Sistemas Realimentados Análise no Espaço de Estados

Sistemas Realimentados

Análise no Espaço de Estados

Conteúdo

• FT no Espaço de Estados• Equações Invariantes no Tempo• Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial• Controlabilidade• Observabilidade

FT no Espaço de Estados

Por que representar uma FT no Espaço de Estados? Muito útil para representar sistemas de vários graus de

liberdade; Há muitas técnicas disponíveis para obter um sistema nesta

representação; É adequada para o processamento computacional.


Representações tratadas aqui: Forma controlável; Forma observável; Forma diagonal; e Forma canônica de Jordan.


Representação do Espaço de Estados em formas canônicas

Considere um sistema definido por:

onde u é a entrada do sistema e y é a saída.

Podemos reescrever o sistema como segue:


Forma Canônica Controlável


Forma Canônica Observável


Considere que o polinômio do denominador da FT acima envolve somente raízes distintas.

Logo, podemos reescrever a FT como segue:


Forma Diagonal


Agora, considere o caso em que o polinômido do denominador da FT acima envolve múltiplas raízes. Por exemplo, se p1=p2=p3, então

ou


Forma Canônica Jordan


Exemplo 1: Considere o sistema dado por

Obtenha a representação no espaço de estados nas formas canônicas controlável, observável e diagonal.

Controlável

Observável

Diagonal


Os Autovalores de uma Matriz Quadrada A, são as raízes da equação característica dada por

Como exemplo, seja

então


Diagonalização de um Matriz Quadrada

Se uma matriz quadrada A com autovalores distintos é dada por



Então, a transformação x=Pz, onde

Transformará A em uma matriz diagonal dada por D=P-

1AP.



Isto é



Se a matriz quadrada A envolve autovalores múltiplus, então a diagonalização é impossível.

Por exemplo,

Resulta na forma canônica de jordan.


Exemplo 2: Considere a seguinte representação no espaço de estados

onde


Então, os autovalores de A sãoLogo, os autovalores são todos distintos!Se definirmos um conjunto das nova variáveis de estado z1, z2 e z3 pela transformação

onde


Então em resulta em:


ou


ou ainda


Da mesma forma em resulta em:


Invariancia dos Autovalores: Para provar a invariancia dos autovalores sob uma transformação linear, precisamos mostrar que os polinômios característicos

são idênticos. Sabendo que o determinante de um produto é o produto dos determinantes, temos que:

Logo, os autovalores foram mantidos após a transformação linear!


Transformação de modelos usando o Matlab:





Equações Invariantes no Tempo

O objetivo agora é obter a solução geral da equação de estado linear e invariante no tempo.

Primeiro consideraremos o caso homogêneo e depois o não homogêneo.

Equação homogênea: seja

Supondo uma solução do tipo

Que substituida na equação acima fica como segue:

Logo,


Solução homogênea:

Coeficientes:

Série de Taylor


Análogo ao caso escalar, supomos a seguinte solução:

Considerando agora a equação vetorial-matricial

Que substituída na equação vetorial-matricial, leva a

De modo que

Equações Invariantes no TempoCoeficientes

Solução homogênea

Matriz exponecial: cada elemento da matriz é uma série de Taylor.

Equações Invariantes no TempoPropriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares.


Prova:


Em particular, se s=-t, então

O que prova que a inversa de eAt é e-At.

Uma vez que a inversa de eAt sempre existe, então a matriz exponencial é não singular.


Equações Invariantes no TempoTransformada de Laplace na solução de equações de estado homogênceas:

Seja

Cuja transformada de laplace é

Cuja transformada inversa de laplace aplicada à última equação resulta em

Equações Invariantes no TempoTransformada de Laplace na solução de equações de estado homogênceas:

Aplicando a mesma abordagem à equação vetorial-matricial

Com transformada de laplace resultando em

Cuja transformada inversa de laplace resulta em

Equações Invariantes no TempoMatriz de Transição de Estado: considerando a equação de estado

