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“Séries de Fourier”
Aula 7
Análise de Fourier (também chamada de Análise Harmónica), que diz respeito à representação de sinais como uma soma (ou melhor dizendo, uma combinação linear) de sinais básicos como senos e co-senos, ou exponenciais complexas.
A Análise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequência (harmónicos) e tem muitas aplicações no Processamento de sinal, no Processamento de imagem, na Física em várias aplicações, na Probabilidade e Estatística assim como em muitas outras áreas.
Antes de Fourier três físicos já tinham feito estudos preliminares em séries infinitas para resolverem problemas diversos da Física: suíçoLeonhard Euler (1707-1783), o francês Jean Le Rond d'Alembert(1717-1783) e o holandês Daniel Bernoulli (1700-1782).
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Jean Baptiste Joseph Fourier(francês, 1768-1830)
Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemático das séries infinitas para resolver a equação da propagação do calor na Física, na publicação “Mémoire sur lathéorie de la chaleur”, embora ele não tenha expresso os seus resultados com grande formalismo.
Somente uns anos mais tarde que dois matemáticos alemães: Dirichlet (1805-1859) e Riemann (1826-1866), expressaram os resultados de Fouriercom mais rigor e precisão.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Série de Fourier (sinal periódico da onda quadrada)
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Série de Fourier trigonométricapara sinais contínuos
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Série de Fourier trigonométrica para sinais contínuos
Considere um sinal periódico contínuo
x(t) ∈ R {conjunto dos números reais}, ∀ t.
T = período fundamental do sinal x(t)
ωo = frequência fundamental do sinal x(t)
( ) ( )[ ]∑
∑
∞
=
∞
=
ω⋅+ω⋅+=
=
⋅π⋅+
⋅π⋅+=
1k
okok0
1k
kk0
tksenbtkcosa2
a
tkT
2senbtk
T
2cosa
2
a)t(x
onde:
Este sinal x(t) pode ser expresso como:
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
T
2o
π=ω
( )∫
∫
ω⋅=
=
⋅π⋅=
T
o
T
k
dttkcos)t(xT
2
dttkT
2cos)t(x
T
2a
( )∫
∫
ω⋅=
=
⋅π⋅=
T
o
T
k
dttksen)t(xT
2
dttkT
2sen)t(x
T
2b
k = 0, 1, 2, …
k = 1, 2, …
onde as integrais acima são tomadas ao longo do intervalo do
período T do sinal periódico x(t).
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Além disso, ao fazendo k = 0, pode ser reescrito de forma mais simplificada pois, como
( ) 0, k para,1tkcostkT
2cos o ==ω=
⋅π
então,
∫ ⋅=T
o dt)t(xT
2a
ou seja, ao de certa forma representa um valor médio do sinal x(t) no
intervalo de um período T.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
( ) ( )[ ]∑
∑
∞
=
∞
=
ω⋅+ω⋅+=
=
⋅π⋅+
⋅π⋅+=
1k
okok0
1k
kk0
tksenbtkcosa2
a
tkT
2senbtk
T
2cosa
2
a)t(x
Esta série é conhecida como série trigonométrica de Fourier pois contém termos com senos e co-senos.
A equação acima, da série, é conhecida como a “equação de síntese”
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e as equações que definem ak e bk são conhecidas como as “equação de
análise”.
( )∫
∫
ω⋅=
=
⋅π⋅=
T
o
T
k
dttkcos)t(xT
2
dttkT
2cos)t(x
T
2a
k = 0, 1, 2, …
k = 1, 2, … ( )∫
∫
ω⋅=
=
⋅π⋅=
T
o
T
k
dttksen)t(xT
2
dttkT
2sen)t(x
T
2b
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
x(t) é um sinal seccionalmente contínuo
(ou, também chamado de “contínuo por partes”)
x(t) é um sinal seccionalmente diferenciável se ambos x(t) e sua derivada
x’(t) forem sinais seccionalmente contínuos.
( quase todos, sinais de interesse prático são seccionalmente diferenciáveis )
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
se x(t) tem um número limitado de descontinuidades em qualquer intervalo limitado.
Se x(t) é um sinal periódico seccionalmente diferenciável e de período T,
então a série de Fourier converge em cada ponto t para:
Teorema de Fourier
a) x(t), se o sinal x(t) for contínuo no instante t;
b) ½ [ x(t+0+) + x(t+0-) ], se o sinal x(t) for descontínuo no instante t.
Um ponto positivo deste resultado é que a limitação do Teorema de Fourieracima é muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prático são seccionalmente diferenciáveis.
O Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem aproximados pela série de Fourier, quanto mais termos da série (ou parcelas da soma) forem adicionados, melhor será a aproximação.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
nos casos em que x(t) for um sinal contínuo no instante t; e
Ou seja, se chamarmos de xn(t) à série de Fourier com n termos, então:
)t(x)t(x n →
[ ]2
)0t(x)0t(x)t(x n
−+ +++→
nos casos em que x(t) não for um sinal contínuo no instante t.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 7.1
Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada), definido num intervalo
(de t = –1 até t = 1)
<<
<<−−=
1t0se,1
0t1se,1)t(x
Sinal da onda quadradaem um período (de
t = –1 até 1).
