RESISTNCIA DOS MATERIAIS X
ETEHL - RESISTNCIA DOS MATERIAIS: TCNICO DE ESTRUTURAS
NAVAIS
CAPTULO 2
LEI DE HOOKE - ELASTICIDADE
A LEI DE HOOKE
O cientista ingls Robert Hooke, em 1660, foi quem estabeleceu a
Lei Fsica que recebe o seu nome, relacionando a Tenso atuante num
material com a Deformao sofrida pelo mesmo.
Para pequenas deformaes, Hooke estabeleceu que existe
proporcionalidade linear entre a tenso atuante e a deformao
ocasionada por ela, criando um fator de proporcionalidade
denominado Mdulo de Elasticidade Longitudinal (E) do material, ou
Mdulo de Young.
Sendo o material bem elstico, a proporcionalidade estabelecida
pela Lei de Hoke se estende por grandes valores de deformao, o que
somente ocorre nos caso das borrachas, molas e afins.
Para os metais em geral, essa proporcionalidade se d apenas para
deformaes relativamente pequenas. Em alguns deles, nem se pode
dizer que haja proporcionalidade, caso em que os pesquisadores
arbitram uma constante de proporcionalidade, como se ver
adiante.
O grfico ao lado resultante de um ensaio de trao realizado num
ao de baixo carbono tpico.
No eixo vertical, so lanados os valores da tenso normal
aplicados no corpo de prova ( = F / A) e, no horizontal, os valores
das deformaes especficas ( = l / lo).
Alguns pontos de interesse devem ser destacados no grfico Tenso
x Deformao, aqui repetido para facilitar a consulta pelo aluno:
1. O trecho do grfico situado entre a origem e a regio
assinalada com a letra A uma reta (ou se aproxima muito de uma
reta) e onde se aplica a Lei de Hooke.
Portanto, nesse trecho que vale a relao .
(equao da reta: y = ax + c)
2. Os aos, em geral, apresentam, na regio marcada por A, um
comportamento irregular em sua curva tenso x deformao. Esta regio
denominada escoamento.
A tenso associada a esse ponto denominada tenso de escoamento.
Esta a tenso informada pelas normas e que utilizamos para fazer os
clculos de resistncia mecnica da pea, pois no interessa ao
projetista que haja deformao permanente nas peas calculadas.
Considera-se que no haver deformao permanente na pea enquanto a
tenso atuante estiver abaixo da tenso de escoamento.
A sua representao feita por e ou por y (do ingls yield).
3. Limite de Proporcionalidade: um pouco antes de iniciar o
escoamento, o ponto P assinala o fim da proporcionalidade entre a
tenso e a deformao. Teoricamente, a partir deste ponto que cessa a
linearidade entre a tenso e a respectiva deformao.
4. O ponto final do grfico, marcado com um X, assinala o valor
da tenso com o material rompeu-se no ensaio de trao. A tenso
associada ao ponto X denominada tenso de ruptura. representada por
r.
As normas tambm informam esse valor. Ver o extrato abaixo da
norma ASTM A-131 correspondente ao Ao Naval.
5. Elongao: trata-se do valor total da deformao sofrida pelo
corpo de prova durante o ensaio de trao, calculada em percentagem
do valor inicial do corpo de prova. As normas tambm informam esse
valor.
A LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS FRGEIS
Materiais frgeis ou muito duros, como o ferro fundido, no
apresentam a regio de escoamento em seu grfico tenso x deformao. A
curva obtida nos ensaios desses materiais tem a aparncia mostrada
na figura ao lado.
Para contornar o problema da falta de escoamento, foi
convencionado adotar-se um ponto de escoamento obtido da seguinte
forma:
1. Traa-se uma tangente curva tenso x deformao pela origem
(A);
2. Marca-se, sobre o eixo , a deformao correspondente a 0,2% da
deformao total (B);
3. Pelo ponto B, traa-se uma paralela a A, at tocar a curva,
determinando o ponto C;
4. O ponto C o limite de escoamento do material.
A figura da prxima pgina nos mostra o esquema de uma mquina para
a execuo de ensaios de trao ou compresso. O vdeo que veremos em
sala, em adio, nos dar uma melhor compreenso do funcionamento deste
equipamento de ensaio.
Esquema Tpico de um Equipamento de Ensaio de Trao/Compresso
ELASTICIDADE
Vimos acima que a relao entre as tenses e deformaes nos leva a
concluir que, at o limite de proporcionalidade P, a tenso varia
linearmente com a deformao especfica , o que nos permitiu
escrever:
sendo a constante de proporcionalidade E denominada mdulo de
elasticidade longitudinal (ou mdulo de Young) do material. Este
mdulo tem a mesma dimenso de tenso e, para o ao, E = 210 x 109 N/m2
= 210.000 MPa).
Vamos, agora, relacionar a deformao sofrida por um corpo fora
que originou essa deformao, supondo que o corpo seja uma barra com
comprimento inicial l0.
Substituindo, na equao acima, por N/A e por l/l0, temos:
Observa-se tambm, experimentalmente, que as deformaes
transversais (so proporcionais s longitudinais (), ou seja:
relao que define outra propriedade elstica do material, o
coeficiente de Poisson o sinal negativo caracteriza o fato de que
as deformaes laterais tm sentidos opostos as deformaes
longitudinais). O coeficiente de Poisson uma grandeza adimensional
(que para a maioria dos materiais varia entre 0,25 e 0,33, tendo o
valor 0,30 para o ao).
