simulada uma linha com plano de simetria, a energização de uma linha assimétrica, inserção

de bancos de capacitores e variação na carga.

5.3.1 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 1 – Linha idealmente transposta.

Seja uma linha de transmissão trifásica idealmente transposta, conforme mostra a

Figura 41:

Figura 41 – Representação da linha de transmissão trifásica.

1

2 3

4 5

(9.27; 24.4)

(7.51; 36)

3.6

m

Fonte: (KUROKAWA, 2003).

Considera-se que cada uma das fases da linha mostrada na Figura 41 é constituída de

um condutor com 1cm de raio. Os parâmetros desta linha foram calculados na frequência de

64

60 Hz, levando a conta os efeitos solo e pelicular. Deste modo, foram obtidos os seguintes

valores para os parâmetros longitudinais e transversais da linha.

0,6667 0,4667 0,4667

R ' 0,4667 0,6667 0,4667 /km

0,4667 0,4667 0,6667

(135)

1,5 0,5167 0,5167

L ' 0,5167 1,5 0,5167 mH/km

0,5167 0,5167 1,5

(136)

7,5 -1,8 -1,8

C' -1,8 7,5 -1,8 F/km

-1,8 -1,8 7,5

(137)

As capacitâncias parciais são dadas por: C0A=C0B=C0C= 3,9 ηF/km e CAB=CAC=CBC=

1,8 ηF/km.

A linha de transmissão mostrada na Figura 41, com 100 km de comprimento, teve uma

das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440 kV enquanto que os

terminais receptores da linha foram mantidos abertos. A configuração descrita anteriormente é


Figura 42 – Teste de validação do modelo para linha de transmissão trifásica

Solo

V1 = 440 kV

V2 = 0 V

#1

#2

V3 = 0 V

#3

t = 0


O modelo proposto e modelo clássico foram utilizados para simular as tensões de fase

nos terminais da linha mostrada na Figura 42. A condutância da linha de transmissão foi

considerada nula, porque em linhas aéreas a condutância não influencia de forma significativa

nas tensões e correntes da linha (MARTINEZ; GUSTAVSEN; DURBAK, 2005).

Nas simulações realizadas com o modelo proposto a linha foi representada por 100

65

circuitos do tipo mostrado na Figura 40 conectados em cascata. No modelo clássico, cada

modo de propagação foi representada também por 100 circuitos π (cada um representando um

pequeno segmento de linha) conectados em cascata e considerou a matriz de Claker como

matriz de decomposição modal.

Figura 43 – Tensão no terminal da linha na fase 1: modelo proposto (curva 1) e modelo

clássico (curva 2).








0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200

400

600

800

1000

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V] (1)

(2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-200

0

200

400

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V] (1)

(2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-200

0

200

400

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V] (1)

(2)

66

As Figuras 43, 44 e 45 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1, 2

e 3 da linha. A curva 1 mostra resultados obtidos com o modelo proposto, enquanto que as

curva 2 mostram o resultado modelo clássico.

As Figuras 43, 44 e 45 mostram que não há diferença entre os resultados obtidos com

os dois modelos. Deste modo é possível afirmar que as considerações feitas, durante o

desenvolvimento do modelo proposto, estão corretas. É importante destacar que o modelo

proposto possibilita obter os resultados diretamente no domínio das fases, sem o uso de

qualquer matriz de transformação real, enquanto que o modelo clássico utiliza matrizes de

decomposição modal.

5.3.2 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 2 – Linha com plano de simetria.

No teste 2 será considerada a mesma linha representada na Figura 41, entretanto, a

linha de transmissão não terá transposição entre as fases.

Com isso, a linha mostrada na Figura 41, com 100 km de comprimento, terá os

seguintes parâmetros longitudinais e transversais:

0,8 0,5 0,5

R ' 0,5 0,6 0,4 /km

0,5 0,4 0,6

(138)

1,44 0,56 0,56

L ' 0,56 1,47 0,43 mH/km

0,56 0,43 1,47

(139)

6,3 -2,4 -2,4

C' -2,4 8,1 -0,6 F/km

-2,4 -0,6 8,1

(140)

As capacitâncias parciais são dadas por: C0A= 1,5 ηF/km, C0B=C0C= 5,1 ηF/km,

CAB=CAC= 2,4 ηF/km e CBC= 0,6 ηF/km.

Considera-se que a linha de transmissão mostrada na Figura 42, com 100 km de

comprimento, teve uma das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440

kV e os terminais receptores da linha foram mantidos em aberto.

O modelo proposto e o modelo clássico foram utilizados para simular as tensões de

fase nos terminais da linha mostrada na Figura 42.

