t5 Trabalho

7/26/2019 t5 Trabalho

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Aula 5

TrabalhoTeorema da Energia CinticaConservao da Energia MecnicaDiagramas de Energia


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2

Para alm das Leis de Newton

R

mg

N

mg

N

mg

N

A fora normal tem diferentesdireces e valores para asdiferentes partes do percurso!!

A aplicao das leis de Newton pode ser complicado


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3

= 2 2

R,1 1

2 2x ifF x mv mv

Manipulando a 2 Lei.

TRABALHO (W )realizado pela Fao

longo do

deslocamento x

Considere o movimento de uma bola de massa mao longo de um fiolinear empurrada por uma fora resultante constante Fx paralela

ao fio, ao longo do deslocamento x:

FR,x

mx

x xF ma=A fora produz

acelerao:

= 2 22

x if

a x v v

vi vf

A acelerao produz

variao de velocidade:

2 22 x ifF

x v vm

=

Variao daenergiacintica (Ec)

da bola


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Esta uma expresso da eficcia da fora.

= Total CW EComo que uma fora aplicada

ao longo de uma distnca modifica o sistema

Trabalhoo agente externo que altera aquantidade de energia cintica

(estado) do sistema.

xW F x=

Energia CinticaA quantidade interna que modificada (estado).

=21

2

CE mv

= 2 2R, 1 12 2x ifF x mv mv Teorema da energia

cintica


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mx

Energia cintica inicial Ec,i Energia cintica final Ec,f>EC,i

Trabalho

positivo W> 0

Fonte deenrgia

O trabalho energia a ser transferida

FR,x


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Unidades para o trabalho e energia:

SI:

Evitar a confuso com:Caloria (comida) 1 Cal = 1000 cal

caloria 1 cal = 4.184 J

Kilowatt-hour KWhOutras unidades possveis:

Joule 1 J = 1 N m


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EnergiaDiversos tipos de energia:

Energia cintica Energia elctrica Energia interna (energia trmica)

Energia elstica Energia qumica Etc.

A energia transferida e transformadade um tipo para outro. Nunca destruda ou criada.


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O que o trabalho?A definio de trabalho (W =Fx) corresponde

ideia intuitiva de esforo:

Um objecto com maior massa ir requerer mais trabalho paraalcanar a mesma velocidade (partindo do repouso).

Para uma mesma massa, para alcanar maior velocidade(partindo do repouso) requer mais trabalho.

Se empurramos durante maiores distncias, o trabalho aumenta. O trabalho o mesmo para acelerar o objecto para a direitaou para a esquerda. (Tanto o deslocamento como a forainvertem-se).


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Outro tipode energia

= 2 2R, 1 12 2x ifF x mv mv

Consideremos novamente a bola. Desta vez a fora aopnta na

direco oposta ao deslocamento:

mx

vi vf

< 0

Energia cinticainicial E

C,i

Energia cintica final EC,f < EC,i

TrabalhoNegativo W< 0

FR,x


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Empurrar uma caixa com atritoUm caixa empurrada ao longo de 10 m a uma velocidade

constante exercendo uma fora de 200 N.Trabalho sobre a caixa: WF = (200 N)(10 m) = 2000 J(energia proveniente das reaces bioqumicas dos msculos)

Trabalho do atrito: Wat = (-200 N)(10 m) = -2000 J(libertado como energia trmica para o ar e para o solo)

F

fat

= =

=

at

at

0 (v constante)F f ma f F

Teorema da energia cintica: WF + Wat= 0 EC,fEC,i= 0


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11

E se a fora no apontar nadireco do movimento?

22

2 if vvra =

Recordando a equao de v em multidimenses:

rFrFrFW === cos//

Trabalho de uma fora constante ao longo de uma linha recta:

rFm

ra

=1

Para o trabalho, apenas a parte da fora que tem a direcodo deslocamento interessa (= pode alterar a velocidade)

(= pode alterar a energia cintica)


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Exemplo de foras que norealizam trabalho

Ffat

mg

N

O peso da caixa que empurrada ao longo dasuperfcie horizontal no realiza trabalho uma vez queo peso perpendicular ao movimento.A fora normal aplicada pelo solo tambm no realizatrabalho.

x


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Recapitulando:

= RW K

Energia Cintica = 212C

E mv

rFrFrFW === cos //

Trabalho realizado por uma fora constanteao longo de uma recta:

Teorema da Energia Cintica:


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O percurso dividido em pequenos segmentos nos quais a fora constante.

