UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

LEI DE HOOKE

Turma T5

Bruno Luis Pereira Souza

Douglas Bispo dos Santos

Juliano Almeida Perez

Antônio Roberto Leão da Cruz

Tâmara Matos dos Santos

SÃO CRISTÓVÃO

2012

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Relatório de laboratório apresentado à

Universidade Federal de Sergipe, Centro

de Ciências Exatas e Tecnologia,

Departamento de Física, como um dos pré-

requisitos para a conclusão da disciplina

Laboratório de Física A.

Orientador: Mário Ernesto Giroldo Valerio.

SÃO CRISTÓVÃO

2012

1. INTRODUÇÃO

Ao estudar molas “ideais” e suas propriedades de deformação, o cientista

inglês Robert Hooke determinou, pela primeira vez a relação existente entre a

deformação de uma mola e sua constante elástica, numa lei que recebeu seu nome,

a Lei de Hooke.

Todo material sobre o qual é exercida uma força, sofre uma deformação que

pode ou não ser observada. A lei de Hooke descreve a força restauradora que existe

nos materiais quando são deformados, comprimidos ou distendidos. Apertar ou

torcer uma borracha, esticar ou comprimir uma mola, são situações onde é fácil

notar a ocorrência da deformação. Mesmo ao pressionar uma parede com a mão,

tanto a mão como o concreto, sofrem deformações, apesar de não serem facilmente

visualizados.

A força restauradora surge sempre para recuperar o formato original do

material e vem das forças intermoleculares que mantém as moléculas e os átomos

unidos. Então, uma mola esticada ou comprimida irá retornar ao seu comprimento

original devido à ação dessa força restauradora. Quando o material volta a sua

forma original após encerrada a força que gerou a deformação, diz-se que a

deformação é pequena ou está dentro do limite elástico, pois quando as

deformações são grandes, o material ultrapassa o limite elástico e adquire uma

deformação permanente e irreversível, ou seja, ele não retorna a sua forma original.

Analiticamente a lei de Hooke é dada pela equação:

𝐹𝑒𝑙 = −𝑘 ⋅ 𝛥𝑥

Onde "𝑘" corresponde à constante elástica da mola, uma característica inerente e

constante de cada mola. O sinal negativo indica o fato de que a força elástica tem

sentido contrário à sua deformação "𝛥𝑥". Se "𝑘" é muito grande, significa que forças

de intensidade muito grandes são necessárias para esticar ou comprimir a mola. Se

"𝑘" é pequeno, quer dizer que a força necessária para causar uma deformação é

pequena. Logo, há uma dependência linear entre "𝐹𝑒𝑙 " e a deformação "𝛥𝑥".

Uma aplicação prática para o experimento envolvendo a Lei de Hooke, além

da comprovação da sua eficácia até certo ponto para as molas “reais”, é o da

construção de um dinamômetro. O dinamômetro de mola é um dos instrumentos que

se utiliza para medir forças. O mesmo é constituído de uma mola, tendo na sua

extremidade superior um cursor que desliza sobre uma escala previamente graduada

quando o dinamômetro é calibrado. Na outra extremidade da mola é aplicada uma força "𝐹"

que se quer medir conforme a Figura 01 abaixo:

Figura 01

2. OBJETIVOS

Melhorar a compreensão acerca da Lei de Hooke a partir da construção

de dinamômetros rudimentares;

Aplicar o conceito de propagação de erros nos cálculos envolvidos para

tornar os resultados mais próximos da realidade;

Determinar a constante elástica das molas utilizadas no experimento.

3. MATERIAIS E MÉTODOS

Foram utilizados para a realização do experimento os seguintes itens:

02 molas: Uma de metal e outra de plástico (polímero) com diâmetros

diferentes;

Suporte para mola com tripé e escala graduada da marca Tripé Standard;

Suporte aferido para massas;

Conjunto de massas aferidas (10g e 50g);

Balança analógica;

Régua graduada de 30 cm;

Bancada nivelada.

