UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZDEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

ENGENHARIA CIVIL

LEI DE HOOKE

VICTOR MAGALHÃES SILVA (201210108)

ILHÉUS – BAHIA2012

2

VICTOR MAGALHÃES SILVA (201210108)

LEI DE HOOKE

Relatório apresentado como parte dos critérios de avaliação da disciplina CET788 – FÍSICA EXPERIMENTAL I. Professor: José Rafael León.

ILHÉUS – BAHIA2012

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...................................................................................................4

2 OBJETIVOS......................................................................................................6

3 MATERIAIS E MÉTODOS.................................................................................6

3.1 Materiais................................................................................................................................6

3.2 Métodos.................................................................................................................................6

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO..................................................................................................8

5 CONCLUSÃO..............................................................................................................................13

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................14

4

1 INTRODUÇÃO

Em diversos problemas, percebe-se a necessidade de ajustar uma equação

teórica aos resultados de um experimento. Para isso, utiliza-se o ajuste linear, que é

uma forma de prever os valores de uma variável dependente de outra, que por sua vez

não depende da primeira. Então, a partir da equação de ajuste:

y = ax + b Eq. 1

tem-se que x é a variável independente e y a variável dependente (nesse caso, de x).

Para calcular o ajuste, é necessário, primeiro, encontrar os valores dos

coeficientes angular (a) e linear (b) da Eq. 1, onde a é a tangente do ângulo formado

entre a reta e o eixo das ordenadas e b indica onde a reta corta o eixo das abscissas

no gráfico. Por serem grandezas (calculadas ou aferidas), esses coeficientes possuem

incertezas associadas a elas (σ a e σ b). Esses valores podem ser calculados através das

seguintes equações:

a=N∑ x i y i−∑ x i∑ y i

N∑ x i2−(∑ x i )

2 Eq. 2

b=∑ xi2∑ y i−∑ x i∑ x i y i

N∑ x i2−(∑ x i )

2 Eq. 3

D (a ,b )=∑ [ y i−b−a x i ]2 Eq. 4

σ a=DN−2

1

√N∑ xi2−(∑ x i )

2 Eq. 5

σ b=DN−2 √ ∑ x i

2

N∑ xi2−(∑ x i )

2 Eq. 6

5

Graficamente, após os coeficientes e seus respectivos erros terem sido devidamente representados, a reta de ajuste linear deverá passar entre a maior quantidade de pontos possível.

Um exemplo de necessidade do ajuste linear é a determinação dos valores das variáveis relacionadas à força elástica exercida sobre uma mola.Não são conhecidos corpos perfeitamente rígidos, uma vez que todos os corpos experimentados até hoje sofreram deformações relativamente consideráveis. Ao estudar as deformações de molas e as forças aplicadas, Robert Hooke (1635-1703) verificou que a deformação da mola aumenta proporcionalmente à força. Daí, estabeleceu-se a seguinte lei (chamada Lei de Hooke):

Fel = k.Δx Eq. 7

onde Fel é a força elástica, k é a constante elástica da mola e x a deformação dela.

Relacionando a Eq. 7 com a Eq. 1, pode-se dizer, teoricamente, que Fel = y, k = a, Δx = x e b = 0.

Além dessas equações citadas, usaremos também equações já vistas em relatórios anteriores:

Cálculo da Média:

y= 1N.∑i=1

N

y i Eq .8

Como sabemos da existência das incertezas associadas, para cada medida

obtida, é preciso conhecer o quanto ela se afasta da média calculada na eq.(8). Para

isso, consideramos o cálculo do Desvio Padrão, através da eq. (9), a seguir:

σ=√ 1N−1

.∑i=1

N

( y1− y)2 Eq .9

Em seguida, faz-se necessário calcular o Desvio Padrão do Valor Médio, através

da eq. (10):

σi= σ

√NEq .10

Se estabelece ainda a Incerteza Padrão, isto é, a Incerteza da Média, com o

cálculo da eq. (11):

(σ ¿¿ p)2=(σ ¿¿i)2+(σ ¿¿d)2 ¿¿¿Eq. 11

Por fim, para calcular a Propagação da Incerteza das medidas obtidas

indiretamente, é necessário utilizar a fórmula:

σ z2=( ∂ z∂ x .σx )

2

+( ∂ z∂ y .σ y)2

+…Eq .12

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2 OBJETIVOS

Calcular a Propagação da Incerteza para os coeficientes linear e angular.

Aprender a ajustar os pontos numa reta, construindo um gráfico através

dos coeficientes citados.

Encontrar a equação linear da forma y = ax + b.