Podemos escrever a solução homogênea como

Onde a matriz de transição de estados Φ(t) é uma matriz quadrada com as mesmas dimensões de A, sendo a solução de:

e

Equações Invariantes no TempoMatriz de Transição de Estado:

Como e , então:

Observe que

Se todos os autovalores de A são distintos, então

Equações Invariantes no TempoMatriz de Transição de Estado:

Se todos os autovalores de A são distintos, então

Se A possui algum autovalor com multiplicidade como, por exemplo

Equações Invariantes no TempoPropriedades das Matrizes de Transição de Estado:

Equações Invariantes no TempoExemplo: Obtenha a matriz de transição de estado, e sua inversa, do seguinte sistema

Solução:

Equações Invariantes no TempoSolução:



Como Φ-1(t)= Φ(-t), então

Equações Invariantes no TempoSolução das equações de estado não homogêneas:

Seja , o qual podemos reescrever como

Multiplicando ambos os lados por e-At, temos

Integrando no intervalo de 0 a t, temos


Resposta à condição inicial Resposta à entrada u(t)


Seja agora

onde

a qual pode ser reescrita como


Multiplicando ambos os lados por e-At, temos

Integrando no intervalo de 0 a t, temos

Equações Invariantes no TempoAbordagem por transformada de Laplace aplicada a equações de estado não homogêneas

Seja

Como

Cuja transformada de Laplace é

então

Logo, aplicando a transformada inversa de laplace à última equação, obtemos:

Equações Invariantes no TempoSolução em termos de x(t0)

Exemplo:

Solução: como


Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial

Teorema de Cayley-Hamilton: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, cuja equação característica é

O teorema estabelece que tal equação característica também pode ser obtida como


Cálculo de eAt – Método I: Se A é diagonalizável, então

Se A é não diagonalizável, então ela pode ser transformada na forma canônica de Jordan, de modo que


Cálculo de eAt – Método I: Se A é diagonalizável, então

Se A é não diagonalizável, então ela pode ser transformada na forma canônica de Jordan, de modo que


Cálculo de eAt – Método I:

Exemplo


Cálculo de eAt – Método I:

Exemplo


Cálculo de eAt – Método II: Pela transformada de Laplace

Exemplo: utilize os métodos I e II para calcular a eAt, onde

Pelo Método I:


Cálculo de eAt – Método II: Pela transformada de Laplace

Exemplo: utilize os métodos I e II para calcular a eAt, onde

Pelo Método II:


Vetores Linearmente Independentes: Os vetores x1, x2,...,xn são distos linearmente independentes se

Como c1, c2,...,cn são constantes, então

De modo recíproco, x1, x2,...,xn são ditos linearmente dependentes, se e somente se, xi pode ser descrito como uma combinação linear de xj, onde i≠j, isto é


Vetores Linearmente Independentes:

Exemplo: Os vetores

São linearmente dependentes, uma vez que

Já os vetores

são linearmente independentes, uma vez que

implica em


Vetores Linearmente Independentes :

Posto = n=3

Determinante não nulo

Posto =2≠ n=3

Determinante nulo

Controlabilidade

Definição: Um sistema é dito controlável no instante t0 se for possível, por meio de um vetor de controle não limitado, transferir o sistema de qualquer estado inicial x(t0) para qualquer outro estado, em um intervalo de tempo finito.

Controlabilidade completa de estado de sistema de tempo contínuo: Considere o sistema de tempo contínuo

Tal sistema será dito de estado controlável em t=t0 se for possível construir um sinal de controle não limitado que transfira o sistema deum estado inicial para qualquer estado final, em um intervalo de tempo finito t0≤t≤t1. Se todo estado é controlável, então o sistema será considerado de estado completamente controlável.

Controlabilidade

Considerando a solução para , sendo t0=0, dada por

Aplicando a definição dada de controlabilidade completa de estado, temos

ou

Como então

Controlabilidade

Definindo então

ControlabilidadeSe o sistema for de estado completamente controlável, então, dado qualquer estado inicial x(0),

Deverá ser satisfeita. Para isso, a matriz nxn deverá ser de posto completo (posto n).

