1 Cap 06 Res Mat - Flexão 96

ETEHL - RESISTNCIA DOS MATERIAIS: TCNICO DE ESTRUTURAS NAVAIS

PAULO S. C. AGUIAR 21 9946-6660 [email protected]

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CAPTULO 6 FLEXO

Introduo As peas longas, quando submetidas flexo, apresentam tenses nor-

mais elevadas. Por exemplo, para se quebrar um lpis com as mos, nunca ten-tamos tracion-lo, comprimi-lo, torc-lo ou cizalh-lo: um momento fletor de pe-queno valor suficiente para produzir tenses normais de ruptura no mate-rial. Da a importncia do estudo das flexes.

Ademais, a flexo ocasionada por foras concentradas ou distribudas e, por causa disso, a flexo estudada em conjunto com as suas foras geradoras (que incluem, obviamente, as tenses cizalhantes).

Conceito de Viga Denomina-se viga estrutura forma-

da por uma barra ou perfil laminado ou de concreto armado, submetida a esforos si-tuados no plano da estrutura. Pode ser in-clinada ou horizontal.

Quando a viga vertical, recebe o nome de coluna.

Viga em Balano ou Engastada

uma viga que se encontra livre em uma das extremidades e firmemente presa na outra.

Viga Simples

uma viga articulada nas suas extremi-dades, uma dessas extremidades sendo fixa e, a outra, mvel.

Vigas Simples em Balano So aquelas que se prolongam

alm de seus apoios, em uma ou em ambas as extremidades.



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Tipos de Carregamentos

Os carregamentos sobre uma viga ou elemento estrutural podem ser tem-porrios ou permanentes e, quanto aplicao, estticas ou dinmicas. No que diz respeito forma, podem ser pontuais ou distribudas.

Nos clculos, substitumos os esforos distribudos por uma carga concen-trada atuante no centro de gravidade da figura.

Esforos Resistentes

Como sabemos, a todo tipo de esfor-o atuante existe um esforo resis-tente, caso a estrutura em estudo esteja em equilbrio esttico. Para calcularmos os esforos resistentes numa determinada se-o, ns vamos utilizar o mtodo de isolar a parte esquerda da estrutura. Vejamos um exemplo, calculando os esforos resisten-tes na seo A mostrada ao lado. Soluo A primeira coisa a fazer calcular a reao nos apoios, RE e RD. Para isso, substitumos a carga distribuda por sua resultante aplicada no CG da distribuio.

Da resulta RE = 848 N e RD = 902 N Aps o clculo de RE, podemos montar o es-quema com os esforos atuantes esquerda da seo A, e calcularmos:

-400+848-200+RA=0 => QA=248 N

+400x3-848x1,5+200x0,25+MA=0

=> MA=+22 N.m

Distribuio de carga: q=400 N/m

350 N 400 N Distribuio de

carga: q=800.x/l N/m 1.000 N


350 N

400 N

1,0m 1,5m 0,8m A 2,5m

0,5

1,25m

RE

1.000 N

350 N

400 N

1,0m 1,5m 0,8m A 2,5m

0,5

RD


400 N

1,0m 1,5m A 0,5

200 N

RA

MA

848 N



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Conveno de Sinais No estudo da flexo e esforos cortantes, utilizada a seguinte conveno

de sinais para o momento fletor e para a fora cortante:

1 o momento fletor positivo quando comprimir as fibras superiores da viga na seo em estudo;

2 A fora cortante positiva quando tender a deslocar para cima a parte esquerda da seo em estudo.

Diagramas de Esforos Cortantes Em estruturas ou mecanismos complexos, nem sempre evidente desco-

brir a seo ou sees onde ocorrem os esforos cortantes mximos, base para o clculo das dimenses das peas. Por isso, de muita importncia que o alu-no aprenda a construir esses diagramas.

O aluno deve seguir a seguinte conveno de sinais: o esforo cortante positivo representado acima da linha-base do grfico.

Exemplos

Momento Fletor Positivo Momento Fletor Negativo

RA Negativa

RA

RA Positiva

1,5 1,5 4,0 m

2,0 kN 2,0 kN

+ 2,0 kN

- 2,0 kN Q = 0

2,0 kN 2,0 kN

-

+

1,5 1,5 4,0 m

2,0 kN/m

- 4,0 kN Q = 0

4,0 kN

4,0 kN 4,0 kN



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Diagramas de Momentos Fletores

Para o traado dos digramas dos momentos fletores, necessrio adotar uma conveno de sinais: o momento fletor positivo representado abaixo da linha-base do diagrama.