Nas simulações, realizadas com o modelo proposto, a linha foi representada por 100

circuitos do tipo mostrado na Figura 40 conectado em cascata. No modelo clássico a linha foi

67

representada também por 100 circuitos discretos (cada um representando um pequeno

segmento de linha) conectados em cascata e considerou a matriz de Claker como matriz de


As Figuras 46, 47 e 48 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1, 2

e 3 da linha. A curva 1 mostra os resultados obtidos por meio do modelo proposto, enquanto

que a curva 2 mostra os resultados obtidos utilizando modelo clássico.

As Figuras 46, 47 e 48 mostram que o modelo proposto e o modelo clássico

apresentam diferença no módulo da tensão. Está diferença está relacionada com a matriz de

decomposição modal (matriz de Clarke) adotada pelo modelo clássico. A matriz de Clarke

apenas desacopla linhas trifásicas idealmente transpostas, para linhas com plano de simetria

utiliza-se esta matriz para desacoplar, de forma aproximada, as fases. Deste modo é possível

afirmar que o modelo proposto é um modelo mais exato do que o modelo clássico. É

importante destacar que o modelo proposto possibilita obter os resultados diretamente no

domínio das fases sem o uso de qualquer matriz de transformação real, enquanto que o

modelo clássico utiliza matriz de decomposição modal.


clássico modal (curva 2).





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200

400

600

800

1000

Tempo (ms)

Ten

são

(k

V)

(2)

(1)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-200

0

200

400

Tempo (ms)

Ten

são

(k

V)

(2)

(1)

68

Figura 48 – Tensão no terminal da linha na fase 3 modelo proposto (curva 1) e modelo



5.3.3 Validação do modelo para linhas trifásicas: teste 3 – Linha assimétrica.

No teste 3, considera-se uma linha assimétrica conforme mostra a Figura 49.

Figura 49 – Linha de transmissão assimétrica.


A linha mostrada na Figura 49, com 100 km de comprimento, terá os novos seguintes

parâmetros longitudinais e transversais:

1,0427 0,9242 0,9280

R ' 0,9242 1,0525 0,9342 /km

0,9280 0,9342 1,0627

(141)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-200

0

200

400

Tempo (ms)

Ten

são

(k

V)

(2)

(1)

1

2

3

69

1,7 1 0,9049

L ' 1 1,7 1 mH/km

0,9049 1 1,7

(142)

11,73 -4,43 -1,89

C' -4,43 13,21 -4,25 F/km

-1,89 -4,25 12,19

(143)

As capacitâncias parciais são dadas por: C0A= 5,41 ηF/km, C0B=4,53 ηF/km, C0C=

6,05 ηF/km, CAB=4,43 ηF/km, CAC= 1,89 ηF/km e CBC= 4,25 ηF/km.

Considera-se que a linha de transmissão mostrada na Figura 49, com 100 km de

comprimento, teve uma das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440

kV enquanto que os terminais receptores da linha foram mantidos em aberto.

Na simulação, realizadas com o modelo proposto, a linha foi representada por 100

circuitos do tipo mostrado na Figura 40 conectado em cascata.

A Figura 50 mostra a tensão na fase 1 da linha de transmissão assimétrica da Figura

49. Este resultado mostra que se pode aplicar o modelo proposto para o estudo de transitórios

de linhas assimétricas.

Figura 50 – Tensão no terminal da linha na fase 1 modelo proposto.


Considerando a mesma linha assimétrica, o modelo proposto foi utilizado para

energizar a linha mostrada pela Figura 49. Considerou-se que no terminal receptor da linha foi

conectada uma carga de 15,85 MVA, com um fator de potência de 0,98, conforme mostra a

Figura 51. No tempo t = 20 ms, ocorreu um chaveamento da carga abrupta, a nova carga

conectada no terminal receptor é de 100 MVA. As simulações foram realizadas no software

Matlab®.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200

400

600

800

1000

Tempo (ms)

Ten

são

(k

V)

70

Figura 51 – Teste de chaveamento de carga utilizando o modelo de linha de transmissão

assimétrica.


A Figura 52 mostra as tensões no terminal receptor da linha, considerando o

chaveamento de carga. As curvas 1, 2 e 3 mostra a tensão nas fases 1, 2 e 3, respectivamente.

Na Figura 52 é possível observar que a energização ocorre no tempo t = 0 ms e o

chaveamento de carga ocorre no tempo t = 20 ms. Depois do chaveamento da carga ocorreram

oscilações nas tensões conforme esperado.

Figura 52 – Tensão no terminal receptor da linha para um chaveamento de carga.