Observaes experimentais atravs de ensaios de toro, permitem
constatar que as tenses tangenciais () so proporcionais s deformaes
por distoro (), at certos limites, ou seja:
sendo G o mdulo de elasticidade transversal (ou mdulo de
rigidez) que, para o caso dos corpos fluidos, tem valor nulo.
A compatibilidade geomtrica dos deslocamentos lineares e
distores de um elemento permitem estabelecer uma relao entre as
propriedades elsticas acima definidas, a saber:
Tenses Admissveis. CoeficienteS de Segurana.
As tenses atuantes nos elementos de uma estrutura ou mquina
devem ser mantidas suficientemente afastadas dos valores limites do
material, a fim de se obter certa margem de segurana para compensar
as simplificaes feitas nos esquemas de clculo, na incerteza nos
valores dos carregamentos admi-tidos e nas propriedades mecnicas
dos materiais utilizados, e ainda, visando a salvaguarda contra
danos materiais e contra pessoas decorrentes de um acidente.
As tenses que sero consideradas como limites so especficas para
cada caso. Por exemplo: no ao para molas, a tenso limite a de
proporcionalidade; ao estrutural, a tenso limite a de escoamento;
no ferro fundido, a tenso limite a de ruptura.
Por exemplo, a tenso normal mxima de trabalho que se admite
atuar num elemento carregado chamada tenso admissvel, e dada
por:
onde a tenso normal e n o coeficiente de segurana, parmetro
adimensional que introduzido no projeto e cujo valor baseado na
experincia do projetista e em normas tcnicas reguladoras.
O valor do coeficiente de segurana n pode ser obtido pela
multiplicao de trs fatores cumulativos, atravs da expresso:
n = k1 . k2 . k3 O fator k1 est relacionado s propriedades dos
materiais utilizados.
O fator k2 funo da natureza e do controle do carregamento
admitido.
O fator k3 depende da gravidade dos danos pessoais e materiais
que possam surgir de um possvel acidente.
As tabelas abaixo apresentam os valores para os fatores k que
podem ser utilizados no projeto de estruturas e mquinas.
Na construo de elementos de mquinas com materiais metlicos, os
coeficientes de segurana utilizados variam, em geral, entre 1,5 e
2,0. Em estruturas de madeira ou de concreto, normalmente, so
adotados coeficientes de segurana entre 2 e 4, enquanto que, para
construo em pedra, esses coeficientes podem atingir valores entre 4
e 6. Neste curso, os valores de n sero sempre fornecidos.
As normas tcnicas costumam estabelecer os critrios para a
escolha de tais coeficientes.
EXERCCIOS
1- Resposta: l aprox 0,015 cm
2 - Resposta: aprox. 750 N
3 - Resposta: aprox. 1.630 N
4 -
Resposta: aprox. 50 MPa
5 -
Resposta: 4 mm
6 -
Resposta: Carga de Ruptura: 98.000 N
7 -
8 -
Bibliografia
1. Resistncia dos Materiais Apostila, SENAI. Rio de Janeiro,
2008.
2. Resistncia dos Materiais Apostila, Carlos F. Pamplona. Rio de
Janeiro, 2006.
3. Resistncia dos Materiais William A. Nash, McGraw-Hill. Rio de
Janeiro, 1982.
r
e
C
A
B
0
8
1 cilindro e mbolo
2 bomba hidrulica (medidor de vazo)
3 mesa (chassi) mvel
4 corpo de prova para trao
5 corpo de prova para compresso
6 mesa (chassi) fixa
7 manmetro (medidor de presso)
8 fluido hidrulico
6
5
4
3
2
7
1
x
x
= E x
l
E
A x
=
________
N x
l
E
________
A
=
l0
N
________
N
N
l = l0 + l
l0
P
l
Ex
l0
t
LQ
0,5m
2,5m
3m
Considerar a viga com 32 kg/m.
G
G = E / 2(1 + )
Usar Ferro Fundido Cinzento e Coeficiente de Segurana igual a
3,5
Resposta: 2,4 mm
(laminado a frio)
1040
adm = lim / n
Danos Materiais/Pessoais
K3PGGMGPG1,51,82,0G2,02,53,0MG2,53,04,0
Tipos de Cargas
K2BRMEsttica1,01,52,0Cclica1,52,02,5Dinmica
(choque)2,02,53,0
Propriedades dos materiais
K1BRMB1,02,03,0R1,52,53,5M2,03,04,0
Legenda:
Materiais - B: Bom; R: Regular; M: Mau;
Danos Materiias e Pessoais PG: Pouco Grave; G: Grave; MG: Muito
Grave.
0
Os valores realmente medidos so os da fora aplicada (F) e os das
deformaes sofridas pelo corpo de prova (l). A transformao para e se
d em seguida, automati-camente ou por ao do pesquisador.
A
Elongaol l) x 100
= E x
r
e
X
Curva Tenso x Deformao
PAGE 31PAULO S. C. AGUIAR 21 9946-6660
[email protected]