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Agora x(t), sendo um sinal periódico ∀t (∞ < t < ∞) já pode ser aproximadopor uma série de Fourier
Repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para
esquerda de t = –1, obtemos um sinal periódico para ∀t (∞ < t < ∞).
De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um determinado intervalo finito e torná-lo periódico de forma a podermos aproximá-lo por uma série de Fourier
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada
definido acima temos, para ao primeiramente,
0dt)1(dt)1(dt)t(xT
2a
1
0
0
1T
o =+−=⋅= ∫∫∫ −
Como o período fundamental é T = 2, então ωo = 2π/T = π
e portanto,
( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )
... 2, 1, k ,0
tksentksenk
1
dttkcos1dttkcos)1(
dttkcos)t(xT
2a
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1k
==
=π+π−π
=
=π⋅+π⋅−=
=π⋅=
−
−
−
∫∫
∫
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Logo os ak’s são todos iguais a zero ∀ k = 0, 1, 2, …
Quanto aos bk’s, temos que:
( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )1
0
0
1
1
0
0
1
1
1k
tkcostkcosk
1
dttksen1dttksen)1(
dttksen)t(xT
2b
π−+ππ
=
=π⋅+π⋅−=
=π⋅=
−
−
−
∫∫
∫
e portanto,
π
=ímparékse
parékse
,k
4
,0
bk
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ou seja,
π= 4
b1
0b2 =
π=
3
4b3
0b4 =
π=
5
4b5
0b6 =
π=
7
4b7
0b8 =
π=
9
4b9
0b10 =
π=
11
4b11
0b12 =
etc.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
π=
13
4b13
0b14 =
π=
15
4b15
0b16 =
Logo, esta é uma série de Fourier só de senos e os 6 primeiros termos não nulos da série são:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ...t11sen11
4t9sen
9
4t7sen
7
4
t5sen5
4t3sen
3
4tsen
4)t(x
+ππ
+ππ
+ππ
+
+ππ
+ππ
+ππ
=
Vamos ver agora como fica o sinal x(t)aproximado pela série de Fourier
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Primeiramente, com apenas um termo (isto é, apenas k = 1), quando x(t)é simplesmente o seno
x(t) = b1 sen(πt) = (4/π) sen(πt)
Sinal onda quadrada.
Aproximação por série de Fourier com apenas um termo (k = 1)
Sinal x(t) aproximado pela série de Fourier
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Com 2 termos, os dois primeiros termos não nulos (até k = 3, pois b2 = 0)
temos a soma de 2 senos:
x(t) = b1 sen(πt) + b3 sen(πt)
Sinal onda quadrada.
Aproximação por série de Fourier com apenas dois termos (k = 1 e 3).
(e já se nota uma melhoria no sinal aproximado pela série)
[agora já se nota 2 picos no sinal aproximado pela série]
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Depois, com 3 termos (os três primeiros termos não nulos, até k = 5, pois
b2 = 0 e b4 = 0) temos a soma de 3 senos:
x(t) = b1 sen(πt) + b3 sen(πt) + b5 sen(πt)
Sinal onda quadrada.
Aproximação por série de Fourier com apenas três termos (k = 1, 3 e 5).
(e já se nota uma melhoria no sinal aproximado pela série)
[agora já se nota 3 picos no sinal aproximado pela série]
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Série até k = 11 (6 termos não nulos)
Série até k = 49 (25 termos não nulos).
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Nota-se nitidamente que o sinal x(t) aproximado pela série de Fourier vai se tornando cada vez mais próximo do original, a onda quadrada.
Nos pontos t onde x(t) é um sinal contínuo esta série de Fourier converge para
o próprio valor de x(t).
Por exemplo, para t = 0,5, sabemos que x(0,5) = 1. Pela série de Fourier ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...5,4sen9
45,3sen
7
45,2sen
5
45,1sen
3
45,0sen
4)5,0(x +π
π+π
π+π
π+π
π+π
π=
1,6977
0,8488
1,1035
1,0631
0,9216
que de facto converge para 1.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Por outro lado, nos pontos t onde x(t) apresenta uma descontinuidade, esta
série de Fourier converge para o valor médio de x(t), entre o imediatamente
antes e o imediatamente depois de t.
Por exemplo,
para t = 0–, sabemos que x(0–) = –1, e t = 0–, e que x(0+) = 1. Logo, o ponto médio é:
02
11
2
)0(x)0(x =+−=+ −+
Pela série de Fourier,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00000
...0sen9
40sen
7
40sen
5
40sen
3
40sen
4)0(x
++++=
=+π
+π
+π
+π
+π
=
que de facto converge para 0.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Mais adiante, (nas Propriedades da Série de Fourier), veremos que:
Se x(t) é um sinal par,
então a série de Fourier para x(t) é uma série de co-senos.
