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7/26/2019 t5 Trabalho
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Aula 5
TrabalhoTeorema da Energia CinticaConservao da Energia MecnicaDiagramas de Energia
7/26/2019 t5 Trabalho
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2
Para alm das Leis de Newton
R
mg
N
mg
N
mg
N
A fora normal tem diferentesdireces e valores para asdiferentes partes do percurso!!
A aplicao das leis de Newton pode ser complicado
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= 2 2
R,1 1
2 2x ifF x mv mv
Manipulando a 2 Lei.
TRABALHO (W )realizado pela Fao
longo do
deslocamento x
Considere o movimento de uma bola de massa mao longo de um fiolinear empurrada por uma fora resultante constante Fx paralela
ao fio, ao longo do deslocamento x:
FR,x
mx
x xF ma=A fora produz
acelerao:
= 2 22
x if
a x v v
vi vf
A acelerao produz
variao de velocidade:
2 22 x ifF
x v vm
=
Variao daenergiacintica (Ec)
da bola
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Esta uma expresso da eficcia da fora.
= Total CW EComo que uma fora aplicada
ao longo de uma distnca modifica o sistema
Trabalhoo agente externo que altera aquantidade de energia cintica
(estado) do sistema.
xW F x=
Energia CinticaA quantidade interna que modificada (estado).
=21
2
CE mv
= 2 2R, 1 12 2x ifF x mv mv Teorema da energia
cintica
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mx
Energia cintica inicial Ec,i Energia cintica final Ec,f>EC,i
Trabalho
positivo W> 0
Fonte deenrgia
O trabalho energia a ser transferida
FR,x
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Unidades para o trabalho e energia:
SI:
Evitar a confuso com:Caloria (comida) 1 Cal = 1000 cal
caloria 1 cal = 4.184 J
Kilowatt-hour KWhOutras unidades possveis:
Joule 1 J = 1 N m
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EnergiaDiversos tipos de energia:
Energia cintica Energia elctrica Energia interna (energia trmica)
Energia elstica Energia qumica Etc.
A energia transferida e transformadade um tipo para outro. Nunca destruda ou criada.
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O que o trabalho?A definio de trabalho (W =Fx) corresponde
ideia intuitiva de esforo:
Um objecto com maior massa ir requerer mais trabalho paraalcanar a mesma velocidade (partindo do repouso).
Para uma mesma massa, para alcanar maior velocidade(partindo do repouso) requer mais trabalho.
Se empurramos durante maiores distncias, o trabalho aumenta. O trabalho o mesmo para acelerar o objecto para a direitaou para a esquerda. (Tanto o deslocamento como a forainvertem-se).
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Outro tipode energia
= 2 2R, 1 12 2x ifF x mv mv
Consideremos novamente a bola. Desta vez a fora aopnta na
direco oposta ao deslocamento:
mx
vi vf
< 0
Energia cinticainicial E
C,i
Energia cintica final EC,f < EC,i
TrabalhoNegativo W< 0
FR,x
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Empurrar uma caixa com atritoUm caixa empurrada ao longo de 10 m a uma velocidade
constante exercendo uma fora de 200 N.Trabalho sobre a caixa: WF = (200 N)(10 m) = 2000 J(energia proveniente das reaces bioqumicas dos msculos)
Trabalho do atrito: Wat = (-200 N)(10 m) = -2000 J(libertado como energia trmica para o ar e para o solo)
F
fat
= =
=
at
at
0 (v constante)F f ma f F
Teorema da energia cintica: WF + Wat= 0 EC,fEC,i= 0
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E se a fora no apontar nadireco do movimento?
22
2 if vvra =
Recordando a equao de v em multidimenses:
rFrFrFW === cos//
Trabalho de uma fora constante ao longo de uma linha recta:
rFm
ra
=1
Para o trabalho, apenas a parte da fora que tem a direcodo deslocamento interessa (= pode alterar a velocidade)
(= pode alterar a energia cintica)
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Exemplo de foras que norealizam trabalho
Ffat
mg
N
O peso da caixa que empurrada ao longo dasuperfcie horizontal no realiza trabalho uma vez queo peso perpendicular ao movimento.A fora normal aplicada pelo solo tambm no realizatrabalho.
x
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Recapitulando:
= RW K
Energia Cintica = 212C
E mv
rFrFrFW === cos //
Trabalho realizado por uma fora constanteao longo de uma recta:
Teorema da Energia Cintica:
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O percurso dividido em pequenos segmentos nos quais a fora constante.