ControlabilidadeO resultado obtido pode ser estendido para o caso onde o vetor de controle u tem dimensão r, de modo que o sistema passa a ser descrito como

De modo que a condição para controlabilidade completa de estado requer que a matriz nxnr (matriz de controlabilidade)

tenha posto n (n vetores coluna linearmente independentes).

ControlabilidadeExemplo: Considere o sistema dado por

de modo que

Logo, o sistema não é de estado completamente controlável!

ControlabilidadeExemplo: Considere o sistema dado por

de modo que

Logo, o sistema é de estado completamente controlável!

ControlabilidadeCondição de controlabilidade completa de estado no plano s: Se houver pelo menos um cancelamento de termos da função de transferência, implicando em perda de grau de liberdade do sistema, então o sistema não é completamente controlável.

Exemplo: Considere a seguinte função de transferência

Observe que o termo s+2,5 é cancelado, de modo que o sistema perde um grau de liberdade, tornando-o não completamente controlável.

A mesma conclusão pode ser obtida escrevendo a FT na forma de equação no espaço de estado

é de posto 1≠n=2.

ControlabilidadeControlabilidade de Saída: Podemos desejar controlar a saída, em vez de controlar o estado do sistema. A controlabilidade completa de estado não é necessária e nem suficiente para controlar a saída do sistema, de modo que é necessário uma definição aparte sobre controlabilidade de saída.

Considere o sistema

Tal sistema será considerado de saída completamente controlável se for possível construir um vetor de controle u(t) não limitado que transfira qualquer saída inicial y(t0) para qualquer saída final y(t1) em um intervalo de tempo finito t0≤t≤t1.

Logo, o sistema é de saída completamente controlável se e somente se a matriz mx(n+1)r

tem posto m.

ControlabilidadeSistema não Controlável: é aquele que possui um subsistema que é fisicamente desconectado da entrada.

Estabilidade: Para sistemas parcialmente controláveis, se os modos não controláveis forem estáveis e os modos instáveis forem controláveis, o sistema será considerado estabilizável.

Por exemplo, o sistema definido por

Não é de estado controlável. O modo estável que corresponde ao autovalor -1 não é controlável. O modo instável que corresponde ao autovalor 1 é controlável. Logo, esse sistema pode ser feito estável pelo uso de uma realimentação apropriada. Assim, o sistema é estabilizável.

Observabilidade

Definição: Um sistema é dito observável no instante t0 se, com o sistema no estado x(t0), for possível determinar esse estado a partir da observação da saída durante um intervalo de tempo finito.

Considere o sistema sem excitação, dado por

Tal sistema será considerado completamente observável se todo estado x(t0) puder ser determinado pela observação de y(t) durante um intervalo de tempo finito t0≤t≤t1.

Portanto, o sistema será completamente observável se cada transição do estado puder afetar cada elemento do vetor de saída.

Observabilidade

O conceito de observabilidade é muito importante porque, na prática, algumas das variáveis de estado de um sistema não são acessíveis por medição direta, dificultando o controle por realimentação de estados.

Observabilidade completa de sistemas de tempo contínuo: Considere o sistema descrito por

O vetor de saída , onde

Logo,

ou

Observabilidade

Portanto, se o sistema é completamente observável, então, dada a saída y(t) durante um intervalo de tempo 0≤t≤t1, x(0) é unicamente determinado por

Isto requer que a matriz nmxn

seja de posto n.

Observabilidade

Condição de Observavilidade Completa: O sistema descrito por

É completamente observável se e somente se a matriz nxnm (matriz de observabilidade)

for de posto n.

Observabilidade

Exemplo: Considere o sistema descrito por

é controlável e observável?

Solução: Uma vez que o posto da matriz é 2, então o sistema é completamente controlável.

Para a controlabilidade de saída, analizamos o posto da matriz

Como tal posto é igual a 1, então o sistema é de saída completamente controlável.

Observabilidade

Exemplo: Considere o sistema descrito por

é controlável e observável?

Solução: Para analizar a condição de observabilidade, examinamos o posto da matriz

O qual é igual a 2, de modo que o sistema também é completamente observável.

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