3 MATERIAIS E MÉTODOS

3.1 Materiais

Objetos de Metal;

Suporte Universal;

Haste Vertical Graduada;

Fita Métrica;

Mola;

Balança digital.

3.2 Métodos

Com a balança, aferiu-se a massa dos pesos, através de combinações entre eles. Aferimos a massa de um peso grande, um peso médio, em seguida, de outro peso grande (cuja massa foi igual a massa do primeiro), um pequeno com um médio, de dois grandes, de um pequeno com um grande e de todos os quatro pesos juntos. Em seguida, com a régua (haste vertical, vide figura 1), mediu-se o comprimento da mola em equilíbrio, esta presa ao suporte, e, após esse procedimento, foi colocada a primeira combinação de peso pendurado na mola para medir o novo comprimento da mola. Esse procedimento foi repetido cinco vezes para cada combinação aferida na balança, visto que o grupo de alunos possuía cinco membros e cada aluno deveria realizar a medida.

7

A régua (Figura 1) possui uma incerteza instrumental (desvio sistemático),

representada por σ r, é obtida através da divisão da menor medida realizada pelo

instrumento utilizado, neste caso, 1 mm (ou 1.10−3m), por 2:

σ r=1.10−3m2

⇒ 0,5. 10−3m

Figura 1 – Modelo de haste vertical utilizada em laboratório.

Já a balança apresenta incerteza instrumental, representada por σ r, é obtida

através da divisão da menor medida realizada pelo instrumento utilizado, neste caso,

0,1 g (ou 0,1.10−3 kg), por 2:

σ r=0,1. 10−3 kg

2⇒0,05. 10−3g.

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO

8

Ao medir o comprimento inicial da mola (sem as massas), na haste vertical,

encontramos 269mm, ou 0,269m (posição de equilíbrio da mola). Relacionando a sua

incerteza, pode-se expressar (0,269±0,0005)m. Os comprimentos aferidos (com as

massas dependuradas) e a incerteza instrumental estão expressos na Tabela 1 abaixo,

onde

x i é a variação do deslocamento da mola com os i objetos, sendo

i=1 ,2 ,…,7. Cada medição foi repetida cinco vezes.

Tabela 1 – Medidas de Comprimento e Incerteza Instrumental

x i (x f ±0,0005)m x i (x f ±0,0005)m

x1 0,281 x5 0,298

x1 0,281 x5 0,298

x1 0,281x5 0,298

x1 0,280x5 0,298

x1 0,281 x5 0,298

x2 0,271 x6 0,313

x2 0,272 x6 0,313

x2 0,272 x6 0,313

x2 0,271 x6 0,313

x2 0,271 x6 0,313

x3 0,281 x7 0,296

x3 0,281 x7 0,296

x3 0,281 x7 0,295

x3 0,280 x7 0,296

x3 0,281 x7 0,295

x4 0,278

9

x4 0,278

x4 0,279

x4 0,278

x4 0,278

Para determinar as médias e suas incertezas, foram aplicadas as equações de acordo

com as medidas obtidas. Assim, para a média do comprimento e a sua incerteza, bem

como a média da massa e sua incerteza, foi aplicada a equação (8), seguida das

equações (9), (10), (11) e (12). Abaixo segue a tabela com as médias:

Tabela 2 – Medidas de Comprimento Médios e Peso (g = 9,8 m/s²)

(x f )m (∆ x )m (m ) kg (P ) N

0,2808 0,0118 0,0238 0,2332

0,2714 0,0024 0,0104 0,1019

0,2808 0,0118 0,0238 0,2332

0,2782 0,0092 0,0203 0,1989

0,2980 0,0290 0,0476 0,4665

0,3130 0,0440 0,0679 0,6654

0,2956 0,0266 0,0441 0,4322

Para construir o gráfico Fel x ∆x, são necessários valores de Fel já obtidos e encontrar os valores médios do ∆x dos 5 alunos para cada peso. Esses valores estão citados na tabela 2, apresentada anteriormente.

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Gráfico 1 – Força Elástica x Deformação

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

No gráfico, o eixo y corresponde a Força Elástica, enquanto que o eixo x corresponde a deformação da mola. O gráfico apresentou apenas 6 pontos, pois aconteceu de a massa de 2 objetos serem iguais, consequentemente o peso deles também foi igual. Podemos perceber também que os pontos seguem uma certa linearidade, ou seja, eles tendem a uma reta. Para encontrar essa reta, foi necessário o uso do método dos mínimos quadrados, cuja equação foi apresentada ainda na introdução.