Se x(t) é um sinal ímpar,
então a série de Fourier para x(t) é uma série de senos.
Isto pode ser visto pelas propriedades dos sinais pares e ímpares.
– A soma de 2 sinais pares é um sinal par.
– A soma de 2 sinais ímpares é um sinal ímpar.
– O produto de 2 sinais pares é um sinal par.
– O produto de 2 sinais ímpares é um sinal par.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Recorde-se que,
...,3,2,1k,0dttkT
2sen)t(x
T
2b
T
k ==
⋅π⋅= ∫
Logo, se x(t) é um sinal par, então os coeficientes bk da série de Fourier
para x(t) são todos iguais a zero:
e portanto, a série de Fourier é uma série de co-senos.
Mas se x(t) é um sinal ímpar, então os coeficientes ak da série de Fourier
para x(t) são todos iguais a zero (incluindo ao):
...,3,2,1,0k,0dttkT
2cos)t(x
T
2a
T
k ==
⋅π⋅= ∫
e portanto, a série de Fourier é uma série de senos.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Série de Fourier exponencialpara sinais contínuos
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Série de Fourier exponencial para sinais contínuos
A “série de Fourier exponencial”, ou também chamada de
“série de Fourier complexa”.
Se o sinal x(t) ∈ R, então a série de Fourier exponencial é a mesma que a série trigonométrica escrita de uma forma diferente, em termos de exponenciais do tipo
tojωe
em vez de em termos de senos e co-senos.
então a série de Fourier exponencial permite-nos aproximar x(t), o que não era possível com a série trigonométrica.
Entretanto, se
ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte
imaginária.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
x(t) ∈ C = { conjunto dos números complexos }
Na série de Fourier exponencial (ou complexa) um sinal periódico x(t)pode ser expresso como:
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
⋅ω
⋅π
⋅=
=⋅=
k
k
k
k
tkoj
tkT2
j
c
c)t(x
e
e
onde:
T = período fundamental do sinal x(t)
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ωo = frequência fundamental do sinal x(t)
k = 0, ±1, ±2, … ∫
∫
⋅⋅=
=⋅⋅=
⋅ω−
⋅
π−
T
tkj
T
tkT
2j
k
dt)t(xT
1
dt)t(xT
1c
oe
e
Portanto, a série de Fourier exponencial (ou complexa) generaliza a série de Fourier trigonométrica e tem também a vantagem de ser mais compacta.
Os ck’s são chamados de coeficientes da série de Fourier exponencialou coeficientes espectrais.
e os coeficientes ck’s
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Semelhantemente à série trigonométrica,
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
a equação da série é conhecida como a
equação de síntese
enquanto que a equação dos coeficientes ck é conhecida como a
equação de análise
da série de Fourier exponencial (ou complexa).
Exemplo 7.2
Tomemos novamente a onda quadrada x(t) em um período (de t = –1 até
t = 1).
<<
<<−−=
1t0se,1
0t1se,1)t(x
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
E, repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e
para esquerda de t = –1, obtemos um sinal periódico que pode ser aproximado pela série de Fourier exponencial (ou complexa).
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Novamente, o período fundamental é T = 2, e
π=π=ωT
2o
( )
( ) ( )∫∫
∫π−
−
π−
−
π−
⋅+⋅−=
=⋅=
1
0
tkj0
1
tkj
1
1
tkj
k
dt12
1dt)1(
2
1
dt)t(xT
1c
ee
e
... 2, 1, ,0k ±±=
logo,
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
±±±=π−
±±=
=...,5,3,1kse,j
k
2
...,4,2,0kse,0
ck
Logo,
[ ]∑
∑
∑
∞
±±±=
∞
±±±=
π
∞
−∞=
ω
π⋅+π⋅
π−=
=
π−=
==
...,5,3,1k
...,5,3,1k
tkj
k
tkj
k
)tk(senj)tk(cosjk
2
jk
2
c)t(x o
e
e
e a série completa fica:
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Como o seno é ímpar
[ sen (kπt) = –sen (–kπt), ∀k ]
...,5,3,1k ±±±=
...,5,3,1k =
∑∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
π⋅
π−+π
π+
+π⋅
π−+π
π−=
...,5,3,1k...,5,3,1k
...,5,3,1k...,5,3,1k
)tk(senjk
j2)tk(cos
k
j2
)tk(senjk
j2)tk(cos
k
j2)t(x
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e o co-seno é par
[ cos (kπt) = –cos(kπt) , ∀k ],
podemos desmembrar a soma para
em duas de
e portanto os dois termos com co-senos se cancelam um ao outro, enquanto que os dois termos com senos são idênticos, logo podem se juntar ficando:
∑
∑
∞
=
∞
=
π
π=
=
π⋅
π−⋅=
...,5,3,1k
...,5,3,1k
)tk(senk
4
)tk(senjk
j22)t(x
que é o mesmo resultado obtido no Exemplo 7.1 com a série de Fouriertrigonométrica, ou seja:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ...t11sen11
4t9sen
9
4t7sen
7
4
t5sen5
4t3sen
3
4tsen
4)t(x
+ππ
+ππ
+ππ
+
+ππ
+ππ
+ππ
=
Isso acontece porque as séries de Fourier trigonométricas e complexa (ou exponencial) são equivalentes.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Equivalência das séries de Fouriertrigonométrica e exponencial
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Equivalência das séries de Fourier trigonométrica e exponencial
Se o sinal x(t) for de valores reais, então existe uma relação entre a série de Fourier trigonométrica e complexa (ou exponencial)
2
bjac kk
k
⋅−=para k = 0, 1, 2, …
2
bjac kk
k
⋅+=−para k = 1, 2, …
2
bjac kk
k−− ⋅+=
para k = –1, –2, …
Esta última equivale a
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(assume-se que
bo = 0)
Embora o coeficiente bo não exista, pois não foi definido, na equação acima
assume-se que bo = 0.
