Aula 1 Sistemas Realimentados Prof. Wanderley. Aula 1 Sistemas Realimentados - Motivação Sistema Controlado Unidade de Comando Sinal de Referência Sinal

Aula 1

Sistemas Realimentados

Prof. Wanderley

Aula 1

Sistemas Realimentados - Motivação

Sistema Controlado

Unidade de Comando

Sinal de Referência

Sinal de Controle

Sinal de Realimentação

Aula 1


Sistema Controlado

Unidade de Comando

Sinal de Referência

Sinal de Controle

Sinal de Realimentação


Diagrama de Blocos

Especificações de DesempenhoPROJETO

Especificações de Desempenho

São requisitos impostos aos sistemas de controle

Podem ser requisitos de resposta transitória ou requisitos em regime permanente

Exemplo de requisitos de resposta transitória: sobressinal e tempo de acomodação na resposta em degrau

Exemplo de requisitos em regime permanente: erro estacionário

Metodologias de Projeto

Método do lugar das raízes – Capítulo 7

Método da resposta em frequência – Capítulo 9

Método do espaço de estados – Capítulo 12

Enfoque computacional baseado em controladores PID – Capítulo 10

Projeto pelo Método do Lugar das Raízes

Consiste em redesenhar o lugar das raízes do sistema pela adição de pólos e zeros na função de transferência de malha aberta do sistema, forçando o novo lugar das raízes a passar pelos pólos de malha fechada desejados no plano s.

Compensação de Sistemas

Primeira abordagem: aumento de ganho

Aumento do ganho melhora o comportamento em regime permanente, mas afeta a estabilidade do sistema

Abordagem posterior: alteração do comportamento dinâmico do sistema

Inclusão de compensador (dispositivo capaz de satisfazer as especificações do sistema), a fim de compensar a deficiência do sistema original

Tipos de compensadores

Compensador de avanço de fase

Compensador de atraso de fase

Compensador de atraso e avanço de fase

Controladores PID (Capítulo 10)

Tipos de compensação

Gc(s) G(s)

H(s)

+

-

G1(s) G2(s)

H(s)

+

-Gc(s)

+

-

Compensação em Série

Compensação em Paralelo ou por realimentação

Tipos de Compensação

Vantagem da compensação em série: em geral, é mais simples de se implementar

desvantagens da compensação em série:

A compensação em série normalmente requer amplificadores adicionais para aumentar o ganho e/ou produzir isolamento;

Número mais elevado de componentes de compensação.

O Método do Lugar das Raízes para o Projeto de Sistemas de Controle

Supõe-se que a planta é inalterável => O sistema deve ser melhorado através da inserção de um compensador

O compensadores poderão se do tipo:

Atraso de fase;

Avanço de fase;

Atraso e avanço de fase.


Efeitos da adição de pólos

Diminui a estabilidade relativa

Diminui a velocidade da resposta transitória

x

jω

σx

jω

σx x

jω

σxx


Efeitos da adição de zeros

Aumenta a estabilidade relativa

Aumenta a velocidade da resposta transitória

x

jω

σxx x

jω

σxxo x

jω

σxx o x

jω

σxx o

Compensação por Avanço de Fase

Seja ,1

1

Ts

TsKsG cc

onde js

Então

Tj

TjKsG cc

1

1

TT

sGc

1tan

1tan

de modo que 0 sGc se 10


Exemplo 7.1: G(s)R(s) +

-

C(s)

2

4

sssGFT malha aberta:

jω

xσ

x-2 0



-

C(s)

3131

4

42

42 jsjssssR

sC

FT malha fechada:

jω

xσ

x-2 0

3

3

5,0sradd 2

Características atuais

5,0sradd 4

Características desejadas

Coef. Amort.

Freq. Nat.. Amort.