Trabalho realizado por uma fora varivel
ao longo de uma trajectria rectilinea:Um objecto move-se ao longo do eixo-x do ponto x1 para o ponto x2.Uma fora varivel aplicada ao objecto. Qual o trabalho realizado
por esta fora?
x1
FA
xA
FB
xB
FC
xC
FD
xDFE
xE
EExDDxCCxBBxAAx xFxFxFxFxFW ++++=
O trabalho total a soma do trabalho em cada um dos intervalos:
x2
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Fx
xxA xB xC xD xE
Trabalho = rea
FAx
FBxFCx
FDx
FEx
EExDDxCCxBBxAAx xFxFxFxFxFW ++++=
Continua a ser uma aproximao pois a fora no realmente constante em cada intervalo
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F
x
Trabalho = rea debaixo da curvadefinida por F(x).
x1 x2
O resultado s mesmo bom no limite em que os intervalos so mesmo
pequenos, onde a soma se torna num integral:
=2
1
)(x
x x dxxFW Trabalho de uma fora
varivel, numa trajectriarectilnea
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MolasLei de Hooke: A fora exercida por uma mola proporcional distncia que a mola cormprimida/esticada relativamente s posio deequilibrio.
x= 0 x= 0 F= 0
Fx= k x k= Constante da mola
xx> 0 F< 0
F
x
x< 0 F> 0F
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Fmola
P
0
0
molaF P
k x mg
k
m xg
=
=
=
A lei de Hooke a base de funcionamento das balanas.
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Esticando a molaQual o trabalho realizado pela mola no bloco quando se puxa a molade x1 para x2?
Posio de equilbrio (Define-se x = 0 como sendo a posio deequilbrio da mola).Neste caso: F = -kx
F1 = -kx1
x1
x2
F2 = -kx2
Fora varivel: necessrio umintegral.
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= =
2 2
1 1
mola ( )x x
x x
W F x dr kxdx
Trabalho realizado a mola quando se puxa de x1 para x2
Fx
x
x1 x2
work
Fx= kx
Se x2 > x1 (esticar),Wexterna > 0
Estamos a aumentara energia da mola
Uma mola esticada oucomprimida armazena
energia(energia elstica)
= =
2 2externa 2 1
1 12 2molaW W kx kx
Trabalho realizado na mola quando se puxa a mola de x1 para x2
=
2
1
212
x
x
kx =
2 22 11 12 2kx kx
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Trabalho em trajectrias curvasUma partcula move-se de A para B aolongo do percurso mostrado na figuraenquanto uma fora varivel actua
sobre ela.
l
dFdW =
Se os intervalos so muitopequenos, a trajectria rectilnea, e a fora constante, pelo que trabalho
ser:
Novamente, pode calcular-se otrabalho considerando pequenosdeslocamentos .l
d
Somando todas as
contribuies: =
B
A
BA l
dFW
x A
B x
F dl
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Integral de linha
A (inicial)
B(final)
Para cada um das trstrajectrias entre A e B, aforca dar origem a
diferentes valores detrabalho!
=
B
ABA l
dFWtrajectria
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borda
fundo
mg
Exemplo:Calcular o trabalho realizado pela gravidade quando umaesfera de massa mrola desde borda at ao fundo de umatigela esfrica de raio R.
dl
mgR=
=
fundotopo
W mg dl
= /2
=0 cosmg Rd
=
/20
cosmgR d
= /2
0sinmgR
=
= R d
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Potncia
Potncia instantnea:
dW F dr P P F v dt dt
= = =
= = =
mdia mdia mdiaW F r
P P F v t t
Potncia Mdia:
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Unidades de potnciaSI: Watt 1 W = 1 J/s
Outros: Cavalo-vapor 1 hp = 746 W
Kilowatt-hora (kWh) uma unidade de energia outrabalho:
61000 W 3600 s1 kWh 1 kW h 3.6 10 Ws1 kW 1 h= =
J
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Trabalho realizado pelo pesoUm bloco de massa m levantado do cho (A) para umamesa (B) usando duas trajectrias diferentes. Determine
o trabalho realizado pela gravidade.
y
mgA
B
r3r2
r1
r ( )
ymg
rgm
rrrgm rgmrgmrgmW
=
=
++=
++=
321321
ymgrgmW ==
O trabalho realizado pelopeso no depende da
trajectria.
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Energia potencial GravticaO trabalho realizado pelo peso no depende da trajectria,depende apenas do deslocamento vertical y, ou do y inicial e
final: ymgW =
U= Energia potencial
Podemos sempre escrever que este trabalho igual (menos)
variao de uma funo U(r) que depende da posio:( )ifW U U U = =
= + constanteU mgy Energia potencialgravtica:Podemos sempre incluir uma constante arbitrria
pois o que interessa a variao U
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Energia potencial elstica (mola)Qual o trabalho realizado pela mola quando puxada de x1 para x2?