2
ac o
o =
Note que enquanto os coeficientes aks e bks são definidos apenas para
k = 0, 1, 2, …, os coeficientes cks são definidos para k = 0, ±1, ±2, …
Sabemos, da série de Fourier trigonométrica, que não existe aks ou bks
para k negativos.
Por exemplo:
Portanto, o coeficiente co pode ser expresso como:
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Entretanto os a-k e b-k nas equações acima estão bem definidos pois
nesta equação k = –1, –2, … e portanto os índices de a-k e b-k serão sempre positivos.
a-k para k = – 2 será o a2,ou
b-k para k = – 5 será o b5
Os termos ck para k positivos são os conjugados de ck para k negativos, e
vice-versa, isto é:
ck = (c –k)* , ∀ k = 0, ±1, ±2, ±3, …
As equações acima permitem que se transforme uma série trigonométrica em uma série exponencial.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
oo c2a =
)cc(a kkk −+=
)cc(jb kkk −−⋅=
para k = 1, 2, …
para k = 1, 2, …
O inverso, ou seja, as equações que permitem transformar uma série exponencial em uma série trigonométrica são as seguintes:
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Com as relações acima é fácil de se mostrar que,
quando x(t) é um sinal real, então:
( ) ( )[ ]∑
∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
−∞=
⋅ω∞
−∞=
⋅
π
ω+ω+=
=
⋅π+
⋅π+=
==
1k
okok0
1k
kk0
k
tkj
k
k
tkT
2j
k
tksenbtkcosa2
a
tkT
2senbtk
T
2cosa
2
a
cc)t(x oee
ou seja, as duas séries de Fourier, ‘trigonométrica’ e ‘exponencial’, são equivalentes (isto é, são as mesmas).
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Propriedades das séries de Fourierpara sinais contínuos
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Linearidade:
x1(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck’
x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck’’
)t(x)t(x)t(y 21 β+α=
então,
y(t) tem período T
y(t) tem frequência fundamental T
2o
π=ω
e y(t) tem coeficientes de Fourier
kkk ccc ′′β+′α=
ou seja,
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Translação no tempo (“time shifting”)
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck
)tt(x)t(yo
−= y(t) é o sinal x(t) com uma
translação (shift) no tempo de to.
então,
ou seja,
y(t) tem período T
y(t) tem frequência fundamental T
2o
π=ω
e y(t) tem coeficientes de Fourier
k
kk
c
cc~
otT
2kj
tokj o
⋅=
=⋅=
π−
ω−
e
eNota
como
tem-se que
θ∀=θ ,1je
kk cc~ =
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Sinal refletido/reversão no tempo (“time reversal”)
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck
)t(x)t(y −=então,
ou seja,
y(t) tem período T
y(t) tem frequência fundamentalT
2o
π=ω
e y(t) tem coeficientes de Fourier
kk cc −=
Se x(t) é um sinal par ⇒ os
coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e.,
kk cc −=
Se x(t) é um sinal ímpar ⇒ os
coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, ímpares; i.e.,
kk cc −−=
logo,
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Escalonamento no tempo (“time scaling”)
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck
(portanto x(t) tem frequência fundamental )T
2o
π=ω
)t(x)t(y α=então,
ou seja,
y(t) tem período T/α
y(t) tem frequência fundamentalT
2ˆ
oo
απ=ωα=ω
e y(t) tem coeficientes de Fourier
tT
2kj
tokj
k
k
k
k
c
c)t(y
∞
−∞=
∞
−∞=
πα−
ωα−
∑
∑
=
==
e
eNote que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental(e do período). Entretanto os coeficientes
ck não mudam.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Multiplicação
)t(x)t(x)t(y 21 ⋅=então, ou seja,
y(t) tem período T y(t) tem frequência fundamentalT
2o
π=ωe y(t) tem coeficientes de Fourier
[ ] [ ]kckc
ccc ik
i
ik
′′∗′=
=′′⋅′= −
∞
∞−=∑
x1(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck’
x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck’’
ou seja, ck é a convolução entre os sinais discretos
[ ]kcc k′=′ [ ]kcck
′′=′′e
L+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=
=′′⋅′=
+−−+−−
−
∞
∞−=∑
2k22k21k11k1ko
ik
j,i
ik
cccccccccc
cccou seja,
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Conjugação
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck
)t(x)t(y ∗=então,
ou seja,
y(t) tem período T
y(t) tem frequência fundamentalT
2o
π=ω
e y(t) tem coeficientes de Fourier
∗−= kk cc
Logo, se x(t) ∈ R, então, os coeficientes de Fourier∗
− = kk cc
co ∈ R e kk cc −=
y(t) é o conjugado de x(t)
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Além disso, as relações acima permitem mais uma vez concluir que:
Se x(t) ∈ R é um sinal par ( x(t) = x(–t) ) ⇒
os coeficientes de Fourier ∗= kk cc e
kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “pares”).