-

C(s)

dndn

n

nn

n

jsjssssR

sC

2

22

2

2

FT malha fechada de segunda ordem:

21 nd

322 js

Nova localização dos pólos de MF

jω

xσ

x-2 0

3

3

32

32


Exemplo 7.1: R(s) + G(s)-

C(s)Gc(s)

,1

1

Ts

TsKsG cc

com js onde

Nova FT de malha aberta: sGTs

TsKsGsG cc 1

1

Projeto: encontrar valores adequados para T e α.



-

C(s)Gc(s)

jω

σ

32PA

2

Procedimento de Projeto

O

ββ

BC DØ/2 Ø/2x

T1

T

1

T1

T

1

T1



-

C(s)Gc(s)

jω

σ

32PA

2

Procedimento de Projeto

OØ/2 Ø/2

2102

4322 jsss

sG

logo 30sGc

pois 12180 ksGsGcT

1T

1

xB

(condição de fase)



-

C(s)Gc(s)

O pólo e o zero de Gc(s) estão em 4,5s

345,09,2

1T

e , respectivamente (sai por trigonometria). Assim9,2s

537,0185,04,5

1 Tx

jω

σxx o

32

2

9,2

4,5



-

C(s)Gc(s)

x

jω

σxx o

32

2

9,2

4,5

4,52

9,2

2

4

4,5

9,2

sss

sK

sss

sKsGsG cc

cKK 4onde



-

C(s)Gc(s)

O ganho K é calculado a partir da condição de módulo

7,181

4,52

9,2

322

Ksss

sK

js

Compensação por Atraso de Fase

Aplica-se nos casos em que a resposta transitória de um sistema possui características satisfatórias, enquanto que a resposta em regime permanente possui características insatisfatórias.

Ts

TsKsG cc 1

1ˆ

A contribuição da rede de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno (por exemplo, 5º).


Logo, o pólo e o zero de Gc(s) devem estar muito próximos.

Além disso, o pólo de Gc(s) deve estar próximo da origem do plano s.

Como resultado, os pólos de malha fechada do sistema compensado sofrerão apenas um pequeno deslocamento com relação às posições originais, alterando ligeiramente as características da resposta transitória.


Seja s1 um dos pólos dominantes (mais próximo da origem do plano s) de um sistema. Então

ccc KTs

TsKsG ˆ

1

1ˆ1

11

Para fazer com que a contribuição angular do compensador seja pequena, então

01

15

1

11 Ts

TssGc


Portanto, se , então as características transitórias serão, de fato, não alteradas.

Outra consequência é que o ganho resultante da função de transferência de malha aberta pode ser aumentado de um fator β, com β>1.

1ˆ cK


O erro estático de velocidade do sistema não compensado é dado por

1ˆ cK

ssGKs

v0

lim

O erro estático de velocidade do sistema compensado com o controlador por atraso de fase é dado por

vvc

vcs

cs

v

KKK

KsG

sGssGK

ˆ

lim

limˆ

0

0


O principal efeito negativo do compensador por atraso de fase é a criação de um pólo de malha fechada próximo da origem, o qual produz uma “cauda” alongada de pequena amplitude na resposta ao degrau, aumentando o tempo de acomodação do sistema.


Exemplo 7.2:

21

06,1

ssssG

G(s)R(s) +

-

C(s)

x

jω

σxx

2 1

1j

1j

x

Pólo de malha fechada

Pólo de malha aberta

3386,25864,03307,05864,03307,0

06,1

06,121

06,1

sjsjs

ssssR

sC

Os pólos dominantes de malha fechada são: 5864,03307,0 js



-

C(s)

x

jω

σxx

2 1

1j

1j

3386,25864,03307,05864,03307,0

06,1

sjsjssR

sC

sradn 673,0,491,0

dndn

n

nn

n

jsjsss

2

22

2

221 nd

1

053,0

21

06,1lim

s

ssssssGK

sve


Exemplo 7.2:

Deseja-se aumentar a constante de erro estático de velocidade, Kv, para aproximadamente 5s-1, sem que haja modificação significativa na posição dos pólos dominantes de malha fechada.