F1
= -kx1
x1
x2
F2 = -kx2
= =
2
1
2 22 1
1 12 2
x
molax
W kxdx kx kx
Tambm pode ser escrito como (menos)
a diferena de uma funo potencialentre o ponto inicial (x1) e o ponto final(x2):
21constante
2U kx= +Energia potencial
elstica:
( )= 2 1( ) ( )molaW U x U x
Pode o trabalho ser sempre
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Pode o trabalho ser sempre
escrito em termos de umavariao de energia potencial?NO!
Exemplo: Uma caixa arrastada ao longo de uma superfciehorizontal atravs de duas trajectrias AD e ABCD:
A
B C
D= atrito,AD kW df
O trabalho realizado peloatrito no pode ser escritocomo uma diferena depotencial.
No dependeapenas dos pontosinicial e final.= atrito,ABCD 3 kW df
F C ti N
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Foras Conservativas e No -
ConservativasO trabalho realizado por uma fora conservativa nodepende da trajectria. Uma funo energia potencial pode ser definida.
O trabalho depende da trajectria.
No se pode definir uma funo de energia potencial.
Fora no - conservativa
Exemplos: Atrito cintico
Exemplos: peso, fora elstica
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Conservao da Energia
MecnicaNum sistema onde apenas foras conservativas realizam
trabalho, podemos escrever o teorema da energiacintica:
R CW E=
RW U=
CU E = ( ) 0CE U + =
Definio de Energia Mecnica: M CE E U= +
Segundo as condiesanteriores, a energiamecnica conservada:
inicial final0 orE E E = =
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=
=
=
21
22
CW E
mgh mv
v gh
Uma bola largada de uma altura h. Se a velocidade inicial for 0 e seignorar-mos a resistncia do ar, qual a velocidade da bola quandoatingir o solo?
Podemos usar a cinemtica o teorema da energia cinticaou a conservao da energia.
Trabalho do
peso: mghmgr =initial finalE E
A nica fora que actua o peso, porisso a energia mecnica conservada:
Escolhe-se
U= 0 no solo
T.E.C. Conservao da energia
Exemplo: Queda Livre
+ = +, inicial , FinalC Inicial C Final E U E U
+0 mgh
=
=
212
2
mgh mv
v gh
= +21 0
2mv
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Duas verses do mesmo problema.
1. Levantar: WR = Wpeso + Wpessoa = 0 (vinicial = vfinal = 0)
Queda: WR =Wpeso = mgh> 0 (logo EC aumenta)
Um objecto de massa m levantado por uma pessoa do
solo at uma altura he depois largado.
2. Levantar : Wpessoa > 0. A pessoa esta a adicionar
energia que armazenada como energia potencialgravtica mgh> 0 .
Queda: A energia potencia convertida em energia
cintica (logo EC aumenta).
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Podemos aplicar o mesmo raciocinio para
qualquer descida:
h
Ponto deinflexoondeEC = 0
E EC U
E EC UE EC U
v= 0
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EXEMPLO: PnduloConsidere um pndulo de comprimento l e massa m, que libertado do repouso e de um ngulo 0.
a. Qual o mximo ngulo que o pndulo vai alcanar no
outro lado?b. Qual velocidade mxima do pndulo?
0
m l
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Apenas o peso est a realizar trabalho, por isso uma situao onde a energia mecnica conservada
EM = EC+U.
Lm
0
U y
y
EC=0
UMAX
UMIN
EC,MAX
0 EC=0
UMAX
O ngulo dooutro ladotambm 0.
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0 0E E
CU
E EC
U
E EC U
E EC U
E EC U
A energia potencia U transformada em energia cintica
EC. E vice-versa.
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0
m L
Tomando U(= 0) = 0
C = 0U= mgL(1-cos)
U= mgy+ C
y
Lcos=mgL(1-cos) + C
L
LL-Lcos
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39
0m
L
E = mgL(1-cos) + mv2/2 = constante
No fundo: E= 0 +mv2/2Inicialmente: E= mgL(1-cos0) + 0
0 +mv2/2 = mgL(1-cos0) + 0
02 (1-cos )v gL =
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40
Relao entre Ue F(1D)
= = final
inicial xW F dx U
Para uma fora conservativa (em 1D),
= + constantexU F dx
x
dUF
dx=
= = =
= = = 2
Exemplos:
12
y
x
dUU mgy F mg dy
dUU kx F kx
dx
A fora menos odeclive da curva U (x).
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Exemplo: Mola
21( )2
U x kx =
x
U
xx = 0, F = 0
dU/dx= 0
A energia potencial deuma caixa ligada a umamola numa superfciehorizontal sem atrito:
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x
U
xx < 0, F > 0
dU/dx< 0
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x
U
x
x > 0, F < 0
dU/dx> 0
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x
U
xx > 0, F < 0 e maior em valor
dU/dx> 0 emais inclinado queanteriormente
A fora aponta sempre para baixo!!!