Utilizando o método dos mínimos quadrados expresso nas equações (2) e (3), foram encontrados os valores dos coeficientes a e b. Esse método é de extrema importância, pois nos permite calcular os valores dos coeficientes angulares e lineares.

a=N∑ x i y i−∑ x i∑ y i

N∑ x i2−(∑ x i )

2

a=7 .0,061882−0,1348 .2,331427 .0,003853−0,1348 ²

a=13,511

b=∑ xi2∑ y i−∑ x i∑ x i y i

N∑ x i2−(∑ x i )

2

11

b=0,003853 .2,33142−0,1348 .0,0618827 .0,003853−0,1348 ²

b=0,073

As suas incertezas foram determinadas através das equações (4), (5) e (6).

D (a ,b )=∑ [ y i−b−a x i ]2

D (a ,b )=2,322x 10−5

σ a=DN−2

.1

√N∑ x i2−(∑ x i)

2

σ a=2,322x 10−5

7−2.

1√7 .0,003853−0,1348 ²

σ a=4,644 x10−6 .10,660

σ a=0 ,00005

σ b=DN−2 √ ∑ x i

2

N∑ xi2−(∑ x i )

2

σ b=4,644 x10−6√ 0,003853

7.0,003853−0,13482

σ b=4,644 x10−6 .0,662

σ b=0,000003

Fazendo a substituição dos valores corretamente, encontraremos:

12

(a±σ a )N /m (b±σ b )m

13,511 ±0,00005 0,073± 0,000003

Desta forma, podemos finalmente explicitar a equação da reta, ou seja, a

equação do ajuste linear:

y=−13,511 . x−0,073

Obs.: o coeficiente angular (a) é negativo pois a força elástica está no sentido oposto ao peso .

Gráfico 2 – Força Elástica x Deformação

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

O valor do coeficiente angular a=−13,511, também pode ser interpretado como o valor da constante elástica da mola, isto é, o valor que o peso P varia, proporcionalmente em função do deslocamento ∆ x. Assim, pode-se perceber que a Lei de Hooke comporta-se como uma equação de reta, por isso, pode-se considerar, graficamente, a Fel, que, nesse experimento, é o peso, como uma reta. Nesse caso, as variáveis a e b da equação da reta podem ser substituídas pelas variáveis k e x da Lei de Hooke e, com essa substituição, as Eq. 2, 3, 5 e 6 também se aplicam a k e x.

Portanto, pode-se considerar o valor encontrado de a como sendo a constante elástica k da mola.

Com os dados obtidos, pode-se construir um gráfico, sendo seus pontos pares ordenados de deformação da mola e peso (∆x;P). Utilizando o método de ajuste linear através dos mínimos quadrados, pode-se traçar uma reta que passa pela maior parte dos pontos e o mais próximo da origem. Essa reta será a relação P x ∆X, que caracteriza a constante de deformação da mola (dada por N/m).

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Vale ressaltar ainda que, o valor encontrado de b = -0,073, na prática, seria igual

a zero, pois quando a mola está vazia, ou seja, sem nenhum objeto de metal

exercendo a força peso sobre ela, o deslocamento inicial é zero. Assim, podemos

pensar também que quando o deslocamento é igual a zero, o peso também será igual

a zero. Essa discrepância nos valores serve para mostrar a importância do uso do

método dos mínimos quadrados, visto que eles servem pra calcular uma tendência a

um comportamento de valores. Logo a equação encontrada mostrará numa reta o

comportamento dos valores, para que através de uma equação linear esse gráfico seja

demonstrado matematicamente.

5 CONCLUSÃO

A Lei de Hooke estuda o exercício de uma força elástica sobre uma mola,

durante o deslocamento da mesma. Na posição de equilíbrio, o peso de um corpo

dependurado verticalmente em uma mola equivale à força elástica da mola. Dessa

forma, percebe-se a importância desta lei, visto que ela explica o comportamento da

mola em relação à força que é exercida sobre ela.

Vale lembrar ainda que o método dos mínimos quadrados é fundamental, pois o

mesmo possibilitou encontrar uma equação que explicasse a tendência da variação do

deslocamento da mola em função do peso. Ao representar graficamente, os valores

irão fornecer uma reta que representa o ajuste linear.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

14

PIACENTINI, João J. [et. al].  Introdução ao laboratório de física. 3.ed. Florianópolis: Ed. UFSC, 2008. 124p.

YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física I: mecânica. 12.ed. São Paulo: Pearson, 2008. 401p.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. (org.); BIASI, R. S. (tradução e revisão

técnica). Fundamentos da física, volume 1: mecânica. 8ª ed. LTC – Livros Técnicos e

Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro: 2008