Se x(t) ∈ R é um sinal ímpar ( x(t) = –x(–t) ) ⇒
os coeficientes de Fourier ck são imaginários puros,
0co = e
kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ímpares”).
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Translação na frequência (“frequency shifting”)
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck
)t(x)t(ytmj o ⋅= ω
e
então y(t) tem coeficientes de Fourier
mkk cc −= que são os coeficientes
ck desfasados de m.
Nota:Esta propriedade é dual da translação no tempo (“time shifting”).
Agora a translação (shift) foi aplicada aos ck e não no tempo t.
Outro detalhe, como θ∀=θ,1
je então,
kk cc = k = 0, ±1, ± 2, …
k = 0, ±1, ± 2, …
y(t) é x(t) multiplicado por exponencial
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Convolução no período
∫ ττ⋅τ−=
∗=
T
21
21
d)(x)t(x
)t(x)t(x)t(y
e y(t) tem coeficientes de Fourier
kkk ccTc~~ ′′⋅′⋅=
x1(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck’
x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck’’
y(t) é a convolução
(tomada no período T)
então,
ou seja,
y(t) tem período T
y(t) tem frequência fundamentalT
2o
π=ω
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Derivadax(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck
então, ou seja, y(t) tem período T y(t) tem frequência fundamental
T
2o
π=ω
e y(t) tem coeficientes de Fourier
kkok cT
2kjckjc
π=ω=′
dt
dx)t(y =
Nota:Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda derivada, se
2
2
dt
xd)t(y =
k
2
2
k
22
k
222
kok cT
2kckckjckjc
oo
π−=ω−=ω=′ω=′′
y(t) tem coeficientes de Fourier
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Integral
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck
∫ ∞−=
t
dt)t(x)t(y
então, ou seja,
y(t) tem período T y(t) tem frequência fundamentalT
2o
π=ω
e y(t) tem coeficientes de Fourier
kk
o
k c
T
2kj
1c
kj
1c ⋅
π=⋅
ω=(
Nota:
No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x(t) periódicose com valores finitos.
Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regrasucessivas vezes.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Relação de Parseval
x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck
então,
a potência média do sinal no
intervalo de um período T
∑
∫
∞
−∞=
=
==
k
2
k
T
2
c
dt)t(xT
1P
Série de Fourier exponencialpara sinais discretos
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Série de Fourier exponencial para sinais discretos
Sinais discretos periódicos
[ ] [ ]Nnxnx += N = período fundamental
N
2o
π=ω = frequência fundamental
Os sinais discretos (no tempo) do tipo exponenciais complexas que são periódicos (com período N) é dado por
[ ]n
N2
jknojk
nk
πω ==φ ee k = 0, 1, 2, …
Estes sinais têm frequência fundamental que são múltiplas de N
2π
e portanto são harmonicamente relacionados.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Existem apenas N sinais distintos no conjunto de funções φk[n]definido pela acima.
Isto é uma consequência do facto de que: sinais discretos (no tempo) do tipo exponenciais complexas que
diferem na frequência por um múltiplo de 2π são idênticos.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
MM
MM
nn
nn
nn
nn
Nkk
2N2
1N1
No
+
+
+
φ=φ
φ=φ
φ=φ
φ=φ
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ou seja, após N consecutivos, estes termos começam a repetir-se.
Esta situação é diferente do caso contínuo pois os coeficientes que aparecem na equação de síntese da série de Fourier para sinais contínuos:
tT2
kjtokj
)t(k
πω ==φ ee k = 0, 1, 2, … ,
são todos diferentes uns dos outros.