Aps o clculo das reaes de apoio, fica fcil montar o diagrama.

100 N

200 N 280 N

2 2 m

380 N

3 3

200 N

-100 N

+280 N

+80 N

-200 N

3,5 m 3,5 m

4,0 kN

2,0 kN 2,0 kN

7,0 kN.m



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Tenses Normais na Flexo Pura

Vamos estudar o caso mais comum, que o de vigas que possuem sees transversais simtricas em relao ao plano do carregamento. As tenses devi-das flexo so normais ao plano da seo, sendo de compresso num lado da linha neutra e de trao no outro lado da mesma linha.

Os valores das tenses normais nos diversos pontos da seo s de-pendem da distncia y em relao linha neutra. Admitindo que a seo transversal permanea plana aps gi-rar em torno da LN em decorrncia da deformao das fibras longitudinais, conclui-se que a linha neutra uma reta e que as deformaes variam linearmente com relao a seu afas-tamento y em relao LN.

A tenso normal num determina-do ponto de uma seo calculada com a frmula abaixo:

onde:

Mf = Momento Fletor na seo;

ILN = Momento de Inrcia da seo em relao linha neutra;

y = distncia do ponto linha neutra.

2,0 kN/m

+10,0 kN.m

4,0 m 1,5 1,5 4,0 kN 4,0 kN

M LN

+

y = Mf ILN

X y



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Tenses Normais Mximas Mdulos de Resistncia Flexo (Wf).

Tal como na toro (tenso de cizalhamento), o valor mximo da tenso normal devida flexo ocorre na periferia da seo em estudo, no ponto mais afastado da linha neutra.

Na realidade, no caso mais geral, so dois valores mximos para a ten-so normal, um acima da LN e outro abaixo da LN, j que nem sempre a seo simtrica em relao linha neutra.

Como, num projeto de uma pea, normalmente s estamos interessados nas tenses mximas, podemos colo-car os valores mximos de y na frmu-la da tenso normal (ymax, abaixo e acima da LN), conforme mostrado ao lado.

A relao ILN / ymax identificada pelas letras Wf e denominada Mdulo de Resistncia Flexo.

Desse modo, podemos escrever, considerando a possibilidade de existi-rem dois mdulos de resistncia dife-rentes, a frmula ao lado.

Observando a frmula da tenso normal, verifica-se que altos valores de momentos de inrcia correspondero a valores menores de , o que leva ao emprego de vigas de seo transversal cuja rea seja distribuda de forma mais afastada em relao linha neutra.

Exemplo: Seja a viga ao lado, representada por sua seo nas posies A e B.

Calculando I(A) = 1/12xbh3

I(A) = 1/12x2x63

I(A) = 36 cm3

Calculando I(B) = 1/12xbh3

I(A) = 1/12x6x23

I(A) = 4 cm3

LN

max

max

= Mf ILN ymax

ILN ymax

Wf =

max = Mf Wfmin

2cm

6 cm

A

LN

2 cm

B

6 cm

LN



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Portanto, a posio A acarreta uma tenso 9 vezes menor do que a posio B, situao que o aluno j conhece na prtica diria.

oportuno que o aluno relembre (e utilize muitas vezes em clculos) os dois teoremas vistos no captulo relativo Toro: o Teorema dos Eixos Per-pendiculares (Momento de Inrcia Polar) e o Teorema dos Eixos Paralelos (Momento de Inrcia):

Teorema dos Eixos Perpendiculares:

JC = Ix + Iy

O Momento de Inrcia Polar de uma rea A em relao a um ponto pode ser calculado como sendo a soma dos momentos de inrcia da mesma rea em relao a dois eixos perpendiculares que se cruzam no ponto.

Teorema dos Eixos Paralelos:

Ix = Ix + A.dx2

Iy = Iy + A.dy2

O Momento de Inrcia de uma rea A em relao a um eixo qualquer, igual ao momento de inrcia dessa rea em relao a um eixo paralelo que passa pelo CG somado ao produto da rea A pela distncia d ao quadrado entre os dois ei-xos.

x

x

y

O

C

dx

A

y dy



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Exemplo Para a viga esquematizada abaixo, pede-se determinar, nas sees onde a flexo pura (Q=0), os valores das maiores tenses de trao e de compresso

Soluo Reaes de Apoio Em primeiro lugar, determinamos as reaes de apoio. Para isso, a carga uniformemente distri-buda substituda por sua resultante aplicada no CG da distribuio.