Isso pode ser feito inserindo um compensador por atraso de fase, de modo que

e posicionando o zero e o pólo do compensador em s=-0,05 e s=-0,005, respectivamente.

Daí,

1053,0

5ˆ vv KK

G(s)-

C(s)Gc(s)

R(s)

005,0

05,0ˆ

s

sKsG cc


Exemplo 7.2:

Observe que a contribuição angular do compensador é de -3,5º, aproximadamente, a qual provoca uma pequena alteração no novo lugar das raízes, próximo dos pólos dominantes de malha fechada.

G(s)-

C(s)Gc(s)

R(s)

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

A compensação por avanço de fase aumenta a velocidade de resposta e a estabilidade do sistema.

A compensação por atraso de fase melhora a precisão do sistema em regime permanente, mas reduz a velocidade de resposta.

Logo, para melhorar ambas a resposta transitória e a resposta em regime permanente, pode-se utilizar simultaneamente os dois compensadores.

Outra opção mais econômica é utilizar um único compensador por atraso e avanço de fase.


1e1,1

11

2

2

1

1

Ts

Ts

Ts

TsKsG cc

Considere Kc pertencente à porção de avanço de fase do compensador.

Dois casos são possíveis:

1) γ≠β (exemplo 7.3);

2) γ =β (exemplo 7.4).


5,0

4

sssGExemplo 7.3: G(s)R(s) +

-

C(s)

Pólos de malha fechada em s=-0,25±j1,9843sradn 2,125,0 18 sKve

Deseja-se que o coeficiente de amortecimento dos pólos dominantes de malha fechada seja igual a 0,5, que a frequência natural não amortecida seja igual a 5rad/s e que a constante de erro estático de velocidade seja de 80s-1.


Exemplo 7.3: G(s)-

C(s)Gc(s)

R(s)

com1,1,1

11

2

2

1

1

Ts

Ts

Ts

TsKsG cc

sGTs

Ts

Ts

TsKsGsG cc

2

2

1

1

1

11

Função de transferência de malha aberta do sistema compensado


Exemplo 7.3: G(s)-

C(s)Gc(s)

R(s)

21, nddn js

A partir da especificações de desempenho, considerando que

temos que os pólos dominantes de malha fechada devem situar-se em s=-2,5±j4,33


Exemplo 7.3: G(s)-

C(s)Gc(s)

R(s)

Como

2355,0

4

33,45,2 jsss

55235180sGacentão

Posicionando o zero da parte de avanço de fase em s=-0,5, cancelamos o pólo da planta em s=-0,5.

Agora, posicionamos o pólo da parte de avanço de fase, de maneira a provocar a contribuição angular de 55º, ou seja, em s=-5


Exemplo 7.3: G(s)-

C(s)Gc(s)

R(s)

Deste modo, a parte relativa ao avanço de fase será

1

11

5

5,0

Ts

TsK

s

sKsG cc

ac

Logo, T1=2 e γ=5/0,5=10. Como

26,615,0

4

5

5,0

33,45,2

c

js

c Ksss

sK


Exemplo 7.3: G(s)-

C(s)Gc(s)

R(s)

A parte relativa ao atraso de fase pode ser projetada como segue: determina-se o valor de β para satisfazer o requisito da constante de erro estático de velocidade.

04,1680988,45,0

4

1026,6lim

limlim

0

00

sss

sGsKsGssGK

s

cs

cs

v


Exemplo 7.3: G(s)-

C(s)Gc(s)

R(s)

Requisito de módulo

104,161

1

33,45,22

2

jsTs

Ts

Requisito de fase

0

04,161

15 33,45,2

2

2jsTs

Ts

Ambos os requisitos são satisfeitos escolhendo T2≥5.

Documents

Aula 1 Sistemas Realimentados Prof. Wanderley. Aula 1 Sistemas Realimentados - Motivação Sistema Controlado Unidade de Comando Sinal de Referência Sinal