Portanto, a série de Fourier para sinais discretos terá apenas N termos,
para N consecutivos valores de k,
de atél=k 1Nk −+= l
e, semelhantemente, apenas N coeficientes ck.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Logo, a série de Fourier para sinais discretos tem a expressão:
∑
∑
−+
+=
−+
+=
ω
π
⋅=
=⋅=
)1N(
),1(,k
k
)1N(
),1(,k
k
nokj
nN2kj
c
c[n]x
l
Kll
l
Kll
e
e
onde,
N = período fundamental do sinal x[n].
ωo = frequência fundamental do sinal x[n].
Esta equação acima é conhecida como a “equação de síntese” da série de Fourier discreta.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Os coeficientes ck’s no caso discreto são definidos por
[ ]
[ ]∑
∑
−+
+=
−+
+=
π−
ω−
⋅⋅=
=⋅⋅=
)1N(
),1(,n
)1N(
),1(,n
k
nN2kj
nokj
nxN
1
nxN
1c
l
Kll
l
Kll
e
e
k = 0, ±1, ±2, …
Os ck’s são chamados de “coeficientes” da série Fourier discreta ou “coeficientes espectrais”.
Esta equação acima é conhecida como a “equação de análise” da série de Fourier discreta.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 7.3
Considere a seguinte onda quadrada x[n] discreta no tempo
Onda quadrada discreta de período N = 9.
==
=diantepor assim e
6 5, 4, 3,n0,
2 1, 0, 1,- 2,- n 1,
[n]x
Neste caso os coeficientes espectrais ck ficam:
∑−=
π−⋅=
2
2n
9
k
n2kj
9
1c e
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Note que este somatório deveria ter mais 4 termos, mas eles são
nulos (pois x[n] = 0 para
n = 3, 4, 5 e 6)
ou seja, os coeficientes espectrais ck da onda quadrada discreta
deste exemplo são:
±±=
±±≠
π
π
⋅=
L
L
,81 9, 0, k se,5,2
,81 9, 0, k se,
9
ksen
k9
5sen
9
1
ck
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e após calculados pela expressão acima, os coeficientes ck são:
3199,0c
5556,0c
3199,0c
0591,0c
1111,0c
0725,0c
1
o
1
2
3
4
=
=
=
−=
−=
=
−
−
−
−
M
3199,0c
0591,0c
1111,0c
0725,0c
0725,0c
1111,0c
0591,0c
8
7
6
5
4
3
2
=
−=
−=
=
=
−=
−=
1111,0c
0725,0c
0725,0c
1111,0c
0591,0c
3199,0c
5556,0c
15
14
13
12
11
10
9
−=
=
=
−=
−=
=
=
M
1111,0c
0591,0c
3199,0c
5556,0c
3199,0c
0591,0c
21
20
19
18
17
16
−=
−=
=
=
=
−=
Observe que a cada 9 coeficientes eles se repetem.
M
L
L
L
L
L
L
L
M
0591,0ccc
3199,0ccc
5556,0ccc
3199,0ccc
0591,0ccc
1111,0ccc
0725,0ccc
20112
19101
189o
1781
1672
1563
1454
−====
====
====
====
−====
−====
====
−
−
−
−
e assim por diante.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Isto é, a cada 9 ck eles voltam a ser os mesmos valores.
Agora, com os valores dos coeficientes ck, podemos escrever a série de Fourier
Ao contrário do caso contínuo, em que tínhamos que acrescentar mais e mais termos para obter uma aproximação melhor, aqui no caso discreto
é possível uma aproximação exata com N = 9 termos consecutivos.
∑+
+=
π⋅=
)8(
),1(,k
k
n9
2kj
c[n]xl
Kll
e
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Se tomarmos primeiramente apenas 3 termos consecutivos,
∑−=
π
⋅=1
1k
k3
n9
2kj
c[n]x e
que nos dá uma primeira aproximação, ainda muito grosseira, do sinal x[n],
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
k = –1, 0 e 1,
teremos
Se entretanto tomarmos 5 termos consecutivos,
que nos dá uma aproximação um pouco melhor, mas ainda nada perfeita, do
sinal x[n],
∑−=
π
⋅=2
2k
k5
n9
2kj
c[n]x e
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
k = –2, –1, 0, 1 e 2,
teremos então:
Se agora tomarmos 7 termos consecutivos,
que nos dá uma aproximação um bem melhor, mas ainda não perfeita, do
sinal x[n],
∑−=
π
⋅=3
3k
k7
n9
2kj
c[n]x e
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
k = –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3,
teremos então:
Finalmente, se agora tomarmos 9 termos consecutivos,
que nos dá a aproximação exata do sinal x[n] pois N = 9.
∑−=
π
⋅==4
4k
k9
n9
2kj
c[n]x[n]x e
[n]x[n]x 9 =
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
k = –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2 , 3 e 4,
Ou seja,
teremos então:
Esta onda quadrada x[n] discreta no tempo pode ser generalizada
Onda quadrada discreta de período N.
