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TEC: Mecânica dos Pavimentos

Elasticidade

Profª. Daniane F. [email protected]

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁSetor de Tecnologia - Departamento de TransportesPrograma de Pós-Graduação em Engenharia de

Construção Civil

1. Introdução

UFPR - Setor de Tecnologia/Departamento de TransportesPPGECC – Tópicos Especiais em Construção: Mecânica dos Pavimentos

Elasticidade: hipóteses da Mecânica dos Meios Contínuos:

- Homogeneidade

- Isotropia

- Elasticidade

- Aplicação lenta de carga

- Pequenos deslocamentos e deformações (De: internet)

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2. Conceitos


Tensão:

Por um ponto do sólido passam infinitos vetores tensão, pois por um ponto passam infinitos planos. Portanto, a tensão dependerá do ponto e do plano da superfície (o vetor tensão nem sempre coincide com a normal).

Tensor de tensões:

3D:

simetria

xσ

zσ

yσ

yxτxyτ

yzτxzτ

zyτzxτ

x

z

y


Tensão:

Ordem de um tensor:

Ordem 0 = escalar

1ª ordem = um índice variando

2ª ordem = dois índices variando

3ª ordem = três índices variando

4ª ordem = quatro índices variando

Ex.:

2. Conceitos

Tensor de 2ª ordem:

�� = ��11 �12 �13�21 �22 �23�31 �32 �33

� =

��

��11�22�33�23�13�12�

��

��

Tensor de 4ª ordem:

��

Ex.:

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Rigidez, Resistência e outros:

1) O mais rígido:

2) O mais resistente:

3) O mais plástico/dúctil:

4) O mais frágil:

5) O mais flexível:

2. Conceitos

ε

σ

A

D

C

B


Lei constitutiva elástica para materiais isótropos: Lei de Hooke

2. Conceitos

Onde:

Observe que não há acoplamento entre:

• Tensões normais e def. tangenciais nos planos principais do material• Tensões tangenciais e def. normais• Tensões tangenciais de um plano e def. tangenciais de outro plano

(tensor de rigidez)

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Lei de Hooke inversa (p/ isótropos):

2. Conceitos

Onde:

1 D:

3 D:

(tensor de flexibilidade)

3. Condições a cumprir:


xσ

zσ

yσ

yxτxyτ

yzτxzτ

zyτzxτ

x

z

y

• Equilíbrio

• Compatibilidade

• Constitutiva

0xyx xzxb

x y zτσ τ∂∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

0yx y yzyb

x y zτ σ τ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

0zyzx zzb

x y zττ σ∂∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

, 0ij j ibσ + =

ε ∂=∂x

ux

ε ∂=∂y

vy ε ∂

=∂zwz

γ ∂ ∂= +∂ ∂xzu wz x

γ ∂ ∂= +∂ ∂xy

u vy x

γ ∂ ∂= +∂ ∂yz

v wz y

.Cε σ=

σ

ε

E

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3. Condições a cumprir:


Lei de Compatibilidade (de Saint-Venant)

Surge da permuta de índices na relação ε-u. É composta por 6 equações que, se atendidas, garante que o campo de deformações compatível, e que o campo de deslocamentos seja contínuo e de solução única:

4. Outras “ferramentas” matemáticas:


4.1. Lema de CauchyO lema de Cauchy estabelece que, sendo conhecidos três vetores tensão associados a três planos perpendiculares (de normal ), pode-se determinar o vetor tensão associado a qualquer outro plano e orientação. Suponha um tetraedro infinitesimal, onde 3 de suas faces estão orientadas de forma a coincidir com os eixos cartesianos:

Fazendo o equilibrio, temos:

Em notação matricial:

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4.1. Lema de Cauchy

Ou ainda:

Onde e são as tensões (intrínsecas) normal e tangencial do vetor tensão .

Existe algum estado tensional onde esteja na mesma direção de (e consequentemente )???



4.2. Invariantes

Casos particulares:

Ausência de tensões tangenciais e as normais de mesmo valor. É chamado de estado tensional esférico ou hidrostático.

Estado cilíndrico.

; Estado plano de tensão.

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4.3. Princípio de Saint-Venant (1855):As diferenças de deformações produzidas em um corpo pela aplicação de um sistema de cargas estaticamente equivalentes, são desprezíveis em distâncias superiores à da dimensão da zona afetada pelo estado da carga. De acordo com este teorema, a partir de uma distância “d” a resposta medida em ambos problemas seria análoga. Também pode ser aplicado em sólidos com comportamento elastoplástico.