Segue abaixo as Figuras 02 e 03 com esboços do experimento:

Figura 02

Figura 03

Inicialmente, foi medida a massa do suporte para massas com o auxílio da

balança e identificado a incerteza da mesma. Em seguida, fez-se a leitura do

comprimento da mola 01 em seu estado natural, sem deformações, graduado na

escala do suporte com tripé com o auxílio de uma régua para obter a medição.

Identificou-se também a incerteza da escala graduada. Lembrando que, a cada

passo executado os valores obtidos eram anotados na tabela de dados esquemática

que será mostrada mais adiante. A distensão de uma mola é obtida com a aplicação

de uma força deformadora, neste caso, foram utilizados as massas aferidas e o

suporte para massas para fazê-la. No total, foram feitas três medições para cada

uma das oito massas distintas que foram obtidas combinando-se as massas aferidas

de 10g e 50g. O intuito de se fazer três medições, é garantir que o valor medido não

seja um erro grosseiro, caso aconteça, e tenhamos um valor médio dentro da

flutuação das medidas obtidas. Com a medição da deformação da mola para as

diversas massas em questão, obtêm-se a distensão da mola para cada caso. Depois

de feito todas as etapas anteriores e anotado todos os valores obtidos para a mola

01, repetiu-se o procedimento para a mola 02, evidentemente, trocando-se apenas a

mola em questão. Após registrar todas as medidas que o experimento exige para

ambas as molas, foram sendo calculados e preenchidos os outros campos da tabela

de dados. Para efetuar esses cálculos, a tabela de dados foi projetada no Software

Microsoft Excel e então, se inseriu as fórmulas das equações nas respectivas

células, para que o programa efetuasse os cálculos.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Segue abaixo as Tabelas 01 e 02 que se referem, respectivamente, às

molas 01 e 02. Estas revelam os dados obtidos com a realização do experimento e o

resultado dos cálculos envolvidos:

X0 = 0,09 m

Tabela 01 - Mola 01

X (m) Média Incerteza Incerteza Incerteza ΔX incerteza ΔX

Resultado de Δx m (Kg) Peso (N)

Medida 1

Medida 2

Medida 3

X (m) A B C (m) (m)

Massa 0 0,000 0,000 0,09 0,09 0,09 0,09 0,000000 0,0005 0,000500 0,000000 0,0005 (0 ± 0,0005) m

Massa 1 0,0071 0,069438 0,096 0,099 0,098 0,0977 0,000882 0,0005 0,001014 0,007667 0,001013794 (0,0077 ± 0,0010) m

Massa 2 0,0171 0,167238 0,107 0,108 0,107 0,1073 0,000333 0,0005 0,000601 0,017333 0,000600925 (0,0173 ± 0,0006) m

Massa 3 0,0271 0,265038 0,109 0,1085 0,108 0,1085 0,000289 0,0005 0,000577 0,018500 0,00057735 (0,0185 ± 0,0006) m

Massa 4 0,0371 0,362838 0,109 0,109 0,109 0,1090 0,000000 0,0005 0,000500 0,019000 0,0005 (0,019 ± 0,0005) m

Massa 5 0,0571 0,558438 0,15 0,151 0,150 0,1503 0,000333 0,0005 0,000601 0,060333 0,000600925 (0,0603 ± 0,0006) m

Massa 6 0,0771 0,754038 0,171 0,171 0,171 0,1710 0,000000 0,0005 0,000500 0,081000 0,0005 (0,081 ± 0,0005) m

Massa 7 0,0971 0,949638 0,192 0,192 0,193 0,1923 0,000333 0,0005 0,000601 0,102333 0,000600925 (0,1023 ± 0,0006) m

Massa 8 0,1171 1,145238 0,211 0,212 0,211 0,2113 0,000333 0,0005 0,000601 0,121333 0,000600925 (0,1213 ± 0,0006) m

X0 = 0,180 m

Tabela 02 - Mola 02

X (m) Média Incerteza Incerteza Incerteza ΔX Incerteza ΔX

Resultado de Δx m (Kg) Peso (N)

Medida 1

Medida 2

Medida 3

X (m) A B C (m) (m)

Massa 0 0,000 0,000 0,180 0,180 0,180 0,180 0,00000000 0,0005 0,0005 0,0000 0,0005 (0 ± 0,0005) m