MA = 0 +

+9x1 - 30x1,5 + RBx3=0 => RB = (45-9)/3 => RB = 12 kN

Fy = 0

-9 + RA -30 +12 = 0 => RA = 27 kN

1,00 0,50 0,50 2,00 m

9,0 kN 15 kN/m

A B

200

300

20

15

y

1,00 0,50 0,50 2,00 m

9,0 kN

30,0 kN

A B

RA

RB



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Diagramas de Esforos Cortantes e Momentos Fletores Momento de Inrcia da Seo

Clculo de y

y = (15x300x150+200x20x310) / (15x300+200x20)

y = 225,3 mm

Clculo de IxG

Primeiramente, calculamos os momentos de inrcia das reas 1 e 2 em relao aos seus baricentros.

I1 = (1/12)xbh3 => I1 = (1/12)x20x23 = 13,33 cm4;

I2 = (1/12)xbh3 => I2 = (1/12)x1,5x303 = 3.375 cm4;

Em seguida, calculamos os momentos de inrcia das figuras em relao ao eixo que passa pelo CG da figura completa (Teorema dos eixos paralelos):

I1 = 13,33 + d2 x A => I1 = 13,33 + 8,472x20x2 = 2.883 cm4

I1 = 3.375 + d2 x A => I1 = 3.375 + 7,532x1,5x30 = 5.927 cm4

Finalmente, somamos os dois momentos, j que, agora, eles esto calculados em relao ao mesmo eixo.

ICG = 8.810 cm4

200

300

20

15

y

1,00 0,50 0,50 2,00 m

9 kN 15 kN/m

27 kN

12 kN

12

+

- - Q (kN)

+

- M (kN.m)

18

9 x=1,2

MA = 9

M* = 10,8 kN.m

Q =0 Q =0

200

300

20

15

y

1

2

A C B



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Agora, podemos calcular as tenses nas duas sees onde Q=0, assinaladas como A e C na figura acima (Q=0 => M = Mf Max):

Tenses normais na seo A (1 na parte superior e 2, na inferior):

Tenses na seo C

Exemplo Dimensionar as vigas para suporte de uma caixa para 4.000 litros de gua. Admitir: 1 - que as vigas sejam de madeira, (tenso normal limite 40 MPa coefi-ciente de segurana 4,0) com seo retangular sendo b = 0,7 h. Desprezar o peso prprio da viga. 2 - que as vigas sejam de perfis de ao laminado (tenso limite 200 MPa e coeficiente de segurana 2,0) com seo em I de dimenses mostradas na tabela de perfis laminados constan-te deste captulo.

Soluo (Ser feita em sala)

1 = 9.000 8.810x10-8

x9,5x10-2 => 1 = 9,7 MPa, trao

= Mf ILN

X y

2 = 9.000 8.810x10-8

X22,5x10-2 => 2 = 23,0 MPa, compresso

1 = 10.800 8.810x10-8

x9,5x10-2 => 1 = 11,4 MPa, compresso

2 = 10.800 8.810x10-8

x22,5x10-2 => 2 = 27 MPa, trao

1,00

1,00

2,00 m



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Deformaes na Flexo Pura Simtrica e Elstica O momento fletor, ao girar as sees em torno da linha neutra, provoca um

ngulo entre elas, de modo que se pode escrever, lembrando da definio de radiano (rad = s/r):

Mas = / E (Lei de Hooke) e = (M/ILN) x y, o que nos permite escrever:

O raio de curvatura ( do plano neutro pode ser calculado a partir da pr-pria definio de radiano, conforme se pode observar na figura acima:

= x / => / L = 1 / , o que nos d:

A curva formada pela ao do momento fletor denominada Linha Els-tica da viga e a sua equao costuma ser muito complicada j que se origina

= . x y

= x x E x ILN

= x L E x ILN

y

x

(x+x

x

y

E x ILN

1 =



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de uma equao diferencial de grau 2. Aqui, neste curso, vamos nos deter ape-nas no clculo das flechas para alguns carregamentos tpicos. Exemplo Uma fita de ao (E = 210 GPa), com 2 mm de espessura e 20 mm de largura, encurvada para formar um aro circular com 2,0m de dimetro, sendo suas extremidades unidas atravs de um pino cravado conforme mostra a figura ao lado. Pede-se calcular:

1 - o valor mximo das tenses normais na fita;

2 - o valor da fora de trao no pino da unio.