∀
≤≤−=
somaçãodeintervalononoutros,0
1Nn
1Nse,1
[n]x
Neste caso os coeficientes espectrais ckficam sendo:
∑−=
π−⋅=
1
1
N
Nn
k
nN2
kj
N
1c e
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Note que aqui novamente, este somatório deveria ter mais termos, mas eles são nulos
(pois x[n] = 0 para
n ∉ {-N1≤ n ≤ N1} )
os coeficientes espectrais ck da onda quadrada discreta deste exemplo
±±=+
±±≠
π
+π
⋅
=
L
L
2N, N, 0, k se,N
1N2
2N, N, 0, k se,
N
ksen
2
1Nk
N
2sen
N
1
c
1
1
k
O caso particular que vimos acima foi de N = 9 e N1 = 2, logo:
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
representa o número de pontos que é igual a 0 (zero) em cada período.
representa o número de pontos que assumem o valor 1 em cada períodoe consequentemente,
N – (2N1 + 1) = 9 – 5 = 4
(2N1 + 1) = 5
Considere agora o sinal sinusoidal discreto
Exemplo 7.4
)n(sen[n]x oω=
Este sinal é periódico quando o
2
ωπ
é um inteiro ou a razão de dois inteiros.
Se e x[n] é então um sinal periódico
com período fundamental N.
N2
o
=ω
π
N
2o
π=ωentão
Usando-se a equação de Euler podemos expandir este sinal x[n] como a
soma de 2 termos exponenciais complexos, obtendo-se
nN2
jnN2
j
j2
1
j2
1[n]x
π−π
−= ee
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e vemos então que:
=
−=−=
=−=−
,0c
j2
1
j2
1c
j2
1
j2
1c
k
1
1
Por exemplo, no caso particular de N = 5, então
π= n5
2sen[n]x
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
para ∀ outros valores de k no intervalo de somação
e os coeficientes de Fourier serão:
M
M
0c
0c
j2
1
j2
1c
0c
j2
1
j2
1c
0c
0c
3
2
1
o
1
2
3
=
=
−==
=
=−=
=
=
−
−
−
M
M
j2
1
j2
1c
0c
j2
1
j2
1c
0c
0c
j2
1
j2
1c
16
15
14
13
12
11
−==
=
=−=
=
=
−==
M
M
0c
j2
1
j2
1c
0c
0c
j2
1
j2
1c
0c
j2
1
j2
1c
10
9
8
7
6
5
4
=
=−=
=
=
−==
=
=−=
e assim por diante.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ou seja, a cada 5 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores
M
L
L
L
M
j5,0ccc
0ccc
0ccc
941
832
723
============
−
−
−
M
L
L
L
M
0ccc
j5,0ccc
0ccc
1272
1161
105o
====−========
e assim por diante.
de k = –1 até k = 3, ou
de k = 0 até k = 4, ou
de k = 1 até k = 5, ou
de k = 2 até k = 6, ou
etc. etc.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O intervalo de somação pode ser quaisquer 5 coeficientes ck consecutivos,
como por exemplo:
Se tomarmos apenas 3 termos consecutivos, como por exemplo:
k = 1, 2 e 3, teremos
que nos dá uma aproximação do sinal x[n].
∑=
π
⋅=3
1k
n5
2kj
k3 c[n]x e
Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo:
k = 1, 2, 3, 4 e 5, teremos então
que nos dá a aproximação exata do sinal x[n] pois N = 5.
∑=
π
⋅=5
1k
n5
2kj
k5 c[n]x e
π== n5
2sen[n]x[n]x 5
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ou seja,
Propriedades das séries de Fourierpara sinais discretos
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Linearidade:
x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck’
x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck’’
[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 β+α=
então,
y[n] tem período N
y[n] tem frequência fundamental N
2o
π=ω
e y[n] tem coeficientes de Fourier
kkk ccc ′′β+′α=
ou seja,
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Translação no tempo (“time shifting”)
[ ] [ ]onnxny −= translação (shift) no tempo de no.