Massa 1 0,0088 0,086064 0,195 0,194 0,196 0,1950 0,00057735 0,0005 0,0007638 0,0150 0,0008 (0,0150 ± 0,0008) m

Massa 2 0,0288 0,281664 0,197 0,195 0,196 0,1960 0,00057735 0,0005 0,0007638 0,0160 0,0008 (0,0160 ± 0,0008) m

Massa 3 0,0488 0,477264 0,208 0,209 0,209 0,2087 0,00033333 0,0005 0,0006009 0,0287 0,0006 (0,0287 ± 0,0006) m

Massa 4 0,0588 0,575064 0,217 0,216 0,217 0,2167 0,00033333 0,0005 0,0006009 0,0367 0,0006 (0,0367 ± 0,0006) m

Massa 5 0,0788 0,770664 0,228 0,228 0,227 0,2277 0,00033333 0,0005 0,0006009 0,0477 0,0006 (0,0477 ± 0,0006) m

Massa 6 0,0988 0,966264 0,237 0,238 0,239 0,2380 0,00057735 0,0005 0,0007638 0,0580 0,0008 (0,0580 ± 0,0008) m

Massa 7 0,1188 1,161864 0,250 0,249 0,250 0,2497 0,00033333 0,0005 0,0006009 0,0697 0,0006 (0,0697 ± 0,0006) m

Massa 8 0,1388 1,357464 0,260 0,259 0,260 0,2597 0,00033333 0,0005 0,0006009 0,0797 0,0006 (0,0797 ± 0,0006) m

Estão listadas abaixo, as equações utilizadas para calcular a média, o

desvio padrão da medida, a incerteza do tipo A, a incerteza do tipo B e a incerteza

combinada das medidas experimentais:

MÉDIA

𝑥−

= 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

Geralmente, ao se realizar um experimento, várias medidas de um mesmo

objeto em questão são feitas para garantir um intervalo mais preciso da medição.

Por conseguinte, a média representa a melhor estimativa do valor real desejado.

DESVIO PADRÃO DA MEDIDA

𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝑥

− 2

𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

Faz-se necessário aplicar o conceito estatístico do desvio padrão da medida,

para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor médio.

�

INCERTEZA DO TIPO A

𝜎𝐴 =𝜎

𝑛

A incerteza do Tipo A utiliza conceitos estatísticos que se associa ao�

valor�médio. É estimado pelo desvio padrão da média e ainda, se torna mais exato,

quanto maior for o número de medidas envolvidas.

INCERTEZA DO TIPO B

A incerteza do tipo B, ou incerteza instrumental é determinada através da

resolução do equipamento utilizado para as medições. No caso de um equipamento

digital, a incerteza de tipo B equivale à menor medida possível do aparelho; para um

equipamento analógico, deve-se dividir o menor valor da escala por dois para obter

a incerteza em questão.

INCERTEZA COMBINADA

𝜎𝐶 = 𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵

2

A incerteza Combinada, representa o� valor total� das� incertezas

associadas� às� medidas, ou seja, relaciona tanto a incerteza do Tipo A quanto a

do Tipo B.

Para calcular a elongação das molas, referente às diversas forças peso

pelas quais foram submetidas, foi utilizada a seguinte fórmula:

𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑥0

Onde o valor 𝑥0 foi medido e fixado como constante no início do experimento. Ao se

propagar a incerteza para a elongação, obtém-se:

𝜎𝛥𝑥 = 𝜕𝛥𝑥

𝜕𝑥⋅ 𝜎𝑥

2

+ 𝜕𝛥𝑥

𝜕𝑥0⋅ 𝜎𝑥0

2

𝜎𝛥𝑥 = 1 ⋅ 𝜎𝑥 2 + 0. 𝜎𝑥0

2

𝜎𝛥𝑥 = 𝜎𝑥 2

𝜎𝛥𝑥 = 𝜎𝑥

Onde:

𝜎𝑥0= 0,0005 m

Para o cálculo da força peso, a partir da massa determinada, utilizou-se a equação:

𝑃 = 𝑚 ⋅ 𝑔

Onde:

𝑃 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑁);

𝑔 = 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚/𝑠² .