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Relao entre Ue F(3D)x
UFx
=1D:
= = =
=
, , em coordenadas cartesianas
para a componente radial das coordenadas esfricas
x y z
r
U U UF F F
x y z
UF
r
3D: =
(menos o gradiente de )F U U
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ExemploDeterminar a fora exercida no ponto P (0,1,2) m se aenergia potencial associda for dada por:
( )P 3 8 12 NF i j k = + +
( )2 3( ) 3 4 JU r xy x yz =
( ) ,P3 8 (3 0) 3x xU
F y x F x
= = = =
( )3 ,P3 (0 8) 8y yUF x z F y
= = = =
( )2 ,P3 ( 3 1 4) 12z zU
F yz F z
= = = =
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EquilbrioSempre que F = 0 (ie, dU/dx= 0), temos equilbrio.
x
U
xS
xU xN
xS, xU e xN so pontos deequilbrio
Estvel/Instvel/Equilbrio
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x
U
A fora faz regressar a partcula
ao ponto de equilbrio.
estvel
A fora afasta a partcula do ponto deequilbrio.instvel
A fora continua a ser zero peloque a partcula permanece na novaposio, que tambm uma posiode equilbrio.
neutro
O que acontecer se a partcula se mover um pequeno dxpara almdo ponto de equilbrio?
Estvel/Instvel/Equilbrio
Neutro
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Diagramas de Energia um grfico de Uem funo de x, onde a energiamecnica pode tambm ser includa.O diagramas de energia fornecem uma representaovisual til de uma fora conservativa.As principais caractersticas da fora so facilmente
relevadas:.
Mnimo = ponto de equilbrio estvel
Mximo = ponto de equilbrio instvel
A fora aponta para baixo
Pontos de inflexo: Sempre que E =U (EC= 0)
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Exemplo 1: Uma caixa presa a uma mola colocadasobre uma mesa horizontal, sem atrito colocadaem x= x0 e libertada sem velocidade.
= + = +210
2C oE E U kx
A energia mecnica relaciona-se com as condiesiniciais.
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x
U
UMIN
EC,MAX
x0x0
212 o
E kx=
UMAX ( = E )
EC= 0, pontos de
inflexo
Zonapermitida
Regio proibida
(EC< 0)
Regio pribida
(EC< 0)
Exemplo 2: A caixa colocada em x= x0 e
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empurrada de forma que a sua velocidade inicial
v0.= + = +
2 21 12 2C o o
E E U mv kx
xtxt
Novos pontos de inflexo
x
U
x0
21
2 oE kx= (anterior)
2 21 12 2o oE mv kx = + (agora)
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x
U
E
xtxt
UEC
Quanta energia cintica/potencial tem osistema em cada ponto?
U
EC
U = 0
EC= EC,MAX = EU= UMAX = EEC= 0
U Exemplo: Potencial com dois poos
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U
x
Uma partcula est sujeita fora associada a estepotencial. No existem outras foras exercidas sobre apartcula. Descreva o movimento da partcula nas situaesseguintes.
Exemplo: Potencial com dois poos.
1. A partcula libertada do repouso do ponto A.
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1. A partcula libertada do repouso do ponto A.
U
xA
UA
Em M1, U mnimo, por isso EC (e a velocidade) mxima
M1
A partcula oscila entre A e B.
B
Em xB, U = E, ento EC (e a velocidade) zero ponto de inflexo
Direco da fora F
E
= + = + Das condies iniciais, 0C AE E U E U
proibidaproibida OKOK
A partcula no pode estar em x < xA ou x> xB (EC < 0)
2. A partcula libertada do ponto A com uma pequena velocidade
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inicial v0.
U
xA
UA
= + >20 A A1Das condies iniciais, 2
E mv U U
E
Em M1, U mnimo, ento EC (e a velocidade) mxima.
M1
Os pontos de inflexo so definido por EC = 0, e ento U = E : pontos Ce D.
DC
A partcula oscila entre C e D.
Direco da fora F
proibidaproibida OKOK
3 A partcula libertada do repouso no ponto G
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3. A partcula libertada do repouso no ponto G.
U
xG
UG
= GDas condies iniciais, E U
E
Em M1, U mnimo, e ento EC (e a velocidade) mximo
M1
A partcula continua a mover-se na direco +x (semoscilaes) e no regressa (escapa-se).
Direco da
fora FF= 0
proibida OK OK OK OK OK
Escape
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Campo gravitacional da Terra
rU 1
2rU O objectos tm de ter E>0 para escaparem Terra.
Forca interatmica
Barreira: Energia mnimapara escapar ou ficarpreso.
Fora forte entre oquark e o anti-quark
r
U 1
rU
No pode escapar.
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