Trabalho realizado por uma fora varivel

ao longo de uma trajectria rectilinea:Um objecto move-se ao longo do eixo-x do ponto x1 para o ponto x2.Uma fora varivel aplicada ao objecto. Qual o trabalho realizado

por esta fora?

x1

FA

xA

FB

xB

FC

xC

FD

xDFE

xE

EExDDxCCxBBxAAx xFxFxFxFxFW ++++=

O trabalho total a soma do trabalho em cada um dos intervalos:

x2


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15

Fx

xxA xB xC xD xE

Trabalho = rea

FAx

FBxFCx

FDx

FEx

EExDDxCCxBBxAAx xFxFxFxFxFW ++++=

Continua a ser uma aproximao pois a fora no realmente constante em cada intervalo


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F

x

Trabalho = rea debaixo da curvadefinida por F(x).

x1 x2

O resultado s mesmo bom no limite em que os intervalos so mesmo

pequenos, onde a soma se torna num integral:

=2

1

)(x

x x dxxFW Trabalho de uma fora

varivel, numa trajectriarectilnea


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MolasLei de Hooke: A fora exercida por uma mola proporcional distncia que a mola cormprimida/esticada relativamente s posio deequilibrio.

x= 0 x= 0 F= 0

Fx= k x k= Constante da mola

xx> 0 F< 0

F

x

x< 0 F> 0F


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Fmola

P

0

0

molaF P

k x mg

k

m xg

=

=

=

A lei de Hooke a base de funcionamento das balanas.


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Esticando a molaQual o trabalho realizado pela mola no bloco quando se puxa a molade x1 para x2?

Posio de equilbrio (Define-se x = 0 como sendo a posio deequilbrio da mola).Neste caso: F = -kx

F1 = -kx1

x1

x2

F2 = -kx2

Fora varivel: necessrio umintegral.


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20

= =

2 2

1 1

mola ( )x x

x x

W F x dr kxdx

Trabalho realizado a mola quando se puxa de x1 para x2

Fx

x

x1 x2

work

Fx= kx

Se x2 > x1 (esticar),Wexterna > 0

Estamos a aumentara energia da mola

Uma mola esticada oucomprimida armazena

energia(energia elstica)

= =

2 2externa 2 1

1 12 2molaW W kx kx

Trabalho realizado na mola quando se puxa a mola de x1 para x2

=

2

1

212

x

x

kx =

2 22 11 12 2kx kx


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Trabalho em trajectrias curvasUma partcula move-se de A para B aolongo do percurso mostrado na figuraenquanto uma fora varivel actua

sobre ela.

l

dFdW =

Se os intervalos so muitopequenos, a trajectria rectilnea, e a fora constante, pelo que trabalho

ser:

Novamente, pode calcular-se otrabalho considerando pequenosdeslocamentos .l

d

Somando todas as

contribuies: =

B

A

BA l

dFW

x A

B x

F dl


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Integral de linha

A (inicial)

B(final)

Para cada um das trstrajectrias entre A e B, aforca dar origem a

diferentes valores detrabalho!

=

B

ABA l

dFWtrajectria


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borda

fundo

mg

Exemplo:Calcular o trabalho realizado pela gravidade quando umaesfera de massa mrola desde borda at ao fundo de umatigela esfrica de raio R.

dl

mgR=

=

fundotopo

W mg dl

= /2

=0 cosmg Rd

=

/20

cosmgR d

= /2

0sinmgR

=

= R d


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Potncia

Potncia instantnea:

dW F dr P P F v dt dt

= = =

= = =

mdia mdia mdiaW F r

P P F v t t

Potncia Mdia:


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Unidades de potnciaSI: Watt 1 W = 1 J/s

Outros: Cavalo-vapor 1 hp = 746 W

Kilowatt-hora (kWh) uma unidade de energia outrabalho:

61000 W 3600 s1 kWh 1 kW h 3.6 10 Ws1 kW 1 h= =

J


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Trabalho realizado pelo pesoUm bloco de massa m levantado do cho (A) para umamesa (B) usando duas trajectrias diferentes. Determine

o trabalho realizado pela gravidade.

y

mgA

B

r3r2

r1

r ( )

ymg

rgm

rrrgm rgmrgmrgmW

=

=

++=

++=

321321

ymgrgmW ==

O trabalho realizado pelopeso no depende da

trajectria.


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Energia potencial GravticaO trabalho realizado pelo peso no depende da trajectria,depende apenas do deslocamento vertical y, ou do y inicial e

final: ymgW =

U= Energia potencial

Podemos sempre escrever que este trabalho igual (menos)

variao de uma funo U(r) que depende da posio:( )ifW U U U = =

= + constanteU mgy Energia potencialgravtica:Podemos sempre incluir uma constante arbitrria

pois o que interessa a variao U


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Energia potencial elstica (mola)Qual o trabalho realizado pela mola quando puxada de x1 para x2?