Em outra situação, na Figura 53, foi considerado um chaveamento de um banco de

capacitores no terminal receptor da linha. Inicialmente a linha mostrada na Figura 49, com

uma carga resistiva por fase igual a 1 kΩ foi conectada no terminal receptor e, foi energizada

no tempo t = 0. Quando o tempo atingiu t = 20 ms foi conectado um banco de capacitores

trifásico no terminal receptor (Cc=25 µF).

A Figura 54 mostra a tensão resultante no terminal receptor da linha, considerando o

chaveamento do banco de capacitores. A curva 1, 2 e 3 mostra a tensão nas fases 1, 2 e 3,

respectivamente.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1000

-500

0

500

1000

Tempo [ms]

Ten

são

[k

v]

AC 440 kV

440 kV Transmission line

Load

1

2

3

t=0

(1) (2) (3)

71

Figura 53 – Teste de chaveamento de banco de capacitores utilizando o modelo de linha de

transmissão assimétrica.


Na Figura 54 mostra que depois da inclusão do banco de capacitor, no tempo t = 20

ms, existiu um aumento da tensão no terminal receptor da linha conforme esperado.

Figura 54 – Tensão no terminal receptor da linha para um chaveamento de banco de

capacitores.


5.4 CONCLUSÃO

Neste capítulo foi apresentado um novo modelo de linhas de transmissão trifásica que

determina as correntes e tensões em todos os pontos da linha.

Este modelo foi validado a partir do modelo clássico a decomposição modal. O

modelo clássico é um método matemático que desacopla a linha, omitindo os valores de

resistências, indutâncias e capacitâncias mútuas, facilitando a resolução dos problemas.

O modelo proposto a parâmetros discretos permite representar diretamente no domínio

das fases, sem o uso de qualquer matriz de transformação modal e, desta forma, pode ser

0 10 20 30 40 50 60-1000

-500

0

500

1000

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

AC 440 kV 440 kV Transmission

line

Load

1

2

3

t=0

capacitor

bank

t=20 ms

Cc

72

usado para representar uma linha de transmissão trifásica transposta ou não transposta com ou

sem simetria vertical.

Para a validação do modelo proposto, foram comparados os métodos em duas

situações. A primeira considerou-se a linha idealmente transposta, cujas respostas de todos os

modelos foram iguais. Na segunda situação, o modelo clássico modal apresentou uma

variação em relação ao modelo proposto, entretanto, está variação é devido ao modelo

proposto não apresentar aproximações. Sabe-se que o modelo clássico modal para linhas não

transposta não ocorre o desacoplamento de forma exata utilizando a matriz de Clarke

(TAVARES, 1999).

Com a determinação deste modelo, agora se tem um modelo habito para inserir

elementos não lineares diretamente no domínio do tempo e das fases. Um exemplo prático foi

a variação de carga e do banco de capacitores, de forma ilustrativa foi utilizado cargas

simétricas, mas a inserção de cargas assimétricas não dificulta a modelagem realizada. No

próximo capítulo será mostrada uma proposta de modelo corona para linhas trifásicas

diretamente no domínio do tempo e das fases.

73

6 INCLUSÃO DO EFEITO CORONA EM MODELO DE LINHAS DE

TRANSMISSÃO TRIFÁSICA A PARÂMETROS DISCRETOS

Conforme já mencionado nos capítulos anteriores, o estudo do efeito corona em linhas

de transmissão é muito importante. O efeito corona pode causar problemas sociais e

econômicos. Do ponto de vista da engenharia, o efeito corona causa atenuação na tensão

gerando perdas ao longo da linha de transmissão.

Entretanto, os modelos de linha de transmissão encontrados na literatura apenas

estudam o efeito corona em modelos de linhas monofásicas. O efeito corona causa variação

nos parâmetros transversais da linha. Em linhas polifásicas existem acoplamentos entre as

fases dificultando a inserção do efeito corona nos modelos polifásicos existentes.

No capítulo 5 foi desenvolvido um modelo de linha de transmissão trifásica que poder

admitir a inserção do efeito corona nos parâmetros transversais da linha. O modo que será

feito está inserção será descrito neste capítulo, apresentando simulações que validam o novo

modelo para o estudo do efeito corona.

6.1 ESTUDO DAS CAPACITÂNCIAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO

Antes de iniciar o estudo da inclusão do efeito corona em linhas de transmissão é

muito importante estudar como são determinadas suas capacitâncias.

Os condutores das linhas de transmissão de energia elétrica energizados apresentam

diferenças de potenciais entre si e também com relação ao solo. Essas diferenças indicam a

presença de cargas elétricas distribuídas ao longo desses mesmos condutores. Uma linha de

transmissão comporta-se como um capacitor, tendo como elétrodos os próprios condutores e o

solo. Assim sendo, uma linha de transmissão, ao ser energizado, absorve da fonte cargas

elétricas necessárias ao seu carregamento, da mesma maneira que um capacitor (FUCKS,

1977).