então,
ou seja,
y[n] tem período N
y[n] tem frequência fundamental N
2o
π=ω
e y[n] tem coeficientes de Fourier
k
kk
c
cc~
onN
2kj
onokj
π−
ω−
=
==
e
e
Nota
como
tem-se que
θ∀=θ ,1je
kk cc~ =
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Sinal refletido/reversão no tempo (“time reversal”)
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck
]n[x]n[y −=então,
ou seja,
y[n] tem período N
y[n] tem frequência fundamentalN
2o
π=ω
e y[n] tem coeficientes de Fourier
kk cc −=
Se x[n] é um sinal par ⇒ os
coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e.,
kk cc −=
Se x[n] é um sinal ímpar ⇒ os
coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, ímpares; i.e.,
kk cc −−=
logo,
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Escalonamento no tempo (“time scaling”)
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck
(portanto x[n] tem frequência fundamental )N
2o
π=ω
[ ]
=mdemúltiploénãonse,0
mdemúltiploénse,m
nx
ny
então, ou seja,
y[n] tem período m·N
y[n] tem frequência fundamental
Nm
2
nˆ o
o ⋅π=ω=ω
e y[n] tem coeficientes de Fourier
[ ]
∑
∑
−+
+=
−+
+=
⋅π−
ω−
⋅=
=⋅=
)1N(
),1(,k
k
)1N(
),1(,k
k
nNm
2kj
nm
okj
c
cny
l
Kll
l
Kll
e
eNote que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental(e do período). Entretanto os coeficientes
ck não mudam.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Multiplicação
]n[x]n[x]n[y 21 ⋅=então, ou seja,
y[n] tem período N y[n] tem frequência fundamentalN
2o
π=ωe y[n] tem coeficientesde Fourier ∑
−+
+=−′′⋅′=
)1N(
),1(,j
jkjk cccl
Kll
x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck’
x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck’’
)1Nk(1N2k21k1ko
)1N(
),1(,j
jkjk
cccccccc
ccc
+−−−−
−+
+=−
′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=
=′′⋅′= ∑
L
l
Kll
ou seja,
etcetcetcetc
)Nk(N3k32k21k1 ccccccccMMMM
L −−−− ′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=
k = 0, ±1, ± 2, …
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Conjugação
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck
]n[x]n[y ∗=então,
ou seja,
y[n] tem período N
y[n] tem frequência fundamental N
2o
π=ω
e y[n] tem coeficientes de Fourier
∗−= kk cc
Logo, se x[n] ∈ R, então, os coeficientes de Fourier∗
− = kk cc
co ∈ R e kk cc −=
y[n] é o conjugado de x[n]
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Além disso, as relações acima permitem, mais uma vez, concluir que:
Se x[n] ∈ R é um sinal par ( x[n] = x[–n] ) ⇒
os coeficientes de Fourier ∗= kk cc e
kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “pares”).
Se x[n] ∈ R é um sinal ímpar ( x[n] = –x[–n] ) ⇒
os coeficientes de Fourier ck são imaginários puros,
0co = e
kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ímpares”).
α
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Translação na frequência (“frequency shifting”)
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck
]n[x]n[ynmj o ⋅= ω
e
y[n] tem coeficientes de Fourier
mkk cc −= que são os coeficientes
ck desfasados de m.
Nota:Esta propriedade é dual da translação no tempo (“time shifting”).
Agora a translação (shift) foi aplicada aos ck e não no tempo n.
Outro detalhe, como θ∀=θ,1
je então,
kk cc = k = 0, ±1, ± 2, …
k = 0, ±1, ± 2, …
y[n] é x[n] multiplicadopor exponencial
então,
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Convolução no período
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]∑−+
+=
⋅−=
=∗=
)1N(
),1(,k
21
21
kxknx
nxnxny
l
Kll
e y[n] tem coeficientes de Fourier
kkk ccNc~~ ′′⋅′⋅=
x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck’
x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck’’
y[n] é a convolução
(tomada no período N)
então,
ou seja,
y[n] tem período N
y[n] tem frequência fundamentalN
2o
π=ω
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Primeira diferençax[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck
então, ou seja,
y[n] tem período N y[n] tem frequência fundamentalN
2o
π=ωe y[n] tem coeficientes de Fourier
( ) kN
2kj
k
kj
k ce1ce1c o ⋅
−=⋅−=′
π
ω
[ ] [ ] [ ]1nxnxny −−=
Nota:Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a “derivada” no caso contínuo.Para o caso de diferenças de ordem 2 ou maior, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda diferença, se
[ ] [ ] [ ]2nxnxny −−=
( ) k
2
N
2kj
k
2kj
k ce1ce1c o ⋅
−=⋅−=′′
π
ω
y[n] tem coeficientes de Fourier
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Soma acumulada
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck
[ ]∑−∞=
=n
k
kx)t(y
então, ou seja,
y[n] tem período N y[n] tem frequência fundamentalN
2o
π=ωe y[n] tem coeficientes de Fourier
( ) k
N
2kj
kkjk c
e1
1c
e1
1c
o
⋅
−
=⋅−
=
πω
(
Nota:
No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x[n] periódicose com valores finitos.
Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a integral no caso contínuo.
Para o caso de somatórios duplos, triplos, etc., pode-se aplicar esta regrasucessivas vezes.
Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Relação de Parseval
x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck
então,
a potência média do sinal no
intervalo de um período N
[ ]
∑
∑
−+
+=
−+
+=
=
=⋅=
)1N(
),1(,k
2
k
)1N(
),1(,n
2
c
nxN
1P
l
Kll
l
Kll
Obrigado!
Felippe de Souza
felippe@ubi.pt
Departamento de Engenharia Eletromecânica
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