F1

= -kx1

x1

x2

F2 = -kx2

= =

2

1

2 22 1

1 12 2

x

molax

W kxdx kx kx

Tambm pode ser escrito como (menos)

a diferena de uma funo potencialentre o ponto inicial (x1) e o ponto final(x2):

21constante

2U kx= +Energia potencial

elstica:

( )= 2 1( ) ( )molaW U x U x

Pode o trabalho ser sempre


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Pode o trabalho ser sempre

escrito em termos de umavariao de energia potencial?NO!

Exemplo: Uma caixa arrastada ao longo de uma superfciehorizontal atravs de duas trajectrias AD e ABCD:

A

B C

D= atrito,AD kW df

O trabalho realizado peloatrito no pode ser escritocomo uma diferena depotencial.

No dependeapenas dos pontosinicial e final.= atrito,ABCD 3 kW df

F C ti N


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Foras Conservativas e No -

ConservativasO trabalho realizado por uma fora conservativa nodepende da trajectria. Uma funo energia potencial pode ser definida.

O trabalho depende da trajectria.

No se pode definir uma funo de energia potencial.

Fora no - conservativa

Exemplos: Atrito cintico

Exemplos: peso, fora elstica


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Conservao da Energia

MecnicaNum sistema onde apenas foras conservativas realizam

trabalho, podemos escrever o teorema da energiacintica:

R CW E=

RW U=

CU E = ( ) 0CE U + =

Definio de Energia Mecnica: M CE E U= +

Segundo as condiesanteriores, a energiamecnica conservada:

inicial final0 orE E E = =


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=

=

=

21

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CW E

mgh mv

v gh

Uma bola largada de uma altura h. Se a velocidade inicial for 0 e seignorar-mos a resistncia do ar, qual a velocidade da bola quandoatingir o solo?

Podemos usar a cinemtica o teorema da energia cinticaou a conservao da energia.

Trabalho do

peso: mghmgr =initial finalE E

A nica fora que actua o peso, porisso a energia mecnica conservada:

Escolhe-se

U= 0 no solo

T.E.C. Conservao da energia

Exemplo: Queda Livre

+ = +, inicial , FinalC Inicial C Final E U E U

+0 mgh

=

=

212

2

mgh mv

v gh

= +21 0

2mv


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Duas verses do mesmo problema.

1. Levantar: WR = Wpeso + Wpessoa = 0 (vinicial = vfinal = 0)

Queda: WR =Wpeso = mgh> 0 (logo EC aumenta)

Um objecto de massa m levantado por uma pessoa do

solo at uma altura he depois largado.

2. Levantar : Wpessoa > 0. A pessoa esta a adicionar

energia que armazenada como energia potencialgravtica mgh> 0 .

Queda: A energia potencia convertida em energia

cintica (logo EC aumenta).


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Podemos aplicar o mesmo raciocinio para

qualquer descida:

h

Ponto deinflexoondeEC = 0

E EC U

E EC UE EC U

v= 0


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EXEMPLO: PnduloConsidere um pndulo de comprimento l e massa m, que libertado do repouso e de um ngulo 0.

a. Qual o mximo ngulo que o pndulo vai alcanar no

outro lado?b. Qual velocidade mxima do pndulo?

0

m l


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Apenas o peso est a realizar trabalho, por isso uma situao onde a energia mecnica conservada

EM = EC+U.

Lm

0

U y

y

EC=0

UMAX

UMIN

EC,MAX

0 EC=0

UMAX

O ngulo dooutro ladotambm 0.


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37

0 0E E

CU

E EC

U

E EC U

E EC U

E EC U

A energia potencia U transformada em energia cintica

EC. E vice-versa.


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38

0

m L

Tomando U(= 0) = 0

C = 0U= mgL(1-cos)

U= mgy+ C

y

Lcos=mgL(1-cos) + C

L

LL-Lcos


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39

0m

L

E = mgL(1-cos) + mv2/2 = constante

No fundo: E= 0 +mv2/2Inicialmente: E= mgL(1-cos0) + 0

0 +mv2/2 = mgL(1-cos0) + 0

02 (1-cos )v gL =


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40

Relao entre Ue F(1D)

= = final

inicial xW F dx U

Para uma fora conservativa (em 1D),

= + constantexU F dx

x

dUF

dx=

= = =

= = = 2

Exemplos:

12

y

x

dUU mgy F mg dy

dUU kx F kx

dx

A fora menos odeclive da curva U (x).


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41

Exemplo: Mola

21( )2

U x kx =

x

U

xx = 0, F = 0

dU/dx= 0

A energia potencial deuma caixa ligada a umamola numa superfciehorizontal sem atrito:


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42

x

U

xx < 0, F > 0

dU/dx< 0


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43

x

U

x

x > 0, F < 0

dU/dx> 0


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x

U

xx > 0, F < 0 e maior em valor

dU/dx> 0 emais inclinado queanteriormente

A fora aponta sempre para baixo!!!


