Sistemas no Espaço de Estados Controle Dinâmico. 2 Projeto no Espaço de Estados: B.12.1, 2, 3, 5,...

Sistemas no Espaço de Estados

Controle Dinâmico

2

Projeto no Espaço de Estados:

B.12.1, 2, 3, 5, 6 e 8

Lista de Exercícios (Ogata 4ed )Modelagem: B.3.9 a B.3.12, B.3.15Controlabilidade e Observabilidade: B.11.13-17

3

Representação de um sistema no espaço de estadosSistema causal

uy

u

DCx

BAxx

4

Representação em espaços de Estados equação dinâmica:

)()()()()( 321 tutyatyatyaty

x

xx

001

),(

1

0

0

100

010

)(

123

y

tu

aaa

t

yxxyxxyx 23121 , ,com

pode ser escrita como

5

Forma canônica controlável

)()()()()(

)()()()(

1)2(

2)1(

1)(

0

1)1(

1)(

tubtubtubtubtub

tyatyatyaty

nnnnn

nnnn

)(

),(

1

0

0

0

100

0100

0010

)(

00110110

11

tbbabbabbaby

t

aaa

t

nnnn

nn

ux

uxx

6

representação em diagrama de blocos

Forma canônica controlável

7

)( 100

),(

100

00

10

001

000

)(

0

011

011

0

1

1

tby

t

bab

bab

bab

a

a

a

tnn

nn

n

n

ux

uxx

Forma canônica observávelTranspondo a forma canônica controlável

8

Forma canônica observável

9

Forma canônica diagonalSe a função de transferência G(s) tem raízes distintas

n

n

ps

c

ps

c

ps

cbsG

...)(

2

2

1

10

ubcccy

u

p

p

p

n

n

021

2

1

,

1

1

x

xx

10

Forma canônica diagonal

11

Exemplo: Formas canônicas Considere um sistema definido pela

equação dinâmica:

uuuyyyy 15738147

Obter realizações no espaço de estado nas formas:1)Canônica controlável2)Canônica observável3)Canônica diagonal

12

A partir deuuuyyyy 15738147

Exemplo: Formas canônicas

x

xx

3715

,

1

0

0

7148

100

010

y

u

Por inspeção obtemos diretamente a forma canônica controlável:

8147

1573)(

23

2

sss

sssGOu de

13

Transpondo a forma canônica controlável, obtemos a forma canônica observável

x

xx

100

,

3

7

15

710

1401

800

y

u

Exemplo: Formas canônicas

14

expandindo G(s) em frações parciais:

4

6

35

.2

2

13

1

3

11

)(

sss

sG

)4( )2( )1(

1573

8147

1573)(

2

23

2

sss

ss

sss

sssG

x

xx

6

35

2

13

3

11

,

1

1

1

400

020

001

y

u

Exemplo: Formas canônicas

15

x

xx

6

35

2

13

3

11

,

1

1

1

400

020

001

y

u

4

6

35

.2

2

13

1

3

11

)(

sss

sG

Exemplo: Formas canônicas

Obtemos a forma diagonal

16

Não unicidade

A realização no espaço de estados não é única:

x

xx

Cy

tBuAt

),()(

x

xx

CTy

tBuTATTt

),()( 11

BAsICsG 1

17

Note que no entanto, o polinômio característico não muda

AsITAsIT

ATTTsTATTsI

detdetdetdet

detdet1

111

18

Teorema de Cayley-Hamilton

Toda matriz A satisfaz a sua própria equação característica

0...det 11

1

nnnn asasasAsIs

Se

0... 11

1 IaAaAaAA nnnn

então

19

Controlabilidade Definição O sistema

é dito de estado completamente controlável se para qualquer estado inicial , e qualquer estado existe uma entrada que transfere para em um intervalo de tempo finito. Caso contrário o sistema é dito não-controlável.

nxtx 00nx 1

x

xx

Cy

tBuAt

),()(

20

21

22

23

Exemplo•Em que condições para k1, k2, b1 e b2 a posição (x1,x2) da plataforma não é controlável?

24

Solução

25

26

Exercício

x

xx

010

, 1

11

13

y

ub

Determinar os valores de b que tornam o sistema não controlável

,

03

0

24

400

020

011

ub

xx

27

Resposta_Exercício

21

para lcontroláve é não 1

11

13sistema O

b

ub

xx

Determinar os valores de b que tornam o sistema não controlável

0para apenas lcontroláve não

,

03

0

24

400

020

011

b

ubxx

28

29

Observabilidade

Se o estado inicial pode ser determinado, com o conhecimento de u(t) podemos reconstruir/deduzir toda a trajetória x(t).

30

Observabilidade

31

Pseudo-prova_Teorema Observabilidade

tDutCty

tButAt

x

xx ),()(

Sabemos que a solução geral de

É da forma

tDudBueCxCetyt

tAAt

0

0

medido desconhecidoconhecido

32

descAt

ttA

medobsAt xCetDudBueCtyxCe ,0

0

,0

0,0,0 descobsAt xxCe

Como observação de x0 fazemos

Assim, podemos observar de forma única o estado inicial desconhecido se e só se

0*0 ,0* xtxCe At

Pseudo-prova_Teorema Observabilidade

33

0*0*0

CxxCet

At

0*0*0*0

0

CAxxCAexCedt

dt

At

t

At

0*0*0

xCAxCedt

d k

t

Atk

k

0*0* 2

02

2

xCAxCedt

d

t

At

Derivando

Pseudo-prova_Teorema Observabilidade

34

k

k

CA

CA

CA

C

1

Assim, podemos observar de forma única o estado inicial desconhecido se e só se

Pelo Teorema de Cayley Hamilton precisamos apenas considerar até k=n-1

Ou seja, devemos ter

0*0*1

xx

CA

CA

CA

C

k

k

posto coluna pleno

Pseudo-prova_Teorema Observabilidade

35

ExemploConhecendo-se a entrada u(t) e medindo-se a saída y(t) por um período de tempo suficiente, pode-se determinar o valor de x2(0)?

36

Solução

Sistema observável

37

Exercício