Aplicando-se uma tensão alternada senoidal a uma linha de transmissão, a carga

elétrica dos condutores em um ponto qualquer varia de acordo com valores instantâneos das

diferenças de potencial existentes entre os condutores ou entre condutor e o solo (FUCKS,

1977). A capacitância entre os condutores é a carga dos mesmos pela diferença de potencial

entre eles.

Considerando que a matriz de capacitância [C] é a matriz de capacitância de um

sistema de n condutores, a matriz [C] pode ser expressa pela equação (144).

74

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

C C C

C C CC

C C C

(144)

O significado dos elementos mostrados na matriz [C], na equação (144), pode ser

visualizado na Figura 55.

Figura 55 – Capacitâncias em um sistema de n condutores.

Fonte: (FUCKS, 1977).

Considerando que na Figura 55, os condutores 1, 2, ..., n possuem, em relação ao solo,

os potenciais v1, v2, ..., vn, respectivamente. Deste modo, podem-se escrever as seguintes

equações (FUCKS, 1977):

1 10 1 12 1 2 1n 1 nq C v C (v v ) ... C (v v ) (145)

A equação (144) pode ser escrita como sendo:

1 10 12 1n 1 12 2 1n nq (C C ... C )v C v ... C v (146)

De modo análogo, para os demais condutores, obtêm-se:

2 12 1 20 12 2n 2 2n nq C v (C C ... C )v ... C v (147)

n 1n 1 2n 2 n0 1n 2n nq C v C v ... (C C C ...)v (148)

As equações (146)-(148) podem ser escritas na forma matricial como sendo:

75

10 12 1n 12 1n

21 20 21 2n 2n

n1 n2 n0 n1 nn 1

(C C ... C ) C C

C (C C ... C ) CC

C C (C C ... C )

(149)

Relacionando (144) e (149), pode-se concluir que os elementos com índice ii, ou seja,

Cii em (144), correspondem à soma das capacitâncias existentes entre o inésimo condutor e os

demais, além da capacitância existente entre esse condutor e o solo. Um elemento com índice

ij, ou seja, Cij corresponde à capacitância entre os condutores i e j.

Na equação (149), as capacitâncias C10, C20, ..., Cn0 são as capacitâncias parciais entre

os condutores 1, 2, ..., n e solo. As capacitâncias C12, C1n, ..., C2n são as capacitâncias parciais

entre os condutores. Na equação (144) são mostradas as capacitâncias aparente da linha.

6.2 PROPOSTA DE INSERÇÃO DO EFEITO CORONA EM LINHAS DE

TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS

Conforme já mencionado em capítulos anteriores, o efeito corona tem como principal

característica influenciar na variação dos parâmetros transversais da linha. A capacitância é o

parâmetro transversal que mais sofre variação do efeito corona.

No caso de linhas monofásicas, ao representar a linha por elementos discretos,

somente existirá a capacitância referente ao condutor e ao solo. Devido a está característica,

os modelos de efeito corona são inseridos nesta capacitância. Em caso de linhas polifásicas,

conforme mostrado no item anterior, ocorre a existências de capacitâncias parciais entre os

condutores e entre os condutores e o solo. Modelos de linhas polifásicas costuma-se aplicar a

teoria de decomposição modal. Essa teoria transforma uma linha polifásica em várias linhas

monofásicas onde os elementos mútuos são refletidos nos elementos próprios (KUROKAWA,

2003). Ao utilizar esse modelo de linha não é possível aplicar os modelos de efeito corona

conhecidos, já que a dificuldade seria variar as capacitâncias parciais entre os condutores e o

solo sem interferir nas capacitâncias parciais entre os condutores. O mesmo raciocínio

realizado para as capacitâncias da linha pode ser feito para as condutâncias.

Devido a está limitação dos parâmetros transversais da linha, o problema se resume

em determinar um modelo de linha de transmissão trifásica que determine as tensões e

correntes ao longo da linha diretamente no domínio do tempo, sem utilização da técnica de

desacoplamento modal. Entretanto, esse modelo foi desenvolvido no capítulo 5 e será

mostrada a inserção do efeito corona nesse modelo a seguir.

76

Considerando-se o modelo de linha de transmissão mostrado pela Figura 56.

Figura 56 – Modelo de linha para inserção do efeito corona.


A Figura 57 (a) e (b) mostra as capacitâncias e condutâncias entre os condutores e o

solo do modelo da Figura 56, respectivamente.

Figura 57 – Representação dos parâmetros transversais da linha de transmissão trifásica: (a)

capacitâncias e (b) condutâncias.