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Relao entre Ue F(3D)x

UFx

=1D:

= = =

=

, , em coordenadas cartesianas

para a componente radial das coordenadas esfricas

x y z

r

U U UF F F

x y z

UF

r

3D: =

(menos o gradiente de )F U U


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ExemploDeterminar a fora exercida no ponto P (0,1,2) m se aenergia potencial associda for dada por:

( )P 3 8 12 NF i j k = + +

( )2 3( ) 3 4 JU r xy x yz =

( ) ,P3 8 (3 0) 3x xU

F y x F x

= = = =

( )3 ,P3 (0 8) 8y yUF x z F y

= = = =

( )2 ,P3 ( 3 1 4) 12z zU

F yz F z

= = = =


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EquilbrioSempre que F = 0 (ie, dU/dx= 0), temos equilbrio.

x

U

xS

xU xN

xS, xU e xN so pontos deequilbrio

Estvel/Instvel/Equilbrio


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x

U

A fora faz regressar a partcula

ao ponto de equilbrio.

estvel

A fora afasta a partcula do ponto deequilbrio.instvel

A fora continua a ser zero peloque a partcula permanece na novaposio, que tambm uma posiode equilbrio.

neutro

O que acontecer se a partcula se mover um pequeno dxpara almdo ponto de equilbrio?

Estvel/Instvel/Equilbrio

Neutro


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Diagramas de Energia um grfico de Uem funo de x, onde a energiamecnica pode tambm ser includa.O diagramas de energia fornecem uma representaovisual til de uma fora conservativa.As principais caractersticas da fora so facilmente

relevadas:.

Mnimo = ponto de equilbrio estvel

Mximo = ponto de equilbrio instvel

A fora aponta para baixo

Pontos de inflexo: Sempre que E =U (EC= 0)


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Exemplo 1: Uma caixa presa a uma mola colocadasobre uma mesa horizontal, sem atrito colocadaem x= x0 e libertada sem velocidade.

= + = +210

2C oE E U kx

A energia mecnica relaciona-se com as condiesiniciais.


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x

U

UMIN

EC,MAX

x0x0

212 o

E kx=

UMAX ( = E )

EC= 0, pontos de

inflexo

Zonapermitida

Regio proibida

(EC< 0)

Regio pribida

(EC< 0)

Exemplo 2: A caixa colocada em x= x0 e


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empurrada de forma que a sua velocidade inicial

v0.= + = +

2 21 12 2C o o

E E U mv kx

xtxt

Novos pontos de inflexo

x

U

x0

21

2 oE kx= (anterior)

2 21 12 2o oE mv kx = + (agora)


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x

U

E

xtxt

UEC

Quanta energia cintica/potencial tem osistema em cada ponto?

U

EC

U = 0

EC= EC,MAX = EU= UMAX = EEC= 0

U Exemplo: Potencial com dois poos


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U

x

Uma partcula est sujeita fora associada a estepotencial. No existem outras foras exercidas sobre apartcula. Descreva o movimento da partcula nas situaesseguintes.

Exemplo: Potencial com dois poos.

1. A partcula libertada do repouso do ponto A.


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1. A partcula libertada do repouso do ponto A.

U

xA

UA

Em M1, U mnimo, por isso EC (e a velocidade) mxima

M1

A partcula oscila entre A e B.

B

Em xB, U = E, ento EC (e a velocidade) zero ponto de inflexo

Direco da fora F

E

= + = + Das condies iniciais, 0C AE E U E U

proibidaproibida OKOK

A partcula no pode estar em x < xA ou x> xB (EC < 0)

2. A partcula libertada do ponto A com uma pequena velocidade


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inicial v0.

U

xA

UA

= + >20 A A1Das condies iniciais, 2

E mv U U

E

Em M1, U mnimo, ento EC (e a velocidade) mxima.

M1

Os pontos de inflexo so definido por EC = 0, e ento U = E : pontos Ce D.

DC

A partcula oscila entre C e D.

Direco da fora F

proibidaproibida OKOK

3 A partcula libertada do repouso no ponto G


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3. A partcula libertada do repouso no ponto G.

U

xG

UG

= GDas condies iniciais, E U

E

Em M1, U mnimo, e ento EC (e a velocidade) mximo

M1

A partcula continua a mover-se na direco +x (semoscilaes) e no regressa (escapa-se).

Direco da

fora FF= 0

proibida OK OK OK OK OK

Escape


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Campo gravitacional da Terra

rU 1

2rU O objectos tm de ter E>0 para escaparem Terra.

Forca interatmica

Barreira: Energia mnimapara escapar ou ficarpreso.

Fora forte entre oquark e o anti-quark

r

U 1

rU

No pode escapar.

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