Obs.: h uma superposio entre as fitas da ordem de 35 mm.

Soluo A equao acima nos fornece:

1/ = / L = 1 / 1,0 = 12 M / 210 x 109 x 20 x 23 x 10-12, de onde tiramos M = 2,8 N.m

As tenses mximas (tanto de trao como de compresso) valem:

= [12 x 2,8 / 20 x 23 x 10-12] x (1,0 x 10-3 ) => = 210 MPa

O momento fletor aplicado na extremidade da fita, atravs da ao do pino e do encosto com a outra extremidade da fita, dado por:

Fpino x (2/3) 0,035 = 2,8 e, portanto: Fpino = 120 N.

(valor aproximado, admitindo que a ao de encosto entre as fitas se caracteriza por uma distri-buio linear de esforos, desde zero, na altura do pino, at o valor mximo, na extremidade).

20 D = 2,0 m

2 mm

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Equaes de Linhas Elsticas Tpicas Frmulas para Flechas Mximas

P

Pl

a

y

x

EJy = -Plx2/2 + Px3/6 f = Pl3/3EJ para x = l

P x

y

f

l

Ql

Ql2/2

y

x

EJy = -Q(l - x)4/24 Ql3x/6 + Ql4/24 f = Ql4/8EJ para x = l Q (N/m)

x

f

l

Ql/2

y

EJy = Qlx3/12 Qx4/24 Ql3x/24 f = 5Ql4/384EJ para x = 0,5l

Q (N/m)

l

x

x

Ql/2

P/2

y

EJy = Px3/12 Pl2x/16 f = Pl3/48EJ para x = 0,5l

P

l/2

x

x

P/2

l/2

Fig. 9-4

Fig. 9-6

Fig. 9-7

Fig. 9-10



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EJy = Pb/6l [x3 (l2 b2) x] , 0 < x < a EJy = Pb/6l [x3 l/b (x a)3 (l2 b2) x] a < x < l f = (Pb.1,732 / 27l) (l2 b2)1,5

para x = [1/3(l2 b2)]0,5 Pb/l

y P

a

x

x

Pa/l

b

Fig. 9-13



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Exerccios

x

y

2 Calcular a posio do CG da figura abaixo. Marcar na figura.

x = 0,75 cm y = 1,75 cm

3

0,5

5

0,5

y

1 Calcular a posio do CG da figura abaixo. Marcar na figura.

y = 4,88 cm

3 cm 3 2

2

5

3

x

4 Calcular os momentos de inrcia das reas representadas nos exerccios 1, 2 e 3 acima, em relao aos eixos horizontais que passam pelos CGs.

I1 = 646,5 cm4 I2 = 9,44 cm4 I3 = 263,9 cm4

3 Calcular a posio do CG da figura abaixo. Marcar na figura. O tringulo equiltero com lado igual a 3 cm.

x = 3,0 e y = 4,10 cm

6 cm

2

6

x

y

5 Uma viga est solicitada por um momento de 1.372 N.m, como indicado na figura ao lado. Sua seo transversal re-tangular com b= 2,5 cm e h = 5,0 cm. Determinar as tenses extremas devidas flexo e traar o diagrama de tenses ao longo da seo.

Resposta: 131,7 MPa

1.372 N.m 1.372 N.m

LN

131,7 MPa

131,7 MPa

30 cm 30

98 kN 98 kN

6 A viga mostrada na figura ao lado possui seo circu-lar com 20 cm de dimetro. Ela simplesmente apoia-da e suporta duas cargas de 98 kN como indicado.

Calcular as tenses mximas devidas flexo. Resposta: 374 MPa

P

500 cm

7 A viga mostrada na figura ao lado feita com perfil 6WF15-1/2 e suporta a carga P = 1.470 N.

Calcular as tenses mximas devidas flexo. Resposta: 46,3 MPa



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Bibliografia

1. Resistncia dos Materiais Aposti la, SENAI. Rio de Janeiro, 2008. 2. Resistncia dos Materiais Aposti la, Carlos F. Pamplona. Rio de Janeiro, 2006. 3. Resistncia dos Materiais W illiam A. Nash, McGraw-Hil l. Rio de Janeiro, 1982.

MCBBM (kN.m)12 kNQ (kN)

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1 Cap 06 Res Mat - Flexão 96