(a) (b)


Algumas considerações são feitas para a inserção do efeito corona nesse modelo de

linha:

i. Os modelos de efeito corona utilizados são os modelos adaptados de Gary e o Skilling

& Umoto. Esses modelos são modelos computacionais muito utilizados em linhas

monofásicas a parâmetros discretos.

RB LB

RBC , LBC LA

RC LC

C0B/2

C0A/2

C0B/2

C0A/2

C0C/2 C0C/2

CAB/2 CAB/2 CBC/2 CBC/2

CAC/2 CAC/2

1

2

3

4

5

6

RA

RAB , LAB

RAC , LAC

(a)

CA0

CB0

CC0

CAB

CAC

CBC

A

C

B GA0 B

GB0

GAB

A GAC

GBC

C

GC0

77

ii. Ocorre apenas variação nas capacitâncias e condutâncias parciais entre os condutores e

o solo. Essa consideração ocorre devido a maior diferença de potencial se dá

justamente ente o condutor e o solo. As capacitâncias e condutâncias parciais entre

fases permaneceram constantes. A partir desta consideração tem-se a Figura 58.

Figura 58 – Representação dos parâmetros transversais da linha de transmissão trifásica: (a)

capacitâncias e (b) condutâncias.

(a) (b)


Os modelos Gary e Skilling & Umoto são considerados como sendo um modelo

dinâmico, ou seja, as capacitâncias e condutâncias de corona são dependentes da tensão e da

taxa de variação da tensão.

No caso do modelo Gary, nota-se que as capacitâncias de corona são elementos extras

somados as capacitâncias parciais entre o condutor e o solo (Figura 58 (a)) quando a tensão

entre a fase e o solo é maior do que a tensão de corona e derivada desta tensão for maior que

zero caso contrário esses elementos são nulos.

A capacitância de corona apresentado por Gary envolvendo a capacitância geométrica

da linha é definida como:

1

C 0

C

vC C

v

(150)

sendo CC é a capacitância de corona, C0 é a capacitância parcial entre o condutor e o solo, vC é

a tensão de ruptura de corona e η é um coeficiente, para um único condutor, é dado pela

expressão:

CA0

CB0

CC0

CAB

CAC

CBC

A

C

B GA0 B

GB0

GAB

A GAC

GBC

C

GC0

78

0,22r 1,2 (151)

sendo r é o raio do condutor em centímetros.

No caso do modelo Skilling & Umoto, nota-se que as capacitâncias e condutâncias de

corona são elementos extras somados as capacitâncias e condutâncias parciais entre o

condutor e o solo (Figura 58 (a) e Figura 58 (b), respectivamente) quando a tensão entre a fase

e o solo é maior do que a tensão de corona e a derivada dessa tensão forem maiores que zero

caso contrário esses elementos são nulos.

Nesse modelo a capacitância não-linear de corona apresentado por Skilling & Umoto é

adaptado pela simulação por equações de estado. A capacitância corona é definida como:

CC C

vC 2k 1 F/m

v

(152)

sendo vC é a tensão de corona,

11

C C

rk x10

2h

(153)

e σC é constante de perdas corona, r e h são o raio e a altura do condutor com o solo,

respectivamente.

A atenuação das perdas corona é modelada por uma corrente de perda ao longo da uma

carga resistiva para o solo definida como:

2

CC R

vG k 1 F/m

v

(154)

sendo:

11

R G

rk x10

2h

(155)

e σG é a constante de perda corona.

79

A Figura 59 mostra por diagrama de blocos como será feita o cálculo de linhas

trifásicas considerando o efeito corona.

Figura 59 – Diagrama de blocos para a inserção do efeito corona em linhas trifásicas.


A Figura 59 mostra o diagrama de inserção do efeito corona em linhas de transmissão

trifásicas. A primeira etapa é determinar as matrizes [A] e [B] de estado a partir dos

parâmetros da linha. Em seguida determinar as tensões e correntes para o primeiro passo de

cálculo. O terceiro passo seria verificar se as tensões em todos os pontos da linha são menores

do que a tensão de corona e se a derivada das mesmas são maiores do que zero. Caso estas

condições forem verdadeiras, ocorre a atualização nos valores das capacitâncias e

condutâncias parciais entre o condutor e o solo, atualizando a matriz de estado [A]. No caso

S

N

S

Fim

Corrigir C e G,

Atualizar a matriz de estado

t = tfinal

Vn>Vcor &

Vn,In para t = tanterior+Δt.

.

N

80

das condições forem falsas, se não terminou a simulação, é recalculado a matriz de estado [A]

com os seus valores iniciais.