Ex. de aplicações:Boussinesq (demonstrou matematicamente para sólido semi-infinito, mas não generalizou), ensaio de tração de barras (1D), carga de pneu (depende do que se deseja saber), modelos de escavação de frente de túnel, etc.



4.4. Planos octaédricosSão aqueles que estão igualmente inclinados com relação ao sistema principal. A tensão normal ( , intrínseca) a esses planos é chamada de tensão octaédrica (“mean stress”):

Assim, o tensor de tensões/deformações admite a seguinte decomposição:

Parte esférica

Parte desviadora

I

II

III

Onde: resp. pela mudança de volume

resp. pela mudança de forma

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4.5. Transformação de coordenadas

Em alguns casos a rotação do sistema de referência pode ser bastante útil. Para isso, se utiliza uma matriz de rotação (ou transformação ), a fim de transformar as componentes de tensões ou deformações de um sistema inicial a um novo (‘). Ex. Caso geral: Onde:

é a matriz de transformação.

Ex. Caso 2D:



4.6. Princípio de Superposição de efeitos

Válido somente em regimes de comportamento elástico.

+ =

Ex. aplicação: Ensaio triaxial (solos, misturas asfálticas)

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4.7. Outras

Teorema de reciprocidade de Betti, uso das funções de Airy, PTV, princípios energéticos, etc.

5. Condições de contorno:


• Equilíbrio

• Compatibilidade

• Constitutiva

3 eq.

6 eq.

6 eq.

15 eq.+ 15 incógnitas = Sistema possível,

indeterminado ∞ soluções !!!

Assim, a definição do problema elástico aparece com a imposição das CC (em deslocamento, força ou condições mistas).

Simulação MEF de barragem (programa SEEP)

Aterro em camadas (E. Aristizábal et al. 2012, Rev. ing. univ. Medellín vol.11 no.20 Medellín Jan./June 2012 - Scielo)

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5.1. Em Forças de Superfície:

1

3

2

Ex.: ação da água sobre uma barragem

Pressão da água: p = f(h)

Calcular as componentes de tensões no ponto A.

NA

A

h



5.2. Em Deslocamentos:

1

3

2

NA

A

5.3. Mistas:Casos onde se pode aplicar força em uma direção e bloquear (ou liberar) o deslocamento em outra. Ex. (2D):

0

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5.4. Apoio de Molas:

O deslocamento imposto não necessariamente deve ser = 0. Em alguns casos, poderá obedecer a uma relação de flexibilidade com as forças de superfície (vetor tensão).

Ex. aplicação: Pavimentos de concreto sobre base elástica, fundações, etc.

p

k = coef. de mola, rigidez ou recalque

k

Onde:



5.5. Cargas pontuais (F ou M):

Matematicamente, a aplicação pontual de cargas não existe (é preciso uma área para aplicar, ainda que pequena) e sua ocorrência provocará uma tensão elevadíssima.

Água cortando metal (izaro.com)

Nos problemas reais, sob o “ponto” de aplicação, aparecerá uma plastificação local ou microfissuras. As tensões ao redor desta zona são redistribuídas, buscando a situação de equilíbrio para o sistema.

A solução, no entanto, é válida para o resto do domínio do problema.

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5.6. Simetria:Quando a geometria e as CC do problema em estudo apresentar simetria, pode-se valer deste recurso a fim de reduzir o domínio e variáveis em estudo.

1

2=

Simulação 3D de escavação de tunel (gzconsultants.com)



5.7. Cargas devidas ao tráfego:

Em pavimentos flexíveis, geralmente as solicitações são traduzidas em termos do eixo padrão de 8,2 tf.

A área de contato dependerá:

pressão de contato do pneu

carga que o mesmo recebe

(≈ pressão do pneu)

(pedreirao.com.br)

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Área de contato aproximada, p/ pneu:

“Tire print” (H. Xiao-di, L. Walubita, 2011. J.

Cent. South Univ. Technol. (2011) 18:

250−258)Onde:Ac usada no PCA 1966



Ac usada no PCA 1984 (área equivalente, método baseado no

MEF):

(Huang)

Ac usada no PCA 1966:

Ainda:TCE (p/ pavimentos flexíveis) geralmente é assumida área de contato circular (com área equivalente a rodas simples ou dupla, conforme o caso) e pode-se utilizar a axissimetria!!!

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6. Bibliografia


- S. Timoshenko (1970). Theory of Elasticity.

- F. París (1998). Teoría de la Elasticidad. Ed. SAND – GERM.

- Y. H. Huang (2004). Pavement analysis and design. Ed. PEARSON Prentice Hall.

- M. Sadd (2009). Elasticity Theory, applications, and numerics. Ed. Elsevier.

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