Para calcular a propagação de incertezas da Força Peso:

𝜎𝑃 = 𝜕𝑃

𝜕𝑚⋅ 𝜎𝑚

2

𝜎𝑃 = 𝑔 ⋅ 𝜎𝑚 2

𝜎𝑃 = 𝜎𝑚 ⋅ 𝑔

Assumiu-se que a aceleração seja constante e de módulo igual a 9,78 m/s².

Gráfico 01

Gráfico 02

Os gráficos apresentados acima, Gráficos 01 e 02, se comportam como uma

reta, conforme expressa a equação da Lei de Hooke. Podemos afirmar que as molas

utilizadas no experimento obedecem à Lei de Hooke, porque não sofreram

deformações permanentes. Dessa forma, fica evidente que o caráter restaurador da

força exercida pela mola, Força Elástica, se manteve, fato este que caracteriza a Lei

de Hooke.

Considerando-se o módulo da Força Elástica prevista pela Lei de Hooke:

|𝐹𝑒𝑙 | = 𝑘 ⋅ 𝛥𝑥

Podemos compará-la com a equação genérica do 1º grau que possui a seguinte

estrutura:

y = 𝑚. 𝑥 + 𝑛

Onde “n” representa um valor constante, “x” a variável e “m” o coeficiente angular.

Através da comparação de ambas as equações, podemos notar que “k” corresponde

ao valor de “m”.

O coeficiente angular de uma reta, “m”, em geral é calculado pela seguinte

maneira: Escolhem-se dois pontos distintos na reta, P1 e P2, os quais são da forma:

𝑃1 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑒𝑚 𝑥 ; 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑦

𝑃2 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑒𝑚 𝑥 ; 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑦

Em seguida, substituem-se os valores na equação abaixo e obtêm-se o resultado

realizando os devidos calculos:

y2 − y1) = m(x2 − x1

Com os dados extraídos das respectivas tabelas e utilizando o Software

SciDavis, foram calculados os respectivos coeficientes angulares de cada reta

ajustada, a seguir:

Para a Mola 01, o valor do coeficiente angular é de (8,867 ± 0,004);

Para a Mola 02, o valor do coeficiente angular é de (17,475 ± 0,006).

Então, para a Mola 01, k = (8,867 ± 0,004) N/m e para a Mola 02, k=(17,475 ± 0,006)

N/m.

A diferença entre os valores obtidos para a constante elástica “k” de cada

mola reflete a respectiva rigidez, resistência à deformação, de cada mola, ou seja,

quanto maior for o valor de k, mais difícil será deformá-la.

Duas dificuldades foram encontradas durante a realização do experimento,

manter estático o sistema analisado e fazer a leitura das medições. Por conseguinte,

as medidas obtidas provavelmente contém erros.

5. CONCLUSÕES

Diante do exposto, é evidente que as molas utilizadas no experimento obedecem à

Lei de Hooke, pois, quando distorcidas com pesos diferentes, elas assumem elongações

diferentes. Toda mola tem seu valor próprio de constante elástica, sendo esta uma

característica inerente sua, que pode ser obtida sem muita dificuldade através do

experimento realizado. Para a validade desta lei, a força exercida sobre mola não deve

assumir valores que causem elongação superior ao limite elástico, para que não ocorra uma

deformação permanente.

6. BIBLIOGRAFIA

Deizilene e Francisco Felipe, Lei de Hooke (Força Elástica), disponível em:

http://www.fisicadescomplicada.com.br/2010/08/lei-de-hooke-forca-elastica.html,

acesso em 27/03/2012.

Flávio Iassuo Takakura, Aula 06 - Lei de Hooke, Força Elástica, disponível em:

http://www.fisica.ufjf.br/~takakura/lab-fis1/aula6.pdf, acesso em 27/03/2012.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl, Fundamentos de Física 1 -

Mecânica, 8ª Edição, Rio de Janeiro: Editora LTC, 2008.

YOUNG H. D.,FREEDMAN R. A., SEARS F. W., ZEMANSKY M. W., Física,

vol. 1, ed. São Paulo, 2005.