6.2.1 Validação da inserção do efeito corona no modelo para linhas trifásicas.

Por não encontrar na literatura modelos do efeito corona aplicados em linhas de

transmissão polifásicas, a validação do modelo não será dada de modo direto. Seja uma linha

de transmissão trifásica idealmente transposta com os três condutores na mesma altura,

conforme mostra a Figura 60:

Figura 60 – Linha de transmissão trifásica idealmente transposta com os três condutores na

mesma altura


Considerou-se que cada uma das fases da linha mostrada na Figura 60 é constituída de

um condutor com raio médio geométrico de 3,278 cm. Os parâmetros desta linha foram

calculados na frequência de 10 e 100 kHz, levando a conta os efeitos solo e pelicular. Deste

modo, foram obtidos os seguintes valores para os parâmetros longitudinais e transversais da

linha.

Parâmetros da linha para frequência de 10 kHz:

7,904 7,752 7,752

R ' 7,752 7,904 7,752 /km

7,752 7,752 7,904

(156)

28 m

9,27 m 9,27 m

81

1,336 0,6191 0,6191

L ' 0,6191 1,336 0,6191 mH/km

0,6191 0,6191 1,336

(157)

12,8744 -3,085 -3,085

C' -3,085 12,8744 -3,085 F/km

-3,085 -3,085 12,8744

(158)

0,556 1,112 1,112

G ' 1,112 0,556 1,112 S/km

1,112 1,112 0,556

(159)

As capacitâncias parciais são dadas por: C0A=C0B=C0C= 6,7044 ηF/km e

CAB=CAC=CBC= 3,085 ηF/km.

Parâmetros da linha para frequência de 100 kHz:

54,34 53,36 53,36

R ' 53,36 54,34 53,36 /km

53,36 0,4667 54,34

(160)

1,176 0,4612 0,4612

L ' 0,4612 1,176 0,4612 mH/km

0,4612 0,6191 1,176

(161)

Os valores de capacitância e condutância para frequência de 100 kHz são os mesmos

da frequência de 10 kHz.

Considera-se que a linha de transmissão mostrada na Figura 60, com 2,3 km de

comprimento, teve todas as suas fases energizadas por uma fonte de tensão dada:

6 6-0,11x10 t -3,037x10 tv(t)=1,85(e e ) MV (161)

Nas simulações realizadas com o modelo proposto, a linha foi representada por 100

circuitos do tipo mostrado na Figura 56 conectado em cascata. Na Figura 61, foi conectada a

linha uma carga em estrela com o valor próximo ao valor da impedância característica.

O motivo pela escolha deste teste é feita pelo fato de cada condutor apresentar

parâmetros de linha bem próximos e ao energizar a linha com as três tensões idênticas às

tensões de cada fase têm o comportamento bem próximo de uma linha monofásica. Portanto,

será considerada uma linha monofásica equivalente para validar o modelo trifásico. Os

82

valores dos parâmetros da linha monofásica calculados para 10 kHz são R’ = 7,904 Ω/km, L’

= 1,336 mH/km, C’ = 12,8744 ηF/km e G’ = 0.556 µS/km e para 100 kHz são R’ = 54,34

Ω/km, L’ = 1,176 mH/km, C’ = 12,8744 ηF/km e G’ = 0.556 µS/km. A linha monofásica será

representada por 100 circuitos π em cascata e será comparada com a fase 1, devido a simetria,

as outras fases são iguais. Todos os resultados serão mostrados para tensão a 1 km do terminal

emissor da linha.

Figura 61 – Teste de da inserção do efeito corona em linhas trifásicas.


Os modelos utilizados para representar o efeito corona em linha de transmissão

trifásica são o modelo de Gary e de Skilling & Umoto.

Figura 62 – Tensão na fase 1 pelo modelo de Skilling & Umodo com parâmetros de 10 kHz:

linha monofásica (curva 1) e modelo proposto (curva 2).


A Figura 62 mostra a tensão considerando os parâmetros calculados para frequência

10 kHz. A curva 1 é a tensão da linha monofásica e a curva 2 é a tensão na fase 1 da linha

trifásica.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x 10-5

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(1)

(2)

V(t) Carga trifásica

1

2

3

t=0

83

Figura 63 – Tensão na fase 1 pelo modelo de Gary com parâmetros de 10 kHz: linha

monofásica (curva 1) e modelo proposto (curva 2).




trifásica.

Figura 64 – Tensão na fase 1 pelo modelo de Skilling & Umodo com parâmetros de 100 kHz:

linha monofásica (curva 1) e modelo proposto (curva 2).




trifásica.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x 10-5

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(2)

(1)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x 10-5

0

200

400

600

800

1000

1200

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V]

(2)

(1)

84

Figura 65 – Tensão na fase 1 pelo modelo de Gary com parâmetros de 100 kHz: linha

monofásica (curva 1) e modelo proposto (curva 2).




trifásica.

As Figuras 62-65 mostram a inserção do efeito corona em modelos de linhas trifásicas.

Verifica-se que o modelo de Skilling & Umoto continua sendo o melhor modelo para

representar o efeito corona em modelagem de linhas a parâmetros discretos. Entretanto, o

modelo de Gary pode continuar sendo utilizado para esta finalidade. No caso das Figuras 62 e

64, verifica-se que há uma diferença no módulo da tensão entre o modelo monofásico e

trifásico. Este fato ocorre por que as linhas trifásicas existem acoplamentos mútuos que geram

perdas entre os condutores.

6.2.2 Teste de energização da linha de transmissão trifásica considerando o efeito

corona.

Para verificar a influência do efeito corona em linhas de transmissão trifásicas, neste

tópico será realizado um teste de energização de uma linha sem e com o efeito corona

considerando o modelo proposto neste capítulo.

Seja uma linha de transmissão trifásica idealmente transposta, conforme mostra a

Figura 66. Considera-se que cada uma das fases da linha mostrada na Figura 66 é constituída

de um condutor com 1cm de raio. Os parâmetros desta linha foram calculados na frequência

de 60 Hz, levando a conta os efeitos solo e pelicular. Deste modo, foram obtidos os valores

para os parâmetros longitudinais e transversais da linha (equações (162)-(164)).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x 10-5

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Tempo [ms]

Ten

são

[k

V] (1)

(2)

85

Figura 66 – Representação da linha de transmissão trifásica.

1

2 3

4 5

(9.27; 24.4)

(7.51; 36)

3.6

m

Fonte: (KUROKAWA, 2003).

0,6667 0,4667 0,4667

R ' 0,4667 0,6667 0,4667 /km

0,4667 0,4667 0,6667

(162)

1,5 0,5167 0,5167

L ' 0,5167 1,5 0,5167 mH/km

0,5167 0,5167 1,5

(163)

7,5 -1,8 -1,8

C' -1,8 7,5 -1,8 F/km

-1,8 -1,8 7,5

(164)

As capacitâncias parciais são dadas por: C0A=C0B=C0C= 3,9 ηF/km e CAB=CAC=CBC=

1,8 ηF/km.

Figura 67 – Teste de validação do modelo para linha de transmissão trifásica

Solo

V1 = 440 kV

V2 = 0 V

#1

#2

V3 = 0 V

#3

t = 0


86

A linha de transmissão mostrada na Figura 66, com 100 km de comprimento, teve uma

das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440 kV enquanto que os

terminais receptores da linha foram mantidos abertos. A configuração descrita anteriormente é


O modelo proposto foi utilizado para simular as tensões de fase nos terminais da linha

mostrada na Figura 67. Nas simulações realizadas com o modelo proposto a linha foi

representada por uma cascata 100 circuitos. A tensão no terminal receptor da fase 1 é

mostrada na Figura 68. A tensão de corona foi considerada vc= 600 kV.

Figura 68 – Tensão no terminal da linha na fase 1: curva sem corona (curva 1), curva com

corona – modelo de Skilling & Umoto (curva 2) e curva com corona – modelo de Gary (curva

3).


Na Figura 68 a curva 1 é a tensão no terminal receptor da linha utilizando o modelo

proposto e sem a inserção do efeito corona, a curva 2 é a tensão no terminal receptor da linha

utilizando o modelo proposto e com a inserção do efeito corona considerando o modelo de

corona de Skilling & Umoto e a curva 3 é a tensão no terminal receptor da linha utilizando o

modelo proposto e com a inserção do efeito corona considerando o modelo de corona de

Gary. Nota-se que a inserção do efeito corona provoca uma atenuação na tensão, está

atenuação é devida a variação dos parâmetros transversais da linha.

6.3 CONCLUSÃO

Neste capítulo foi apresentado um novo modelo de linhas de transmissão trifásica que

leva em consideração a influência do efeito corona. Este modelo foi validado a partir dos

modelos de linhas monofásicas existentes a parâmetros discretos. Este método foi adotado

pelo fato de não encontrar na literatura modelos de linhas de transmissão polifásico que

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10-3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

5

Tempo (ms)

Ten

são

(V

)

(1)

(2)

(3)

87

considera o efeito corona.

Os resultados encontrados foram satisfatórios, pois o modelo representou de forma

adequada à variação dos parâmetros transversais da linha. Verifica-se que o modelo de

Skilling & Umoto é o modelo que mais adequado para representar o efeito corona em linhas

de transmissão. Resultado este que também foi determinado no Capítulo 4.

88

7 CONCLUSÕES

A importância do estudo do efeito corona em linhas de transmissão se dá devido aos

prejuízos econômicos e impactos sociais por ele causados. Em lugares que a população é bem

instruída dos seus direitos civis, o efeito corona gera principalmente dois problemas: a radio-

interferência e o ruído auditivo. No plano econômico, o efeito corona gera perdas no

transporte de energia, causando redução nos lucros das empresas de transmissão de energia.

Entretanto, grande parte das pesquisas sobre o efeito corona é realizada a partir de

experimentos. E ainda nos dias de hoje, a modelagem que estuda esse fenômeno em linhas de

transmissão não apresentou um modelo exato. Em busca de uma modelagem adequada,

verificou-se na literatura que os modelos existentes para representar este fenômeno só são

conhecidos para linhas monofásicas. Sabe-se que em linhas transmissão polifásicas ocorre à

existência de parâmetros mútuos, levados em consideração inviabiliza a utilização dos

modelos de corona existente nos dias atuais.

Para apresentar um modelo de linhas de transmissão polifásica que considera o efeito

corona em seu modelo, o problema se resume em determinar um modelo de linha adequado e

adaptar os modelos de efeito coronas existente na literatura.

Uma representação clássica de linhas de transmissão, diretamente no domínio do

tempo, consiste em separar a linha em seus modos de propagação e representar cada um

destes modos por meio de elementos discretos de circuitos. Neste modelo, a cada instante de

tempo é necessário representar a linha no domínio modal, calcular as correntes e tensões em

cada um dos modos de propagação da linha e, em seguida, converter os valores calculados

para o domínio das fases.

Com o objetivo de se obter um modelo diretamente no domínio do tempo e das fases,

nesse trabalho foi proposto um modelo de linha de transmissão. Esse modelo foi desenvolvido

sem a utilização de qualquer matriz de decomposição. Esse novo modelo se baseia em

representar um segmento de linha por elementos discretos de circuito. Com a utilização das

leis de circuitos foi possível obter uma equação de estado contendo as impedâncias e

admitância sem introduzir nenhuma aproximação.

Para a validação do modelo de linha proposto, utilizou-se como base o modelo que

utiliza a transformação modal. No teste 1 obteve-se resultado satisfatório. Entretanto, no teste

2 ocorreu uma pequena diferença entre os resultados gerados. No teste 2, a linha de

transmissão considerada não foi idealmente transposta, ou seja, a utilização de Clarke como

89

sendo a matriz de decomposição modal trata-se de um método que possui algumas

aproximações.

A partir da análise feita é possível validar o novo método desenvolvido. A grande

vantagem deste método é que esse modelo pode ser aplicado para qualquer configuração de

linha polifásicas e principalmente inserir elementos não-lineares. O que não ocorre nos

modelos clássicos. Ressaltando que o modelo não utiliza nenhum tipo de matriz de


A característica de admitir a inserção de elementos não-lineares qualifica o modelo de

linha desenvolvido para inserir o efeito corona. Já que o fenômeno se caracteriza por variar os

elementos transversais da linha de transmissão em função da tensão da linha de forma não-

linear. A capacitância da linha é o parâmetro que mais sofre influência do efeito corona.

Em uma linha de transmissão polifásica, existem capacitâncias parciais entre

condutores e entre condutor e o solo. Devido à altura dos condutores e os níveis de tensão, a

linha se comporta como um capacitor, obtendo uma maior diferença de potencial entre o

condutor e o solo. Esse fato motivou a inserção do efeito corona nas capacitâncias parciais

entre o solo e o condutor, do mesmo modo que se aplica ao modelo de linha monofásica.

Em linhas de transmissão monofásica a parâmetros discretos, existem dois modelos

utilizados para representar o efeito corona: o modelo de Gary e o modelo de Skilling &

Umoto. Os dois modelos de corona foram inseridos no modelo trifásico.

O modelo trifásico de corona foi comparado com o modelo monofásico equivalente.

Esta comparação foi realizada por não encontrar na literatura modelos que consideram o

efeito corona em linhas polifásicas. Apesar de não serem iguais, os resultados encontrados

foram muito satisfatórios. Os resultados obtidos foram similares aos resultados encontrados

para linhas monofásicas. O modelo de Skilling & Umoto apresentou um resultado mais

próximo da literatura, entretanto, dependendo do caso a ser estudado pode-se utilizar o

modelo de Gary para o estudo do efeito corona.

Então, a partir das análises feitas nesse trabalho é possível validar o novo método

desenvolvido. A grande vantagem deste método é que o efeito corona é inserido diretamente

no modelo de linhas de transmissão polifásica, diretamente no domínio do tempo.

90

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